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1 –Cosa sono le reti di Petri? Uno strumento grafico e teorico. Sono state introdotte da Carl Adam Petri nel 1962. –A cosa servono le reti di Petri? Le.

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1 1 –Cosa sono le reti di Petri? Uno strumento grafico e teorico. Sono state introdotte da Carl Adam Petri nel –A cosa servono le reti di Petri? Le reti di Petri posto/transizione hanno i seguenti scopi: –Modellare –Analizzare –Valutare le prestazioni –Controllare i sistemi ad eventi discreti. Introduzione

2 2 Una rete di Petri è un grafo orientato, bipartito e pesato. I due tipi di vertici sono detti POSTI e TRANSIZIONI. P= (p 1,p 2,....p m ) è linsieme dei posti T=(t 1,t 2,.....t n ) è linsieme delle transizioni Le relazioni tra posti e transizioni sono rappresentate da archi diretti. Gli archi possono essere rappresentati da due matrici: Pre: P T N Post : P T N.

3 3 Pre: P T N è la funzione preincidenza che specifica gli archi diretti dai posti alle transizioni e viene rappresentata mediante una matrice mxn Post : P T N.è la funzione post incidenza che specifica gli archi diretti dalle transizioni ai posti e viene rappresentata mediante una matrice mxn. Le matrici Pre e Post sono matrici di interi non negativi. Data una rete N=(P,T,Pre,Post) con m posti ed n transizioni, la matrice di incidenza C: P T Z è la matrice mxn definita come C=Post-Pre, cioè il generico elemento di C é C(p,t)=Post(p,t)-Pre(p,t)

4 4 Insiemi di posti t={p P Pre(p,t)>0} è linsieme dei posti in ingresso a t t ={p P Post(p,t)>0}è linsieme dei posti in uscita da t Insiemi di transizioni p={t T Post(p,t)>0} è linsieme delle transizioni in ingresso a p p ={t T Pre(p,t)>0}è linsieme dei delle transizioni in uscita da p Alcune definizioni

5 5 Marcatura di una rete: mediante la marcatura è possibile definire lo stato di una rete Una marcatura è una funzione M: P N che assegna ad ogni posto un nr. Intero non negativo di marche o gettoni.

6 6 Una rete N con una marcatura iniziale M 0 è detta una rete marcata o sistema di rete, e viene indicata come Abilitazione o scatto: Una transizione t è detta abilitata dalla marcatura M se M>Pre(.,t), cioè se oni posto p della rete contiene un numero di marche pari o superiore a Pre(p,t). Per indicare che t è abilitata da M si scrive M t>. Per indicare che t non è abilitata da M si scrive M t>.

7 7 Una transizione abilitata da una marcatura M può scattare. Lo scatto di t rimuove Pre(p,t) marche da ogni posto p P e aggiunge Post(p,t) in ogni posto p, determinando una marcatura M. Cioè vale: M=M-Pre(.,t)+Post(.,t)=M+C(.,t) Una sequenza abilitata s viene detta sequenza di scatto e ad essa corrisponde una traiettoria. Equazione di scatto: M=M 0 +Cs

8 8 Modellazione con Reti di Petri Sequenzialità: gli eventi si succedono in un ordine determinato Parallelismo (concorrenza): Gli eventi possono avvenire senza un ordine determinato. Sincronizzazione: Più eventi paralleli devono essere verificati per poter procedere. Scelta (conflitto): Un solo evento tra tanti può verificarsi.

9 9 Posto k-limitato Un posto di una rete di Petri (PN) si dice k-limitato se in tutte le marcature raggiungibili dalla rete il numero di token presenti nel posto non supera mai un valore prefissato k. Rete k-limitata e limitata Una rete si dice k-limitata se tutti i posti sono k-limitati. Una rete si dice limitata se è limitata per qualche k finito. Una rete 1-limitata si dice sana o binaria. Proprietà comportamentali (I) Raggiungibilità Problema della raggiungibilità: data una rete marcata, è possibile raggiungere M da M 0 ? Limitatezza

10 10 Una rete marcata è limitata se e solo se ha un insieme di raggiungibilità finito. Proprietà comportamentali (II) Reversibilità: Una rete di Petri con marcatura iniziale M 0 è detta reversibile se per ogni marcatura M raggiungibile da M 0, M 0 è raggiungibile da M.

11 11 Conservatività stretta Una rete marcata è strettamente conservativa se per ogni marcatura raggiungibile M R(N,M 0 ) il nr. di gettoni che la rete contiene non varia: p P M(p)= p P M 0 (p) Conservatività Una rete marcata è conservativa se esiste un vettore di interi positivi x tale per ogni marcatura raggiungibile M R(N,M 0 ) vale: x T M=x T M 0 Cioè il numero di gettoni pesato con x non varia. Se una rete marcata è conservativa allora essa è limitata. Proprietà comportamentali (III)

12 12 VIVEZZA Transizione quasi viva Una transizione t è quasi viva se e solo se esiste almeno una marcatura M R(N,M 0 ) tale che t è abilitata in M. Transizione viva Una transizione t è viva se e solo se per ogni M R(N,M 0 ) esiste M raggiungibile da M tale che t è abilitata in M. Transizione morta Una transizione t è morta se e solo se non esiste M R(N,M 0 ) tale che t è abilitata in M. Proprietà comportamentali (IV)

