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Università degli Studi di Tramo Facoltà di Scienze della Comunicazione Università degli Studi di Tramo Facoltà di Scienze della Comunicazione La Dimensione:

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1 Università degli Studi di Tramo Facoltà di Scienze della Comunicazione Università degli Studi di Tramo Facoltà di Scienze della Comunicazione La Dimensione: tra immaginazione e realtà Master Universitario di I livello Comunicazione e Divulgazione Scientifica Direttore del Corso Ch.mo Prof. Franco Eufeni Candidata Dott.ssa Antonietta Esposito Relatore Prof. Ferdinando Casolaro

2 La Dimensione

3 Il punto ha dimensione 0 La linea ha dimensione 1 La superficie ha dimensione 2 Il solido ha dimensione 3

4 La IV Dimensione

5 Nessuno è in grado di indicare la quarta dimensione, eppure essa ci circonda. La quarta dimensione è una direzione diversa da tutte le direzioni dello spazio normale. Alcuni dicono che la quarta dimensione è costituita dal tempo e, in un certo senso, questo è vero. Altri affermano che la quarta dimensione è una direzione dell' iperspazio affatto diversa dal tempo... e anche questo è vero. La IV Dimensione Rudy Rucker

6 E stata la totalità delle esperienze derivanti dal mondo a noi circostante a motivare lestensione delle conoscenze geometriche dalla II alla III dimensione, ma poco o nulla a suggerire lo studio degli spazi a più di tre dimensioni. Ciò tuttavia è irrilevante. Infatti, se la geometria è debitrice al mondo esterno per il suo sviluppo, ne è anche logicamente indipendente. La geometria è una creazione della mente umana e solo incidentalmente e fortuitamente è un riflesso del mondo delle esperienze fisiche... La IV Dimensione C. R. Wylie Jr

7 Una sfera fa visita ad un quadrato Buongiorno signor Quadrato!!! Un essere bidimensionale, come un quadrato, non vede la sfera che aleggia lungo la terza dimensione, e sentendone la voce crede di essere ammattito!!! La sfera non contenta di essere considerata unaberrazione psicologica, decidere di entrare nel mondo piatto… Un essere tridimensionale nel mondo piatto esiste solo parzialmente!!

8 Intersezione di una sfera con un piano Quando un essere tridimensionale tocca il suolo di lui si vede solo il punto di contatto con il terreno. Via via che la sfera scivola sul piano si vedono apparire figure dal nulla. Il quadrato conclude che MATTO!!!

9 La sfera non soddisfatta, afferra il quadrato e lo porta in una misteriosa dimensione: SOPRA ! Alla scoperta della III Dimensione

10 Immaginiamo che esistano esseri dotati di ragione, bidimensionali, viventi, e moventesi sulla superficie di uno dei nostri corpi solidi e che non possano percepire alcunché fuori di questa superficie. Se tali esseri costruissero la loro geometria, attribuirebbero naturalmente al loro spazio due sole dimensioni (1870) H. von Helmovitz

11 Analogia Platone, VII Libro – La Repubblica

12 Donna, Soldato, Operaio, Mercante, Professionista, Gentiluomo, Nobile, Gran Circolo (Sacerdote) Flatlandia

13 In Una Dimensione - osserva il Quadrato - un Punto in movimento genera una Linea con due Punti terminali. Analogia 2,4,8: non è una Progressione Geometrica? Allora in Quattro Dimensioni, un Cubo in movimento darà origine, per lAnalogia, a un Organismo più divino con sedici Punti terminali In Due dimensioni, una Linea in movimento genera un Quadrato con quattro Punti terminali In Tre Dimensioni, un Quadrato in movimento genera - e questo mio occhio lha contemplato - quell'Essere benedetto, un Cubo, con otto Punti terminali

14 Oh mio Signore – afferma il Quadrato rivolto alla Sfera – …conducetemi in quella regione benedetta, (Thoughtlandia ) dove io con il Pensiero vedrò linterno di ogni cosa solida! Analogia E una volta colà, vorremo arrestare il corso della nostra ascesa? In quella beata regione a Quattro Dimensioni, indugeremo forse sulla soglia della Quinta, e non vi entreremo?

