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Corso di LABORATORIO DI DIDATTICA DELLA MATEMATICA Prof. C. DAPUETO- Prof.ssa G. PESCE Dalle distribuzioni di frequenza alle leggi di distribuzione Specializzandi:

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1 Corso di LABORATORIO DI DIDATTICA DELLA MATEMATICA Prof. C. DAPUETO- Prof.ssa G. PESCE Dalle distribuzioni di frequenza alle leggi di distribuzione Specializzandi: Bergamino - Chiavazza - Costa - Deambrogio - Goggi

2 INDICE Introduzione Introduzione Introduzione Statistica Statistica Statistica Statistica-Esercizi Statistica-Esercizi Statistica-Esercizi Dal discreto al continuo Dal discreto al continuo Dal discreto al continuo Dal discreto al continuo Probabilità Probabilità Probabilità Conclusioni Conclusioni Conclusioni

3 Introduzione Collocazione progetto didattico: Istituto tecnico commerciale indirizzo Mercurio con riferimento a Istituto tecnico commerciale indirizzo Mercurio con riferimento a 1. classe IV (per quanto concerne il discreto) 2. classe V (per quanto concerne il continuo). Triennio di un istituto tecnico ITIS oppure triennio di un liceo scientifico Triennio di un istituto tecnico ITIS oppure triennio di un liceo scientifico

4 Introduzione Motivazioni della scelta Motivazioni della scelta 1. La statistica e la probabilità sono argomenti particolarmente importanti per lo sviluppo della capacità critica dei discenti 2. Linsegnamento della matematica deve contribuire alla formazione di un cittadino conscio (matematica per il cittadino), in grado di saper interpretare ed analizzare la realtà che lo circonda in modo consapevole 3. I recenti temi dei test di ammissione alle facoltà scientifiche nonché i test PISA dedicano particolare importanza alla statistica e alla probabilità 4. La statistica inoltre e un fondamentale strumento per superare alcuni limiti relativi a cio che un alunno pensa di se rispetto ai suoi compagni (es.: altezza, peso, ecc.)

5 Introduzione Si introduce il concetto di distribuzione di frequenza partendo da esempi concreti, anche basati su notizie, fatti di cronaca, dibattiti televisivi, ecc., im modo da: Si introduce il concetto di distribuzione di frequenza partendo da esempi concreti, anche basati su notizie, fatti di cronaca, dibattiti televisivi, ecc., im modo da: stimolare maggiormente linteresse e il coinvolgimento degli studenti stimolare maggiormente linteresse e il coinvolgimento degli studenti sottolineare i collegamenti interdisciplinari con: sottolineare i collegamenti interdisciplinari con: 1. economia aziendale, 2. economia politica, 3. scienza delle finanze, 4. fisica, 5. biologia, 6. materie più umanistiche (es. semplice lettura di un quotidiano, notizie economiche, indagini ISTAT, ecc.)

6 Introduzione Lapproccio didattico: Predisporre delle schede ad hoc, anche con esercizi motivanti gli interessi degli allievi Predisporre delle schede ad hoc, anche con esercizi motivanti gli interessi degli allievi Il livello di approfondimento e di formalizzazione sarà maggiore con riguardo al liceo scientifico rispetto allapproccio seguito negli istituti tecnici Il livello di approfondimento e di formalizzazione sarà maggiore con riguardo al liceo scientifico rispetto allapproccio seguito negli istituti tecnici Tratteremo: Tratteremo: 1. Lo sviluppo della statistica descrittiva, nel discreto e nel continuo 2. Gli eventi aleatori, e quindi la probabilità, sempre con riferimento prima al discreto e poi al continuo

7 STATISTICA Far considerare agli studenti un certo insieme di oggetti, possibilmente a loro vicino e noto, ad es.: laltezza degli alunni della classe laltezza degli alunni della classe i tempi di percorrenza da casa a scuola i tempi di percorrenza da casa a scuola la scelta dei mezzi di trasferimento casa-scuola la scelta dei mezzi di trasferimento casa-scuola i voti dellultimo compito in classe i voti dellultimo compito in classe i cd che un negozio di musica ha venduto nelle due settimane successive al festival di Sanremo i cd che un negozio di musica ha venduto nelle due settimane successive al festival di Sanremo il PIL dellItalia e degli altri Paesi europei il PIL dellItalia e degli altri Paesi europei

