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PROGETTO LAUREE SCIENTIFICHE LABORATORIO 1. Introduzione storica Principio di Fermat Geometrie non euclidee Geometria della sfera Geometria del taxi Sistemi.

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1 PROGETTO LAUREE SCIENTIFICHE LABORATORIO 1

2 Introduzione storica Principio di Fermat Geometrie non euclidee Geometria della sfera Geometria del taxi Sistemi assiomatici Conclusioni

3 INTRODUZIONE STORICA Molti illustri matematici di tutti i tempi si occuparono di problemi di massimo e di minimo: Il più antico problema di massimo esplicitamente formulato che si conosca è contenuto, secondo Cantor, nella proposizione 27 del libro VI degli Elementi di Euclide che in forma geometrica modificata si può così riassumere "Dato un triangolo ABC, se da un punto D del lato BC si tracciano le parallele ED ad AC, FD ad AB, l’area del parallelogramma AEDF è massima quando D è il punto medio di BC". Ne consegue che se AB = AC e l’angolo BAC è retto, allora tra tutti i rettangoli di perimetro dato, il quadrato è quello di area massima; proprietà implicita espressa nella prop 5 del libro II degli Elementi.

4 Apollonio (262 a.C- 190 a.C) si occupò, ritenendoli di importante interesse, dei massimi e minimi che si possono condurre da un punto ai punti di una conica. I greci conoscevano già i più celebri problemi di isoperimetria ad esempio: fra tutti i poligoni convessi di n lati e di dato perimetro quello regolare racchiude l’area massima; fra tutte le superfici piane, il cui contorno ha una data lunghezza, il cerchio ha l’area massima; fra tutti i solidi di data superficie la sfera ha il massimo volume Erone di Alessandria ( I secolo a.C. ) riconobbe che la riflessione di un raggio luminoso in uno specchio piano può essere descritta da un principio di minimo. Il problema infatti chiede di individuare il percorso più breve che permette di passare da un punto A ad un punto B, toccando una retta r, supposti i punti A e B dalla stessa parte di r. Zenodoro (200 a.C- 100 d.C) ha raccolto una quantità notevole di teoremi sugli isoperimetri in geometria piana. I suoi risultati sono stati riportati da Pappo che li ha integrati con altri problemi quale ad esempio "fra tutti i segmenti circolari limitati da un arco di data lunghezza il semicerchio ha l’area massima". L’analogo, nello spazio, si trova già in Archimede.

5 Diversi sono stati i matematici che continuarono anche nei secoli successivi ad occuparsi di problemi degli isoperimetri: C. Cramer (1752) ha dimostrato che fra tutti i poligoni piani convessi aventi come lati n segmenti dati, ha area massima quello inscrivibile in un cerchio. S. Lhuilier, ( ) ha raccolto, riordinato e ampliato tutto ciò che si conosceva fino a quel tempo sui problemi degli isoperimetri sia nel piano che nello spazio. J. Steiner ( ) ha trattato un notevole numero di questioni di massimo e minimo, utilizzando modi diversi per stabilire le proprietà isoperimetriche del cerchio e della sfera e da queste dedusse numerose applicazioni. Una delle più famose è la seguente: "Tre villaggi A,B,C, devono essere congiunti da un sistema di strade di minima lunghezza totale". R. Sturm ( ) ha continuato l’opera di raccolta e perfezionamento di Steiner riordinando le questioni di massimo e minimo in un unico libro Maxima und Minima in der elementaren Geometrie - Berlin Fino ad allora, i problemi venivano affrontati per via sintetica, mettendo in evidenza solo le condizioni necessarie cui la figura doveva soddisfare. La trattazione rigorosa di tutta la teoria degli isoperimetri e delle questioni di massimo e minimo fu realizzata grazie ai metodi dell’Analisi. Fu così possibile ricondurre le ricerche di massimi e minimi delle funzioni di una o più variabili ad un’applicazione sistematica del calcolo delle derivate e fu possibile inoltre risolvere problemi dell’isoperimetria solida.

