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STUDIO DI UN FRATTALE: A cura di: Albergotti, Bientinesi, Cavallaro, Polpetta. L.SCIENTIFICO R. DONATELLI di TERNI Prof.ssa Massarucci Mara.

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1 STUDIO DI UN FRATTALE: A cura di: Albergotti, Bientinesi, Cavallaro, Polpetta. L.SCIENTIFICO R. DONATELLI di TERNI Prof.ssa Massarucci Mara

2 Il procedimento usuale per costruire il frattale della gerla è il seguente: Parto da un triangolo equilatero Unisco i punti medi di ogni lato ed elimino il triangolo che si è venuto a formare Itero il processo per un numero n di volte a scelta arrivando alla visualizzazione finale del frattale LA GERLA DI SIERPINSKI

3 PRIMA COSTRUZIONE Si effettua una omotetia di centro il baricentro e rapporto k=-1/2 Il triangolo interno che si ottiene è la parte di figura che viene eliminata Il processo viene poi iterato ottenendo così la gerla

4 SECONDA COSTRUZIONE Il secondo tipo di costruzione della gerla si avvale di un procedimento diverso dal primo: Non è importante il punto di partenza, infatti si può utilizzare come START indifferentemente un punto, un triangolo… Al secondo passo è sufficiente visualizzare la successiva figura (detta GENERATORE) per risalire alle trasformazioni che portano lo START a questa La trasformazione totale può essere individuata come composizione di trasformazioni semplici ed è caratterizzata da un codice specifico, detto CODICE GENETICO

5 Guardiamo ora più specificatamente queste trasformazioni: (si è supposta lorigine nel punto 1 e il triangolo nel 1° quadrante) Al triangolo di partenza applichiamo una omotetia di centro il vertice 1 e rapporto k=1/2 Si ottiene così un triangolo simile al primo ma con i lati lunghi la metà 1 1 Applicando ora la seconda trasformazione cioè una traslazione di vettore v(1/2; 0) si ottiene il secondo triangolo 1 Facendo alcuni semplici calcoli si può poi ricavare il vettore v(-1/4; 3/4) della terza trasformazione che porta ad ottenere il terzo triangolo 1

6 Dalle trasformazione è possibile risalire ai cosiddetti CODICI GENETICI che sono specifici della costruzione della gerla ½; 0; 0 ½ ; 0; ½ ½; 0; -¼ 0; ½ ; 0 0; ½ ; 0 0; ½, ¾ 1 2 3

7 TEOREMA DI CACCIOPPOLI Sia T una trasformazione insieme-insieme, generata da una trasformazione geometrica. Se è una contrazione, allora esiste una unica figura ATTRATTORE tale che Inoltre, fissata comunque una figura start F0, la successione delle figure iterate F 0 start F n+1 =T(F n ) n=0,1,2… costituisce una approssimazione della figura, che migliora ad ogni passo.

8 CONCLUSIONI Se nella prima costruzione cambio i vertici del triangolo iniziale Cambia la figura finale: La trasf.usata dipende dallo start F O e da ogni successivo F 1 Se nella seconda costruzione cambio il vertice iniziale Non cambia la figura finale – effetto dispersione - : La trasf. usata non dipende dallo start F O e neanche dai successivi F i


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