8 Statistica Per introdurre empiricamente i concetti di carattere carattere modalità modalità popolazione popolazione frequenza assoluta e relativa (percentuale) frequenza assoluta e relativa (percentuale) distribuzione distribuzione si considerano gli esempi visti e si invitano gli studenti ad analizzare il tipo di carattere considerato (qualitativo o quantitativo) si considerano gli esempi visti e si invitano gli studenti ad analizzare il tipo di carattere considerato (qualitativo o quantitativo) si passa quindi ad una discussione critica per stimolare i discenti, accertandosi che abbiano una prima idea dei fenomeni si passa quindi ad una discussione critica per stimolare i discenti, accertandosi che abbiano una prima idea dei fenomeni si invitano ad esaminare come si distribuiscono questi dati, facendo ad esempio osservare quali siano le altezze più frequenti, ecc. si invitano ad esaminare come si distribuiscono questi dati, facendo ad esempio osservare quali siano le altezze più frequenti, ecc.

9 Statistica Si intende quindi : Si intende quindi : far sviluppare agli studenti esercizi relativi proprio alla costruzione di tabelle (o distribuzioni di frequenza), per familiarizzarli con la manipolazione di dati grezzi far sviluppare agli studenti esercizi relativi proprio alla costruzione di tabelle (o distribuzioni di frequenza), per familiarizzarli con la manipolazione di dati grezzi portare gli studenti alla comprensione e allopportunità del raggruppamento di dati in classi separate portare gli studenti alla comprensione e allopportunità del raggruppamento di dati in classi separate Parallelamente si propongono le medesime attività anche in laboratorio informatico mediante lausilio di Excel, di XLStat e di STAT scaricabile dal sito di MACOSA Parallelamente si propongono le medesime attività anche in laboratorio informatico mediante lausilio di Excel, di XLStat e di STAT scaricabile dal sito di MACOSA

10 Statistica La rappresentazione dei dati con carta e matita risulta spesso più difficile per gli studenti: infatti devono prestare attenzione ad errori di calcolo che potrebbero portare a rappresentazioni totalmente errate, distogliendo così i discenti dalla finalità principale del lavoro. La rappresentazione dei dati con carta e matita risulta spesso più difficile per gli studenti: infatti devono prestare attenzione ad errori di calcolo che potrebbero portare a rappresentazioni totalmente errate, distogliendo così i discenti dalla finalità principale del lavoro. In particolare, luso di Excel facilita proprio la parte grafica e di calcolo, (lo studente è direttamente coinvolto nel processo di apprendimento). In particolare, luso di Excel facilita proprio la parte grafica e di calcolo, (lo studente è direttamente coinvolto nel processo di apprendimento). XLStat, invece, pur essendo uno strumento più potente, presenta un costo sicuramente più elevato e, inoltre, da un punto di vista didattico, si ritiene che debba essere utilizzato solo a posteriori, dopo lapprendimento dei concetti, come verifica del lavoro svolto dagli alunni, in quanto esso calcola automaticamente i vari indici statistici. XLStat, invece, pur essendo uno strumento più potente, presenta un costo sicuramente più elevato e, inoltre, da un punto di vista didattico, si ritiene che debba essere utilizzato solo a posteriori, dopo lapprendimento dei concetti, come verifica del lavoro svolto dagli alunni, in quanto esso calcola automaticamente i vari indici statistici. Agendo in tal modo si utilizza una metodologia didattica di tipo percettivo- motorio, molto più efficace rispetto ad una metodologia di tipo simbolico- ricostruttivo in quanto consente di semplificare il processo di apprendimento dei discenti, risultando in tal modo meno faticoso e più incentivante. Agendo in tal modo si utilizza una metodologia didattica di tipo percettivo- motorio, molto più efficace rispetto ad una metodologia di tipo simbolico- ricostruttivo in quanto consente di semplificare il processo di apprendimento dei discenti, risultando in tal modo meno faticoso e più incentivante. NOTE NOTE