6 Hermann Schwarz ( ) contribuì alla teoria delle funzioni e all’analisi, ma si dedicò anche a questioni elementari quali: "dato un triangolo acutangolo, inscrivere in esso un altro triangolo di perimetro minimo". Egli dimostrò che esiste un solo triangolo e che è quello i cui vertici sono sono i piedi delle altezze. Nel 1884 Schwarz dimostra la proprietà isoperimetrica della sfera (fra tutti i solidi con la stessa superficie, la sfera sia quello che contiene il maggior volume) nello spazio in cui siamo abituati, quello euclideo a tre dimensioni. Nel 1958 l’italiano Ennio De Giorgi, partendo dalla teoria di un altro matematico Renato Caccioppoli, uno dei padri della scienza delle bolle, fece di più: dimostrò che la proprietà isoperimetrica della sfera è valida in uno spazio a più di tre dimensioni. Molti matematici ancora oggi stanno portando avanti ricerche in questo campo per dimostrare proprietà di minimo nella configurazione che formano due o più bolle di sapone se si toccano.

7 PRINCIPIO DI FERMAT Fermat ( ) dimostrò che la legge della riflessione della luce può anche essere enunciata nei termini di un principio di minimo. "In un mezzo non omogeneo, un raggio luminoso che passa da un punto a un altro segue un cammino per cui il tempo impiegato è minimo rispetto a tutti i cammini che congiungono i due punti". Il cammino di minimo tempo è quello per cui gli angoli di incidenza i e di riflessione r sono uguali.

8 NOTE La dimostrazione analitica risulta complessa e si basa sul fatto che AP+PB = minimo con A(x a,y a ) B(x b,y b ) P(x,0) Il principio vale anche per specchi curvi Si dimostra che il cammino più breve contiene solo un punto P Fermat ha dimostrato anche un principio per la rifrazione della luce che attraversa due mezzi diversi separati da una superficie piana S sen  /sen  =v 1 /v 2 =  con v 1 =velocità della luce nel mezzo di provenienza v 2 =velocità della luce nel mezzo di arrivo  = angolo di incidenza  = angolo di rifrazione A B   S

9 GEOMETRIA DELLA SFERA

10 GEOMETRIA SULLA SFERA Piano euclideo E 2 (ascissa e ordinata) :ambiente geometrico bidimensionale Superficie sferica S 2 (latitudine e longitudine) :ambiente geometrico bidimensionale Punto di vista intrinseco: punto di vista di un essere bidimensionale nello studio della geometria della sfera Punto di vista estrinseco: il nostro punto di vista tridimensionale che ci consente di contemplare la superficie di una sfera immersa nello spazio.

11 CIRCONFERENZE MASSIME Cerchio massimo: cerchio sezione determinato da un piano che taglia una sfera passando per il suo centro Circonferenza massima: circonferenza individuata sulla superficie sferica dal piano stesso Punti antipodali( opposti): punti della superficie di una sfera allineati con il centro della sfera Proprietà 1) Per ogni punto P sulla superficie di una sfera passano infinite circonferenze massime 2) Per ogni coppia di punti non antipodali passa una ed una sola circonferenza massima Conseguenze 1)Se nel piano euclideo una retta è individuata in modo univoco da due punti, analogamente sulla superficie di una sfera una circonferenza massima è individuata in modo univoco da due punti non antipodali 2) Le linee “rette” sulla superficie di una sfera sono le circonferenze massime

12 I PERCORSI PIU’ BREVI Comunque presi due punti A e B su di una retta, il segmento AB è il percorso più breve tra essi Sulla superficie di una sfera, le circonferenze massime rappresentano il cammino più breve tra due punti non antipodali, ma poiché due punti determinano due archi diversi, quello minore sarà il più breve Se i punti sono antipodali ci saranno infiniti percorsi minimi(tutte le circonferenze massime per i due punti); questa distanza = semicirconferenza massima A B Distanza intrinseca Distanza estrinseca

13 LINEA GEODETICA Una linea  tracciata su qualunque superficie S è una linea geodetica se ogni arco non troppo lungo di , i cui estremi siano i punti A e B, è il percorso più breve da A a B tra tutti quelli tracciabili su S. -Nel piano euclideo sono le rette -Sulla superficie di una sfera sono le circonferenze massime( i percorsi non troppo lunghi sono gli archi minori)

