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1 METODI 2 2005-2006. 2 MODELLO DI GOODWIN Tesina di: Ermanno Longagnani Pietro Dallari Silvia Cossu Metodi matematici 2 2005-2006 Professore: Gianni.

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1 1 METODI

2 2 MODELLO DI GOODWIN Tesina di: Ermanno Longagnani Pietro Dallari Silvia Cossu Metodi matematici Professore: Gianni Ricci

3 3 Richard Murphey Goodwin - Newcastle (Indiana, USA) - nasce nel 1913 da una famiglia benestante, successivamente colpita dalla crisi del '29. È proprio l'esperienza della crisi a spingerlo ad iscriversi, nell'anno successivo, all'Università di Harvard, dove studia scienze politiche e partecipa attivamente alla vita di facoltà. Laureatosi con lode con una tesi di critica marxista, dal 1934 al 1937, continua gli studi a Oxford, dove, anche grazie alla vicinanza a Sir Roy Harrod, discepolo di Keynes, approfondisce i temi della dinamica economica. In questo periodo viaggia in Germania e in Italia, partecipa attivamente alle attività a sostegno della Repubblica spagnola e s'iscrive al Partito comunista inglese. Nel frattempo frequenta la Ruskin Art School, facendo così maturare i due grandi interessi della sua vita: pittura ed economia. La vita

4 4 Nel 1937 sposa Jacqueline Wynmalen, di famiglia anglo- olandese, in Inghilterra per motivi di studio. Nel 1938, rientra ad Harvard, dove, allievo di grandi maestri come Leontief e Schumpeter, consegue il Master in economia. Con "Studies in Money. England and Wales, 1919 to 1938", consegue il dottorato, concludendo il lavoro di ricerca iniziato ad Oxford. Dal 1941 al 1945 insegna fisica e matematica applicata e consolida l'interesse per la formalizzazione della dinamica, che si realizza - grazie anche all'incontro con il fisico francese Le Corbeiller - nella riformulazione rigorosa della teoria del ciclo economico. Frattanto il suo rapporto di amicizia con Joseph A. Schumpeter si consolida. Il suo corso di teoria del ciclo economico è frequentato dallo stesso Schumpeter e da Haberler, mentre in tempi diversi sono suoi studenti Solow, Chenery e Ellsberg.

5 5 Alla morte di Schumpeter viene allontanato da Harvard per motivi politici e, nell'anno accademico 1950-'51, accetta l'invito di Richard Stone trasferendosi in Inghilterra al Department of Applied Economics dell'Università di Cambridge, dove rimane fino al Dal 1955 collabora con il governo indiano in materia di programmazione economica; proprio in India incontra il biologo Haldane che indirizza i suoi interessi verso le teorie biologiche delle popolazioni; da qui il famoso studio sul ciclo della crescita, presentato al congresso mondiale della Econometric Society a Roma nel 1964.

6 6 Gli anni di Cambridge trascorrono tra insegnamento (molti i suoi studenti italiani) e ricerca, in particolar modo con la partecipazione al secret seminar iniziato da Keynes e continuato da N. Kaldor e J. Robinson. Contemporaneamente si dedica alla pittura, caratterizzata da uno stile astratto e cromatico la cui evoluzione riflette le fasi della vita e gli stimoli dei suoi numerosi viaggi.

7 7 Nel novembre 1980 diventa professore ordinario di Economia Politica alla Facoltà di Scienze Economiche e Bancarie dell'Università di Siena. Qui conosce una stagione intellettuale tra le più fruttuose e ripensa i grandi temi della sua ricerca, attribuendo alla teoria della complessità un ruolo sempre più rilevante. Dipinge alternativamente in una bella casa nel Chianti - vivace cenacolo di pensiero e discussione - ed in un ritiro indiano offerto da un mecenate, amico sin dai tempi di Oxford. Un contrappunto di ispirazioni che si riflette nei contrasti cromatici e nella scelta dei materiali: rigorosamente canvas ottenuti da tessuti riciclati.

