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TEORIA DEI VALORI ESTREMI E APPLICAZIONI AL CALCOLO DEL VALUE AT RISK Gianna Figà-Talamanca Università della Calabria UNIVERSITA DI URBINO FACOLTA DI ECONOMIA.

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1 TEORIA DEI VALORI ESTREMI E APPLICAZIONI AL CALCOLO DEL VALUE AT RISK Gianna Figà-Talamanca Università della Calabria UNIVERSITA DI URBINO FACOLTA DI ECONOMIA

2 Value at Risk 1 Il Value at Risk (Valore a Rischio) è definito come la perdita massima al di sotto della quale si può andare solo con una bassa probabilità. Se con X t, t=1,2,…,n rappresentiamo la serie storica del rendimento della nostra posizione finanziaria X, si ha:

3 Value at Risk 2 Il Value at Risk è quindi un quantile, corrispondente in genere al 5% o all 1%, della distribuzione di probabilità del rendimento della posizione finanziaria X su un orizzonte temporale prefissato (1 giorno, una settimana, etc.). Dal 1986 il Comitato di Basilea ha stabilito che le istituzioni finanziarie sono tenute a calcolare (stimare) il proprio VaR come misura del capitale a rischio della società. Le istituzioni sono altresì tenute ad accantonare un capitale come assicurazione contro eventuali perdite, in modo proporzionale al VaR calcolato e alla loro affidabilità (rientrando nel passato nel VaR calcolato, etc.).

4 Lutilizzo del VaR é stato ed é ancora molto criticato dagli accademici e altre misure di rischio sono state introdotte. Nonostante questo il VaR é tuttora utilizzato da molte istituzioni e per migliorarne le prestazioni è necessario dare una accurata descrizione delle code della distribuzione dei rendimenti (Profit- Loss) che non può essere ben rappresentata da una distribuzione normale. MIB30 SP500 Istogramma per le perdite giornaliere

5 Analisi delle code: il Q-Q plot MIB30SP500 Si ottiene rappresentando in ascissa i quantili teorici per la distribuzione normale ed in ordinata i quantili della distribuzione empirica. Se i punti risultano sulla diagonale la distribuzione empirica è ben descritta da quella teorica. Si può notare che nelle code lapprossimazione è scarsa e il VaR non può essere ben stimato dal quantile di una distribuzione normale.

6 Distribuzioni leptocurtiche Una possibile soluzione è quella di rappresentare la distribuzione dei rendimenti con una distribuzione diversa dalla normale e che goda della proprietà di leptocurtosi (indice di curtosi > 3) che è causa delle code grasse. Possibili esempi di tali distribuzioni possono essere la distribuzione t-di student, la distribuzione iperbolica o altre, i cui parametri possono essere stimati utilizzando tutte le osservazioni passate disponibili sui rendimenti della posizione finanziaria X.

7 La Teoria dei Valori Estremi Si occupa dello studio di eventi rari ed è inizialmente nata nellambito della previsione di catastrofi naturali. Nelle applicazioni finanziarie levento raro può corrispondere al fallimento di una società, al crollo del prezzo di un titolo azionario o di un portafoglio. La Teoria dei valori estremi (EVT) si affianca allanalisi statistica standard, che analizza i fenomeni nella medi fornendo strumenti di diagnbistica come appunto il QQ-plot, per studiare gli venti rari, ovvero quelli che si trovano nelle code di una distribuzione. In particolare, lapplicazione della EVT in ambito finanziario cerca di stimare la forma distribuzione del rendimento di una posizione finanziaria SOLO per quanto riguarda le code di tale distribuzione e la si basa sullanalisi dei soli dati estremali nella serie storica dei rendimenti passati.