14 GEOMETRIA DEL TAXI

15 MODELLO DEL TAXI -La geometria del taxi fu proposta da Hermann Minkowski( ), un matematico russo. -Il piano viene schematizzato con una griglia a maglie quadrate in cui i punti corrispondono all’intersezione di strade in una città ideale dove tutte le strade sono orizzontali o verticali. E’ come pensare di lavorare su un piano quadrettato, come un foglio di quaderno. -I taxi si muovono, lungo le strade della città quindi vanno da un punto all’altro cercando i percorsi di minima lunghezza che congiungono due punti. Questo modello risulta migliore per il mondo urbano in cui viviamo.

16 COSA CAMBIA? Cambia il concetto di distanza Punti sulla stessa strada Punti non sulla stessa strada Teorema di Pitagora Si contano le unità di misura (come euclidea) che un taxi attraverserebbe nel fare il tragitto più breve per andare da un punto all’altro D= [(x 2 -x 1 ) + (y 2 -y 1 )] 1/2 D = |x 2 -x 1 | + |y 2 -y 1 | P(1,1) Q(3,5) PQ =  20 PQ=6 NB: Le coordinate dei punti sono solo intere, quindi siamo in una geometria discreta

17 ELEMENTI GEOMETRICI Cosa diventano nella geometria del taxi ? PUNTI SEGMENTI RETTE ANGOLI TRIANGOLI CIRCONFERENZE E CERCHI

18 PUNTI Rappresentano le intersezioni di strade, quindi sono i vertici dei quadretti della griglia A B C D

19 SEGMENTI Rappresentano i percorsi che uniscono due punti, quindi possono essere anche spezzate. Per andare da A a C si possono scegliere 2 percorsi: AC(sulla stessa strada) oppure ABDEFC (percorrendo strade diverse) Se si sceglie il primo percorso AC = 4 in entrambe le geometrie Se si sceglie il secondo percorso, esso vale solo in quella del taxi e AC=8 A C F BD EF

20 RETTE Le rette si ottengono prolungando all’infinito un segmento Rappresentano i percorsi più brevi che uniscono due punti A e B e tali che AB + BC = AC Nella figura AB=4 BC=4 AC =8 (per qualunque percorso), quindi ABC è una retta. EF=4 FG=3 EF+FG = 7 ma EG = 5 (percorso più breve) quindi EFG non è una retta ( per la disuguaglianza è un triangolo) Le rette si ottengono prolungando all’infinito un segmento A F....B... C E F G.....

21 ANGOLI Poiché per definizione gli angoli sono delimitati da due semirette, nella geometria del taxi essi sono tutti retti e quindi tutti uguali fra loro.

22 TRIANGOLI Dati 3 punti (vertici) si congiungono con segmenti (lati) in modo che i “pezzi” di lati non si sovrappongano, né devono essere sulla stessa verticale o sulla stessa orizzontale. Esempi di triangoli equilateri : ABC lato =8; DEF lato =6; LMN lato =4 ; PQR lato =6 A B C D E F L M N P Q R

23 Triangolo isoscele e triangolo scaleno Nella geometria del taxi non vale la disuguaglianza triangolare: AB = 4 DE = 8 BC = 6 EF = 7 AC = 6 FD = 15 In DEF, FD non è minore (ma uguale) di DE+EF A B C D E F

24 Criteri di uguaglianza dei triangoli Nella geometria del taxi non vale il primo criterio di uguaglianza dei triangoli: AB = 4 BC = 4 AC = 4 ED = 4 DF = 4 FE = 8 poichè BC = DF  AB = ED  angolo ABC = angolo EDF(perché retti) Per la geometria euclidea dovrebbero essere uguali Per la geometria del taxi non lo sono perché ABC è equilatero,DEF è isoscele A B D E F C

25 CIRCONFERENZE E CERCHI Circonferenza: luogo dei punti per i quali è costante la distanza (raggio) da un punto fisso (centro) R=4 L=32 d=32/8 =4 (corrispondente di  nella geometria euclidea) Area=dipende dal cammino che sceglie il taxi, max=40, min= O.

