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Geometria descrittiva dinamica Con questo learning object si vuole studiare e definire la legge geometrico-descrittiva relativa alla condizione di appartenenza.

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Presentazione sul tema: "Geometria descrittiva dinamica Con questo learning object si vuole studiare e definire la legge geometrico-descrittiva relativa alla condizione di appartenenza."— Transcript della presentazione:

1 Geometria descrittiva dinamica Con questo learning object si vuole studiare e definire la legge geometrico-descrittiva relativa alla condizione di appartenenza tra il PUNTO ed il PIANO e la reciproca relazione di contenenza o inclusione. Lindagine affronta sia la procedura deduttiva sia la procedura impositiva. Al termine dellanalisi si definisce un quadro sintetico di riferimento che comprende sia gli aspetti teorici che quelli grafici che quelli concettuali. La presentazione si conclude e completa con alcune esemplificazioni grafiche riferite ai quattro diedri e con la proposta di temi scritti da volgere e sviluppare in forma di elaborati grafici Per approfondimenti consultare il sito

2 Geometria descrittiva dinamica Indagine insiemistica sulla doppia proiezione ortogonale di Monge Autore Prof. Elio Fragassi Il materiale può essere riprodotto citando la fonte La revisione delle formalizzazioni è stata curata dalla dott.ssa Gabriella Mostacci Lelaborato grafico della copertina è stato eseguito nella. s. 1989/90 da Maggio Pamela della classe 2°B dellIstituto Statale dArte G. Mazara di Sulmona per la materia : Disegno geometrico LA CONDIZIONE DI APPARTENENZA E BIUNIVOCA RELAZIONE DI CONTENENZA O INCLUSIONE TRA PUNTO E PIANO

3 Appartenenza e/o contenenza tra punto e piano (1) Indagine esplicativa e deduttiva Nel terzo caso prendiamo in considerazione il punto P ed il piano per stabilire le leggi specifiche dell'appartenenza e/o della contenenza tra i due elementi, come sintetizzato dalla seguente espressione. P I due elementi, singolarmente e nei vari diedri, sono rappresentati descrittivamente come di seguito (Fig.25, Fig.26). Come evidenziato nel quadro sintetico (Tabella- A- della lezione di presentazione) del paragrafo iniziale, queste due entità geometriche, così rappresentate, sono prive di elementi geometrico- rappresentativi aventi le stesse proprietà geometriche e le stesse caratteristiche fisiche, quindi non sono suscettibili di sostenere confronti e considerazioni per la ricerca di legami logici e leggi descrittive di appartenenza e/o contenenza.

4 Appartenenza e/o contenenza tra punto e piano (2) Indagine esplicativa e deduttiva Infatti, mentre il punto P si rappresenta, descrittivamente, mediante le proiezioni che si caratterizzano, dal punto di vista geometrico, come due punti P' e P'' che assumono l'aspetto di due punti virtuali P P P Il punto ed i suoi elementi rappresentativi il piano si rappresenta mediante le tracce che sono due rette reali, t 1 e t 2. Esse si caratterizzano per essere costituite dalla sommatoria dellinsieme delle tracce della retta generatrice che sono punti; ma punti reali, tanto che si ha: Il piano ed i suoi elementi rappresentativi Pertanto le due rappresentazioni ortogonali, essendo diverse sia negli elementi geometrico-rappresentativi che nelle specifiche caratteristiche fisiche, non si prestano per eventuali discussioni di ricerca di legami e leggi specifiche.