13 13 VIVEZZA Rete morta Una rete R(N,M 0 ) è morta se ogni t è morta. Rete quasi viva Una rete R(N,M 0 ) è quasi viva se e solo se tutte le transizioni sono quasi vive Rete viva Una rete R(N,M 0 ) è viva se tutte le transizioni sono vive. Rete bloccante Una rete R(N,M 0 ) è bloccante se esiste una transizione raggiungibile morta (in cui nessuna transizione è abilitata). Proprietà comportamentali (V)

14 14 Insieme potenzialmente raggiungibile di PR(N,M 0 )={M m | y n : M=M 0 +Cy Ovvero linsieme dei vettori M per cui esiste y che soddisfa lequazione di stato Vale: R(N,M 0 ) PR(N,M 0 ) ANALISI MEDIANTE EQUAZIONE DI STATO Linsieme PR(N,M 0 ) può aiutare a verificare la raggiungibilità di una marcatura. Ad esempio se lequazione M=M 0 +Cy non ammette soluzione allora M non è raggiungibile. Insieme di raggiungibilità di R(N,M 0 )={M m | T* : M 0 [ >M Ovvero linsieme delle marcature che possono essere raggiunte dalla marcatura iniziale.

15 15 P-invariante Si dice P-invariante di una PN un vettore colonna x di m elementi non negativi tale che x T C=0. Tale equazione può avere infinite soluzioni: se x è un P-invariante anche kx è un P-invariante Il supporto di un P-invariante x è linsieme dei posti corrispondenti agli elementi non-nulli di x. Analisi basata sulla matrice di incidenza (I) P-invariante a supporto minimo Un P-invariante è a supporto minimo se il suo supporto non contiene quello di nessun altro P-invariante della rete.

16 16 Analisi basata sulla matrice di incidenza (I) Sia una PN e sia X= x 1 x 2 …x k la matrice formata dalle colonne dei p-invarianti x i per i=1,…,k. Linsieme X-invariante di è I X (N,M 0 )={M m | X T M=X T M 0 Ovvero linsieme dei vettori M tali che x i T M=x i T M 0 per ogni x i Vale: R(N,M 0 ) PR(N,M 0 ) I X (N,M 0 )

17 17 Proprietà strutturali (I) Rete coperta da P-invarianti Una rete si dice coperta da p-invarianti se ogni posto della rete appartiene al supporto di almeno un p-invariante. N è strutturalmente strettamente conservativa se il vettore 1 è un p-invariante. N è strutturalmente conservativa se esiste un vettore p-invariante x il cui supporto contenga tutti i posti.

18 18 T-invariante Si dice T-invariante di una rete un vettore colonna y di dimensione n soluzione della seguente equazione Cy=0 ovvero M=M 0 +Cy=M 0 Un T invariante indica che se fosse possibile fare scattare ogni transizione del supporto di y, tante volte quante indicate da y, la rete tornerebbe alla marcatura iniziale.

19 19 Classi di reti di Petri Una PN è detta: Ordinaria se ogni arco ha molteplicità unitaria cioè Pre(p,t)=0 o =1 e Post(p,t)=0 o =1. Pura se per ogni posto p e t vale Pre(p,t)Post(p,t)=0, cioè se la rete non contiene alcun cappio. Ristretta se è pura e ordinaria. Una macchina di stato è una rete ordinaria in cui ogni transizione ha esattamente un arco in ingresso ed un arco in uscita. Un grafo marcato è una rete ordinaria in cui ogni posto ha esattamente un arco in ingresso ed uno in uscita.

20 20 Insiemi di posti t={p P Pre(p,t)>0} è linsieme dei posti in ingresso a t t ={p P Post(p,t)>0}è linsieme dei posti in uscita da t Insiemi di transizioni p={t T Post(p,t)>0} è linsieme delle transizioni in ingresso a p p ={t T Pre(p,t)>0}è linsieme dei delle transizioni in uscita da p Alcune definizioni

21 21 Si vogliono caratterizzare le situazioni in cui sequenze di transizioni portano ad incrementare alcune componenti della marcatura. Si considera allora un nuovo vettore con il simbolo che si può pensare come un simbolo di infinito. Si dice una -marcatura di una rete un vettore M in cui una o più componenti può assumere il valore. Per determinare se t è abilitata da una -marcatura M>Pre(.,t) si deve tener conto che per ogni n N vale >n e ±n=. Perdendo alcune informazioni sulla raggiungibilità, si costruisce il grafo di copertura. Il grafo di copertura

22 22 Grafo di copertura 1-Si parta dalla marcatura iniziale M 0 2-Si consideri una marcatura M senza etichetta per ogni t abilitata da M - si calcoli M raggiunta da M scattando t - si consideri il cammino che parte dal nodo radice e arriva a M, se questo cammino ha un nodo M*

23 23 Grafo di copertura: alcune proprietà Data una marcatura M si dice che è -coperta da M se M (p)=M(p) per ogni p tale che M (p) tale relazione si indica con M M. M è raggiungibile allora esiste nel grafo M che copre M. M è raggiungibile se M è un nodo del grafo. Se M R(N,M 0 ) esiste nel grafo un cammino orientato da M 0 ad M, con M coperta da M. M R(N,M 0 ) solo se esiste nel grafo un cammino orientato da M 0 ad M.

24 24 Una rete marcata è limitata se e solo se ha un insieme di raggiungibilità finito. Si consideri la rete marcata ed il suo grafo di copertura: un posto p è k-limitato se e solo se per ogni M 0 vale M (p)


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