26 CONCLUSIONI La geometria analitica è tutta da ricostruire La geometria del taxi è più vera o meno vera di quella euclidea? La domanda non ha senso, essa è solo un’altra geometria che risponde meglio ad esigenze diverse, quindi coesiste con quella euclidea e con tutte quelle che possono essere dedotte da “regole”prefissate. (TEORIE ASSIOMATICHE)

27 GEOMETRIE NON EUCLIDEE

28 Euclide Vissuto intorno al 300 a.c., scrisse gli “Elementi”, opera in 13 libri Per la prima volta utilizza il sistema ipotetico-deduttivo fondato su: -termini(le nostre definizioni) -assiomi(asserzioni evidenti delle verità) -postulati(come sopra,oggi non li distinguiamo più dagli assiomi) La verità di assiomi e postulati e la correttezza delle dimostrazioni garantiscono la verità all’intera teoria Gli assiomi ed i postulati fanno sì che l’intuizione è garanzia di verità ma è anche limitata al massimo

29 I 5 POSTULATI I primi tre sono evidenti, basta ricorrere a costruzioni grafiche Il quarto si dimostra dagli altri 3 Il quinto, detto delle parallele(per un punto esterno ad una retta passa una ed una sola parallela ad essa), non è immediatamente evidente come gli altri, non rimanda ad una costruzione geometrica. Lo stesso Euclide nutriva qualche dubbio sulla sua legittimità di postulato Cosa accade se consideriamo il piano illimitato? E’ ancora valido o no?

30 IL QUINTO POSTULATO L’intuizione non può aiutarci a rispondere alla domanda precedente Rinunciare ad esso, però, non è possibile perché da esso discendono le altre dimostrazioni tra cui : -il teorema di Pitagora -la trigonometria -la geometria analitica E’ indipendente dagli altri? Se fosse una conseguenza logica degli altri, si potrebbe eliminarlo come assioma e darne una dimostrazione servendosi degli altri.

31 I TENTATIVI Posidonio (greco) nel 1 0 secolo a.c.;Proclo (greco); Nasir-Eddin (arabo); Wallis (inglese). Tutti giunsero a conclusioni che potevano essere dimostrate solo utilizzando il 5 o postulato. I tentativi rimasero senza successo fino al XVII secolo. Gerolamo Saccheri ( ), frate gesuita,negò il postulato per arrivare ad una contraddizione(dimostrazione per assurdo), costruendo il quadrilatero birettangolo : “Preso un segmento AB, si traccino due segmenti AD e BC perpendicolari ad AB ed uguali fra loro, si congiungano poi D con C.Cosa possiamo dire degli angoli D e C? A D C B A=90 0 B=90 0 C=? D=?

32 RISULTATI DI SACCHERI Ipotesi dell’angolo retto Ipotesi dell’angolo acuto Ipotesi dell’angolo ottuso Deriva dal postulato quindi è negata Da esso deriva che la somma degli angoli interni di un triangolo è < per un punto esterno ad una retta passano infinite rette ad essa parallele Da esso deriva che la somma degli angoli interni di un triangolo è >180 0 per un punto esterno ad una retta non passa alcuna retta ad essa parallela

33 COSA OTTENNE SACCHERI? Egli credette di aver dimostrato che le sue conclusioni fossero assurde, invece gettò le basi per una geometria valida anche se non si ammette il 5 0 postulato. Da questi errori “logici” nacquero le geometrie non euclidee.

34 DOPO SACCHERI Lambert, Gauss ed altri ripercorsero la strada di Saccheri risolvendo completamente la questione: il 5 0 postulato di Euclide è effettivamente indipendente dagli altri lo si ammette non lo si ammette geometria euclidea geometria non euclidea Entrambe costituiranno due sistemi distinti, entrambi ugualmente logici e coerenti in sé. Nacquero diversi modelli di geometria non euclidea: - geometria iperbolica ( il russo Lobatceskij e l’ungherese Bolyai ) - geometria ellittica ( il tedesco Riemann) - geometria proiettiva (Klein)