15 Una rappresentazione dello spazio a quattro dimensioni

16 Punto Dimensioni: 0 Vertici: 1 traslazione t 01 Segmento Dimensioni: 1 Vertici: 2 Spigoli: 1 Da 0-Dim a 1-Dim

17 Segmento Dimensioni: 1 Vertici: 2 Spigoli: 1 traslazione t 12 Quadrato: Dimensioni: 1 Vertici: 4 Spigoli: 4 Facce: 1 Da 1-Dim a 2-Dim

18 Quadrato: Dimensioni: 1 Vertici: 4 Spigoli: 4 Facce: 1 Cubo Dimensioni: 3 Vertici: 8 Spigoli: 12 Facce: 6 Cubi: 1 traslazione t 23 Da 2-Dim a 3-Dim

19 traslazione Ipercubo Dimensioni: 4 Vertici: 16 Spigoli: 32 Facce: 24 Cubi: 8 Ipercubi: 1 t 34 Da 3-Dim a 4-Dim Cubo Dimensioni: 1 Vertici: 8 Spigoli: 12 Facce: 6 Cubi: 1

20 Proiezione tridimensionale dellipercubo Ipercubo

21 p k : numero vertici (0-dim) del k-cubo s k : numero spigoli (1-dim) del k-cubo f k : numero facce (2-dim) del k-cubo c k : numero cubi (3-dim) del k-cubo Generalizzazione

22 Con un po di pazienza… … e con un po di intuito Dim. k-cubop k s k f k c k …………… Generalizzazione

23 Allora la nostra congettura diventa: k \ i ……………………………… Inizializzazione: punto segmento quadrato cubo ipercubo supercubo fantacubo extracubo specialcubo elefancubo kilocubo Generalizzazione

24 Calcoliamo: k \ i ………………………………… k k è uguale a 1, per ogni k Teorema

25 Il teorema può essere generalizzato. Allora vale la formula: Caso particolare: k=3 Ossia: Vertici – spigoli + facce = 2 (formula di Euler per i poliedri) Teorema

26 Rappresentare uno spazio a quattro dimensioni

27 Rappresentiamo lIpercubo Utilizzando lANALOGIA vi sono 2 Modalità.

28 Il Cubo Un cubo, schematizzato da un fil di ferro, visto da vicino appare come un quadrato piccolo contenuto in quadrato più grande.

29 Ipercubo Lipercubo può essere rappresentato disegnando due cubi concentrici con tutti i vertici uniti da linee. Lidea è che il cubo più piccolo si trovi più lontano, lungo la quarta dimensione Thomas Banchoff

30 Ipercubo Pierelli 1974

31 Sviluppo di un cubo Esistono 11 modi per sviluppare un cubo!

32 Sviluppo di un ipercubo

33 S. Dalì - Corpus Hypercubicus

34 Muoversi in uno spazio a quattro dimensioni

35 Come si percepirebbe il mondo tridimensionale muovendosi nelliperspazio? Allo stesso modo di come noi esseri 3D possiamo vedere tutti e quattro i lati di un quadrato e tutti i particolari del suo interno, allo stesso modo un essere 4D riuscirebbe a vedere con un solo colpo docchio ogni centimetro del nostro corpo, interno ed esterno

36 Destra o Sinistra? Il profilo di una mano disegnata su una lastra di vetro può essere sia destra che sinistra. Basta effettuare una rotazione nello spazio 3D! Nello sapzio 3D ogni figura piana può essere trasformata nella sua speculare mediante una Rotazione. Analogamente mediante una rotazione nello spazio 4D è possibile trasformare una figura solida nella sua immagine speculare.

37 Cubo di Necker Figura ambigua che dà origine a un'inversione di profondità permettendo due prospettive orientate in direzioni diverse. Ecco un esempio di rotazione 4D

38 Il tempo come IV dimensione

39 Spazio - Tempo Introdotto da Einstein lUniverso piatto (modello euclideo) è un Universo vuoto e privo di materia, in quanto la presenza di materia introduce una curvatura nello spazio. Spazio-tempo quadridimensionale (x, y, z, t) di Minkovsky l'insieme dei punti-eventi (x, y, z, t) definisce un continuo a quattro dimensioni che rappresenta uno spazio geometrico.

40 Spazio – Tempo di Minkovsky per t = 0 (ovvero t = costante), si ha l'iperpiano, che è lo spazio geometrico euclideo tridimensionale, in cui valgono le leggi della cinematica classica; se invece è costante una delle coordinate x, y, z, si hanno iperpiani di che caratterizzano modelli cinematici relativistici su, che è l'analogo del piano euclideo

41 Conclusioni la geometria non si può astrarre dallevoluzione fisica!!


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