8 Dalle medie agli estremi… Ricordiamo che la distribuzione di un v.a. X è caratterizzata dalla sua Funzione di Ripartizione definita come: e che una successione di variabili aleatorie X 1,X 2,…X n si dicono identicamente distribuite se hanno la stessa funzione di ripartizione (la stessa distribuzione). Indici sintetici importanti nella distribuzione di una v.a. sono la media e la varianza definite rispettivamente come:

9 Dalle medie agli estremi 2… Due dei teoremi cardine dellinferenza statistica standard riguardano appunto la distribuzione della MEDIA di una successione di variabili aleatorie: Siano X 1,X 2,…X n … variabili aleatorie indipendenti ed identicamente distribuite con media e varianza 2 e sia: Legge dei grandi numeri la media aritmetica delle prime n. Teorema centrale del limite

10 Per rappresentare le code di una distribuzione si analizzano gli eventi estremali che possono essere rappresentati da due diverse variabili: 1)Il massimo a blocchi delle variabili aleatorie osservate; 2)Il valore degli eccessi sopra una soglia prefissata u detta threshold. Dalle medie agli estremi 3…

11 La distribuzione del massimo campionario Consideriamo nuovamente la successione X 1,X 2,…X n… di v.a. i.i.d ponendo la nostra attenzione non più sulla media aritmetica ma sul massimo campionario delle v.a. Definiamo quindi: La distribuzione del massimo è descritta dalla funzione di ripartizione ottenuta come: Banalmente, se x è un valore tale che F(x)<1 allora: Risultato di poco interesse

12 La distribuzione del massimo campionario 2 Un risultato limite interessante si ottiene invece normalizzando la variabile massimo mediamte una costante a n di scala e una costante b n di posizione per cui si abbia: Se una tale distribuzione limite H esiste ed è non degenere, allora deve necessariamente appartenere ad una certa classe di distribuzioni denominate del valore estremo generalizzato (GEV). In tale caso si dice che le v.a. X 1,X 2,…X n …hanno la funzione H come dominio di attrazione per il massimo.

13 Distribuzioni GEV Il Three Types Theorem Se il massimo campionario normalizzato ammette una distribuzione limite H non degenere allora questa può essere descritta da una delle seguenti forme funzionali: Gumbel Fréchet Weibull con positivo.

14 Distribuzioni GEV: Parametrizzazione unica Le tre tipologie di funzioni di ripartizione possono essere scritte in una forma comune del tipo: Dove é un parametro di posizione, > 0 è un parametro di scala e è un parametro di forma (il più importante nella descrizione della forma delle code). Per 0 ritroviamo la distribuzione di Gumbel, per > 0 la distribuzione di Frechét con = -1, per < 0 la distribuzione di Weibull con = In modo informale possiamo dire che il caso > 0 corrisponde a distribuzioni con code pesanti e lunghe che decrescono come una funzione potenza x -1/, il caso =0 alle distribuzione intermedie con code che decadono in modo esponenziale e il caso < 0 corrisponde a distribuzioni con code corte e finite a destra.

15 Consideriamo ora di avere una successione di v.a. con comune funzione di ripartizione F appartenente ad una classe nota: quale è la distribuzione limite GEV del massimo campionario? con Distribuzione Esponenziale Gumbel Distribuzione Normale con Gumbel

16 Code Paretiane Si dice che la distribuzione di una v.a. X ha code Paretiane di ordine se: In questo caso, ponendo si ottiene: ovvero il dominio di attrazione del massimo per una distribuzione con code di tipo Pareto è una Fréchet.

17 La distribuzione degli eccessi Fissato un valore soglia u indichiamo con Y la v.a. degli eccessi da u, Y=X-u. Consideriamo la distribuzione condizionata: Quando la soglia u tende al valore massimo per la v.a. X è possibile trovare una funzione di distribuzione limite per tale distribuzione condizionata.