35 LE GEOMETRIE NON EUCLIDEE A CONFRONTO IPERBOLICAELLITTICAPROIETTIVA PIANO Regione interna ad una conica Superficie di una sfera Regione interna da una conica (circonferenza) RETTA Corda della conica (esclusi gli estremi) Una circonferenza massima Corda della circonferenza (esclusi gli estremi) PUNTO Punto interno alla conica Coppia di punti diametralmente opposti Punto interno alla circonferenza PARALLELE 2NessunaInfinite

36 Le scuole di pensiero derivanti dai tentativi di dimostrazione della coerenza delle geometrie non euclidee

37 “LA RIVOLUZIONE COPERNICANA ” L’evidenza intuitiva non può essere un criterio di fondazione degli assiomi di una teoria matematica. Essa è soggettiva e spesso il limite dell’intuizione è il limite della fantasia. Non è pertinente parlare di assiomi “veri” o “falsi”: l’assioma è solo “punto di partenza”convenzionale. Il matematico deve derivare teoremi da ipotesi (assiomi) preoccupandosi solo della coerenza logica con le premesse e non della loro evidenza intuitiva. La geometria non è più la scienza “descrittiva” della realtà spaziale ma diventa scienza puramente formale, frutto di rigorosa astrazione.

38 Caratteristiche degli assiomi COERENZA:un sistema si dice coerente se da esso non sono deducibili una proposizione e la sua negazione INDIPENDENZA:un assioma non deve essere dedotto dagli altri (perché diventerebbe un teorema) COMPLETEZZA:un sistema è completo quando aggiungendo un altro assioma esso diventa non più coerente

39 COERENZA DEI SISTEMI IPOTETICI-DEDUTTIVI Come possiamo essere certi che i sistemi da noi costruiti siano logicamente coerenti? Come possiamo sapere che da certi assiomi non sarà possibile dedurre conseguenze contraddittorie? Esiste qualche metodo che ci consenta di conoscere la coerenza di un sistema?

40 IL PROBLEMA DELLA COERENZA Molti matematici cercarono di risolvere il problema, senza raggiungere però un risultato definitivo:Cauchy,Boole,Weierstrass, Cantor,Dedekind,Peano,Russel, Zermelo,Hilbert. Da allora la situazione è cambiata radicalmente: una ricerca di Godel ha condotto al seguente teorema: “E’ impossibile raggiungere la dimostrazione della non contraddittorietà di un sistema logico- matematico servendosi dei soli mezzi offerti da questo sistema, e bisogna invece aggiungervi dei mezzi sostanzialmente nuovi, non esprimibili nel sistema stesso” I

41 COS’E’ LA MATEMATICA? Un tempo Sistema ben determinato Tutte le proposizioni derivano da un ristretto numero di assiomi Ogni problema è risolubile mediante un numero finito di operazioni Oggi Mosaico di sistemi infinitamente numerosi,logicamente distinti l’uno dall’altro Ogni sistema contiene qualche problema non decidibile all’interno di esso Uno di tali problemi è appunto quello della non contraddittorietà: l’affermazione che un certo sistema S è non contraddittorio è indecidibile entro S

42 LA MATEMATICA E’ IMPERFETTA? Se la matematica non si esaurisce in un unico sistema, ma ha bisogno di una serie infinita di lingue sempre più ricche, allora è imperfetta? Il carattere non chiuso proprio della matematica, non è il frutto di una specie di imperfezione umana, ma risiede nella natura della questione e PER ME CHE TI STO RACCONTANDO QUESTE COSE, LA MATEMATICA E’ LA PROVA DELLA POTENZIALITA’ DELLA MENTE UMANA, L’UNICA CAPACE DI IMMAGINARE UN MONDO INFINITO CHE NON LE APPARTIENE: PECCATO CHE NE FACCIAMO UN USO COSI’ SPESSO SBAGLIATO 

43 E PER TE? Di sicuro, fra un po’ di tempo, ricorderai ben poco della matematica che in questi anni hai studiato (?): è normale se non farai studi specifici. D’altra parte moltissime persone vivono benissimo senza di essa, ma tu, anche se ancora non lo sai, sei già un po’ più ricco.


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