8 8 Professore emerito nel 1983, continua a partecipare attivamente alla didattica all'interno dei corsi del Dottorato di Ricerca in Economia politica. Tiene il suo ultimo ciclo di lezioni di dinamica economica nella primavera del Muore a Siena il 6 agosto 1996, generosamente ricordando la Facoltà con un lascito e donando ad essa i dipinti che ora l'adornano. È sepolto nel piccolo cimitero di San Giovanni di Pianella, vicino alla casa degli ultimi anni della sua vita. tratto da Università degli Studi di Siena, Facoltà di Economia Richard M. Goodwin

9 9 Goodwin sviluppò il suo modello di conflitto sociale nel Esso prevede linterazione di due attori principali - capitalisti e lavoratori – e può essere riassunto nel modo seguente. Un elevato tasso di occupazione genera inflazione nei salari, ciò aumenta il valore del monte salari pagato ai lavoratori in rapporto al prodotto totale delleconomia. Conseguentemente si riduce la quota di profitti per i capitalisti, la loro capacità di investimento e il prodotto futuro che sarà realizzato. Questo provocherà una diminuzione della domanda di lavoro, rallenterà la crescita dei salari o addirittura ne provocherà la contrazione. Il modello

10 10 Si osserverà, quindi, una diminuzione della quota del prodotto nazionale destinata ai lavoratori e, in modo speculare, una ripresa dei profitti e degli investimenti. Ciò stimolerà la domanda di lavoro, aumenterà il potere contrattuale della classe operaia che potrà beneficiare di aumenti salariali. Al che il modello ricomincia in modo ciclico lungo il percorso appena delineato. Due sono i contributi teorici fondamentali per la costruzione del modello di Goodwin: 1. la curva di Phillips 2. lapproccio ciclico nella generazione del profitto di Kalecki.

11 11 1. La curva di Phillips La curva di Phillips fu proposta per la prima volta nel 1958 dalleconomista inglese A. W. H. Phillips. Questi, in uno studio sullandamento dei redditi inglesi osservati tra il 1861 e il 1957, individuò una relazione negativa tra il tasso di variazione dei salari nominali e il tasso di disoccupazione: ovvero, i salari aumentavano tanto più rapidamente quanto più basso era il tasso di disoccupazione.

12 12 Tasso di disoccupazione Tasso di variazione salari

13 13 La spiegazione data allepoca dalleconomista fu che per bassi livelli di disoccupazione si ha un eccesso di domanda di lavoro da parte dei capitalisti, dunque le imprese entrano in concorrenza ed offrono salari più elevati per attrarre mano dopera scarsa. Viceversa, per alti livelli di disoccupazione si ha un eccesso di offerta di lavoro e la concorrenza tra lavoratori ha leffetto di tenere basso il salario. Ciò spiega la pendenza negativa della curva di Phillips. Da notare che nel punto A il tasso di variazione dei salari è nullo e il tasso di disoccupazione è quello naturale. Allepoca la curva di Phillips fu accolta come uno strumento efficace e robusto, anche di fronte a questioni rilevanti come losservazione di un persistente aumento dei salari nel lungo periodo.

14 14 Secondo la più accreditata spiegazione, quella di Lipsey, la logica di ciò, a livello individuale, era che leccesso di domanda in una singola industria generasse inflazione dei salari per attrarre lavoratori da altre industrie. Non appena il gap fosse stato colmato, il sistema sarebbe tornato in equilibrio. Tuttavia, a livello aggregato, leconomia non ha un pool di lavoratori disponibili che possano essere inseriti secondo necessità – a meno di non considerare coloro che volontariamente non sono occupati. Dunque, leccesso di domanda persiste a livello aggregato e non è eliminato dal meccanismo di variazione dei salari. Al che, è legittimo chiedersi perché i salari continuino ad aumentare se è chiaro che non possono annullare leccesso di domanda.

15 15 La risposta si fonda sulla prospettiva individuale della singola impresa, che ha convenienza ad aumentare i salari per cercare di sottrarre manodopera agli altri operatori economici. Successivamente, autori come Samuelson e Solow affermarono che la curva di Phillips poteva essere usata per rappresentare il legame tra inflazione e disoccupazione, essendo i prezzi fissati dalle imprese strettamente legati ai salari da queste pagati. Furono Friedman e Phelps a mettere in luce come questa relazione fosse valida solo nel breve periodo mentre nel lungo le aspettative razionali degli attori economici ne minano la solidità.