18 La distribuzione degli eccessi 2 Se un tale limite esiste questo appartiene alla classe delle distribuzioni Pareto Generalizzate (GPD) ovvero, se: allora: Esponenziale Pareto e Beta

19 Si noti che, assegnata una distribuzione F per la successione di v.a. iid, un tale limite per la distribuzione condizionata degli eccessi esiste SE E SOLO SE esiste il limite per la distribuzione del massimo campionario e il parametro di forma coincide. Pertanto, nuovamente, se il parametro di forma è positivo la distribuzione possiede code lunghe e pesanti, se è negativo, code corte o troncate e se è nullo code che decadono in modo esponenziale. Risultati interessanti sulle caratteristiche delle distribuzioni GPD sono i seguenti:

20 Consideriamo ora di avere una successione di v.a. con comune funzione di ripartizione F appartenente ad una classe nota: quale è la distribuzione limite GPD degli eccessi sopra una soglia u? con Distribuzione Esponenziale Distribuzione Normale con Esponenziale!

21 Code Paretiane e GPD Nel caso in cui la distribuzione originale abbia code paretiane, sia u =bu, con b > 0, allora: che appartiene alle GPD se poniamo =1/ e b=.

22 Distribuzioni GPD e Quantili Una volta noti (stimati) i parametri che compaiono nella distribuzione GPD è possibile calcolare i quantili della distribuzione in funzione di questi e del threshold u scelto. Si ha, per 1-q F(u): con Tramite questa formula è possibile calcolare direttamente il VaR!

23 Stima dei parametri su osservazioni di mercato Il parametro che risulta più importante da stimare per capire la forma delle code della distribuzione empirica dei dati di mercato (rendimenti della nostra posizione finanziaria) è il parametro di forma. Questo può essere indifferentemente stimato tramite la distribuzione del massimo (a blocchi) fissato un numero sufficientemente alto n di osservazioni oppure tramite la distribuzione condizionata degli eccessi, fissato un threshold sufficientemente alto. Il numero di osservazioni in un caso, il threshold nellaltro sono scelte arbitrarie che possono alterare il valore della stima.

24 Il Caso MIB30: X= log-perdita giornaliera u=0,034 u=0,021 u=0,012

25 Soglia fissata a u=0,021. Approssimazione della coda nel caso del MIB30 Soglia fissata a u=0,012.

26 Analisi standard S&P 500 MediaStdev 0,000470,0107 SkewnessKurtosis -1,911540,27

27 S&P 500 Stima del parametro di forma al variare del threshold (del numero di osservazioni nella coda) Valore plausibile intorno a 0.3

28 S&P 500 – Stima del parametro di forma e dei Quantili (VaR) VaR (99%)Parametro di forma 0,09750,27 0,10610,3 0,11550,33 Come variano le stime dei quantili in base al threshold?

29 S&P 500: VaR al variare del threshold Valore plausibile intorno a 0.1, proprio quello trovato in corrispondenza di =0.3

30 S&P 500 –Funzione di ripartizione stimata ed empirica

31 MediaStdev 0, ,077 SkewnessKurtosis 0,34066,1588 Analisi standard del tasso di cambio Jap. Yen /UK £.

32 Japanese Yen /UK £. – Stima del parametro di forma Risulta difficile trovare un valore ottimale

33 Japanese Yen / UK £. – Stima del VaR al 99% VaR (99%)Parametro di forma 0,06090,22 0,0660,25 0,07170,28 Lintervallo per il quantile è accettabile, ma come varia la stima con il threshold?

34 Japanese Yen to UK £. – VaR al variare del threshold

35 Japanese Yen/UK £. Funzione di ripartizione stimata ed empirica

36 Analisi standard del Future sul Caffè. MediaStdev 0, ,0204 SkewnessKurtosis -0,241314,9788

37 LIFFE Coffee Fut. – Stima del parametro di forma

38 LIFFE Coffee Fut. – Var al 99% VaR(99%)Parametro di forma 0,18580,27 0,2020,3 0,220,33

39 LIFFE Coffee Fut. – VaR al variare del threshold

40 LIFFE Coffee Fut. Funzione di ripartizione stimata ed empirica

41 Confronto tra la stime del VaR al 99% ipotizzando una distrobuzione normale e con la teoria dei valori estremi. VaR- NormaleVaR-EVT S&P 5002,5%10,6% Coffee futures4,8%20,2% Yen /UK1,8%6,6%


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