5 Appartenenza e/o contenenza tra punto e piano (3) Indagine esplicativa e deduttiva A questo punto è necessario ricordare che la retta r (retta punteggiata), date le sue caratteristiche geometrico-rappresentative, si presta a fare da elemento di collegamento, di congiunzione e connettivo tra gli altri due elementi geometrici : il punto P ed il piano. Essa infatti viene rappresentata mediante quattro elementi: due tracce T 1r, T 2r e due proiezioni r, r che ci danno la possibilità di legare tra loro i due elementi in discussione che, altrimenti, resterebbero distinti e non confrontabili. Quindi nelle operazioni di ricerca e/o imposizione delle leggi di appartenenza e/o contenenza ( / ) tra un punto ed un piano è necessario prendere in considerazione tutti e tre gli elementi geometrici. Inoltre è bene ricordare – nuovamente- che il piano può essere riguardato sia come superficie rigata, espressa dalla seguente simbologia descrittiva: che come superficie punteggiata, espressa dalla seguente simbologia descrittiva

6 Appartenenza e/o contenenza tra punto e piano (4) Indagine esplicativa e deduttiva Analizziamo ora alcune possibili situazioni grafiche che possono facilmente indurre in errore (Fig.27, Fig.28, Fig.29, Fig. 30). in quanto la condizione di appartenenza è solo apparente, non potendosi stabilire alcun termine di paragone e di discussione descrittiva tra il punto P rappresentato dalle due proiezioni P e P che sono - dal punto di vista geometrico-descrittivo- due punti virtuali, ed il piano che, al contrario, è rappresentato dalle due tracce t 1 e t 2 che, come tali, sono due rette reali in quanto costituite dallinsieme della sommatoria delle tracce delle rette (t = T) e quindi di punti reali. Nei casi di queste figure possiamo affermare che P

7 Appartenenza e/o contenenza tra punto e piano (5) Indagine esplicativa e deduttiva Riscontrato quanto di sopra si possono avere le situazioni grafiche come quelle esemplificate di seguito dalla fig.31 e dalla fig. 32. Analizziamo, ora, queste due situazioni grafiche. I n questo caso accade che il punto P r in quanto si verifica P r ed anche P r, ma la retta r in quanto T 2r t 2 ma non verifica, contemporaneamente traccia prima dato che T 1r t 1. Pertanto in questa situazione siamo in presenza di un legame descrittivo parziale, tra i tre elementi geometrici, per cui non si verifica totalmente il concetto espresso nella trattazione di questo argomento. Data questa incompletezza di legami possiamo affermare, quindi, che il punto non appartiene al piano, cioè, in forma insiemistica: P. P r P Lespressione sintetica si esplicita come di seguito

8 Appartenenza e/o contenenza tra punto e piano (6) Indagine esplicativa e deduttiva Le considerazioni di cui sopra possono essere sviluppate e confermate anche per i casi reciproci illustrati, graficamente, nelle rappresentazioni ortogonali come alle figure di seguito (Fig. 33, Fig. 34). Infatti, in questo caso possiamo affermare che P a (P a ; P a) (T 1a t 1 a T 2 a t 2 ) per quanto riguarda il punto P si ha per quanto riguarda la retta a si ha e pertanto laresta incompleta e non verificata

9 Appartenenza e/o contenenza tra punto e piano (7) Indagine esplicativa e deduttiva Oppure può accadere che si verifichi la situazione grafica di cui si discute in seguito con riferimento alla fig. 35 ed alla fig.36. In questo caso avviene che: (T 1r t 1 r T 2 r t 2 ) per quanto riguarda la retta r a si ha per quanto riguarda il punto P si ha P r P a) (P a ; In questo caso, quindi, il legame tra il punto P ed il piano a è incompleto tanto da poter affermare che P perché accade che In questa posizione si verifica solamente l'appartenenza tra due dei tre elementi e quindi siamo in presenza di un legame incompleto che non verifica il concetto teorico espresso all'inizio della trattazione di questo argomento. P r

10 Appartenenza e/o contenenza tra punto e piano (8) Indagine esplicativa e deduttiva E' solo il caso di accennare che le considerazioni sopra esposte valgono anche nel caso in cui fosse P' r' e P r'', come graficizzato nelle figg. 37 e 38. In questo caso resterebbe, comunque, non dimostrato il legame di tutti e tre gli elementi geometrici espressi dalla formalizzazione sia del piano rigato che dalla formalizzazione del piano punteggiato necessari per la verifica e la costruzione grafica delle leggi di appartenenza tra un punto P ed un piano