16 16 E tuttavia indubbio che tra le ipotesi del modello di Goodwin, di poco successivo alla prima formulazione della curva di Phillips, vi sia anche una relazione inversa tra landamento dei salari e quello della disoccupazione. Goodwin in realtà non considerò propriamente la curva di Phillips, ma una retta che collegava i salari all occupazione

17 SS0S0 { S = variazione che i lavoratori chiedono come incremento salariale

18 18 2. Lapproccio ciclico nel processo di generazione del profitto di Michal Kalecki Economista polacco, Kalecki nel 1935 presenta la prima formulazione di un modello ciclico di generazione del profitto e di allocazione degli investimenti, oggi riconosciuto come anticipatore di concetti più tardi sviluppati nel corpus macroeconomico keynesiano.

19 19 Secondo Kalecki, nelle decisioni di investimento un ruolo fondamentale è riservato al profitto: i capitalisti fanno profitti tramite lo svolgimento della loro attività economica e li reinvestono: quanto maggiori sono i profitti realizzati, tanto più alto sarà il valore degli investimenti futuri. Siano: Decisione di investimento al tempo t Capitale effettivamente installato al tempo t Arco di tempo intercorrente tra la decisione di investimento e la sua effettiva realizzazione

20 20 Dunque, il capitale effettivamente installato in un dato momento t deriva dalla decisione di investimento presa al tempo t-θ Il valore dei beni capitali non ancora consegnati in un dato momento t equivale al valore delle decisioni di investimento che sono state formulate nel periodo t-θ. Poiché lintervallo di tempo è continuo si può scrivere Dove W(t) è il valore dei beni capitali non consegnati.

21 21 Il valore medio dei beni di investimento per unità di tempo equivale al rapporto

22 22 Poiché linvestimento può essere letto come variazione dello stock di capitale rispetto al tempo è possibile riformulare il valore medio dei beni capitali come

23 23 Secondo questultima formulazione, A(t) rappresenta la spesa per investimenti al tempo t. Per ciò che concerne il reddito, Kalecki sosteneva che questo potesse essere scomposto in profitti destinati ai capitalisti e salari. Inoltre ipotizzava che i capitalisti reinvestissero tutto il profitto e che i lavoratori consumassero lintero loro reddito. In simboli profitti quota di reddito destinata ai capitalisti reddito totale

24 24 Richiamando che Kalecki condivideva lidea secondo cui la decisione di investire è positivamente correlata ai profitti, come già ricordato, ma negativamente legata allo stock di capitale, è possibile rappresentare la funzione di decisione di investimento come dove Φ(.,.) è una funzione lineare così rappresentata

25 25 Lequilibrio del mercato richiede che in un qualsiasi momento t il prodotto totale eguagli la somma di ciò che è consumato e investito, ovvero

26 26 Inserendo questultima espressione nella funzione di decisione di investimento si ottiene

27 27 Richiamando che e riportando il tutto indietro di θ periodi si ottiene: Questa equazione sintetizza il modello di Kalecki. La sua soluzione è possibile sia nella forma lineare sopra riportata sia in quella non lineare. Tuttavia, per i nostri scopi, altri sono gli aspetti su cui soffermarsi.

28 28 Si ricordi che: Il prodotto totale del sistema economico può quindi essere visto come una funzione della variazione dello stock di capitale nel tempo Sappiamo inoltre che

29 29 Normalizzando θ, il prodotto totale al tempo t può essere riscritto come funzione positiva delle decisioni di investimento formulate nel periodo precedente. Questa funzione è centrale nello sviluppo del modello ciclico di generazione del reddito e di allocazione delle decisioni di investimento.

