S.A. ARCHEOLOGIA QUANTITATIVA 1 ARCHEOLOGIA QUANTITATIVA a.a. 2005/2006 Silvano Antonelli Ricevimento durante il corso: Martedì ore 15.30 presso Dipartimento.

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1 S.A. ARCHEOLOGIA QUANTITATIVA 1 ARCHEOLOGIA QUANTITATIVA a.a. 2005/2006 Silvano Antonelli Ricevimento durante il corso: Martedì ore 15.30 presso Dipartimento di Informatica, Largo Pontecorvo 2 Stanza 394 Per appuntamento s.antonelli@humnet.unipi.it Pagina web : (programma, esami, date appelli…) http://www.di.unipi.it/~antonell/

2 S.A. ARCHEOLOGIA QUANTITATIVA 2 Esame, Propedeuticità Modalità esame: -test scritto -orale -progetto: -facoltativo per i frequentanti -obbligatorio per i non frequentanti

3 S.A. ARCHEOLOGIA QUANTITATIVA 3 Materiale Didattico  Per la formazione di base: C.A.Carnevale Maffè, T.Carnevale Maffè, Statistica, Sintesi, Vallardi S. Berstein, R.Bernstein, Statistica descrittiva, McGraw-Hill I.Diamond, J.Jefferies, Introduzione alla statistica, McGraw-Hill  Per applicazioni in campo archeologico: IS. Shennan, Quantifyng Archaeology, Edinburgh,University Press. 1998.

4 S.A. ARCHEOLOGIA QUANTITATIVA 4 Introduzione (1) Negli ultimi quaranta anni si è assistito alla sempre più crescente utilizzazione dell’informatica e delle scienze nell’ambito sociale e umanistico, introducendo, attraverso tecniche matematiche e statistiche, metodi propri delle scienze esatte.

5 S.A. ARCHEOLOGIA QUANTITATIVA 5 Introduzione (2) Per quanto attiene in particolare all’Archeologia, l’informatica è intervenuta sia nei processi metodologici, sia nello sviluppo di tecniche connesse a tali processi per: n sistematizzare e ottimizzare operazioni di catalogazione e gestione dell’informazione n definire strumenti idonei ad un trattamento scientifico dei dati

6 S.A. ARCHEOLOGIA QUANTITATIVA 6 I sistemi informatici che rispondono a queste esigenze sono rispettivamente quelli di tipo documentario per il trattamento descrittivo degli oggetti (Sistemi di gestione di basi di dati) e sistemi basati su tecniche matematico- statistiche. Le basi di dati richiedono una strutturazione organica e sistematica dell’informazione; i dati rispecchiano in generale caratteri di omogeneità basati su informazioni intrinseche (specifiche dell’oggetto) ed estrinseche (relazionali).

7 S.A. ARCHEOLOGIA QUANTITATIVA 7 Basi di dati In Archeologia si riconoscono basi di dati di tipo: n Fattuale,inerente alla realtà, per la raccolta di elementi concernenti oggetti mobili, edifici, iscrizioni, decorazioni,etc. allo scopo di costituire inventari (assumono quindi una funzione amministrativa) n bibliografico con lo scopo di arrivare alla schedatura di diverse pubblicazioni per fornire informazioni sistematiche. Le basi di dati si limitano però a trattare i dati in maniera descrittiva, e non permettono una analisi e una interpretazione dei dati stessi.

8 S.A. ARCHEOLOGIA QUANTITATIVA 8 Sistemi statistici Tenuto conto anche del fatto che i dati di scavo (geografici, stratigrafici, immobili,materiali mobili, etc.) non sono completamente omogenei, l’archeologia si è rivolta ai sistemi basati su tecniche matematico – statistiche. I primi esempi di applicazione si sono avuti negli anni ’50 in archeologia preistorica attraverso l’uso di tecniche grafiche e di statistiche descrittive. Questo approccio ha dato luogo, a partire dagli anni ’60, ad una branca di ricerca definita “Archeologia Quantitativa”, considerata da alcuni ricercatori una disciplina autonoma nell’ambito di un movimento culturale detto New Archaeology.

