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Metodi numerici per lo studio di sistemi multicorpo V. Lorenzi Dipartimento di Progettazione e Tecnologie Università degli Studi di Bergamo Facoltà di.

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1 Metodi numerici per lo studio di sistemi multicorpo V. Lorenzi Dipartimento di Progettazione e Tecnologie Università degli Studi di Bergamo Facoltà di Ingegneria

2 Esempi di sistemi multibody

3

4 Cos’è un sistema multicorpo: È un insieme di due o più corpi collegati tra loro in modo che sia conservata la possibilità di moto relativo F M

5 Schema della presentazione Struttura, vincoli e gradi di libertà nei sistemi multibody Tipi di coordinate Classi di problemi Cenni sull’ integrazione tra FEM e multibody

6 Un sistema multicorpo può essere a catena aperta … o a catena chiusa Struttura di un sistema multicorpo

7 Giunti e gradi di libertà I corpi sono collegati tra loro tramite giunti… I gradi di libertà corrispondono al numero di coordinate indipendenti che definiscono la posizione del sistema. Formula di Gruebler: dof=6*n_corpi-nv

8 Giunti e gradi di libertà …si scambiano azioni tramite elementi elastici, viscosi… Alcuni vincoli legano tra loro solo le velocità (o le variazioni delle coordinate)

9 Vincoli anolonomi La ruota ha 4 gdl: 2 gdl per il centro e due rotazioni. Le 2 eq. di vincolo legano le velocità, ma non riducono i gradi di libertà.

10 Tipi di coordinate Per definire la posizione si puo’ usare un set di coordinate indipendenti o un set esteso di coordinate dipendenti legate da equazioni di vincolo Un programma “general purpose” utilizza il medesimo set: coordinate relative coordinate cartesiane coordinate naturali Un programma dedicato può utilizzare formulazioni miste

11 Coordinate relative Vediamo un esempio di uso di coordinate relative per un quadrilatero articolato 3 coordinate, 1 gdl, perciò 2 equazioni di vincolo

12 Coordinate cartesiane Ed ora cartesiane.. 9 coordinate, 1 gdl, perciò 8 equazioni di vincolo…

13 Coordinate relative in 3D Molto usata la notazione di Denavit e Hartenberg, con matrici omogenee 4x4

14 Matrici omogenee A [3x3] definisce l’orientamento del corpo R[3x1] la posizione dell’origine della terna Si hanno a disposizione 9+3 equazioni tra loro dipendenti

15 Coordinate cartesiane in 3D Nel caso 3D si usano le coordinate di un punto e l’orientamento. Per definire l’orientamento vengono usati gli angoli di Eulero, di Cardano (3 parametri indipendenti) o set di 4 coordinate dipendenti (parametri di Rodriguez- Hamilton, quaternioni, asse di rotazione finita) Le equazioni di vincolo sono in generale del tipo:

16 Coordinate relative Vantaggi : ridotto numero di coordinate adatte a catena aperte facilità nell’imporre moti relativi nei giunti Svantaggi: la posizione di un elemento dipende da tutti quelli precedenti equazioni di vincolo e matrice di massa “piene” devono essere individuati anelli indipendenti

17 Coordinate cartesiane Vantaggi: la posizione di ciascun corpo è determinata direttamente equazioni di vincolo e matrice di massa “sparse” uniformità nel trattare catene aperte o chiuse Svantaggi: numero elevato (dipende dal problema) “difficoltà” nell’imporre moti relativi ai giunti

18 Classi di problemi Analisi cinematica Studio del movimento di un sistema multicorpo a prescindere dalle forze agenti Analisi dinamica Studio del movimento di un sistema multicorpo in relazione alle forze agenti Sintesi cinematica e dinamica Progetto di un sistema multicorpo che soddisfa “criteri” cinematici o dinamici

19 Approccio numerico-simbolico I programmi per l’analisi di sistemi multicorpo possono formulare le equazioni in forma: Simbolica Vantaggi: rapidità, possibilità di costruire applicazioni stand-alone. Difficoltà nel gestire “eventi” Numerica Vantaggi: generalità

20 Cinematica-Assemblaggio Con n coordinate q e m equazioni di vincolo si possono imporre n-m valori iniziali

21 Cinematica Analisi di posizione e simulazione cinematica Consente di esaminare il posizionamento del meccanismo, individuare collisioni, determinare gli angoli di pressione etc.

22 Cinematica Accelerazione: nota l’accelerazione dei moventi determinare l’accelerazione del sistema Velocità: nota la velocità dei moventi determinare la velocità del sistema: Sono problemi lineari nelle velocità e accelerazioni. Se il sistema ha n coord q, m eq. di vincolo devono essere assegnate n-m=f posizioni, velocità ed accelerazioni

23 Cinematica Nel piano il quadrilatero ha 3x3-4x2=1gdl In 3D il quadrilatero ha 3x6-4x5=-2gdl ! Si eliminano i vincoli sovrabbondanti o si risolve il problema nel senso dei minimi quadrati Vincoli sovrabbondanti:

24 Dinamica L=T-V=Lagrangiana T=Energia cinetica del sistema, V=energia potenziale, Q ex =carico generalizzato =moltiplicatori di Lagrange  reazioni vincolari Equazioni di moto: approccio Lagrangiano per un sistema vincolato con coordinate dipendenti n+m equazioni in n+m incognite

25 Equazioni di moto y x q

26 1 2 x y Ad es. la prima equazione risulta semplicemente: l1l1 l2l2

27 Equazioni di moto In generale le equazioni di moto sono nella forma: Dinamica diretta: noti i carichi le equazioni forniscono i valori di accelerazione e i moltiplicatori di Lagrange.

28 Equazioni di moto Dinamica inversa noto il movimento le equazioni forniscono i valori delle reazioni vincolari e le “coppie”ai giunti. I carichi possono poi essere utilizzati per il dimensionamento o la verifica dei membri

29 Equazioni di moto La … posizione di equilibrio statico si trova risolvendo il sistema nonlineare in q e, ottenuto ponendo q’ e q”=0 Le equazioni di moto possono essere poi linearizzate attorno alla posizione di equilibrio. Il sistema linearizzato fornisce le frequenze proprie, i modi di vibrare del sistema. Ne risulta anche un “blocco” lineare che può essere utilizzato nella sintesi di un controllore o nell’analisi di stabilità.

30 Sintesi Mecc. generatore di funzioneMecc. generatore di traiettorie Equazioni di vincolo Relazioni funzionali

31 Elementi flessibili Elementi flessibili vengono modellati a EF Gli spostamenti u dei nodi, dovuti alla flessibilità, vengono definiti tramite un set ridotto di coordinate q f e di “modi”, ottenuti dai modi “statici” e da una analisi modale u=Nq f

32 Elementi flessibili R u 0 +u f r … e con approccio Lagrangiano si ottengono le equazioni di moto…

33 FEM MBS Stress Elementi flessibili

34 Conclusioni I modelli, per quanto raffinati, rimangono sempre tali: deve essere sempre verificata la corrispondenza tra modello e realtà. Fattori trascurati nel modello possono essere invece importanti. Bisogna mantenere il senso fisico del fenomeno. La parte sperimentale di verifica dei risultati non va trascurata.


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