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LE POLIGONALI CHIUSE Le poligonali chiuse sono le più usate nei rilievi di piccola entità. Esse sono intrinsecamente compensabili e possono essere:

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3 LE POLIGONALI CHIUSE Le poligonali chiuse sono le più usate nei rilievi di piccola entità. Esse sono intrinsecamente compensabili e possono essere: 1. Orientate; 2. Locali (o non orientate). 3

4 SCHEMA DELLE POLIGONALI CHIUSE ORIENTATE Nelle poligonali chiuse vengono misurati tutti gli angoli interni e tutti i lati. In questo modo sono presenti 2 elementi sovrabbondanti, un angolo e un lato, che permettono il controllo e la compensazione sia delle misure angolari sia delle misure lineari. Il vertice A, poi, viene considerato sia come primo che come ultimo vertice. O X Y A B   (AB) yNyN D AB  C X’ A E BC CD DE Y’ A DATI X’ A ; Y’ A (AB) MISURE AB, BC, CD , , ,  … INCOGNITE XB; YBXC; YCXD; YDXE; YEXB; YBXC; YCXD; YDXE; YE  AE FASI DI SVILUPPO DELLE POLIGONALICHIUSE POLIGONALI CHIUSE 2. Calcolo delle coordinate parziali. 3. Controllo e compensazione lineare. 4. Calcolo delle coordinate totali. 1. Controllo e compensazione angolare. 4

5 CONTROLLO ANGOLARE Nella misura degli angoli interni vengono commessi errori, pertanto la loro somma differisce da quella teorica, in più o in meno, di una certa quantità ±   che prende il nome di errore di chiusura angolare della poligonale. Nel nostro caso: O X Y A B   (AB) yNyN D AB  C X’ A E BC CD DE Y’ A   AE ±   = [  +  +  +  +  ]  [(5  2) × 200 c ] È necessario che il valore assoluto dell’errore di chiusura angolare non superi un certo valore limite T  chiamato tolleranza angolare. | ±   | ≤ T  Nelle poligonali catastali con sviluppo inferiore ai 2 km, la tolleranza angolare viene calcolata con la formula: T  = 0 C,025  √ N 5

6 COMPENSAZIONE ANGOLARE Dato che tutti gli angoli vengono misurati con le stesse modalità operative, è logico supporre che essi siano affetti dallo stesso errore, per cui la compensazione angolare consiste nel distribuire l’errore di chiusura angolare (cambiato di segno) in parti uguali su tutti gli angoli misurati. O X Y A B   (AB) yNyN D AB  C X’ A E BC CD DE Y’ A  AE   = –  N CORREZIONE ANGOLI  ’ =    ’ =    ’ =    ’ =    ’ =   CALCOLO DEGLI AZIMUT (AB) = noto (BC) = (AB) +  ’  200 C (CD) = (BC) +  ’  200 C (DE) = (CD) +  ’  200 C (EA) = (DE) +  ’  200 C (BC) yNyN (CD) yNyN (DE) yNyN (EA) 6 

7 CALCOLO DELLE COORDINATE PARZIALI Con le lunghezze dei lati e l’ampiezza degli azimut, si possono calcolare le coordinate parziali, considerando il vertice A, inizialmente come primo vertice, poi come ultimo. A B   (AB) y D AB  C E BC CD DE   AE (BC) yNyN (CD) yNyN (DE) yNyN (EA) Ascisse parziali (x) (x B ) A = AB × sen (AB) (x C ) B = BC × sen (BC) (x D ) C = CD × sen (CD) (x E ) D = DE × sen (DE) (x A ) E = EA × sen (EA) yNyN (x B ) A (x C ) B (x D ) C (x E ) D (x A ) E Ordinate parziali (y) (y B ) A = AB × cos (AB) (y C ) B = BC × cos (BC) (y D ) C = CD × cos (CD) (y E ) D = DE × cos (DE) (y A ) E = EA × cos (EA) (y B ) A (y C ) B  (x) =0  (y) =0  (x) =0  (y) =0 In una poligonale chiusa dovrebbe essere: 7