9 S.A. ARCHEOLOGIA QUANTITATIVA 9 Origini della statistica(1) I primi rilevamenti statistici risalgono all’antichità e derivano dalla naturale esigenza umana della classificazione di tutto ciò che è presente nell’ambiente in cui vive. Alcuni esempi: n censimento (census) dei cittadini (Antica Roma) n indagini per la previsione delle piene del Nilo (Egitto) I due esempi hanno caratteristiche completamente diverse.

10 S.A. ARCHEOLOGIA QUANTITATIVA 10 Origini della statistica(2) certo probabile Il censimento ha infatti lo scopo di evidenziare una situazione di fatto e rientra nella logica del certo,fotografando lo stato della popolazione in quel preciso periodo, mentre il secondo rientra nella logica del probabile, gli unici approcci che rispecchiano il comportamento dell’uomo di fronte a qualunque fenomeno. La logica del probabile è il contesto nel quale si pone la statistica, che si avvale del calcolo delle probabilità per studiare i fenomeni, evidenziarne le caratteristiche e stabilire associazioni e relazioni tra fatti.

11 S.A. ARCHEOLOGIA QUANTITATIVA 11 Il campo di interesse della statistica è quello dei fenomeni collettivi che richiedono, per la loro valutazione, grandi quantità di osservazioni. Le tecniche e i metodi statistici si pongono l’obiettivo di ridurre queste grandi quantità di osservazioni a pochi elementi, valori di sintesi che rappresentino la totalità e tengano conto delle variazioni delle osservazioni. Il metodo statistico facilita quindi il confronto tra valori e fenomeni e rende possibile la scoperta di regole nella apparente irregolarità.

12 S.A. ARCHEOLOGIA QUANTITATIVA 12 La statistica è la scienza che studia i fenomeni collettivi mediante metodi matematici fondati sul calcolo delle probabilità. Il procedimento statistico presenta due aspetti: n Tecnico, relativamente alla raccolta, elaborazione e presentazione dei dati, anche in forma grafica; n Logico che si propone di formulare leggi, trarre deduzioni e conseguenze e mettere in evidenza le cause dei fenomeni.

13 S.A. ARCHEOLOGIA QUANTITATIVA 13 E’ uso differenziare tra : statistica descrittiva: raccogliere ed elaborare dati per ricavare informazioni sintetiche e significative, secondo le esigenze del problema di interesse. statistica inferenziale o induttiva : definire metodi per passare dall’osservazione di casi particolari a leggi generali L’estensione dei risultati di un campione rappresentativo alla totalità della popolazione è detta inferenza, la cui analisi è detta Inferenza statistica.

14 S.A. ARCHEOLOGIA QUANTITATIVA 14 Quando si deduce un parametro di una popolazione sulla base delle corrispondenti osservazioni (statistiche) effettuate su un campione casuale si dice che si effettua una stima che rappresenta una approssimazione statistica dei risultati di una indagine sulla intera popolazione. I risultati tratti dal campione ed estesi alla popolazione evidenziano la presenza di un trade-off (scambio-compromesso) tra costi/tempi e accuratezza della stima.

15 S.A. ARCHEOLOGIA QUANTITATIVA 15 Statistica descrittiva n Studio e sintesi de fenomeni collettivi, che sono caratterizzati da risultati incerti. n Descrivere e prevedere questa variabilità n Popolazione o universo. n Unità statistiche o casi. n Caratteristiche : variabili n Modalità : valori assunti (dati)

16 S.A. ARCHEOLOGIA QUANTITATIVA 16 (fonte : Mike Flechter and Gary R. Lock) 40 Punte di lancia con o senza anello (loop) per stringere la punta sulla immanicatura e spinotto, ribattino (peghole) per bloccare la punta sulla immanicatura. Caratteristiche, attributi di interesse archeologico: Tipo di materiale Luogo ritrovamento Loop: presenza/ assenza Peghole : presenza/ assenza Stato di conservazione Epoca Misure ( distanza, peso, lunghezze,…)

17 S.A. ARCHEOLOGIA QUANTITATIVA 17 Unità statistica, di rilevazione,caso: ogni singola punta Universo o popolazione : insieme di tutte le punte Variabile: ogni caratteristica che può manifestarsi in modo diverso in unità diverse Valori, modalità: diversi modi nei quali una variabile può manifestarsi.