30 30 Si immagini di disporre di uno stock iniziale di capitale K1. Dato un livello iniziale di produzione Y1, si ottiene un profitto P1=sY1. Questi elementi, lo stock di capitale e il profitto, entrano nella funzione di decisione di investimento al tempo t=1, D1=Φ(sY1,K1). Nellipotesi, erronea, che il capitale non si consumi ma rimanga costante nel tempo, la funzione di decisione di investimento rimarrebbe inalterata: graficamente, allaumentare del prodotto totale ci si sposterebbe comunque sempre sulla stessa curva di decisione di investimento.

31 31 Y1Y2 D1 D(t) Y D(t)=Φ(sY(t),K1) Y(t)=fD(t-1)

32 32 Tuttavia il capitale non rimane costante nel tempo: è ragionevole immaginare che per un Y1 sufficientemente piccolo, il capitale diminuisca poiché non vi è un livello di investimento adeguato per rimpiazzare il capitale consumato nel processo. La contrazione del capitale da K1 a K2 provoca una traslazione verso lalto della funzione di decisione di investimento – che è negativamente correlata alla dotazione di capitale. Questo fenomeno si ripeterà fin tanto che lincremento nella dotazione di capitale sarà inferiore alla sua velocità di consumo: quando questi valori si eguaglieranno, il ciclo sopra esposto si invertirà, cioè si rivedranno al ribasso le decisioni di investimento o, addirittura, si procederà a destrutturazioni.

33 33 In un primo tempo la realizzazione di decisioni di investimento adottate nei periodi precedenti farà si che laccumulazione di capitale continui ad eccedere il suo deprezzamento. Successivamente, al venire meno di commesse precedenti, la creazione di nuovo capitale sarà insufficiente per compensare il deprezzamento di quello esistente, lo stock di capitale incomincerà a diminuire e la funzione di decisione di investimento a salire nuovamente.

34 34 D(t) Y Y(t)=fD(t-1) D1 D2 D3 Y1Y2 Y3

35 35 Variabili del modello di Goodwin Q = reddito totale aggregato o prodotto totale aggregato N = popolazione (offerta forza lavoro) L = occupazione a = Q/L = produttività media del lavoro w = tasso salario reale k = Q/K = rapporto reddito capitale s = percentuale di profitti risparmiati S = Entità degli incrementi salariali richiesti dai lavoratori in sede di contrattazione sindacale

36 36 Tasso di occupazione Quota del reddito nazionale destinata ai lavoratori sotto forma di stipendi Remunerazione del capitale investito dai capitalisti Quota dei profitti reinvestiti dai capitalisti. Nellipotesi di Goodwin s è pari a 1

37 37 Produttività media del lavoro. Anche in questo caso si assume un saggio di variazione costante. Quindi Rapporto reddito-capitale. Si presume sia costante ed esogenamente determinato. Ipotesi del modello di Goodwin La forza lavoro cresce a tassi costanti. Da ciò segue che Si assume quindi che siano costanti tutti i parametri e che siano variabili solo u e v.

38 38 Alla luce di quanto detto è possibile sviluppare alcune trasformazioni Considerando i logaritmi di queste espressioni e derivandoli, si ottiene:

39 39

40 40

41 41 Concentriamoci sul saggio di variazione del reddito e dei salari. Il primo può essere interpretato come variazione del profitti investiti dato un certo stock di capitale. Ovvero: Il secondo può essere fatto dipendere dal potere contrattuale dei lavoratori, approssimato dal tasso di disoccupazione

42 42 Fatte queste precisazioni è possibile scrivere il modello di Goodwin:

43 43 u=v; v=u Equazioni di Lotka Volterra Rispetto al modello di Goodwin sono necessarie alcune trasformazioni delle variabili considerate. m=α S=ρ n=β So=γ s=1

44 44

45 45 Queste sono le equazioni di Lotka-Volterra, sviluppate nel corso degli anni Venti separatamente da Lotka e da Volterra nellambito di studi di biologia matematica (scenario preda-predatore). La teoria qualitativa o topologica delle equazioni differenziali studia le proprietà della soluzione di una equazione - o di un sistema – differenziale senza la conoscenza della soluzione stessa e senza cercarla attraverso metodi quantitativi a 1,a 2,b 1,b 2 sono costanti > 0. Vengono considerati solo valori positivi di y 1,y 2

46 46

47 47 Si moltiplica la prima equazione per e la seconda per. Successivamente si sommano membro a membro.

