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Matematica I: Calcolo differenziale, Algebra lineare, Probabilità e statistica Giovanni Naldi, Lorenzo Pareschi, Giacomo Aletti Copyright © 2003 - The.

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1 Matematica I: Calcolo differenziale, Algebra lineare, Probabilità e statistica Giovanni Naldi, Lorenzo Pareschi, Giacomo Aletti Copyright © The McGraw-Hill Companies, srl Capitolo 2 Limiti e continuità

2 Matematica I: Calcolo differenziale, Algebra lineare, Probabilità e statistica Giovanni Naldi, Lorenzo Pareschi, Giacomo Aletti Copyright © The McGraw-Hill Companies, srl Limite: concetto cardine alla base di molte costruzioni del Calcolo Differenziale. Esempi Definizione di limite Limite destro e sinistro Iniziamo con alcuni problemi… Limiti e continuità

3 Matematica I: Calcolo differenziale, Algebra lineare, Probabilità e statistica Giovanni Naldi, Lorenzo Pareschi, Giacomo Aletti Copyright © The McGraw-Hill Companies, srl Problema A (buona definizione delle funzioni). Abbiamo definito (con a > 0 base) ar, r Q ma se desideriamo calcolare ax, x R? Possiamo considerare una successione di valori razionali {rk} sempre più vicini a x e poi osservare se ark si avvicina al valore y. Possiamo definire y = ax, ma è una buona definizione? Dipende dalla scelta della successione di valori rk? Cosa significa vicino? Vedi figura lucido seguente…

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5 Matematica I: Calcolo differenziale, Algebra lineare, Probabilità e statistica Giovanni Naldi, Lorenzo Pareschi, Giacomo Aletti Copyright © The McGraw-Hill Companies, srl Problema B (Approssimazioni successive) Calcoliamo larea di un cerchio di raggio r approssimando tale area con larea An di un poligono regolare inscritto con n lati uguali. Abbiamo An = nr2 sin(π/n) cos(π/n), cosa possiamo dire di A.n al crescere di n? In simboli la domanda si scrive Sospettiamo (desideriamo) che

6 Matematica I: Calcolo differenziale, Algebra lineare, Probabilità e statistica Giovanni Naldi, Lorenzo Pareschi, Giacomo Aletti Copyright © The McGraw-Hill Companies, srl Problema C (come andrà a finire?) I grafici della retta di equazione y = x e della funzione y = sinx passano per lorigine O (0, 0). Cosa succede al quoziente Continua…

7 Matematica I: Calcolo differenziale, Algebra lineare, Probabilità e statistica Giovanni Naldi, Lorenzo Pareschi, Giacomo Aletti Copyright © The McGraw-Hill Companies, srl Facciamo qualche prova numerica Tabella 2.1: Esperimenti numerici per il calcolo di f(x) = sin(x)/x per valori di x prossimi a 0. Questi esperimenti dovrebbero condurre alla deduzione (con scrittura ormai chiara)

8 Matematica I: Calcolo differenziale, Algebra lineare, Probabilità e statistica Giovanni Naldi, Lorenzo Pareschi, Giacomo Aletti Copyright © The McGraw-Hill Companies, srl Problema D (la tangente) Cerchiamo la posizione della retta tangente al grafico della parabola y = x 2 nel punto P(1, 1) approssimandola con rette passanti per P e per un differente punto Q del grafico. Abbiamo Q(x, x 2 ) e indichiamo con mQ la pendenza della retta PQ. Per esempio con Q(1.5, 2.25) si ottiene Quello che vorremmo definire il limite dove y = m(x - 1) + 1 è lequazione della retta tangente. Vedi figura lucido seguente…

9 Matematica I: Calcolo differenziale, Algebra lineare, Probabilità e statistica Giovanni Naldi, Lorenzo Pareschi, Giacomo Aletti Copyright © The McGraw-Hill Companies, srl

10 Matematica I: Calcolo differenziale, Algebra lineare, Probabilità e statistica Giovanni Naldi, Lorenzo Pareschi, Giacomo Aletti Copyright © The McGraw-Hill Companies, srl Una parentesi un po euristica... Come tradurre: - vicino - avvicinarsi - Mentre x si avvicina a... f(x) si avvicina a... Stare nelle vicinanze stare in un intorno

11 Matematica I: Calcolo differenziale, Algebra lineare, Probabilità e statistica Giovanni Naldi, Lorenzo Pareschi, Giacomo Aletti Copyright © The McGraw-Hill Companies, srl Come si comporta f per valori di x prossimi a x 0 ? Quali punti x 0 considerare? x 0 punto di accumulazione (caso x 0 R): I(x 0, r) con r > 0, x dom(f) I(x 0, r) \ {x 0 }, dove I(x 0 ) = (x 0. r, x 0 + r). È importante la posizione di x 0 rispetto a dom(f) non che x 0 dom(f).

