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Indagine insiemistica sulla doppia proiezione ortogonale di Monge Con questo learning object si vuole studiare e definire la legge geometrico- descrittiva.

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Presentazione sul tema: "Indagine insiemistica sulla doppia proiezione ortogonale di Monge Con questo learning object si vuole studiare e definire la legge geometrico- descrittiva."— Transcript della presentazione:

1 Indagine insiemistica sulla doppia proiezione ortogonale di Monge Con questo learning object si vuole studiare e definire la legge geometrico- descrittiva relativa alla condizione di parallelismo tra elementi geometrici aventi le stesse caratteristiche. Si indaga quindi il rapporto relativo al parallelismo tra rette Lindagine affronta sia la procedura deduttiva sia la procedura impositiva. Al termine dellanalisi si definisce un quadro sintetico di riferimento che comprende sia gli aspetti teorici che quelli grafici che quelli concettuali. La presentazione si conclude con alcune esemplificazioni grafiche corredate della relativa spiegazione, con lo sviluppo grafico di alcuni esercizi e la proposta di temi scritti da volgere e sviluppare in forma di elaborati grafici. Per approfondimenti consultare il sito La presentazione si chiude con la creazione di una griglia di valutazione per gli elaborati grafici che prende in esame i tre momenti del processo rappresentativo: conoscenza, competenza e capacità.

2 PARALLELISMO TRA ELEMENTI UGUALI PARALLELISMO TRA RETTE Autore Prof. Elio Fragassi Il materiale può essere riprodotto citando la fonte La revisione delle formalizzazioni è stata curata dalla dott.ssa Gabriella Mostacci Il disegno è stato eseguito nella. s. 2008/2009 Da Di Blasio Giada della classe 3°C del Liceo artistico G. Misticoni di Pescara per la materia :Discipline grafico-geometriche Insegnante: Prof. Elio Fragassi Indagine insiemistica sulla doppia proiezione ortogonale di Monge

3 Cominciamo lanalisi sul parallelismo iniziando con l INDAGINE ESPLICATIVA O DEDUTTIVA Ricordando gli specifici elementi geometrico descrittivi, come caratterizzati nella tabella riassuntiva della presentazione n° 1, ed escludendo il punto, quindi anche le "tracce" della retta -per quanto detto nella presentazione n°1-, resta stabilito che per definire il parallelismo tra due o più rette necessita definire lo specifico rapporto descrittivo concreto tra le " proiezioni delle rette, che geometricamente si caratterizzano come " rette. Possiamo, allora, avere un caso come quello graficizzato nellimmagine di sopra (Fig. 01) In questa circostanza, considerando le rispettive proiezioni delle due rette accade che: s r P ed anche s r P Stante questo rapporto, definito, concreto,costante e continuo tra gli stessi elementi rappresentativi della retta r e della retta s, si può dedurre che le due rette reali, collocate nello spazio fisico, sono anch'esse parallele.

4 La formalizzazione esplicativa può essere così espressa: P P P r // s Mentre e' possibile enunciare la seguente definizione geometrico-descrittiva: Se le omonime proiezioni di due rette distinte sono parallele, allora, e solo allora, possiamo asserire che tali sono le rette reali Ampliando la definizione con il concetto del punto improprio si ha la seguente forma sintetica: r s P r//s che possiamo enunciare nel modo seguente Se le intersezioni delle omonime proiezioni di due rette distinte determinano le proiezioni di un punto improprio, allora, e solo allora, possiamo asserire che le due rette reali sono parallele

5 Se la condizione geometrica deve essere imposta tra due o più rette, è necessario operare, nel corso dellelaborazione, in modo tale che si verifichino le graficizzazioni di cui si è discusso prima. Pertanto, volendo costruire due rette parallele è necessario imporre che le omonime proiezioni siano tali. Avremo quindi, con riferimento ai caratteri geometrici, la seguente definizione: Perché due, o più rette, siano parallele tra loro è necessario che tali siano le rispettive omonime proiezioni Ampliando la ricerca con il concetto di punto improprio è necessario fare sì che le loro intersezioni determinino le proiezioni di un punto improprio. Conseguentemente possiamo esprimere la seguente formalizzazione impositiva o applicativa: dove r" s r s r // s r s P P P"

6 dove gli elementi R ed S delle sommatorie individuano i punti dinamici che muovendosi secondo una direzione assegnata generano le rette reali r ed s La definizione verbale può essere sintetizzata ed espressa nel modo seguente: Perché due rette siano parallele è necessario che le rispettive intersezioni delle due proiezioni determinino le proiezioni di un punto improprio Che, sinteticamente, in forma insiemistico-descrittiva può essere espressa nel modo seguente: r // s [(r s) P ; (r s) P ]