18 S.A. ARCHEOLOGIA QUANTITATIVA 18 Variabili e modalità n Materiale: bronzo ferro n Luogo di ritrovamento: sul terreno sedimento sepoltura n Loop: presente assente

19 S.A. ARCHEOLOGIA QUANTITATIVA 19 n Peghole presente assente n Stato di conservazione: eccellente buono soddisfacente scarso n Periodo: A.C. n Misure: lunghezza, larghezza, cavità etc. in cm. peso in gr. Variabili e modalità

20 S.A. ARCHEOLOGIA QUANTITATIVA 20 10 massima larghezza 8 massima lunghezza 9 lunghezza cavità 11 larghezza cavità esterna 12 13 distanza centro-base larghezza cavità interna

21 S.A. ARCHEOLOGIA QUANTITATIVA 21 Sheda di unità statistica Numero ord.1 Materialeferro Contestosepoltura Loopassente Pegholepresente Condizionesoddisfacente Data (a.c.)300 Max Lung.12,4 cm Lung cav.3,1 cm Max Larg.3,6 cm Cav Int.1 cm Cav. ester.1,7 cm dist. centro-base6,2 Peso167 gr

22 S.A. ARCHEOLOGIA QUANTITATIVA 22 materiale1 bronzo 2 ferro Peghole1 assenza 2 presenza Loop1 assenza 2 presenza Contesto1 sul terreno 2 sedimento 3 sepoltura condizione1 eccellente 2 buona 3 soddisfacente 4 scarsa Missing (mancante)*

23 S.A. ARCHEOLOGIA QUANTITATIVA 23 Scheda di unità statistica codificata Numero ord.1 Materiale2 Contesto3 Loop1 Peghole2 Condizione3 Data (a.c.)300 Max Lung.12,4 cm Lung cav.3,1 cm Max Larg.3,6 cm Cav Int.1 cm Cav. ester.1,7 cm dist. centro-base6,2 Peso167 gr Tutte le unità sono raccolte in una tabella

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25 S.A. ARCHEOLOGIA QUANTITATIVA 25 Scale Abbiamo considerato la misura delle caratteristiche delle variabili, o, come si dice, il livello di misura o scala. Scala nominale Implica solo nomi da assegnare alle diverse categorie,per un processo di classificazione. E’ il livello più basso di misurazione. Tipo di materiale, loop, peghole. Permette di classificare le unità: tutte le punte di ferro, etc e formare quindi nuove classi.

26 S.A. ARCHEOLOGIA QUANTITATIVA 26 Scale Scala ordinale Possiamo formare classi e metterle anche in ordine, ma senza che vi sia una distanza tra le categorie o tra i singoli individui Es.: stato di conservazione Scala a intervalli Quando è possibile stabilire la distanza:è fissata una unità di misura Es. : Data ; l’ unità di misura è l’anno. Manca però il punto iniziale: lo zero assoluto (Temperatura)

27 S.A. ARCHEOLOGIA QUANTITATIVA 27 Scala di rapporti (ratio) Ha le stesse proprietà della scala a intervalli In più esiste anche lo zero assoluto Pesi, distanze etc.

28 S.A. ARCHEOLOGIA QUANTITATIVA 28 Variabili n Variabili quantitative (parametriche): - discrete: i valori sono numeri interi positivi - continue:i valori sono numeri positivi, negativi, decimali (reali) n Variabili qualitative, nominali (non parametriche): –Sconnesse quando non esiste alcun ordine. Es: colore dei capelli –Ordinabili: Lineari (stato di conservazione) Cicliche (mesi dell’anno)

29 S.A. ARCHEOLOGIA QUANTITATIVA 29 Indici di posizione (misure di tendenza centrale) n Valori che riassumono le caratteristiche dei dati per: –Sintetizzare i dati –Facilitare il confronto tra situazioni analoghe n Medie: Aritmetica Geometrica Ponderata n Mediana: valore centrale della sequenza ordinata dei dati n Moda: modalità più ricorrente