11 Appartenenza e/o contenenza tra punto e piano (9) Indagine esplicativa e deduttiva Infine, può verificarsi che i tre elementi geometrici si articolino graficamente come nelle figure di seguito (Fig. 39, Fig. 40) In questo caso accade che P r ed anche che r in quanto le coppie degli elementi menzionati verificano, singolarmente, le rispettive specifiche leggi di appartenenza e la retta r funge da elemento geometrico di legame tra il punto P ed il piano, in quanto mentre sulle sue proiezioni r' ed r'' si trovano le rispettive proiezioni P' e P'' del punto, le sue tracce T 1r e T 2r stanno sulle tracce del piano t 1a e t 2a verificando completamente le due espressioni Lespressione sintetica viene formulata così: P r P Allora possiamo dedurre ed enunciare la seguente legge di appartenenza tra punto e piano Se un punto appartiene ad una retta di un piano allora, e solo allora, si può asserire che il punto appartiene al piano

12 Appartenenza e/o contenenza tra punto e piano (10) Indagine esplicativa e deduttiva Questo enunciato può essere sintetizzato, sia nella formalizzazione insiemistica che descrittiva, con luso della simbologia specifica come di seguito. P r T 1r t 1 T 2r t 2 r dove T 1r = r 1 T 2r = r 2 T 1r =r 1 T 2r =r 2 La reciproca legge della contenenza o inclusione di un punto in un piano può essere espressa, con lutilizzo della stessa nomenclatura e della stessa simbologia, mediante la formalizzazione esplicitata nella seguente diapositiva

13 Appartenenza e/o contenenza tra punto e piano (11) Indagine esplicativa e deduttiva Inoltre, generalizzando,la stessa può essere espressa mediante la seguente enunciazione Se un piano contiene una retta che a sua volta contiene un punto allora, e solo allora, il piano contiene il punto Questo enunciato può sintetizzarsi, sia nella formalizzazione insiemistica che descrittiva e con luso della simbologia specifica come di seguito r P t 1 T 1r t 2 T 2r r r P dove T 1r = r 1 T 2r = r 2 T 1r =r 1 T 2r =r 2 Tutto quanto sopra è inerente laspetto esplicativo e deduttivo della legge oggetto della trattaz ione

14 Appartenenza e/o contenenza tra punto e piano (1) Procedura applicativa o impositiva Se la condizione deve essere imposta, dati gli elementi geometrici, è necessario sviluppare una serie di operazioni, tali che si possa verificare, in fase esplicativa, quanto si è discusso sopra ed in particolare si verifichino le definizioni descrittive e Per questo, dato un punto, se si vuole che appartenga ad un piano è necessario che esso sia un punto del piano punteggiato espresso dalla o un piano rigato espresso dalla Se il dato iniziale è un piano e si vuole che esso contenga un punto è necessario imporre che il punto sia un punto del piano punteggiato espresso da o un piano rigato espresso dalla Poiché per un punto passano infiniti piani (stella di piani) infinite saranno le possibilità di legare gli elementi punto e piano

15 Appartenenza e/o contenenza tra punto e piano (2) Procedura applicativa o impositiva La formalizzazione applicativa della condizione oggetto di studio, allora, può essere espressa come di seguito. dove T 1r = r 1 T 2r = r 2 T 1r =r 1 T 2r =r 2 La reciproca legge impositiva della condizione di contenenza o inclusione può essere espressa dalla formalizzazione seguente. P P r T 1r t 1 T 2r t 2

16 Appartenenza e/o contenenza tra punto e piano (3) Procedura applicativa o impositiva P r P t 1 T 1r t 2 T 2r r P dove T 1r = r 1 T 2r = r 2 T 1r =r 1 T 2r =r 2 dove Queste due formalizzazioni applicative o impositive possono essere enunciate come di seguito