11 Statistica Si propone quindi di far svolgere agli studenti in maniera diretta indagini su fenomeni specifici. Esempi: Si propone quindi di far svolgere agli studenti in maniera diretta indagini su fenomeni specifici. Esempi: indagine sul numero di studenti stranieri iscritti nella scuola negli ultimi anni indagine sul numero di studenti stranieri iscritti nella scuola negli ultimi anni indagine sul costo di un determinato bene nel tempo indagine sul costo di un determinato bene nel tempo per un liceo scientifico, la temperatura nei vari giorni per un liceo scientifico, la temperatura nei vari giorni Poi si può agevolmente introdurre il concetto di istogramma come strumento per raffigurare la distribuzione di frequenze Poi si può agevolmente introdurre il concetto di istogramma come strumento per raffigurare la distribuzione di frequenze Si procede con lintroduzione degli indici di posizione (moda, mediana, media aritmetica) e dei principali indici di dispersione (varianza, scarto quadratico medio, coefficiente di variazione), con lo scopo di ottenere misure di sintesi e di confronto tra variabili statistiche. Si procede con lintroduzione degli indici di posizione (moda, mediana, media aritmetica) e dei principali indici di dispersione (varianza, scarto quadratico medio, coefficiente di variazione), con lo scopo di ottenere misure di sintesi e di confronto tra variabili statistiche. (Esempi sempre collegati con casi reali vicini agli studenti) (Esempi sempre collegati con casi reali vicini agli studenti)

12 Esercizi ESERCIZIO 1 ESERCIZIO 1 La tabella seguente riporta la distribuzione dei voti conseguiti in matematica da 26 studenti di una classe. ABCDEFGHIJKLMNO PQRSTUWXYZ Si individui la tipologia di carattere osservata, si raggruppino i dati in unopportuna tabella e si proceda quindi al calcolo degli opportuni indici di posizione.

13 Esercizi ESERCIZIO 2 ESERCIZIO 2 Le azioni FIAT, in 5 sedute successive della Borsa di Milano, hanno avuto le seguenti quotazioni (in euro): Le azioni FIAT, in 5 sedute successive della Borsa di Milano, hanno avuto le seguenti quotazioni (in euro): 2,98; 2,97; 2,98; 2,99; 2,98 Se una persona ha acquistato, a ogni seduta, 100 azioni, qual è stato il costo medio per azione? E se ne ha acquistate 200 ad ogni seduta? Se una persona ha acquistato, a ogni seduta, 100 azioni, qual è stato il costo medio per azione? E se ne ha acquistate 200 ad ogni seduta?

14 Dal discreto al continuo Attraverso opportuni esempi (velocita di unauto, altezza di una persona...) si vogliono portare gli studenti al passaggio dal discreto al continuo, mostrando come molti fenomeni reali possono assumere un qualsiasi valore in un certo intervallo. Attraverso opportuni esempi (velocita di unauto, altezza di una persona...) si vogliono portare gli studenti al passaggio dal discreto al continuo, mostrando come molti fenomeni reali possono assumere un qualsiasi valore in un certo intervallo. Esempio: Rilevazione dellaltezza Esempio: Rilevazione dellaltezza Rilevazione dellaltezza degli studenti (piccolo campione) Rilevazione dellaltezza degli studenti (piccolo campione) istogramma sperimentale istogramma sperimentale Ampliamento della dimensione del campione Ampliamento della dimensione del campione distribuzione teorica continua distribuzione teorica continua

15 Dal discreto al continuo Consideriamo un grande numero di individui, ad esempio , si ottengono valori di altezza, compresi tra un minimo ed un massimo. Si evidenzia che maggiore e la numerosita del campione, maggiore e la precisione nella determinazione della media e varianza (mm al posto di cm) Consideriamo un grande numero di individui, ad esempio , si ottengono valori di altezza, compresi tra un minimo ed un massimo. Si evidenzia che maggiore e la numerosita del campione, maggiore e la precisione nella determinazione della media e varianza (mm al posto di cm) Si possono rappresentare graficamente tutti i suddetti valori: Si possono rappresentare graficamente tutti i suddetti valori: raggruppandoli in classi raggruppandoli in classi costruendo un istogramma (sulle ascisse sono riportati i valori delle altezze e sullordinata la densità di frequenza, che si intende proprio introdurre in questa sede, come rapporto tra la frequenza relativa e lampiezza della classe) costruendo un istogramma (sulle ascisse sono riportati i valori delle altezze e sullordinata la densità di frequenza, che si intende proprio introdurre in questa sede, come rapporto tra la frequenza relativa e lampiezza della classe) Listogramma sarà costituito da tanti rettangoli quante sono le classi in cui sono stati suddivisi i valori. Listogramma sarà costituito da tanti rettangoli quante sono le classi in cui sono stati suddivisi i valori. Aumentando il numero di classi diminuisce la loro ampiezza e, quindi, la base dei singoli rettangoli, ma larea totale dellistogramma rimane sempre costante, pari ad uno Aumentando il numero di classi diminuisce la loro ampiezza e, quindi, la base dei singoli rettangoli, ma larea totale dellistogramma rimane sempre costante, pari ad uno

