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An determinante A Ad ogni matrice quadrata A di ordine n risulta sempre possibile associare un numero reale che chiameremo determinante di A AnAnAnAn det.

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1 An determinante A Ad ogni matrice quadrata A di ordine n risulta sempre possibile associare un numero reale che chiameremo determinante di A AnAnAnAn det A = |A| A 1 = (a 11 ) det A 1 = |A 1 | = a 11 A 1 = (2) det A 1 = |A 1 | = det A 1 = |A 1 | = 2 Determinanti del primo ordine n=1n = 1n=1n = 1

2 Determinanti del secondo ordine det A 2 = |A 2 | = a 11 a 22 a 12 a 21 det A 2 = |A 2 | = === = (1)( 1) (1)(3) = 1 3 = 4 = det A 2 = |A 2 | = === = (4)(0) (1)(3) = 0 3 = 3 = n=2n = 2n=2n = 2

3 Metodo di Sarrus Determinanti del terzo ordine = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 +a 13 a 21 a 32 + (a 13 a 22 a 31 + a 11 a 23 a 32 + a 12 a 21 a 33 ) = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 +a 13 a 21 a 32 + (a 13 a 22 a 31 + a 11 a 23 a 32 + a 12 a 21 a 33 ) det A 3 = |A 3 | = Prima regola pratica! A A A Prima regola pratica! Per calcolare il determinante di una matrice A basta riscrivere, accanto alla matrice A, le prime due colonne di A e poi sommare tra di loro i prodotti degli elementi che si trovano sulle diagonali principali a cui vanno sottratti tutti i prodotti degli elementi situati sulle diagonali secondarie n=3n = 3n=3n = 3

4 (1)(7)(3) det A 3 = |A 3 | = = = == = = = [ ] = = = 87 + (3)(4)(6) + (5)(2)(8) + (5)(7)(6) [ + (1)(4)(8) + (3)(2)(3) = ] = = (3)(4)(5) = det A 3 = |A 3 | = == = = = [ ] = = 37 [ 104] = (2)(2)(3) + ( 1)( 5)( 7) + ( 1)(4)(3) [ + (3)(2)( 7) + (2)( 5)(5) = ] = = =

5 An complemento algebrico A Data una matrice quadrata A di ordine n si definisce complemento algebrico A ij dellelemento generico a ij della matrice A il minore complementare di a ij, preso con il segno positivo o negativo a seconda che i+j sia rispettivamente pari o dispari A ij = ( 1) i+j A ij An minore complementare A sottomatrice A Data una matrice quadrata A di ordine n si definisce minore complementare A ij dellelemento generico a ij della matrice A il determinante della sottomatrice ottenuta da A cancellando la i-esima riga e la j-esima colonna

6 è il minore complementare di a 11 =1 = (21 32) = 11 A 11 = è il minore complementare di a 12 =3 = (6 24) = 18 A 12 = è il minore complementare di a 13 =5 =(16 42)= 26 A 13 =

7 è il minore complementare di a 21 =2 = (9 40) = 31 A 21 = è il minore complementare di a 22 =7 = (3 30) = 27 A 22 = è il minore complementare di a 23 =4 = (8 18) = 10 A 23 = è il minore complementare di a 31 =6 = (12 35) = 23 A 31 = è il minore complementare di a 32 =8 = (4 10) = 6 A 32 = è il minore complementare di a 33 =3 = (7 6) =+ 1 A 33 =

8 è il complemento algebrico di a 11 =1 +(21 32)= 11 A 11 = ( 1) i+j A ij = ( 1) 1+1 A 11 = è il complemento algebrico di a 12 =3 (6 24)= + 18 A 12 = ( 1) i+j A ij = ( 1) 1+2 A 12 = è il complemento algebrico di a 13 =5 +(16 42)= 26 A 13 = ( 1) i+j A ij = ( 1) 1+3 A 13 =

