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METODI 2 a.a. 2007-8. EQUAZIONI DIFFERENZIALI Funzioni che mettono in relazione una variabile indipendente ( es. x), una sua funzione ( es. y = f(x) )

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METODI EQUAZIONI DIFFERENZIALI Funzioni che mettono in relazione una variabile indipendente ( es. x), una sua funzione ( es. y = f(x) ) e la.

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1 METODI 2 a.a

2 EQUAZIONI DIFFERENZIALI Funzioni che mettono in relazione una variabile indipendente ( es. x), una sua funzione ( es. y = f(x) ) e la derivata di questultima ( es. y = f (x) ). Ordine: massimo grado di derivazione che compare nellequazione differenziale. ESEMPIO

3 SOLUZIONI Generale ogni equazione differenziale ha infatti infinite soluzioni che differiscono per una costante. Si ottiene applicando la condizione iniziale alla soluzione generale trovata Particolare

4 APPLICAZIONI ECONOMICHE DINAMICI Considereremo sistemi DINAMICI in cui avremo: t : var. indipendente ( tempo ) x( t ) : var. dipendente (var. economica che si evolve nel tempo) Variabile di stato Useremo questa notazione:

5 I SISTEMI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI NELLE APPLICAZIONI ECONOMICHE Saggio di variazione della variabile x al variare del tempo cause del variare di x TERMINE DI CONTROLLO Se sistema NON OMOGENEO soluzioni diverse da quella banale si può guidare la variabile x con opportuni interventi Altrimenti sistema OMOGENEO ammette almeno la soluzione banale la variabile x è incontrollabile

6 SISTEMI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI OMOGENEI In forma esplicita… (1) La cui soluzione è del tipo (2)

7 SISTEMI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI OMOGENEI Se la (2) è soluzione del sistema Il sistema omogeneo avrà soluzioni diverse da quella banale se: infinite soluzioni diverse da quella banale EQUAZIONE CARATTERISTICA DELLA MATRICE Cercare le soluzioni non nulle del sistema equivale a cercare gli autovalori di A e gli autovettori corrispondenti

8 SISTEMI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI OMOGENEI Quindi le soluzioni del sistema saranno dove 1, 2, 3, …, n sono gli autovalori e (1), (2), (3) … (n) sono gli autovettori corispondenti.

9 ESEMPIO Dato il sistema Calcoliamo autovalori e corrispondenti autovettori di A ponendo da cui otteniamo due autovalori con molteplicità algebrica pari a 1

10 Troviamo gli autovettori associati a 1 =-1 sostituendo tale valore in ESEMPIO ottenendo lautovettore fondamentale è Analogamente lautovettore fondamentale di 2 sarà

11 ESEMPIO Ponendo 1 e 2 pari a 1 le soluzioni particolari del sistema saranno dunque Per 1 Per 2

12 SOLUZIONI Se un sistema di equazioni differenziali omogeneo ammette soluzioni non nulle infinite soluzioni perché trovatane una se ne possono ricavare infinite attribuendo a valori arbitrari. Se due o più soluzioni linearmente indipendenti una qualunque loro combinazione lineare è a sua volta soluzione del sistema. Se è data una condizione iniziale la soluzione è unica

13 CONDIZIONI INIZIALI Se una condizione iniziale x(t 0 ) = x 0 la soluzione del sistema ed è unica Si possono determinare c 1 e c 2 Graficamente si identifica una sola tra il fascio di possibili curve identificate dallintegrale generale. x(t) t x0x0 t0t0

14 ESEMPIO Lintegrale generale nellesempio precedente era Se la condizione iniziale in t 0 =o Applicando tale condizione allintegrale generale Da cui

15 ESEMPIO Sostituendo i valori trovati nellintegrale generale troviamo la soluzione particolare soluzione che: È unica Muta se cambia la condizione iniziale.