48 48 Alla luce dei risultati precedenti possiamo scrivere: Questa equazione è integrabile e fornisce lintegrale univoco Dove A è una costante arbitraria.

49 49 Lo stesso risultato può ottenersi con luso della procedura per le curve integrali. Si elimina δt dal sistema Si separano le variabili dividendo per

50 50 Si sviluppa lintegrale

51 51 Le caratteristiche sono così determinate e ad ogni caratteristica corrisponde un valore di B. Si studia la forma della funzione

52 52 per

53 53 Si studia la forma della funzione

54 54 per

55 55 p p OK C F G D E

56 56 Nel II e IV quadrante sono rappresentati e. Nel III quadrante è rappresentato. Si considera un punto qualsiasi sul segmento OK, compreso tra P e P e si individuano D, E, F, G ed 1, 2, 3, 4 nel I quadrante. A ciascun valore di B corrisponde una caratteristica. Lo stato di equilibrio è la caratteristica che coincide con il punto C detto centro.

57 57 Il senso di rotazione è antiorario: si considera il punto 2 diminuisce

58 58 Al movimento del punto lungo la caratteristica corrisponde una oscillazione di e. Dati le condizioni iniziali risulta determinata la pendenza della retta OK e la corrispondente curva caratteristica. Un disturbo cambia la curva caratteristica, ma conserva la periodicità senza fine. Il sistema è conservativo e non lineare.

59 59 Si immagini un sistema economico con una data dotazione di capitale K. Questo capitale, una volta impiegato, genera un reddito Q dal quale, sottratto il monte salari wL destinato ai lavoratori, rimane la remunerazione del capitale, (1-v). La quota s che viene reinvestita contribuirà alla generazione di nuovo capitale. Quindi è valida luguaglianza: Richiamando che Tuttavia il modello di Goodwin così come è stato rappresentato in precedenza è non lineare. Si rendono quindi opportune alcune modifiche

60 60 Posto il primo membro uguale a zero, si ricava che E cioè che Si possono sviluppare i seguenti passaggi

61 61 Se lo si rappresenta graficamente, il segmento (1-v) è approssimato dal logaritmo v 1 1-v -lnv

62 62 Considerazioni speculari valgono per il segmento (1-u). Da questo si evince che il modello può essere riscritto come:

63 63 Posto

64 64 Modello Goodwin-Ricci Modello Goodwin-Ricci Modello Goodwin-Ricci Questo è un sistema di equazioni differenziali non omogeneo, lineare e che quindi può essere risolto. Sappiamo che sistemi di questo tipo hanno una soluzione data dalla combinazione lineare della soluzione generale del sistema omogeneo associato y(t), con una soluzione particolare del sistema non omogeneo z(t).

65 65 soluzione del sistema omogeneo associato y(t) In forma matriciale: Troviamo gli autovalori calcolando il

66 66 Lequazione caratteristica è Gli autovalori sono sono immaginari puri Sappiamo che Possiamo quindi scrivere: Gli autovalori sono:

67 67 Calcoliamo gli autovettori associati per Risolviamo il sistema: Per costruzione fatta: Inoltreperché non è una matrice nulla. Allora, la soluzione del sistema equivale a quella di una delle sue equazioni

68 68 Prendiamo la seconda: SeSi ottiene una delle possibili soluzioni del sistema dato:

69 69 Calcoliamo gli autovettori associati per risolvendo il sistema: Per costruzione fatta: Inoltreperché non è una matrice nulla. Allora, la soluzione del sistema equivale a quella di una delle sue equazioni

70 70 Prendiamo la seconda : SeSi ottiene una delle possibili soluzioni del sistema dato:

71 71 Questi due autovettori non sono reali, per costruire lintegrale generale del sistema di equazioni dato è necessario introdurre un metodo per passare da una espressione non reale ad una reale. Questi due autovettori non sono reali, per costruire lintegrale generale del sistema di equazioni dato è necessario introdurre un metodo per passare da una espressione non reale ad una reale. Supponiamo di aver trovato due autovalori della matrice A del tipo: In corrispondenza dei due autovalori si trovano gli autovettori:

