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METODI 2 a.a. 2007-8.

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METODI EQUAZIONI DIFFERENZIALI Funzioni che mettono in relazione una variabile indipendente ( es. x), una sua funzione ( es. y = f(x) ) e la.

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Presentazione sul tema: "METODI 2 a.a. 2007-8."— Transcript della presentazione:

1 METODI 2 a.a

2 EQUAZIONI DIFFERENZIALI
Funzioni che mettono in relazione una variabile indipendente ( es. x), una sua funzione ( es. y = f(x) ) e la derivata di quest’ultima ( es. y’ = f’ (x) ). ESEMPIO Ordine: massimo grado di derivazione che compare nell’equazione differenziale.

3 SOLUZIONI Generale Particolare
ogni equazione differenziale ha infatti infinite soluzioni che differiscono per una costante. Particolare Si ottiene applicando la condizione iniziale alla soluzione generale trovata

4 APPLICAZIONI ECONOMICHE
Considereremo sistemi DINAMICI in cui avremo: t : var. indipendente ( tempo ) x( t ): var. dipendente (var. economica che si evolve nel tempo) Variabile di stato Useremo questa notazione:

5 I SISTEMI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI NELLE APPLICAZIONI ECONOMICHE
Saggio di variazione della variabile x al variare del tempo TERMINE DI CONTROLLO “ cause del variare di x ” Se  sistema NON OMOGENEO soluzioni diverse da quella banale si può “guidare” la variabile x con opportuni interventi Altrimenti  sistema OMOGENEO ammette almeno la soluzione banale la variabile x è incontrollabile

6 SISTEMI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI OMOGENEI
(1) La cui soluzione è del tipo (2) In forma esplicita…

7 SISTEMI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI OMOGENEI
Se la (2) è soluzione del sistema  Il sistema omogeneo avrà soluzioni diverse da quella banale se:  infinite soluzioni diverse da quella banale Cercare le soluzioni non nulle del sistema equivale a cercare gli autovalori di A e gli autovettori corrispondenti EQUAZIONE CARATTERISTICA DELLA MATRICE

8 SISTEMI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI OMOGENEI
Quindi le soluzioni del sistema saranno dove 1, 2, 3, …, n sono gli autovalori e (1), (2), (3)…(n) sono gli autovettori corispondenti.

9 ESEMPIO Dato il sistema
Calcoliamo autovalori e corrispondenti autovettori di A ponendo da cui otteniamo due autovalori con molteplicità algebrica pari a 1

10 Troviamo gli autovettori associati a 1 =-1 sostituendo tale valore in
ESEMPIO Troviamo gli autovettori associati a 1 =-1 sostituendo tale valore in ottenendo  l’autovettore fondamentale è Analogamente l’autovettore fondamentale di 2 sarà

11 ESEMPIO Ponendo 1 e 2 pari a 1 le soluzioni particolari del sistema saranno dunque Per 1 Per 2

12 SOLUZIONI Se un sistema di equazioni differenziali omogeneo ammette soluzioni non nulle   infinite soluzioni perché trovatane una se ne possono ricavare infinite attribuendo a  valori arbitrari. Se  due o più soluzioni linearmente indipendenti  una qualunque loro combinazione lineare è a sua volta soluzione del sistema. Se è data una condizione iniziale  la soluzione  è unica

13 CONDIZIONI INIZIALI Se  una condizione iniziale x(t0) = x0 
la soluzione del sistema  ed è unica Si possono determinare c1 e c2 Graficamente si identifica una sola tra il fascio di possibili curve identificate dall’integrale generale. x(t) x0 t0 t

14 L’integrale generale nell’esempio precedente era
Se  la condizione iniziale in t0=o Applicando tale condizione all’integrale generale Da cui

15 ESEMPIO Sostituendo i valori trovati nell’integrale generale troviamo la soluzione particolare soluzione che: È unica Muta se cambia la condizione iniziale.

16 MATRICE FONDAMENTALE DELLE SOLUZIONI
Si ottiene affiancando i vettori delle soluzioni particolari in un sistema con due sole equazioni differenziali sarà: È quadrata perché il numero delle soluzioni è sempre uguale al numero delle equazioni del sistema.