30 S.A. ARCHEOLOGIA QUANTITATIVA 30 Indici di dispersione n Campo di variazione: differenza tra il valore più grande x l e il più piccolo x s n E’ poco significativo: le distribuzioni hanno lo stesso campo di variazione, ma sono molto diverse in quanto a variabilità n Varianza n Scarto quadratico medio (deviazione standard): è la radice quadrata della varianza

31 S.A. ARCHEOLOGIA QUANTITATIVA 31 Terminologia e formule n Parametri della popolazione Media aritmetica:  deviazione standard :  = n Statistiche del campione n Media aritmetica: deviazione standard : s =

32 S.A. ARCHEOLOGIA QUANTITATIVA 32

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35 S.A. ARCHEOLOGIA QUANTITATIVA 35 Punte di misura diversa rispetto a cavità interna

36 S.A. ARCHEOLOGIA QUANTITATIVA 36 Dati raggruppati - Frequenze n Si costruisce una partizione dei dati in classi: la frequenza (assoluta) denota il numero di elementi per ciascuna classe. Frequenze assolute, cumulate Frequenze Relative: rapporto tra frequenze assolute e il numero totale di unità statistiche in esame. n Le distribuzioni di frequenze si rappresentano mediante tabelle e graficamente.

37 S.A. ARCHEOLOGIA QUANTITATIVA 37 Cavità interna : partizione in intervalli intervallifr.assolutefr.relativefr.assolute cumulate  10,0251 0,8 - 130,0754 1 - 1,250,1259 1,2 - 1,470,17516 1,4 - 1,6110,27527 1,6 - 1,880,235 1,2 - 240,139 2 - 2,210,02540 >2,20040

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39 S.A. ARCHEOLOGIA QUANTITATIVA 39

40 S.A. ARCHEOLOGIA QUANTITATIVA 40

41 S.A. ARCHEOLOGIA QUANTITATIVA 41

42 S.A. ARCHEOLOGIA QUANTITATIVA 42 Variabili standardizzate (normalizzate) xmediascartox norm. 8476100,8 9082160,5

43 S.A. ARCHEOLOGIA QUANTITATIVA 43 Curva normale standardizzata n Media = mediana = 0 n Scarto = 1 n Un numero nella Tavola seguente rappresenta l' area sottesa dalla curva che si trova tra il valore medio (Z = 0) e il valore standardizzato positivo Z. L'area tra il valore 0 e un valore negativo sarà identica all'area tra il valore medio e quello positivo per la simmetria della curva. n Se z non è intero, e quindi del tipo z = a,bc si cerca a,b nella prima colonna della tabella e si prende il valore intersezione della riga selezionata e della colonna 0,0b. Es: z=1,82 area = 0,4656