8 CONTROLLO E TOLLERANZA LINEARE Nella misura dei lati, vengono commessi errori che si trasmettono sulle coordinate parziali. Dunque le sommatorie delle coordinate parziali non risulteranno nulle, ma presenteranno invece dei valori (positivi o negativi), diversi da 0:  (x) =   x ≠ 0  (y) =   y ≠ 0  (x) =   x ≠ 0  (y) =   y ≠ 0 Errore di chiusura lineare  =   x 2 +  y 2 O X Y B   D AB  C E BC CD DE   AE A*A* xx yy  Esso deve essere inferiore alla tolleranza lineare T L assegnata:   TL  TL Nelle poligonali catastali con sviluppo inferiore ai 2 km, la tolleranza lineare T L viene calcolata con la formula assegnata (L=AB+BC+CD+…) : T L = 0,025  L 8 A

9 COMPENSAZIONE LINEARE (empirica) La compensazione lineare viene eseguita ridistribuendo (con segno opposto) sulle coordinate parziali, sia il valore ±  x sia quello ±  y, proporzionalmente alla lunghezza dei lati. Si calcolano gli errori unitari (per metro di poligonale), distintamente per le ascisse e per le ordinate:   x K x = –  L Correzione delle coordinate parziali   y K y = –  L ascisse parziali corrette (x B )’ A = (x B ) A ± K x  AB (x C )’ B =(x C ) B ± K x  BC (x D )’ C = (x D ) C ± K x  CD (x E )’ D =(x E ) D ± K x  DE (x A )’ E =(x A ) E ± K x  EA ordinate parziali corrette (y B )’ A = (y B ) A ± K y  AB (y C )’ B = (y C ) B ± K y  BC (y D )’ C =(y D ) C ± K y  CD (y E )’ D =(y E ) D ± K y  DE (y A )’ E = (y A ) E ± K y  EA 9

10 COORDINATE TOTALI COMPENSATE Con le coordinate parziali compensate è possibile completare la procedura con il calcolo delle coordinate totali rispetto al sistema di riferimento principale. Ascisse totali corrette X ’ A = elem. noto X B = X ’ A + (x B )’ A X C = X B + (x C )’ B X D = X C + (x D )’ C X E = X D + (x E )’ D X A = X E + (x A )’ E Ordinate totali corrette Y ’ A = elem. noto Y B = Y ’ A + (y B )’ A Y C = Y B + (y C )’ B Y D = Y C + (y D )’ C Y E = Y D + (y E )’ D Y A = Y E + (y A )’ E 10

11 X Y POLIGONALI RIFERITE A SISTEMI LOCALI Il calcolo della poligonale locale si sviluppa come una poligonale orientata, ma con l’ordinata parziale del punto B (o l’ascissa parziale del punto A) che dovrà essere nulla anche dopo la compensazione lineare [ (y B ) A = (y B )’ A = 0 oppure (x A ) F = (x A )’ F = 0 ]; ciò comporta un diverso modo di calcolare gli errori unitari K x e K y. X Y A B   D AB  C E BC CD DE   AE   x K x = –  L Asse X coincidente con AB   y K y = –  L – AB   y K y = –  L Asse Y coincidente con AE   x K x = –  L – AE 11

12 ESEMPIO NUMERICO X A =  37,85 m; Y A =  64,38 m ; (AB) = 75 C,390 Staz.PuntoLettura C. O. Distanze (m) A E 80 c,189- B 192 c,20967,35 B A 110 c,701- C 300 c,17162,81 C B 200 c,750- D 292 c,120107,63 D C 30 c,733- E 147 c,373118,15 E D 201 c,628- A 292 c,078110,25 12