72 72 Le corrispondenti soluzioni del sistema di equazioni differenziali saranno: Ovvero: Consideriamo solo la prima delle due espressioni e ricordando la formula di De Moivre:

73 73 Possiamo scrivere: Abbiamo ottenuto una espressione che è formata da un coefficiente reale per un numero immaginario, se poniamo:

74 74 Si può dimostrare che queste sono soluzioni reali e linearmente indipendenti del sistema omogeneo associato riprendendo il modello di Goodwin abbiamo:

75 75 Possiamo scrivere le due soluzioni reali: sappiamo che Possiamo scrivere le due soluzioni reali: sappiamo che

76 76 Soluzione particolare del sistema non omogeneo z(t) Se guardiamo alla struttura della matrice dei coefficienti possiamo vedere che essa ha la diagonale principale composta da soli zeri. Questa caratteristica è molto importante, perché se ora annulliamo le derivate prime di x 1 e x 2, che significa rendere uguale a zero le variazioni delle variabili x 1 e x 2, troviamo quella situazione in cui al variare del tempo le due componenti x 1 e x 2 rimangono ferme allo stesso valore(soluzione stazionaria). Se guardiamo alla struttura della matrice dei coefficienti possiamo vedere che essa ha la diagonale principale composta da soli zeri. Questa caratteristica è molto importante, perché se ora annulliamo le derivate prime di x 1 e x 2, che significa rendere uguale a zero le variazioni delle variabili x 1 e x 2, troviamo quella situazione in cui al variare del tempo le due componenti x 1 e x 2 rimangono ferme allo stesso valore(soluzione stazionaria). In particolare se: In particolare se: Si trovano i punti critici del sistema

77 77 Nel nostro caso lunico punto critico avrà queste coordinate: Ora essendo x 1 =-ln u e x 2 =-lnv, cambiando i segni e passando agli esponenziali ambo i membri troviamo che: (1) (2)

78 78 Sostituendo a x 1 e x 2 la (1) e la (2) troviamo che: Il punto che ha queste coordinate è un punto che si trova dentro larea del rettangolo definito dalle rette u=1 e v=1

79 79. t = 0. G 1 10 Tale punto critico è anche detto centro e se leconomia parte da questo punto il sistema non si sposta dallorbita chiusa disegnata. Questo significa che leconomia ha un ciclo economico v u

80 80 Adesso possiamo calcolare lintegrale generale: Posta la condizione iniziale e sapendo che sin0=0 e cos0=1

81 81

82 82 Ricordando che sin0=0 e cos0=1, lintegrale generale è: Ricordando che sin0=0 e cos0=1, lintegrale generale è: La soluzione trovata con la condizione iniziale è unica cioè rappresenta un solo vettore.

83 83 Alcune considerazioni: Riprendendo la formulazione del modello di Goodwin: m,n, s, S 0 e k sono delle costanti e con s ed S che sono rispettivamente la propensione marginale al risparmio dei capitalisti e gli incrementi salariali richiesti dai lavoratori, variabili, che a differenza del modello originario in cui erano state fissate arbitrariamente, possono essere utilizzate dalle autorità decisionali per guidare il modello nel raggiungimento di certi obiettivi.

84 84 Inoltre abbiamo visto che annullando le derivate di x 1 e x 2 Inoltre abbiamo visto che annullando le derivate di x 1 e x 2 si determinano le coordinate del punto critico che è si determinano le coordinate del punto critico che è un centro posizionato nel quadrato 0-1 del piano (u,v) con una un centro posizionato nel quadrato 0-1 del piano (u,v) con una posizione che dipende dai valori assegnati ai parametri che posizione che dipende dai valori assegnati ai parametri che intervengono nel modello. intervengono nel modello. x 1 e x 2 di cui abbiamo trovato la soluzione che ha il seguente andamento. Con m,n, S 0 e S costanti, il sistema dinamico sarebbe costituito da due equazioni differenziali lineari in x 1 e x 2 di cui abbiamo trovato la soluzione che ha il seguente andamento.