7 Retta r s Elemento geometrico CARATTERISTICHE DEGLI ELEMENTI GEOMETRICI PARALLELISMO TRA DUE RETTE Didascalia elemento Didascalia elemento rappresentativo T 1r 1 a traccia Punto Reale T 2r 2 a traccia Punto Reale Nomenclatura dell'elemento rappresentativo r 1 a proiezione o 1 a immagine Retta Virtuale 2 a proiezione o 2 a immagine r T 1s 1 a traccia Punto Reale T 2s 2 a traccia Punto Reale s 1 a proiezione o 1 a immagine Retta Virtuale 2 a proiezione o 2 a immagine s Definizione geometrica elemento rapprsentativo Definizione fisica dell'elemento rapprsentativo Definizione grafica degli elementi geometrici Relazione insiemistica sintetica delle leggi del parallelismo tra rette Formalizzazione esplicativa Formalizzazione applicativa r'//s' r"//s" r//s P r' s' r" s" P' P" P

8 Seguono alcune esemplificazioni grafiche relative allaspetto esplicativo del parallelismo tra rette diverse per tipologia e variamente collocate nello spazio dei diedri Data la seguente formalizzazione esplicativa risolvere i quesiti a lato r // s P P Dato Risultato Poiché le estensioni di (a, b) e (a, b) generano rispettivamente P, P si deduce che le due rette sono parallele perché la loro intersezione genera il punto improprio P Spiegazione

9 Dato Risultato P P Le estensioni delle proiezioni generano due punti (P = a b) e P = a b) reali. Poiché i due punti non stanno sulla stessa retta di richiamo significa che non sono le proiezioni di un punto ma due punti reali e distinti. Si deduce, pertanto, che le due rette non sono parallele perché i punti determinati sono reali e non impropri. Spiegazione

10 Dato Risultato Le proiezioni a e b delle due rette orizzontali nel quarto diedro essendo parallele si intersecano nel punto P. Le proiezioni a e b, essendo coincidenti, non specificano alcun rapporto di parallelismo. Mancando la possibilità di identificare lintersezione di a e b non è chiaro se le due proiezioni determinano un punto reale o un punto impropio. In questo caso ci si affida solo alle prime proiezioni per cui essendo P improprio si deduce che le due rette sono parallele. Spiegazione

11 DatoRisultato P P Anche se le proiezioni delle due rette si presentano graficamente parallele, le estensioni delle proiezioni generano due punti reali (P = a b) e P = a b). Poiché i due punti non stanno sulla stessa retta di richiamo significa che non sono le proiezioni di un punto ma due punti reali e distinti. Si deduce, pertanto, che le due rette non sono parallele perché i punti determinati sono reali e non impropri. Spiegazione

12 Seguono alcune esemplificazioni grafiche relative allaspetto applicativo del parallelismo tra rette diverse per tipologia e variamente collocate nello spazio dei diedri Data la seguente formalizzazione esplicativa risolvere i quesiti a lato Dato Risultato r//s P r//s b b T1bT1b T2bT2b Data la collocazione del punto A(A; A) mentre (b// a) sono due proiezioni distinte, (b//a) sono due proiezioni oltre che parallele anche coincidenti. Si è completata la definizione della retta b -retta generica nel quarto diedro- anche con la definizione delle due tracce T 1 b e T 2 b. Spiegazione

13 DatoRisultato c T 1 c T 2 c Considerando la collocazione e la tipologia del punto B (B B) e le proiezioni della retta b (b; b), le proiezioni della retta c//b (c//b; c//b) si caratterizzano come due rette coincidenti passanti per il punto B (B B) con le tracce coincidenti sulla lt. La retta c//b è, quindi, una retta generica incidente la lt. Spiegazione

14 DatoRisultato y Y T1yT1y T2yT2y x x T1xT1x T2xT2x Definite le proiezioni della retta y (y; y) passante per i due punti A(A; A) e B(B; B) si determinano le tracce che, analizzate, individuano y come una retta generica nel primo diedro. Applicando le condizioni di appartenenza e di parallelismo si conducono per C e C due proiezioni della retta x tali che siano (x//y) e (x//y). La retta risultante è una retta generica nel terzo diedro come esplicitano le posizioni spaziali delle relative tracce T 1 x e T 2 x. Spiegazione

