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Capitolo 13 Cammini minimi Algoritmi e Strutture Dati.

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1 Capitolo 13 Cammini minimi Algoritmi e Strutture Dati

2 Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati

3 Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 3 Definizioni Sia G=(V,E) un grafo orientato con pesi w sugli archi. Il costo di un cammino  = è dato da: Un cammino minimo tra una coppia di vertici x e y è un cammino di costo minore o uguale a quello di ogni altro cammino tra gli stessi vertici.

4 Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 4 Proprietà dei cammini minimi Sottostruttura ottima: ogni sottocammino di un cammino minimo è anch’esso minimo Grafi con cicli negativi: se due vertici x e y appartengono a un ciclo di costo negativo, non esiste nessun cammino minimo finito tra di essi Se G non contiene cicli negativi, tra ogni coppia di vertici connessi in G esiste sempre un cammino minimo semplice, in cui cioè tutti i vertici sono distinti

5 Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 5 Distanza fra vertici La distanza d xy tra due vertici x e y è il costo di un cammino minimo da x a y, o +∞ se i due vertici non sono connessi Disuguaglianza triangolare: per ogni x, y e z Condizione di Bellman: per ogni arco (u,v) e per ogni vertice s: d sv ≤ d su + d uv, ed essendo d uv ≤w(u,v)

6 Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 6 Alberi di cammini minimi Un arco (u,v) appartiene a un cammino minimo a partire da un vertice s se e solo se u è raggiungibile da s e d su +w(u,v)=d sv I cammini minimi da un vertice s a tutti gli altri vertici (raggiungibili) del grafo possono essere rappresentati tramite un albero radicato in s, detto albero dei cammini minimi

7 Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 7 Calcolare cammini minimi dalle distanze

8 Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 8 Tecnica del rilassamento Partendo da stime per eccesso delle distanze D xy ≥ d xy aggiornare le stime, decrementandole progressivamente fino a renderle esatte. Aggiornamento delle stime basato sul seguente passo di rilassamento:

9 Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 9 Algoritmo generico per il calcolo delle distanze rilassamento

10 Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 10 Algoritmo di Bellman e Ford (per cammini minimi a sorgente singola)

11 Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 11 Ordine di rilassamento Sia  = un cammino minimo. Se fossimo in grado di eseguire i passi di rilassamento nell’ordine seguente: in k passi avremmo la soluzione. Purtroppo non conosciamo l’ordine giusto, essendo  ignoto

12 Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 12 Approccio di Bellman e Ford Esegue n passate In ciascuna passata rilassa tutti gli archi Dopo la j-esima passata, i primi j rilassamenti corretti sono stati certamente eseguiti (ovvero è stata trovata d sv j ) Esegue però molti rilassamenti inutili!

13 Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 13 Pseudocodice Tempo di esecuzione: O(n m)

14 Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 14


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