85 85 u, v t u (0) v (0) 0 U(0) e v(0) sono le coordinate del punto di partenza e che hanno andamenti oscillanti, costanti e anticicliche luna rispetto allaltra

86 86 Noi sappiamo che:x 1 =- ln u x 2 = -ln v Quindi parlare di x 1 e x 2 o di u e v è qualitativamente la stessa cosa, anche se è più semplice parlare di u e di v dato che queste variabili hanno un certo significato economico (u= tasso di occupazione; v= quota del reddito nazionale dei salariati). Abbiamo visto che risolvendo il sistema e trovando le espressioni per x 1 e x 2 si applica questa trasformazione in modo da esprimere la soluzione in termini di u e v.

87 87 Se si rappresentano u e v su un piano, si ottiene un punto, G, detto centro stazionario. u v v=1 u=1 G

88 88 Non bisogna tuttavia trascurare che u e v sono variabili espresse in funzione del tempo t. Poiché landamento della soluzione precedentemente trovata per u e v è oscillante, costante e anticiclica, se si rappresentano sul piano i valori di u e v al variare del tempo si ottiene una curva, detta curva integrale o di livello. G v=1 u=1 v u curva integrale P

89 89 Le curve integrali rappresentano orbite chiuse lungo le quali si muove il sistema economico, senza possibilità che lo stesso si sposti da unorbita allaltra. Goodwin ipotizzava cioè un andamento ciclico stazionario del sistema economico, in cui le leve che guidano leconomia sono i profitti e loccupazione. Si consideri la seguente esemplificazione. Si immagini di partire dal punto P, in cui la maggior parte del reddito nazionale è assorbita dai lavoratori e loccupazione è elevata. Lo sviluppo logico secondo Goodwin è una contrazione delloccupazione – dovuta ad una insufficiente remunerazione del capitale – e un speculare incremento dei profitti. Conseguentemente, i capitalisti torneranno a investire per ampliare la dotazione di capitale consentendo al contempo una ripresa delloccupazione a fonte della quale crescerà la quota di salari destinata ai lavoratori fino a quando leconomia tornerà nella posizione iniziale P. Il sistema economico si è quindi mosso in senso orario lungo la stessa curva integrale.

90 90 Una implicazione teorica rilevante è che, alla luce di una tale impostazione, il conflitto di classe appare ineliminabile. Si noti, inoltre, che quanto detto è paragonabile a un modello preda- predatore dove loccupazione è preda: se questa sparisce, la quota di reddito destinata ai salari - il predatore - non ha ragione di esistere, cioè muore. Viceversa se il predatore scompare, loccupazione cresce illimitatamente. Rispetto a queste conclusioni sembra tuttavia ragionevole chiedersi se non sia possibile stabilizzare landamento delle variabili u e v su valori medi per entrambe. Questo esito pare anzitutto preferibile per gli attori stessi, rispetto ad una situazione di continua ciclicità, ossia alternanza di situazioni vantaggiose e svantaggiose per gli uni o per gli altri; nonché più verosimile, in quanto sarebbero abbandonate le ipotesi di permanenza sulla stessa curva integrale e di dipendenza del sistema economico dalla situazione iniziale dello stesso

91 91 Per fare questo, si è scelto di trasformare s (saggio di profitti reinvestiti nel sistema) e S (entità degli aumenti salariali) in variabili, mentre fino ad ora, è bene ricordarlo, sono stati considerati parametri dati. In altre parole, si ipotizza che i capitalisti possano intervenire sul sistema economico stabilendo quanta parte dei profitti reinvestire mentre lentità degli incrementi salariali rappresenta la variabile strumentale dei lavoratori. In simboli, indicando con 1 i lavoratori, con 2 i capitalisti e con u le variabili strumentali

92 92 Appare tuttavia chiaro che capitalisti e lavoratori non sono daccordo sullequilibrio finale del sistema economico. I primi avranno interesse a che si collochi in prossimità di G, dove i profitti sono massimizzati e loccupazione contenuta. Viceversa, i lavoratori propendono per G G G G v u u=1 v=1