44 S.A. ARCHEOLOGIA QUANTITATIVA 44 Z0,000,010,020,030,040,050,060,070,080,09 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,0000 0,0398 0,0793 0,1179 0,1554 0,0040 0,0438 0,0832 0,1217 0,1591 0,0080 0,0478 0,0871 0,1255 0,1628 0,0120 0,0517 0,0910 0,1293 0,1664 0,0160 0,0557 0,0948 0,1331 0,1700 0,0199 0,0596 0,0987 0,1368 0,1736 0,0239 0,0636 0,1026 0,1406 0,1772 0,0279 0,0675 0,1064 0,1443 0,1808 0,0319 0,0714 0,1103 0,1480 0,1844 0,0359 0,0753 0,1141 0,1517 0,1879 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 0,1915 0,2257 0,2580 0,2881 0,3159 0,1950 0,2291 0,2611 0,2910 0,3186 0,1985 0,2324 0,2642 0,2939 0,3212 0,2019 0,2357 0,2673 0,2967 0,3238 0,2054 0,2389 0,2703 0,2995 0,3264 0,2088 0,2422 0,2734 0,3023 0,3289 0,2123 0,2454 0,2764 0,3051 0,3315 0,2157 0,2486 0,2794 0,3078 0,3340 0,2190 0,2517 0,2823 0,3106 0,3365 0,2224 0,2549 0,2852 0,3133 0,3389 1,0 1,1 1.2 1.3 1.4 0,3413 0,3643 0,3849 0,4032 0,4192 0,3438 0,3665 0,3869 0,4049 0,4207 0,3461 0,3686 0,3888 0,4066 0,4222 0,3485 0,3708 0,3907 0,4082 0,4236 0,3508 0,3729 0,3925 0,4099 0,4251 0,3531 0,3749 0,3944 0,4115 0,4265 0,3554 0,3770 0,3962 0,4131 0,4279 0,3577 0,3790 0.3980 0,4147 0,4292 0,3599 0,3810 0,3997 0,4162 0,4306 0,3621 0,3830 0,4015 0,4177 0,4319 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 0,4332 0,4452 0,4554 0,4641 0,4713 0,4345 0,4463 0,4564 0,4649 0,4719 0,4357 0,4474 0,4573 0,4656 0,4726 0,4370 0,4484 0,4582 0,4664 0,4732 0,4382 0,4495 0,4591 0,4671 0,4738 0,4394 0,4505 0,4599 0,4678 0,4744 0,4406 0,4515 0,4608 0,4686 0,4750 0,4418 0,4525 0,4616 0,4693 0,4756 0,4429 0,4535 0,4625 0,4699 0,4761 0,4441 0,4545 0,4633 0,4706 0,4767 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 0,4772 0,4821 0,4861 0,4893 0,4918 0,4778 0,4826 0,4864 0,4896 0,4920 0,4783 0,4830 0,4868 0,4898 0,4022 0,4788 0,4834 0,4871 0,4901 0,4925 0,4793 0,4838 0,4875 0,4904 0,4927 0,4798 0,4842 0,4878 0,4906 0,4929 0,4803 0,4846 0,4881 0,4909 0,4931 0,4808 0,4850 0,4884 0,4911 0,4932 0,4812 0,4854 0,4887 0,4913 0,4934 0,4817 0,4857 0,4890 0,4916 0,4936 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3,0 0,4938 0,4953 0,4965 0,4974 0,4981 0,4987 0,4940 0,4955 0,4966 0,4975 0,4982 0,4987 0,4941 0,4956 0,4967 0,4976 0,4982 0,4987 0,4943 0,4957 0,4968 0,4977 0,4983 0,4988 0,4945 0,4959 0,4969 0,4977 0,4984 0,4988 0,4946 0,4960 0,4970 0,4978 0,4984 0,4989 0,4948 0,4961 0,4971 0,4979 0,4985 0,4989 0,4949 0,4962 0,4972 0,4979 0,4985 0,4989 0,4951 0,4963 0,4973 0,4980 0,4986 0,4990 0,4952 0,4964 0,4974 0,4981 0,4986 0,4990

45 S.A. ARCHEOLOGIA QUANTITATIVA 45 Distribuzione campionaria n Popolazione di N=5 individui : 2,3,6,8,11 Media  = 6,0 varianza = 10,8 scarto  Si estraggono tutti i campioni di dimensione n=2  Le medie dei campioni sono: 2,5-4-5-6,5-4,5-5,5-7-7-8,5-9,5 Sono dette medie campionarie. La media delle medie campionarie è: =6,0 La varianza della distribuzione delle medie campionarie è 4,05 e quindi lo scarto è: = 2,01

46 S.A. ARCHEOLOGIA QUANTITATIVA 46 Distribuzione campionaria n Se si ripete il processo per i campioni di dimensione crescente si osserva che la media della distribuzione campionaria rimane la stessa, mentre lo scarto tende a diminuire. n Ad esempio per i 5 campioni di n=4 elementi si ottiene: = 6,0 = 0,82 Significato: le medie campionarie sono meno variabili dei valori reali della popolazione in quanto hanno assorbito i valori estremi che invece incidono pesantemente nella popolazione, in conclusione lo scarto quadratico medio della medie campionarie è minore di quello delle medie campionarie.