17 Appartenenza e/o contenenza tra punto e piano (4) Procedura applicativa o impositiva Per quanto attiene la condizione di appartenenza si può esprimere la seguente definizione (P )(P r ) Mentre, reciprocamente, per quanto attiene la legge della contenenza o inclusione si può esprimere la seguente definizione. Un piano contiene un punto se, e solo se, il piano contiene una retta che contiene il punto Un punto appartiene ad un piano se, e solo se, il punto appartiene ad una retta del piano ( P) ( r P)

18 Quadro sintetico della condizione di appartenenza e di contenenza o inclusione tra punto e piano Caratteristiche degli elementi geometrici Appartenenza tra punto e piano Elemento geometrico Didascalia elemento Didascalia elemento rappresentativo Nomenclatura elemento rappresentativo 1 a immagine o 1 a proiezione 2 a immagine o 2 a proiezione Punto P P punto virtuale Definizioni grafica e descrittiva degli elementi geometrici Relazione insiemistica delle leggi dellappartenenza o della inclusione Definizione geometrica dellelemento rappresentativo Definizione fisica dellelemento rappresentativo Retta r T1rT1r T2rT2r r r 1 a traccia 2 a traccia 1 a immagine o 1 a proiezione 2 a immagine o 2 a proiezione punto retta virtuale reale APPARTENENZA CONTENENZA / INCLUSIONE Piano 1 a traccia o traccia 1 2 a traccia o traccia 2 retta reale t 1 t 2 P virtuale P r P T 1r t 1 T 2r t 2 P r P r P t 1 T 1r t 2 T 2r r P

19 Esemplificazioni grafiche nei quattro diedri Seguono alcune esemplificazioni grafiche delle condizioni di appartenenza e/o contenenza nei diversi diedri tra punti e piani di diversa tipologia geometrica e collocazione grafica nello spazio (Fig.41, Fig.42, Fig.43, Fig.44).

20 Esercitazioni grafiche sulla condizione di appartenenza e contenenza tra punto e piano (1) risoluzione r r T 2r T 1r t 1 t 2 X Y T 2r T 1r t 1 t 2 r r

21 Esercitazioni grafiche sulla condizione di appartenenza e contenenza tra punto e piano (2) risoluzione T 2r T 1r r r Y X T 1s T 2s s s T 2r T 1r r r Y T 1s T 2s s s X

22 Esercitazioni grafiche sulla condizione di appartenenza e contenenza tra punto e piano (3) B A T 1r T 1s T 2s T 2r r s s r r r A T 1r T 2r s s B T 2s T 1s risoluzione

23 Esercitazioni grafiche sulla condizione di appartenenza e contenenza tra punto e piano (4) risoluzione a a T 1a T 2a b b T 2b T 1b t 2 t 1 a b b a T 1b T 2b T 2a T 1a t 1 t 2

24 Temi scritti da volgere e sviluppare sotto forma di elaborati grafici Dato il punto A(A=3; A=3) definire e rappresentare un piano A Dato il punto B(B=-4;B= 4) definire e rappresentare una stella di tre piani tali che (,, ) B Dati i punti A(A=1; A=2); B(B=2; B=4) C(C=3; C=5) definire e rappresentare il piano (A,B,C) Dati i punti X(x=1; X=5); Y(y=-1; Y=5); Z(Z=-3; Z=-4) definire e rappresentare il piano (X,Y,Z). Dato un piano ( 1 + ; 2 + ), definire e rappresentare (A,B) Dato un piano ( 1 - ; 2 + ; lt), definire e rappresentare un segmento Dato il piano ( 1 - ; 2 + ) definire e rappresentare il segmento Dato il piano ( 1 + ; 2 + ), definire e rappresentare due punti (A,B) Definire e rappresentare un punto A W ID tale che sia A Definire e rappresentare un punto B W IVD tale che sia B Definire e rappresentare un piano generico nel IIID contenente due punti distinti, estremi di un segmento EF appartenente al piano stesso Definire e rappresentare una stella di tre piani avente come sostegno un punto X W ID

25 Per maggiore completezza ed approfondimento degli argomenti si può consultare il seguente sito


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