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LA STORIA COSA SONO APPARTENENZA E NON APPARTENENZAAPPARTENENZA E NON APPARTENENZA RAPPRESENTAZIONE DI UN INSIEME SOTTOINSIEMI LE OPERAZIONI.

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3 LA STORIA COSA SONO APPARTENENZA E NON APPARTENENZAAPPARTENENZA E NON APPARTENENZA RAPPRESENTAZIONE DI UN INSIEME SOTTOINSIEMI LE OPERAZIONI

4 LA STORIA Il concetto di insieme è sicuramente nato con luomo,si pensi a un insegnante che si rivolge agli alunni della propria classe come ad un unico soggetto. –Per una teoria organica bisogna giungere però a Georg Cantor ( ) matematico tedesco di origine russa, il quale intorno al 1870 fornì una trattazione sistematica della teoria degli insiemi e solo nel 1895 pubblicò lopera «I CONTRIBUTI A UNA FONDAZIONE TRASFINITA DEGLI INSIEMI». In essa Cantor afferma che non ha importanza la natura degli elementi con cui si opera bensì le leggi delle operazioni a caratterizzare linsieme risultato. –Gli studi di Cantor diedero origine alla cosiddetta teoria ingenua degli insiemi che però non era priva di contraddizioni. –Il primo a mettere in evidenza tali contraddizioni fu il matematico e filosofo inglese Bertrand Russel ( ), con lui comincia il cosiddetto periodo della crisi dei fondamenti della matematica che però fu superato grazie a studi successivi che limitavano e precisavano i criteri per comprendere un insieme. –Agli inizi del 1900 Ernst Zermelo ( )sviluppava una nuova teoria detta assiomatica che superava le contraddizioni della teoria ingenua e che è ancora oggi attuale.

5 COSA SONO

6 Pare che una volta CANTOR per far conoscere la propria concezione degli insiemi abbia esclamato, guardando verso linfinito: «Io mi raffiguro un insieme come un abisso»

7 DEDEKIND, invece, si raffigurava un insieme come un sacco chiuso che contenesse degli oggetti determinati, che non si potevano né vedere, né conoscere salvo il fatto che erano determinati.

8 UN GRUPPO DI NAVI FORMA UNA «FLOTTA» UN GRUPPO DI UCCELLI IN VOLO É CHIAMATO «STORMO»

9 …QUINDI UN INSIEME È UNA COLLEZIONE DI OGGETTI, CONSIDERATI NELLA LORO GLOBALITÀ

10 Gli oggetti, le persone, ecc. che formano un insieme si definiscono elementi. Essi devono essere riconoscibili e distinti fra loro.

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12 Stabilisci quali delle seguenti frasi individuano un insieme I libri di una biblioteca I ragazzi studiosi Gli uomini alti I giorni della settimana SI NO

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14 Forse non hai capito il concetto. Rivedilo e poi riprova.

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16 APPARTENENZA E NON APPARTENENZA Indicheremo, in generale, gli insiemi con le lettere maiuscole A, B, C….. e gli elementi con quelle minuscole: a, b, c….. Per affermare che S è un insieme e a un suo elemento useremo i simboli e Il primo per indicare che a appartiene a S e il secondo per indicare che non vi appartiene.

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18 Dato linsieme A = { 2, 3, 5, 7 } indica quali delle seguenti affermazioni sono vere o false: a) 2 A V F V F b) c A V F V F c) 3 A V F V F d) 4 A V F V F

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20 Forse non hai capito il concetto. Rivedilo e poi riprova.

21 RAPPRESENTAZIONE DI UN INSIEME TABULARE GRAFICA PER CARATTERISTICA

22 La rappresentazione tabulare consiste nellelencare se possibile tutti gli elementi di un insieme. Per esempio linsieme A delle lettere della parola mare è: A = { m, a, r, e }

23 La rappresentazione grafica consiste nellindicare gli elementi di un insieme con punti interni a una linea piana chiusa e non intrecciata.Tale rappresentazione si deve al logico inglese VENN che ideò il metodo più originale, anche se altri come EULERO e LEIBNIZ avevano utilizzato questa tecnica soprattutto per la sua efficacia didattica..a.b.c

24 La rappresentazione caratteristica consiste nello specificare un certo numero di proprietà, che servano a decidere, in modo inequivocabile, quali elementi appartengano allinsieme considerato e quali non vi appartengano. Linsieme A = { 4, 5, 6, 7 } ha la seguente rappresentazione caratteristica: A ={x|x N e 3 < x < 8}

25 SOTTOINSIEMI

26 Sottoinsiemi di un insieme Dati due insiemi A e B si dice che B è sottinsieme di A se tutti gli elementi di B appartengono anche ad A. Si dice anche che B è incluso in A e si scrive : B A Oppure che A include B e si scrive: A B. A B

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28 Considera gli insiemi A = {1,2, 3, 4}, B = {1,2}, C = {2,5}. Quali delle seguenti affermazioni sono vere e quali false? a.A B V F V F b.B C V F V F c.B = C V F V F d.B A V F V F

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30 Forse non hai capito il concetto. Rivedilo e poi riprova.

31 LE OPERAZIONI INTERSEZIONE UNIONE DIFFERENZA PRODOTTO CARTESIANO

32 INTERSEZIONE Dati due insiemi A e B, si dice loro intersezione linsieme C i cui elementi appartengono sia ad A che a B. Per indicare che C è lintersezione di A e B si scrive: C = A B A B

33 Può capitare che due insiemi non abbiano elementi comuni, ad esempio gli insiemi P = {a, b, c, d} e Q = { r, s, t}; in questo caso lintersezione dei due insiemi è linsieme vuoto e si dice che i due insiemi sono disgiunti. I due insiemi si rappresentano separatamente.. a. b.c.d.r.s.t P Q

34 LUNIONE Dati due insiemi A e B, si dice loro unione linsieme D i cui elementi appartengono ad A oppure a B. Per indicare che D è lunione di A e B si scrive: D = A B A B D

35 LA DIFFERENZA Dati due insiemi A e B, si dice insieme differenza A – B linsieme degli elementi di A che non appartengono a B. Quando B è un sottinsieme di A, allora linsieme differenza viene anche detto insieme complementare di B rispetto ad A..e.f.g.a.b.c.d A – B = {a,c} A B A – B B – A

36 PRODOTTO CARTESIANO COPPIE ORDINATE PRODOTTO CARTESIANO

37 Coppie ordinate Per coppia ordinata si intende un insieme di due elementi nei quali è fissato chi deve essere il primo e chi il secondo. Se i due elementi della coppia sono x e y, si scrive (x,y), se x è il primo elemento e y il secondo; (y,x), se y è il primo elemento e x il secondo.

38 PRODOTTO CARTESIANO Dati due insiemi A e B non vuoti, si chiama prodotto cartesiano A B = {( x,y) | x A e y B }. Si può rappresentare in vari modi,i più comuni sono: per elencazione, i diagrammi di Venn, le tabelle a doppia entrata.per elencazionediagrammi di Venntabelle a doppia entrata.

39 Dati gli insiemi A = {1, 2, 3} e B = {a, b} A B = {( 1,a), (1,b), (2,a), (2,b), (3,a), (3,b)}

40 Dati gli insiemi A = {1, 2, 3} e B = {a, b} a. b A B. (1,a). (1,b). (2,a). (2,b). (3,a). (3,b) A B

41 Dati gli insiemi A = {1, 2, 3} e B = {a, b} A B 12 3 a b ( 1, a )( 2, a )( 3, a ) ( 1, b)( 2, b )( 3, b )


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