47 S.A. ARCHEOLOGIA QUANTITATIVA 47 Distribuzione campionaria n Si consideri ora l’espressione: SE = Nel caso dei campioni di dimensione 2 si ha: SE = 2,32 Che approssima bene il valore 2,01 dello scarto della distribuzione campionaria delle medie. Poiché la dimensione del campione è piccola, un valore migliore si ottiene applicando la formula corretta: SE = da cui SE = 2,01 che coincide con il valore dello scarto della distribuzione campionaria delle medie.

48 S.A. ARCHEOLOGIA QUANTITATIVA 48 Teorema del limite centrale n Tre diverse distribuzioni : - della popolazione - all’interno del campione - distribuzione delle media campionarie Se la prima è normale lo sono anche le altre. Nel caso della normalità si può ragionare su un campione di almeno dieci elementi In ogni caso, al crescere della dimensione del campione, la distribuzione delle medie campionarie tende ad essere normale. La dimensione minima è 30. Le relazioni fondamentali sono: =

49 S.A. ARCHEOLOGIA QUANTITATIVA 49 Significato, che abbiamo già denotato con SE, è detto errore standard Sappiamo che nell’intervallo (media- scarto, media + scarto) cade il 68,26% dei valori. Ripetiamo le stesse considerazioni per la distribuzione campionaria. L’intervallo in esame è: ( -, + ) Il 68,26% delle medie dei campioni cadono nell’intervallo, per cui si può scrivere: -   ovvero: -  

50 S.A. ARCHEOLOGIA QUANTITATIVA 50 Come si interpreta? -La vera media della popolazione cadrà con probabilità 0,6826 nel suddetto intervallo - L’errore standard non descrive la variabilità della popolazione, ma descrive il grado di certezza con il quale una media campionaria stima la vera media della popolazione. - Gli estremi dell’intervallo sono detti limiti di confidenza o fiduciari - Le stesse considerazioni si ripetono per gli intervalli introdotti nella diapositiva 40. - Le relazioni di n.48 dicono che la media aritmetica del campione è uno stimatore corretto della media della popolazione, mentre SE è uno stimatore distorto dello scarto della popolazione.

51 S.A. ARCHEOLOGIA QUANTITATIVA 51 Stime n Abbiamo valutato i parametri della popolazione a partire dai valori corrispondenti del campione: è questa la stima puntuale. n Altro aspetto è la stima per intervalli: piuttosto che chiedere quanto vale un parametro, ci domandiamo in quale intervallo cade. Esempio di stima per intervalli Campione,estratto da popolazione normale, di dimensione n=16 con media 1,71 e scarto 0,12. Dal teorema del limite centrale sappiamo che 1,71 è una buona stima della media della popolazione. La dimensione del campione del campione è sufficientemente grande per approssimare lo scarto della popolazione con quello del campione.

52 S.A. ARCHEOLOGIA QUANTITATIVA 52 Determiniamo ora l’intervallo in cui cadrà la media della popolazione al 95%. L’area di riferimento è quindi 0,95 suddivisa in due parti di 0,4750 Il valore critico corrispondente è Z=1,96. L’intervallo è : (media ±1,96 ) ovvero: 1,71 ± 1,96 0,12/4 = 1,71 ± 0,0588 da cui : (1,6512 – 1,7688) Al 95% la media della popolazione cade in questo intervallo; d’altra parte avevamo già stimato che il suo valore fosse 1,71

53 S.A. ARCHEOLOGIA QUANTITATIVA 53 n Esempio Popolazione normale: media 100, scarto 15 Campione di dimensione n=40 media 107 E’ casuale questa media? = = 100 = = 2,37 Standardizziamo: Z = (107-100)/SE = (107-100)/2,37 = 2,95 Area tra 0 e 2,95 è 0,4984 (dalle tavole) Area a destra di 2,95 è 0,5-0,4984=0,0016 è molto piccola e quindi la probabilità che l’evento sia casuale è scarsa.