15 DatoRisultato m T 1 m T 2 m T1nT1n T2nT2n n n La particolare tipologia dei punti X(X X) e Y(Y Y) determina una retta avente le proiezioni coincidenti tale che m(m m). La rappresentazione di m si completa con le due tracce T 1 m e T 2 m coincidenti sulla lt. Applicando le condizioni di appartenenza e di parallelismo si conducono per A e A due proiezioni della retta n tali che siano (n//m) e (n//m). La retta risultante è una retta generica nel terzo diedro. Spiegazione

16 EsercizioRisoluzione A r r T1rT1r T2rT2r s s T1sT1s T2sT2s r r T 1 r T 2 r B

17 EsercizioRisoluzione r r s s T1sT1s T1rT1r T 2 r T 2 s s s T1sT1s T2sT2s r r T1rT1r T2rT2r

18 EsercizioRisoluzione s s T1sT1s s s T1sT1s T2sT2s T1rT1r T2rT2r

19 EsercizioRisoluzione s s T1sT1s T2sT2s s s r r T1sT1s T2rT2r T1rT1r T2sT2s

20 1. Dati i punti A(A'=4; A"=3), B(B'=6; B"=1), C(C'=1;C"=5) definire e rappresentare la retta x (A,B) quindi la retta (y C)//x. 2.Dati i punti X(X'=1;X"=2), Y(Y'=-2;Y"=4), Z(Z'=-3;Z"=-5), W(W'=2;W"=-1) definire e rappresentare quattro rette a//b//c//d ciascuna contenente un punto di quelli assegnati. 3.Dati la seguente retta a(T 1a =4; T 2a =1) ed il seguente punto A(A'=1;A"=4) definire e rappresentare una retta (b A)// a. 4.Dati i punti D(D'=-3; D"=6), E(E'=6; E"=-3) definire e rappresentare la retta a (D,E), quindi, a scelta dell'allievo una qualsiasi retta b che sia b//a. 1.Data la retta r(T 1r =3; T 2r =8) definire e rappresentare una retta s collocata nel secondo diedro tale che sia s//r. 2. Data la retta a(T 1a =3;T 2a =7) e la retta b(T 1b =-3), completare la rappresentazione della retta b facendo in modo che sia b//a. 3.Dati la retta a(T 1a =0; T 2a =0) ed un punto B(B'=-4; B"=-6) a, definire e rappresentare una retta b//a contenente il punto A(A'=6; A"=4). 4.Dati la retta r(T 1r =-3;T 2r =5) ed il punto A(A'=-6;A"=6), definire e rappresentare la retta (s A)//r 1.Definire e rappresentare le seguenti rette [(a//b//c) ] W I D 2.Definire e rappresentare le seguenti rette [(d//e//f) 1 - // 2 + ] W II D 3.Definire e rappresentare le seguenti rette [(g//h//i)// ] W III D 4.Definire e rappresentare le seguenti rette [(l//m//n) ] IV D

21 VALUTAZIONE DELLE ESERCITAZIONI GRAFICHE Ogni elaborato è costituito da quattro esercizi che vengono, singolarmente, valutati secondo la seguente griglia Conoscenze teoriche (Conoscenza dei concetti, delle regole, delle leggi ) Capacità logiche (Capacità di trasporre conoscenze teoriche in elaborazioni grafiche) Competenze grafiche (Precisione, chiarezza, leggibilità, essenzialità, didascalie,ecc.) 0,00 0,50 1,00 0,00 0,50 1,00 0,00 0,25 0,50 Conoscenze teoriche (Conoscenza dei concetti, delle regole, delle leggi) Capacità logiche (Capacità di trasporre conoscenze teoriche in elaborazioni grafiche) Competenze grafiche (Precisione, chiarezza, leggibilità, essenzialità, didascalie,ecc.) Si riporta, di seguito, una griglia utilizzata per la valutazione sia test che delle esercitazioni grafiche sviluppate sotto forma di elaborati. Si considerano tre parametri fondamentali: 1)Conoscenze teoriche2)Capacità logiche 3)Competenze grafiche Elementi della valutazione Valutazioni Punti PUNTEGGIO TOTALE 0,00 0,50 1,00 0,00 0,50 1,00 0,00 0,25 0,50 0,00 0,50 1,00 0,00 0,50 1,00 0,00 0,25 0,50 0,00 0,50 1,00 0,00 0,50 1,00 0,00 0,25 0,50 2,50 10,00 Test Eserc.

22 Per maggiore completezza ed approfondimento degli argomenti si può consultare il seguente sito


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