17 MATRICE DI TRANSIZIONE
Ponendo il vettore delle costanti pari a c possiamo riscrivere l’integrale generale nel modo seguente (1) Applicando le condizioni iniziali si ricava c (2) Sostituendo la (2) nella (1) MATRICE DI TRANSIZIONE

18 MATRICE DI TRANSIZIONE
Così chiamata perché il suo effetto è quello di portare il vettore iniziale x(t0) al vettore al tempo t x (t). x(t) x(t0) t0 t t

19 La matrice fondamentale delle soluzioni è
ESEMPIO La matrice fondamentale delle soluzioni è Data la condizione iniziale La matrice di transizione allora sarà

20 PROPRIETA’ FONDAMENTALI DELLA MATRICE DI TRANSIZIONE
1). 2). x(t) x(t0) t0 t1 t t

21 PROPRIETA’ FONDAMENTALI DELLA MATRICE DI TRANSIZIONE
3). x(t) x(t0) t0 t t 4).  Anche la matrice di transizione è una soluzione del sistema

22 ESEMPIO 2 Dato il sistema con calcoliamo gli autovalori imponendo
L’equazione caratteristica diventa Le cui soluzioni sono (autovalori di A) m.a. = 2 m.a. = 1

23 Cerchiamo gli autovettori per 1 = 2= -1 risolvendo il sistema
ESEMPIO 2 Cerchiamo gli autovettori per 1 = 2= -1 risolvendo il sistema In forma matriciale n-r = 2 soluzioni, dove n ordine di (A- I) r rango di (A- I) Da cui

24 ESEMPIO 2   Se Se analogamente avremo
Prima possibile soluzione per 1 = 2= -1 Se analogamente avremo Seconda possibile soluzione per 1 = 2= -1

25 Cerchiamo ora gli autovettori per 3= 2 risolvendo il sistema
ESEMPIO 2 Cerchiamo ora gli autovettori per 3= 2 risolvendo il sistema ossia quindi, se 3 =1 Da cui possibile soluzione per 3= 2

26 La matrice fondamentale delle soluzioni sarà
ESEMPIO 2 Le tre soluzioni trovate sono linearmente indipendenti  possiamo scrivere l’integrale generale come segue La matrice fondamentale delle soluzioni sarà

27 ESEMPIO 4 Dato il sistema L’equazione caratteristica sarà
Le cui soluzioni sono (autovalori di A)

28 ESEMPIO 4 Come si può notare sono numeri complessi e coniugati.
Cerchiamo gli autovettori per 1 = i risolvendo il sistema

29 ESEMPIO 4 Si noti che per costruzione il rango di (A- I)=0 è quindi minore di 2 perciò questo sistema ha: = soluzioni Inoltre, il rango è maggiore di 0 perché non è una matrice nulla. Si evince perciò che la soluzione del sistema equivale a quella di una delle sue equazioni.

30 Perciò un autovettore associato a
ESEMPIO 4 Scegliamo la seconda: Perciò un autovettore associato a sarà:

31 ESEMPIO 4 Ponendo ad esempio si ottiene una delle possibili soluzioni del sistema dato: Qualsiasi valore assuma nel campo dei numeri reali, l’autovettore relativo a sarà sempre di tipo complesso e potrà essere scritto nella forma che separa la parte reale da quella immaginaria.

32 ESEMPIO 4 Ponendo:

33 Ora possiamo calcolare l’ autovettore corrispondente a
ESEMPIO 4 Si ha: Ora possiamo calcolare l’ autovettore corrispondente a e si ottiene: e perciò l’autovettore corrispondente analogamente a quanto fatto per l’altro valore sarà:

34 ESEMPIO 4 Questi due autovettori non sono reali, né linearmente indipendenti, caratteristiche essenziali per poter costruire l’integrale generale del sistema di equazioni dato. E’ necessario introdurre un metodo che permetta di passare da una espressione non reale ad una reale.

35 In corrispondenza dei due autovalori si trovano gli autovettori
ESEMPIO 4 Supponiamo di aver trovato due autovalori della matrice A del tipo: In corrispondenza dei due autovalori si trovano gli autovettori Con a e b vettori reali

36 ESEMPIO 4 Posto poi , le corrispondenti soluzioni del sistema di equazioni differenziali saranno:

37 Ricordando la formula di De Moivre
ESEMPIO 4 Consideriamo per ora solo la prima delle due espressioni, la si può scrivere: Ricordando la formula di De Moivre

38 ESEMPIO 4 Possiamo scrivere:
In questo modo si è ottenuta l’espressione di x(t) in una forma in cui il primo termine è reale ed il secondo è formato da un coefficiente reale per un numero immaginario.

39 ESEMPIO 4 Se poniamo: Si può dimostrare che y(1) ed y(2) sono soluzioni reali e linearmente indipendenti del sistema

40 Inoltre avevamo ricavato:
ESEMPIO 4 Riprendendo l’esempio visto: Da cui si ricava: Inoltre avevamo ricavato:

41 ESEMPIO 4 Possiamo scrivere subito le due soluzioni reali e linearmente indipendenti

42 ESEMPIO 4

43 ESEMPIO 4 Adesso posso calcolare l’integrale generale, posta la condizione iniziale: t=0 Si può calcolare l’integrale generale come combinazione lineare delle due soluzioni particolari :

44 ESEMPIO 4 Per trovare il valore di c si risolve il sistema:

45 ESEMPIO 4


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