54 S.A. ARCHEOLOGIA QUANTITATIVA 54 Decisioni statistiche Scopo. Prendere decisioni sulla popolazione partendo da ipotesi relative ad un solo campione Ipotesi nulla H 0 : di solito formulata in modo da poter essere rifiutata Ipotesi alternativa H A Verificare, attraverso test di ipotesi o regole di decisione, se i risultati osservati si differenziano in modo significativo da quelli attesi. Errori di valutazione: - di tipo I : si rifiuta ipotesi quando dovrebbe essere accettata - di tipo II : si accetta ipotesi quando dovrebbe essere rifiutata

55 S.A. ARCHEOLOGIA QUANTITATIVA 55 Livello di significatività  : probabilità massima con la quale si accette di compiere un errore di tipo I 1-  : livello di confidenza o di fiducia Valori tipici: 0,05 (5%), 0,01 (1%) Metodo Grandi campioni : n  30 -Si sfrutta la normalità e quindi si usano le tavole relative alle variabili standardizzate -Si fissa il livello: di solito 5% a cui corrisponde il valore critica Z=1,96 -Si considera il campione : media e scarto -L’area tra -,196 e 1,96 è l’area di accettazione dell’ipotesi - L’area esterna è la regione critica: i valori differiscono in modo significativo da quelli ipotizzati - L’area esterna è ripartita in due parti simmetriche (due code) oppure è costituisce un unico blocco (una coda)

56 S.A. ARCHEOLOGIA QUANTITATIVA 56 n Esempio: Popolazione con media 120 e scarto 10 Campione con n=36 e media 114 Domanda: il campione proviene da quella popolazione? Ipotesi : media =120 Livello = 5% Due metodi A) Metodo degli intervalli di confidenza L’area di accettazione, che si denota con 95%IC è : (media ±1,96 ) ovvero: 114 ± 1,96 10/  36= 114 ± 3,27 da cui : (110,73 – 117,27)

57 S.A. ARCHEOLOGIA QUANTITATIVA 57 120 non appartiene all’intervallo e quindi è improbabile che il campione provenga da una popolazione con media 120:Si accetta quindi l’ipotesi alternativa B) Metodo del test statistico Si calcola : Z= (media campionaria-media popolazione)/ SE = (114-120)/SE = -3,6 dove SE = 10/  36 Ma -3,6 è molto più piccolo di -1,96 e quindi cade nella regione critica L’ipotesi nulla è da scartare e quindi è improbabile che il campione provenga da una popolazione con media 120

58 S.A. ARCHEOLOGIA QUANTITATIVA 58 Nota: se avessimo formulato l’ipotesi media>120 la regione critica sarebbe stata tutta dalla parte destra della curva e avremmo quindi effettuato un test ad una coda. In questo caso avremmo dovuto considerare solamente metà area 0,50 e quindi togliendo 5% del livello,l’area di accettabilità sarebbe stata 0,45 a cui corrisponde il valore critico Z=1,64 invece di 1,96. Il metodo sarebbe poi rimasto lo stesso.

59 S.A. ARCHEOLOGIA QUANTITATIVA 59 Piccoli campioni Problemi nuovi: - Campioni di dimensione n minore di 30 e quindi con distribuzione non normale - Non conoscenza dello scarto della popolazione Soluzione: Teoria dei piccoli campioni detta anche Teoria campionaria esatta in quanto vale per piccoli che per grandi campioni

60 S.A. ARCHEOLOGIA QUANTITATIVA 60 Test di Student (t-test) Si definisce la statistica: t = (  n-1) ( )/s Con il consueto significato dei simboli  = n-1 sono i gradi di libertà  Anche in questo caso l’area sottesa dalla curva è 1.  Si usa la tabella di Student simile a quella della distribuzione normale.  La riga è determinata dai gradi di libertà e la colonna viene selezionata in base al valore del livello di significatività.  Si determinano i valori critici t in modo analogo ai valori z.

61 S.A. ARCHEOLOGIA QUANTITATIVA 61 Esempio Popolazione con media 9,5 Campione : n=15 media=10,64 scarto s= 7,26  =5% H 0 : media pop. =9,5 Test a due code: 0,05/2 =0,025 t = (  14)(10,64-9,5)/7,26 =0,59 Gradi di libertà = 14 t(0.025) = 2,14 Intervallo IC = (-2,14, +2,14) t=0,59 appartiene all’intervallo IC L’potesi nulla è accettabile.

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63 S.A. ARCHEOLOGIA QUANTITATIVA 63 Statistica bivariata

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