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PROPRIETÀ DEI DETERMINANTI
A matrice quadrata di ordine n Prop. 1 Se in A tutti gli elementi di una riga o colonna sono nulli det A=0
2
Se scambiando tra di loro due righe (o due colonne) di A
Prop. 2 Se scambiando tra di loro due righe (o due colonne) di A il determinante cambia segno Scambiando tra di loro le prime due righe di A
3
Se in A due righe (o due colonne) sono uguali o proporzionali
det A=0 la seconda colonna è il doppio della prima le prime due righe sono uguali
4
Moltiplicando per k = 2 tutti gli elementi della prima riga
Prop. 4 Se in A si moltiplicano tutti gli elementi di una riga (o colonna) per uno stesso numero k non nullo det A' = k det A Moltiplicando per k = 2 tutti gli elementi della prima riga
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Prop. 5: Teorema della trasposta
Se in A si scambiano tra di loro le righe con le colonne det AT = det A Considerando la trasposta di A
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Se A è una matrice triangolare (superiore od inferiore)
Prop. 6 Se A è una matrice triangolare (superiore od inferiore) det A = a11 a22 a33 … ann triangolare superiore triangolare inferiore
7
Alla prima riga aggiungiamo la seconda moltiplicata per k = 5
Prop. 7 Se in A a tutti gli elementi di una riga (o colonna) si aggiungono i corrispondenti elementi di un’altra riga o colonna, anche moltiplicati per uno stesso numero k non nullo det A' = det A Alla prima riga aggiungiamo la seconda moltiplicata per k = 5
8
N.B.! La Prop. 7 risulta molto utile nel calcolo dei determinanti di matrici di ordine superiore al quarto: consente, infatti, di trasformare il determinante dato in uno di egual ordine, avente, però, una riga o una colonna con un numero di zeri maggiore rispetto a quelli presenti nella matrice assegnata
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Alla seconda riga togliamo la prima
Alla terza riga togliamo la prima moltiplicata per 2
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Alla quarta riga togliamo la prima moltiplicata per 5
+ + det A det A''' fissando la prima colonna (è quella con un maggior numero di zeri!!!)
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