16 Dal discreto al continuo Area dellistogramma = somma delle aree di tutti i rettangoli Area dellistogramma = somma delle aree di tutti i rettangoli Area rettangolo = base * altezza = (ampiezza classe * densità di frequenza) = frequenza relativa Area rettangolo = base * altezza = (ampiezza classe * densità di frequenza) = frequenza relativa comprensione di un concetto di per sé complesso passo passo, partendo proprio dalla rappresentazione grafica comprensione di un concetto di per sé complesso passo passo, partendo proprio dalla rappresentazione grafica Al crescere del numero dei rettangoli listogramma tende ad una funzione continua, la cui area vale ancora uno, detta funzione di densità Al crescere del numero dei rettangoli listogramma tende ad una funzione continua, la cui area vale ancora uno, detta funzione di densità

17 Dal discreto al continuo Si evidenziano: Si evidenziano: le distribuzioni teoriche che riproducono andamenti tipici delle distribuzioni di frequenza (esempio: distribuzione normale o gaussiana) le distribuzioni teoriche che riproducono andamenti tipici delle distribuzioni di frequenza (esempio: distribuzione normale o gaussiana) Il confronto fra istogramma sperimentale ottenuto prima e la distribuzione gaussiana teorica buona approssimazione del fenomeno considerato Il confronto fra istogramma sperimentale ottenuto prima e la distribuzione gaussiana teorica buona approssimazione del fenomeno considerato il collegamento con lanalisi, con riferimento al concetto di integrale (area sottesa ad una curva) il collegamento con lanalisi, con riferimento al concetto di integrale (area sottesa ad una curva) 1. Per gli studenti di un liceo scientifico, -> si approfondirà in analisi il concetto di integrale indefinito e definito 2. per gli studenti di un istituto tecnico commerciale -> concetto sviluppato solo a livello intuitivo, senza eccessivi formalismi Note la media e la varianza del campione e possibile calcolare in modo preciso la percentuale di popolazione avente altezza compresa in un certo intervallo, evitando cosi di sommare le aree dei singoli rettangoli dellistogramma

18 Probabilità Con la statistica si analizzano dati certi, osservati ex post, mentre con la probabilità si introduce il concetto di evento aleatorio, inteso come accadimento il cui esito sia incerto. A tal fine si fornisce una serie di esempi: Con la statistica si analizzano dati certi, osservati ex post, mentre con la probabilità si introduce il concetto di evento aleatorio, inteso come accadimento il cui esito sia incerto. A tal fine si fornisce una serie di esempi: il numero di automobili che transitano su unautostrada in un dato giorno il numero di automobili che transitano su unautostrada in un dato giorno luscita di un dato numero al gioco del lotto luscita di un dato numero al gioco del lotto il valore che può assumere un titolo azionario il valore che può assumere un titolo azionario la temperatura registrata in una giornata la temperatura registrata in una giornata laltezza di un alunno in una classe laltezza di un alunno in una classe Si va così a definire il concetto di probabilità, nodo concettuale problematico dal punto di vista definitorio e didattico Si va così a definire il concetto di probabilità, nodo concettuale problematico dal punto di vista definitorio e didattico

