I modelli matematici: osservazioni ed esempi Prof. Mario Landucci Dip. Matematica applicata G.Sansone Anno Accademico 2004-2005.

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1 I modelli matematici: osservazioni ed esempi Prof. Mario Landucci Dip. Matematica applicata G.Sansone landucci@dma.unifi.it Anno Accademico 2004-2005

2 Compito del matematico “puro”? Primo valore della matematica è FORNIRE uno STRUMENTO per meglio CONOSCERE il MONDO FISICO l’importanza della matematica nei confronti della scienza PROVARETEOREMI PROVARE TEOREMI

3  i greci furono i primi a sostenere che l’universo è disegnato secondo rigide proprietà matematiche  Galileo Galilei (1564-1642): la scienza deve cercare di fornire leggi quantitative dobbiamo osservare i fenomeni della natura proporre un modello matematico astratto che li descriva verificarne la validità dedurre proprietà del modello

4 MODELLO della CRESCITA di una POPOLAZIONE Problema: Costruire un modello matematico (cioe’ formulare una legge matematica) che spieghi come una popolazione (batteri, pesci, persone) si modifica nel tempo

5 N(t)=numero di individui di una certa popolazione al tempo t Dopo un tempo pari a  t N(t +  t)= numero di individui incremento: velocita’ di variazione della popolazione nel tempo  t : velocita’ istantanea di variazione della popolazione   t piccolo a piacere  lim per  t  0 di Si ha la derivata di N(t) rispetto a t :

6 Thomas Malthus (1766-1834): prima ipotesi di modello della dinamica di crescita di una popolazione velocita’ di crescita proporzionale alla popolazione stessa equazione differenziale  soluzioni: e= numero di Eulero=2,7182818… Tre grafici di funzioni malthusiane ottenute facendo variare la costante k N(t)=N(0)e kt

7 Tabella della dinamica della popolazione USA annoPopolazione effettiva Dati calcolati con la legge malthusiana (k=0.301) Errore% Errore T=017903.929.0003.920.00000 T=118005.308.000 00 T=218107.240.0007.173.000-67.000-0.9 T=318209.638.0009.693.00055.0000.5 T=4183012.866.00013.097.000231.0001.8 T=5184017.069.00017.697.000628.0002.0 T=6185023.192.00023.912.000720.0002.3 T=7186031.443.00032.310.000867.0002.8 T=8187038.558.00043.658.0005.100.00013.2 T=9188050.156.00058.991.0008.835.00017.6 T=10189062.948.00079.709.00016.761.00021.0 T=11190075.995.000107.704.00031.702.00041.7 T=12191091.972.000145.530.00053.558.00058.2 T=131920105.711.000196.642.00090.931.00086.0 T=141930122.775.000265.705.000142.930.000116.4 T=151940131.669.000359.002.000227.333.000172.6 T=161950150.697.000485.114.000334.417.000221.9 Dopo il 1860 l’equazione malthusiana non fornisce una previsione accettabile

8 Tabella della stima della popolazione mondiale AnnoPopolazione mondiale prevista 20006.675.305.132 210049.324.204.000 2200364.459.310.000 2500147.033.380.000.000 30003.238.625.700.000.000.000 Essendo la superficie totale della terra 510.100.000.000.000 m 2 una semplice divisione mostra che nel 2500 sarebbero costretti a stare quasi in piedi l’uno accanto all’altro !!

9 Crescita in laboratorio del piccolo roditore Microtus Arvallis (previsione con l’equazione malthusiana k=0.4) La stima malthusiana e’ accettabile Mesi02610 Numero roditori2520109 Numero roditori previsto 24.522.0109.1

10 L’ipotesi malthusiana non è, in generale, accettabile in particolare perche’ prevede sempre una crescita indefinita

11 Verhulst (1837) biologo matematico: introdusse un fattore correttivo la velocita’ di crescita diminuisce quando la popolazione aumenta equazione logistica  soluzioni:

12 Grafico della funzione logistica con N(0)=10, k=0.3, h=0.006 Notare la presenza dell’asintoto N(t)=k/h=50

13 Il modello appare ora sufficientemente soddisfacente Popolazione degli Usa nel periodo 1790-1950 e dati calcolati con la legge di crescita logistica annoPopolazione effettiva Dati calcolati con la crescita logistica erroreErrore percentuale 17903.929.000 00 18005.308.0005.336.00028.0000.5% 18107.240.0007.228.000-12.000-0.2% 18209.638.0009.757.000119.0001.2% 183012.866.00013.109.000243.0001.9% 184017.069.00017.506.000437.0002.6% 185023.192.000 00% 186031.443.00030.412.000-1.031.000-3.3% 187038.558.00039.372.000814.0002.1% 188050.156.00050.177.00021.0000.0% 189062.948.00062.769.000-179.000-0.3% 190075.995.00076.870.000875.0001.2% 191091.972.000 00% 1920105.711.000107.559.0001.848.0001.7% 1930122.775.000123.124.000349.0000.3% 1940131.669.000136.653.0004.984.0003.8% 1950150.697.000149.053.000-1.644.000-1.1%

14 Modello matematico per la datazione col Carbonio 14 (Come anche la matematica puo’ svelare i falsi)

15 Walter F.Libby (chimico, p.Nobel): ideò alla fine degli anni ’40 uno dei metodi piu’ famosi e semplici di datazione dei reperti  L’azoto che si trova negli strati alti dell’atmosfera, bombardato da raggi cosmici, dà luogo a 14 C, un isotopo radioattivo del C.  Il carbonio che viene normalmente fissato da piante e animali è caratterizzato da un rapporto costante 14 C/ 12 C=10 -12.  Quando un organismo cessa di vivere la concentrazione di 14 C diminuisce perché non viene più assorbito mentre continua a decadere

16 N(t)=quantità di 14 C nell’oggetto da datare al tempo t N(0)=quantità di 14 C contenuta al tempo t=0 K=costante di decadimento radiattivo del 14 C N(t) è soluzione dell’equazione: ovvero: R(t)=velocità con cui avviene il decadimento radioattivo

17 Castello di Winchester: tavola rotonda. E’ quella di Re Artù? 1977: datazione con il 14 C se R(0)=6.68 grammo/min e k=1.245x10 -4 anno -1 (legno vivo) t =700 anni La tavola rotonda è stata tagliata nel 1275!! R(t)= 6.08 grammo/min v. decadimento legno

18 Ma Re Artù è vissuto nel VI secolo!!!