93 93 Si delinea, quindi, lopportunità di procedere nello sviluppo del modello servendosi degli strumenti messi a disposizione dalla teoria dei giochi. Capitalisti e lavoratori – considerati secondo la dottrina marxista come due gruppi distinti, omogenei, ciascuno con un proprio profilo – rappresentano i giocatori. Ovviamente, alla luce di quanto affermato nella slide precedente, il gioco si configura come non cooperativo. E possibile costruire le funzioni obiettivo – o funzioni delle perdite – dei due giocatori, basate sulla distanza tra la posizione di G che si ottiene dallandamento del sistema dinamico e quella desiderata dal giocatore, più il peso che questi attribuisce allo stato finale:

94 94 valori di s e S desiderati dai lavoratori valori di s e S desiderati dai capitalisti importanza che 1° e 2° giocatore attribuiscono allo stato finale

95 95 La dinamica del sistema è rappresentata da Ora, però, s e S non sono più parametri ma variabili, quindi le condizioni iniziali, note:

96 96 In questo modo il modello di Goodwin può essere sviluppato come un gioco non cooperativo in cui ciascun giocatore cerca di minimizzare la sua funzione delle perdite. Si definiscono le Hamiltoniane dei due giocatori:

97 97 Come stabilito dal principio del minimo di Pontryagin si deriva lHamiltoniana di ciascun giocatore rispetto alla sua variabile strategica e la si eguaglia a zero: Ora si ricavano i valori delle variabili di controllo ottimo:

98 98 Per stabilire se si tratta di punti di massimo o di minimo si calcola la derivata seconda delle Hamiltoniane rispetto alle variabili strategiche: Poiché in entrambi casi si tratta di valori positivi, se ne deduce che i valori trovati per le variabili di controllo ottimo sono punti di minimo. Procedendo nello sviluppo del principio del minimo di Pontryagin si scrive lequazione canonica Hamiltoniana come:

99 99

100 100

101 101

102 102 Per ottenere informazioni più dettagliate circa le strategie dei giocatori nel tempo, si immagini di portare il tempo a più infinito. Così facendo si ottiene un unico extremal steady state (ESS), che è soluzione stazionaria dellequazione canonica Hamiltoniana. Per fare questo è necessario dapprima riorganizzare le variabili aggiuntive sostituendo in ciascuna espressione i valori delle variabili di controllo ottimale. Successivamente, si pongono uguali a zero le derivate della variabili aggiuntive e di quelle di stato e si ricavano le corrispondenti strategie di controllo ottimale.

103 103

104 104

105 105

106 106

107 107 Alla luce della definizione di extremal steady state, ovvero di punto di equilibrio stazionario per le variabili di stato e aggiuntive, si pongono uguali a zero le derivate rispetto al tempo.

108 108 Dato si ha

109 109 Dato si ottiene

110 110

111 111 Le corrispondenti strategie di controllo ottimo sono quindi Si nota che la strategia di ciascun giocatore coincide con lo stato di equilibrio desiderato: infatti richiamando quanto detto in precedenza, rappresenta il valore di S desiderato dai lavoratori e il valore di s desiderato dai capitalisti.

112 112 Le coordinate del punto di equilibrio con t che tende a infinito, sono così determinate in parte dai lavoratori e in parte dai capitalisti, ciascuno dei quali interviene sulla variabile sotto il suo controllo – rispettivamente S e s – in modo tale da essere parzialmente soddisfatto dellequilibrio ottenuto. G G u v

113 113 Si può dimostrare che lequilibrio ottenuto in G* non è globalmente e asintoticamente stabile: risulta quindi razionale che il sistema si porti in G*, ma le fluttuazioni dello stesso non saranno annullate, bensì continueranno in un intorno di G*. Infatti il sistema ottenuto sostituendo le strategie ottime alle variabili strategiche dei due giocatori è lineare e la traccia della matrice dei coefficienti è nulla. La dinamica del sistema, anche riformulato con le strategie ottime, conserva quindi le caratteristiche del modello originale: oscillante, costante e anticiclica. La lotta tra classi non sarà dunque eliminata, ma continuerà in un intorno di G*.


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