19 Probabilità ESEMPIO 1 Luisa, che sa della fine della mia storia con Mario, ed ama gli indovinelli, mi dice: «Sai, viene a trovarmi per qualche giorno Sergio, un mio lontano cugino, dall'Emilia. Potremmo andare a cena assieme, e poi, chissà, potrebbe nascere qualcosa! Sergio non è molto alto, ma ha un bell aspetto, anche se porta gli occhiali. Gli piace leggere. È un po' taciturno, ma quando parla sa essere piacevole. Non ti dico altro. Prova a indovinare che mestiere fa: (A) il magistrato, (B) il bibliotecario, (C) l'agricoltore, (D) l'attore o (E) il dentista?» In assenza di altre informazioni su Sergio e, in generale, sui parenti di Luisa, ipotizzando che Luisa sappia che io non ho particolari preferenze per un mestiere o l'altro, … come dovrei rispondere per individuare il mestiere più probabile? In effetti, si può osservare proprio come fra i mestieri indicati, in Emilia, e in tutte le regioni italiane, il più frequente è di gran lunga sicuramente l'agricoltore. E ai nostri giorni anche gli agricoltori portano gli occhiali, e leggono. Solo qualche stereotipo, e l'assenza di considerazioni statistiche, potrebbe indurre a pensare che la risposta OK sia "bibliotecario". Diversa, ovviamente, sarebbe la situazione se Luisa avesse 5 cugini che fanno i mestieri indicati.

20 Probabilità ESEMPIO 2 Lancio ripetutamente un dado (non truccato).Quale tra i seguenti fatti è più probabile? (A) Ottenere di fila 5,2,1,4,3,6 (B) Ottenere di fila 5 volte 6 (C) Ottenere di fila 1,2,3,4,5,6 (D) Ottenere di fila 6 volte 1 (E) Ottenere di fila 1,1,2,2,3,3 Se lancio un fissato numero di volte un dado non truccato, tutte le sequenze di uscite hanno la stessa probabilità: non c'è motivo per cui, facendo 3 lanci, 333 sia meno probabile di, ad es., 524. Nel nostro caso il fatto più probabile è (b) in quanto si tratta di una sequenza tra tutte le possibili (e tra loro equiprobabili) sequenze di 5 uscite; tutte gli altri fatti sono meno probabili: si tratta di una sequenza tra tutte le possibili sequenze di 6 uscite, che sono molte di più (sono 6 volte la quantità delle sequenze di 5 uscite: la probabilità di B è 6 volte la probabilità di ciascuno degli altri eventi). Se lancio un fissato numero di volte un dado non truccato, tutte le sequenze di uscite hanno la stessa probabilità: non c'è motivo per cui, facendo 3 lanci, 333 sia meno probabile di, ad es., 524. Nel nostro caso il fatto più probabile è (b) in quanto si tratta di una sequenza tra tutte le possibili (e tra loro equiprobabili) sequenze di 5 uscite; tutte gli altri fatti sono meno probabili: si tratta di una sequenza tra tutte le possibili sequenze di 6 uscite, che sono molte di più (sono 6 volte la quantità delle sequenze di 5 uscite: la probabilità di B è 6 volte la probabilità di ciascuno degli altri eventi).

21 Probabilità Difficoltà degli studenti nella comprensione della probabilità: Difficoltà degli studenti nella comprensione della probabilità: È diffusa lidea che una successione "regolare" di uscite sia più improbabile di una uscita meno regolare. Esercizi di questo genere sono assai utili per mettere in luce le misconcezioni e aprire con gli alunni momenti di discussione su di esse. È diffusa lidea che una successione "regolare" di uscite sia più improbabile di una uscita meno regolare. Esercizi di questo genere sono assai utili per mettere in luce le misconcezioni e aprire con gli alunni momenti di discussione su di esse. Si mostreranno quindi le differenti definizioni di probabilità (classica e frequentista), mostrandone altresì i limiti Si mostreranno quindi le differenti definizioni di probabilità (classica e frequentista), mostrandone altresì i limiti

22 Probabilità Si introduce il concetto di variabile aleatoria (grandezza che può assumere valori differenti in modo imprevedibile).Esempi: il numero di teste che si presentano lanciando n monete, la velocità di unauto in un determinato istante, il n° dei centri di un bersaglio nel tiro al piattello su n colpi, il n° di carte di cuori estraibili da un mazzo di 40,con o senza reinserimento la statura di una persona Si introducono quindi i concetti di: variabili aleatorie discrete -possono assumere solo determinati valori variabili aleatorie continue -assumono qualsiasi valore entro un certo intervallo Per definire in modo esauriente una variabile aleatoria è necessario definire sia i valori che la grandezza può assumere sia con quale probabilità può assumere tali valori, ovvero si deve definire la sua distribuzione di probabilità (funzione di probabilità)