9 è il complemento algebrico di a 21 =2 (9 40)= +31 A 21 = ( 1) i+j A ij = ( 1) 2+1 A 21 = è il complemento algebrico di a 22 =7 +(3 30)= 27 A 22 = ( 1) i+j A ij = ( 1) 2+2 A 22 = è il complemento algebrico di a 23 =4 (8 18)=+10 A 23 = ( 1) i+j A ij = ( 1) 2+3 A 23 = è il complemento algebrico di a 31 =6 +(12 35)= 23 A 31 = ( 1) i+j A ij = ( 1) 3+1 A 31 = è il complemento algebrico di a 32 =8 (4 10)=+6 A 32 = ( 1) i+j A ij = ( 1) 3+2 A 32 = è il complemento algebrico di a 33 =3 +(7 6)= +1 A 33 = ( 1) i+j A ij = ( 1) 3+3 A 33 =

10 Am n minore estratto A A m–i = n–j Data una qualunque matrice A di ordine m n si definisce minore estratto dalla matrice A il determinante ottenuto da A cancellando i righe e j colonne in modo tale che risulti m–i = n–j Ogni elemento di una qualunque matrice rappresenta un minore del primo ordine N.B.! Data una qualunque matrice rettangolare A di ordine m n risulta sempre possibile calcolare i suoi minori aventi per ordine il più piccolo tra i numeri m ed n

11 sono i minori estraibili da A del secondo ordine n = 2 < m = 3 sono i minori estraibili da A del primo ordine |1|, |2|, |3|, |5|, |7|, |9| m = 2 < n = 3 sono i minori estraibili da A del secondo ordine |1|, |2|, |3|, |2|, | 1|, |0| sono i minori estraibili da A del primo ordine

12 m = 3 < n = 4 sono tutti i minori estraibili da A del terzo ordine sono solo alcuni minori estraibili da A del secondo ordine

13 A nn Per calcolare il determinante di una matrice A di ordine n 3 (n = 3, 4, 5, 6, …) occorre fissare una riga (o colonna) a proprio piacere e poi sommare i prodotti degli elementi di tale riga (o colonna) per i rispettivi complementi algebrici

14 Seconda regola pratica! A nn Seconda regola pratica! Per calcolare il determinante di una matrice A di ordine n 3 (n = 3, 4, 5, 6, …) si procede come segue: Metodo di LAPLACE si sommano i prodotti ottenuti moltiplicando gli elementi della riga (o colonna) scelta per i propri minori complementari si fissa a priori una riga (o una colonna) a proprio piacere si applica la regola dei segni (si parte sempre dallelemento a 11, a cui va attribuito il segno positivo; si procede, per righe e per colonne, mai per diagonali, a segni alterni; il procedimento si arresta nel momento in cui, a ciascun elemento della riga o colonna scelta a priori, è stato attribuito un segno)

15 A nn A è una matrice quadrata di ordine n 4 (n = 4, 5, 6, …) A n A è una matrice quadrata di ordine n = 3

16 n = 3 = det A 3 = |A 3 | = 141 (cfr. slide 11) fissiamo, ad esempio, la prima riga per la regola dei segni + +

17 det A 3 = |A 3 | = = 141 N.B.! Nel caso di una matrice quadrata A di ordine n è sempre possibile calcolare il suo determinante applicando indifferentemente uno dei due metodi proposti

18 n = 4 fissiamo, ad esempio, la terza riga per la regola dei segni det A 4 =

19 Risulta ora possibile calcolare i determinanti del terzo ordine, utilizzando uno dei due metodi, in maniera del tutto arbitraria Nel caso in esame sarà sufficiente calcolare gli ultimi due determinanti di ordine 3 (gli altri sono moltiplicati per 0, quindi il risultato del prodotto sarà nullo!!!) det A 4 = = 16 N.B.! Come risulta facilmente intuibile dallesempio, nellutilizzare il metodo di Laplace conviene fissare sempre una riga (o una colonna) nella quale ci sia un maggior numero di zeri (i calcoli si semplificano!!!)


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