12 Matematica I: Calcolo differenziale, Algebra lineare, Probabilità e statistica Giovanni Naldi, Lorenzo Pareschi, Giacomo Aletti Copyright © The McGraw-Hill Companies, srl Personaggi: f funzione f : A R; x 0 R, punto di accumulazione di A. Definizione (Usiamo gli intorni) Diremo che, con L R, quando per ogni intorno I(L; ), > 0, esiste un intorno I(x 0 ; δ), δ>0, tale che se x I(x 0 ; δ)\{x 0 }, x dom(f), allora f(x) I(L; ).

13 Matematica I: Calcolo differenziale, Algebra lineare, Probabilità e statistica Giovanni Naldi, Lorenzo Pareschi, Giacomo Aletti Copyright © The McGraw-Hill Companies, srl Graficamente dovremmo aver intuito ma per fare i conti? Dobbiamo descrivere un intorno. Che cosa significa... per ogni intorno I(L; )...? –Significa che possiamo scegliere arbitrariamente. Che cosa significa... esiste un intorno I(x0; δ)...? –Significa che possiamo determinare un δ > 0 tale che lintorno I(x0; δ) sia adeguato.

14 Matematica I: Calcolo differenziale, Algebra lineare, Probabilità e statistica Giovanni Naldi, Lorenzo Pareschi, Giacomo Aletti Copyright © The McGraw-Hill Companies, srl Il gioco consiste in botta-risposta, qualcuno gioca un intorno I(L; ) e noi dobbiamo essere in grado di rispondere con un intorno I(x 0 ; δ). Attenzione: basta una strategia/scelta/metodo/... per un intorno I(x 0 ; δ), non è detto che sia unico, anzi... ne basta comunque uno. Definizione (Notazione δ) Diremo che f tende al limite L R (o che converge ad L) per x che tende ad x 0 se > 0 si può trovare un δ > 0 tale che Esercizio, si dimostri, attraverso la definizione, che

15 Matematica I: Calcolo differenziale, Algebra lineare, Probabilità e statistica Giovanni Naldi, Lorenzo Pareschi, Giacomo Aletti Copyright © The McGraw-Hill Companies, srl Proprietà fondamentali: il limite (quando cè) è unico; il limite è compatibile con le operazioni aritmetiche, per esempio se con L 1, L 2 R, allora Vedi figura lucido seguente…

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17 Matematica I: Calcolo differenziale, Algebra lineare, Probabilità e statistica Giovanni Naldi, Lorenzo Pareschi, Giacomo Aletti Copyright © The McGraw-Hill Companies, srl Non sempre i limiti esistono. Consideriamo la funzione (funzione segno) definita per x 0, non esiste il limite Infatti in ogni intorno di x 0 = 0 vi sono punti x e punti x tali che sign(x) = 1, sign(x) = 1.

18 Matematica I: Calcolo differenziale, Algebra lineare, Probabilità e statistica Giovanni Naldi, Lorenzo Pareschi, Giacomo Aletti Copyright © The McGraw-Hill Companies, srl Se invece conosciamo alcuni limiti altri si possono dedurre tramite il Teorema (di compressione o dei due carabinieri). Se f, g, h : A R, x 0 punto di accumulazione di A, g(x) f(x) h(x) per x dom(f) \ {x 0 }, 0 0, e se allora

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20 Matematica I: Calcolo differenziale, Algebra lineare, Probabilità e statistica Giovanni Naldi, Lorenzo Pareschi, Giacomo Aletti Copyright © The McGraw-Hill Companies, srl Estensioni del concetto di limite Vi sono vari modi per estendere il concetto di limite, noi considereremo le seguenti estensioni, limite destro, limite sinistro (ciò quando x tende a x 0 solo da un lato); limiti allinfinito (quando x diventa arbitrariamente grande, positivo o negativo); limiti infiniti (quando f diventa arbitrariamente grande, positiva o negativa).

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25 Matematica I: Calcolo differenziale, Algebra lineare, Probabilità e statistica Giovanni Naldi, Lorenzo Pareschi, Giacomo Aletti Copyright © The McGraw-Hill Companies, srl Alcune funzioni continue lineari, quadratiche; funzioni polinomiali; funzioni trigonometriche elementari; funzioni esponenziali e logaritmiche. Non sempre la verifica è immediata (tramite le operazioni aritmetiche elementari). Esempio di strumento utile.

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29 Matematica I: Calcolo differenziale, Algebra lineare, Probabilità e statistica Giovanni Naldi, Lorenzo Pareschi, Giacomo Aletti Copyright © The McGraw-Hill Companies, srl Funzioni continue in un intervallo: possiamo disegnare il grafico senza staccare la matita dal foglio Consideriamo, (I1) f : [a, b] R, con a, b R; (I2) f continua in ogni punto x [a, b]. In viaggio dal punto (a, f(a)) al punto (b, f(b)), dobbiamo attraversare almeno una volta punti con ordinata intermedia tra f(a) e f(b).

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