23 Probabilità 1. Si introducono esempi di variabili aleatorie discrete (evidenziando come discreto non implichi finito) 2. Si procede ad una loro rappresentazione grafica (istogrammi) Esempio: di distribuzione di probabilità discreta: binomiale (prob. di ottenere x successi in n prove indipendenti) 3. Analogamente e specularmente a quanto osservato con riferimento alle distribuzioni di frequenza di fenomeni statistici, si procede al passaggio al continuo anche per le variabili aleatorie. In particolare si fa notare attraverso esempi opportuni con lausilio di software (ad esempio Stat o Excel) come, aumentando il numero delle prove effettuate, listogramma sperimentale converga ad una distribuzione teorica continua, come ad es. la gaussiana o uniforme In particolare si fa notare attraverso esempi opportuni con lausilio di software (ad esempio Stat o Excel) come, aumentando il numero delle prove effettuate, listogramma sperimentale converga ad una distribuzione teorica continua, come ad es. la gaussiana o uniforme Si vuole anche evidenziare come esistano fenomeni che presentano andamento continuo irregolare (es.: peso degli individui), non rappresentabili mediante distribuzione gaussiana o uniforme Si vuole anche evidenziare come esistano fenomeni che presentano andamento continuo irregolare (es.: peso degli individui), non rappresentabili mediante distribuzione gaussiana o uniforme

24 Probabilità ESEMPIO: altezza di una popolazione di individui ESEMPIO: altezza di una popolazione di individui Si può mostrare come listogramma sperimentale sia ben approssimabile dalla distribuzione gaussiana teorica, avente media e varianza della popolazione in esame. Si può mostrare come listogramma sperimentale sia ben approssimabile dalla distribuzione gaussiana teorica, avente media e varianza della popolazione in esame. Note media e varianza, e possibile calcolare la probabilita che laltezza degli individui sia compresa in un certo intervallo Note media e varianza, e possibile calcolare la probabilita che laltezza degli individui sia compresa in un certo intervallo

25 Probabilità Larea sottesa alla curva in un certo intervallo Larea sottesa alla curva in un certo intervallo In statistica : rappresenta la percentuale, ovvero la frequenza relativa, di soggetti aventi carattere con valori in tale intervallo In statistica : rappresenta la percentuale, ovvero la frequenza relativa, di soggetti aventi carattere con valori in tale intervallo In probabilità: rappresenta la probabilità che levento assuma valori in tale intervallo. Tale area, ovvero la probabilità, potrà essere calcolata tramite In probabilità: rappresenta la probabilità che levento assuma valori in tale intervallo. Tale area, ovvero la probabilità, potrà essere calcolata tramite 1. calcolo integrale 2. qualora trattasi di particolari distribuzioni, quale la gaussiana uso di tavole o, piu opportunamente, tramite calcolatrice o software 3. qualora trattasi di distribuzione uniforme geometria (area rettangolo) Il passo conclusivo può essere quello di passare al concetto di inferenza, mostrando come, nota la distribuzione del campione, sia possibile passare alla distribuzione della popolazione con un certo livello di confidenza (stima) Il passo conclusivo può essere quello di passare al concetto di inferenza, mostrando come, nota la distribuzione del campione, sia possibile passare alla distribuzione della popolazione con un certo livello di confidenza (stima)

26 Conclusioni Tipologie di difficoltà incontrabili dai discenti: 1) 1)difficoltà a distinguere il concetto di carattere da quello di frequenza 2) 2)difficoltà a raggruppare opportunamente i dati in classi 3) 3)difficoltà riscontrabili nel passaggio dal discreto al continuo relative alla non consapevolezza dell importanza della numerosità del campione, (in quanto solo con popolazioni ampie vale la legge dei grandi numeri e la convergenza della distribuzione discreta verso quella continua) 4) 4)difficoltà tipica del pensiero probabilistico, ovvero l'idea che una successione "regolare" di uscite sia più improbabile di una uscita meno regolare 5) 5)difficoltà di comprensione della differenza fra fenomeno statistico ed evento aleatorio 6) 6)In generale, difficoltà legate ad un atteggiamento di pensiero, che potrebbero condizionare la vita sociale molto di piu rispetto ai tradizionali concetti matematici


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