16 MATRICE FONDAMENTALE DELLE SOLUZIONI Si ottiene affiancando i vettori delle soluzioni particolari È quadrata perché il numero delle soluzioni è sempre uguale al numero delle equazioni del sistema. in un sistema con due sole equazioni differenziali sarà:

17 MATRICE DI TRANSIZIONE Ponendo il vettore delle costanti pari a c possiamo riscrivere lintegrale generale nel modo seguente Applicando le condizioni iniziali si ricava c Sostituendo la (2) nella (1) (1) (2) MATRICE DI TRANSIZIONE

18 Così chiamata perché il suo effetto è quello di portare il vettore iniziale x(t 0 ) al vettore al tempo t x (t). t x(t) tt0t0 x(t 0 )

19 ESEMPIO La matrice fondamentale delle soluzioni è Data la condizione iniziale La matrice di transizione allora sarà

20 PROPRIETA FONDAMENTALI DELLA MATRICE DI TRANSIZIONE t x(t) tt0t0 x(t 0 ) t1t1 1). 2).

21 PROPRIETA FONDAMENTALI DELLA MATRICE DI TRANSIZIONE 3). t x(t) t t0t0 x(t 0 ) 4). Anche la matrice di transizione è una soluzione del sistema

22 ESEMPIO 2 Dato il sistemacon calcoliamo gli autovalori imponendo Lequazione caratteristica diventa Le cui soluzioni sono (autovalori di A ) m.a. = 2m.a. = 1

23 ESEMPIO 2 Cerchiamo gli autovettori per 1 = 2 = -1 risolvendo il sistema In forma matriciale Da cui n-r = 2 soluzioni, dove n ordine di (A- I) r rango di (A- I)

24 ESEMPIO 2 Se Prima possibile soluzione per 1 = 2 = -1 Se analogamente avremo Seconda possibile soluzione per 1 = 2 = -1

25 ESEMPIO 2 Cerchiamo ora gli autovettori per 3 = 2 risolvendo il sistema ossia Da cui quindi, se 3 =1 possibile soluzione per 3 = 2

26 ESEMPIO 2 Le tre soluzioni trovate sono linearmente indipendenti possiamo scrivere lintegrale generale come segue La matrice fondamentale delle soluzioni sarà

27 ESEMPIO 4 Dato il sistema Lequazione caratteristica sarà Le cui soluzioni sono (autovalori di A)

28 ESEMPIO 4 Come si può notare sono numeri complessi e coniugati. Cerchiamo gli autovettori per 1 = i risolvendo il sistema

29 ESEMPIO 4 = soluzioni Inoltre, il rango è maggiore di 0 perché non è una matrice nulla. Si noti che per costruzione il rango di (A- I)=0 è quindi minore di 2 perciò questo sistema ha: Si evince perciò che la soluzione del sistema equivale a quella di una delle sue equazioni.

30 ESEMPIO 4 Scegliamo la seconda: Perciò un autovettore associato asarà:

31 ESEMPIO 4 Ponendo ad esempio si ottiene una delle possibili soluzioni del sistema dato: Qualsiasi valore assuma nel campo dei numeri reali, lautovettore relativo a sarà sempre di tipo complesso e potrà essere scritto nella forma che separa la parte reale da quella immaginaria.

32 ESEMPIO 4 Ponendo:

33 ESEMPIO 4 Si ha: Ora possiamo calcolare l autovettore corrispondente a e si ottiene: e perciò lautovettore corrispondente analogamente a quanto fatto per laltro valore sarà:

34 ESEMPIO 4 Questi due autovettori non sono reali, né linearmente indipendenti, caratteristiche essenziali per poter costruire lintegrale generale del sistema di equazioni dato. E necessario introdurre un metodo che permetta di passare da una espressione non reale ad una reale.

35 ESEMPIO 4 Supponiamo di aver trovato due autovalori della matrice A del tipo: In corrispondenza dei due autovalori si trovano gli autovettori Con a e b vettori reali

36 ESEMPIO 4 Posto poi, le corrispondenti soluzioni del sistema di equazioni differenziali saranno:

37 ESEMPIO 4 Consideriamo per ora solo la prima delle due espressioni, la si può scrivere: Ricordando la formula di De Moivre

38 ESEMPIO 4 Possiamo scrivere: In questo modo si è ottenuta lespressione di x(t) in una forma in cui il primo termine è reale ed il secondo è formato da un coefficiente reale per un numero immaginario.

39 ESEMPIO 4 Se poniamo : Si può dimostrare che y (1) ed y (2) sono soluzioni reali e linearmente indipendenti del sistema

40 ESEMPIO 4 Riprendendo lesempio visto: Da cui si ricava: Inoltre avevamo ricavato:

41 ESEMPIO 4 Possiamo scrivere subito le due soluzioni reali e linearmente indipendenti

42 ESEMPIO 4

43 Adesso posso calcolare lintegrale generale, posta la condizione iniziale: t=0 Si può calcolare lintegrale generale come combinazione lineare delle due soluzioni particolari :

44 ESEMPIO 4 Per trovare il valore di c si risolve il sistema :

45 ESEMPIO 4


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