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Filtri analogici. Generalità I filtri lineari analogici sono esprimibili con la seguente espressione (con M N) Le specifiche sono fornite solitamente.

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Presentazione sul tema: "Filtri analogici. Generalità I filtri lineari analogici sono esprimibili con la seguente espressione (con M N) Le specifiche sono fornite solitamente."— Transcript della presentazione:

1 Filtri analogici

2 Generalità I filtri lineari analogici sono esprimibili con la seguente espressione (con M N) Le specifiche sono fornite solitamente in termini di banda passante Ω p (e relativo ripple δ 1 ) banda interdetta Ω s (e relativo ripple δ 2 ) e conseguente banda di transizione (Ωp - Ωs) Spesso ripple ed attenuazione sono definiti come:

3 Generalità Dove Ω p ed Ω s le specifiche da rispettare Ω c ed Ω t sono le reali pulsazioni di banda passante e di banda attenuata

4 Generalità Filtri di tipo passa-alto, passa-banda, elimina-banda vengono ottenuti dal passa-basso tramite opportune trasformazioni

5 Filtri di Butterworth (1) Sono filtri a massima piattezza nellorigine ed allinfinito ossia le prime (2N-1) derivate di si annullano per Ω=0 e per Ω=inf. Sebbene la scelta di Ω p, Ω s, δ 1, δ 2 può essere arbitraria, di solito si definisce come Ω p la frequenza alla quale il guadagno è diminuito di 3 dB (Ω p = Ω -3dB ) ossia Per garantire le specifiche

6 Filtri di Butterworth (2) In base allattenuazione A desiderata ad una certa frequenza Ω s si puo calcolare lordine minimo del filtro: Nel caso del filtro prototipo con ε=1 (Ω -3dB = 1) Nel caso generale si puo dimostrare:

7 Filtri di Butterworth (3) Se le specifiche sono del tutto generiche Ci sono 2 gradi di liberta: Ordine n Frequenza di taglio a -3dB Ordine: si usa il minimo consentito Ω -3dB : Esiste tutta una famiglia di filtri che possono soddisfare le specifiche:

8 Posizione di poli e zeri Nota la risposta in frequenza desiderata | | 2 Generalizzando jΩ s Si trovino zeri e poli di g(s) e si assegnino opportunamente a H(s) ed H(-s)

9 Posizione di poli e zeri (Butterworth) Nel filtro di Butterworth I poli complessivi si trovano risolvendo: per N pari per N dispari Es: n=2 Es: n=3

10 Posizione di poli e zeri (Butterworth) Successivamente si assume, per garantire la stabilità, che i poli a parte reale negativa appartengano ad H(s), mentre gli altri (simmetrici) ad H(-s) ! H(s)H(-s)H(s)H(-s)

11 Filtri di Chebyshev del 1 o tipo (1) Prototipo normalizzato: Ove: Formula ricorsiva: NOTA:

12 Filtri di Chebyshev del 1 o tipo (2) Caso Generale ove Ω c (frequenza di transizione) è la frequenza estrema della banda passante (NOTA :non e la frequenza a -3dB ) Il filtro di Chebyshev del 1 o tipo è un filtro ottimo tra il filtri all-poles, ovvero, a parità di ordine, non esiste alcun filtro composto da soli poli che possa avere caratteristiche superiori al filtro CHEBY1 tanto in banda passante che in banda attenuata

13 Filtri di Chebyshev del 1 o tipo (3) Calcolo dellordine minimo del filtro (in base allattenazione desiderata in Ω s Gradi di libertà nella scelta di Ω c

14 Filtri di Chebyshev del 1 o tipo (4) Si può sfruttare il grado di libertà anche per modificare ε

15 Posizione di poli e zeri (Cheby1) Nel filtro di Chebyshev 1 Si trovino le soluzioni del polinomio a denominatore (in x) e sucessivamente si moltiplichino per Ω c si ruotino di 90 o Si assegnino ad H(s) le soluzioni a parte reale negativa

16 Filtri di Chebyshev del 2 o tipo (1) Prototipo normalizzato (rispetto Ω t ): Caso generale: Imponendo che per Ω=Ω t |H|=1/A Il lfiltro CHEBY2 presenta le stesse caratteristiche di CHEBY1

17 Filtri di Chebyshev del 1 o tipo (2) Calcolo dellordine minimo del filtro (in base allε desiderato in Ω c ) Gradi di libertà nella scelta di Ω t

18 Posizione di poli e zeri (Cheby2) Nel filtro di Chebyshev 2 Si trovino soluzioni di numeratore e denominatore (x) queste soluzioni in x vanno: invertite (reciproco) moltiplicate per Ω t ruotate di -90 o Le soluzioni del numeratore sono a 2 a 2 coincidenti

19 Analogie tra Cheby1 e Cheby2 Una volta definito lordine del filtro dei 4 parametri Ω t, Ω c, ε, A, solamente due sono indipendenti. Es. in Cheby1 si scelgono solitamente Ω c ed ε e ne consegue A=f(Ω t ). Si potrebbe pero anche operare allinverso: scelti A e Ω t si puo trovare una famiglia di filtri che al variare di ε modificano Ω c (o viceversa)

20 Analogie tra Cheby1 e Cheby2 In modo del tutto analogo anche per Cheby2 i 4 parametri Ω t, Ω c, ε, A, risultano tra loro legati e non indipendenti. Si potrebbe scegliere scelti ε e Ω c ma ci si ritrova con una famiglia di filtri che al variare di A modificano Ω t (o viceversa). Solitamente per questi filtri I parametri indipendenti da usare sono Ω t ed A

21 Filtri di Cauer (elittici) Dove R n (Ω,L) e detta funzione razionale di Chebyschev Sono Filtri-equiripple in banda passante ed in banda interdetta

22 Posizione di poli e zeri Nota la risposta in frequenza desiderata | | 2 Generalizzando jΩ s Si trovino zeri e poli di g(s) e si assegnino opportunamente a H(s) ed H(-s)

23 Posizione di poli e zeri (Butterworth) Nel filtro di Butterworth I poli complessivi si trovano risolvendo: per N pari per N dispari Es: n=2 Es: n=3

24 Posizione di poli e zeri (Butterworth) Successivamente si assume, per garantire la stabilità, che i poli a parte reale negativa appartengano ad H(s), mentre gli altri (simmetrici) ad H(-s) ! H(s)H(-s)H(s)H(-s)

25 Posizione di poli e zeri (Cheby1) Nel filtro di Chebyshev 1 Si trovino le soluzioni del polinomio a denominatore (in x) e sucessivamente si moltiplichino per Ω c si ruotino di 90 o Si assegnino ad H(s) le soluzioni a parte reale negativa

26 Posizione di poli e zeri (Cheby2) Nel filtro di Chebyshev 2 Si trovino soluzioni di numeratore e denominatore (x) queste soluzioni in x vanno: invertite (reciproco) moltiplicate per Ω t ruotate di -90 o Le soluzioni del numeratore sono a 2 a 2 coincidenti

27 Trasformazioni in frequenza (1) Si può modificare un filtro LP prototipo in qualunque altro modello applicando opportune trasformate LP LP HP LP BP LP SP

28 Trasformazioni in frequenza (2) Metodologia di progetto date le specifiche del filtro si convertano le specifiche in quelle di un prototipo LP (applicando lopportuna trasformata) in caso di specifiche ridondanti si usino quelle piu stringenti si progetti il prototipo LP si applichi la trasformata opportuna alla f.d.t del prototipo


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