13 Vertici Angoli misurati Angoli corretti Lati (m) Azimut  i–1 +  i  200 Coordinate parziali Coordinate parziali corrette Coordinate totali xixi yiyi x’ i y’ i XiXi YiYi A  37,85  64,38 67,3575 C,390 B 189 c,47 +0 c, c,48 +62,380 +0, ,392  0, ,388+25, ,54  39,02 62,8164 c,870 C 91 c,37 +0 c,01 91 c,38 +53,487 +0, ,927  0, ,494+32,898+78,03  6,12 107,63356 c,250 D 116 c,64 +0 c, c,65  68,280 +0, ,199 -0,049  68, ,150+9,76+77,03 118,15272 c,900 E 90 c,45 +0 c,01 90 c,46  107,606 +0,014  48,789  0,053  107,592  48,842  97,83 +28,19 110,25163 c,390 A 112 c,02 +0 c, c,03 +59,964 +0,013  92,517  0, ,977  92,567  37,85  64,38  = 599 c, c,00 L=466,19  x =  x =  0,055 +0,212 =  y =  y Kx=Kx=  0, ,000455=Ky=Ky  =  0 c,05  13

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15 LE POLIGONALI APERTE VINCOLATE Le poligonali aperte vincolate sono perlopiù inserite tra due vertici trigonometrici A e B noti; da ciascuno di questi, poi, è necessario vedere un ulteriore punto di coordinate note rispetto al quale vengono misurati l’angolo di apertura  e quello di chiusura . elementi notielementi misuratiincognite A  (X’ A ;Y’ A ), B  (X’ B ;Y’ B ) P  (X’ P ;Y’ P ), R  (X’ R ;Y’ R ) ,  1,  2,…  n,  AA 1, A 1 A 2, A 2 A 3,…A n B A 1  (X A1 ;Y A1 ); A 2  (X A2 ;Y A2 ); A 3  (X A3 ;Y A3 ); ….A n  (X An ;Y An ) 15

16 IL CONTROLLO ANGOLARE La necessità di vedere il punto noto P da A è legata all’apertura della poligonale (definizione dell’azimut (AA 1 ), con la misura di  ). O X Y A A1A1 B X’ A ;Y’ A 11 (A 1 A 2 ) yNyN A2A2 22 (A 2 A 3 ) yNyN A3A3 AnAn 33 (A 3 A 4 ) yNyN A4A4 44 (A 4 A n ) yNyN nn (A n B) yNyN X’ B ;Y’ B yNyN (AA 1 ) P X’ P ;Y’ P  yNyN (PA) * Dopo aver ottenuto (AA 1 ), si possono calcolare gli azimut di tutti i lati della poligonale. 16

17 IL CONTROLLO ANGOLARE La necessità di vedere il punto noto R da B è legata alla chiusura della poligonale (controllo dell’azimut (BR), con la misura di  ). O X Y A A1A1 B X’ A ;Y’ A 11 (A 1 A 2 ) yNyN A2A2 22 (A 2 A 3 ) yNyN A3A3 AnAn 33 (A 3 A 4 ) yNyN A4A4 44 (A 4 A n ) yNyN nn (A n B) yNyN yNyN (BR)  R X’ R ;Y’ R X’ B ;Y’ B yNyN (AA 1 ) P  Dopo aver ottenuto (A n A B ), si può calcolare l’azimut (BR), sia con le coordinate di B e R, sia con l’angolo , permettendo il controllo angolare della poligonale. Se non si fossero commessi errori nella misura degli angoli ,  1,  2 … , l’azimut (BR) risulterebbe uguale a (BR) *. 17

18 LA COMPENSAZIONE ANGOLARE L’azimut (BR)*, calcolato con le coordinate di B e R, è da ritenere corretto, sicché la somma degli errori commessi nella misura degli angoli al vertice ,  1,  2 …  (errore di chiusura angolare) sarà fornito dalla seguente espressione: ±   = (BR)  (BR) * Questo errore dovrà essere inferiore alla tolleranza angolare: | ±   | ≤ T  Nelle poligonali catastali con sviluppo inferiore ai 2 km, la tolleranza angolare viene calcolata con la: T  = 0 C,025   N Considerando tutti gli angoli misurati con le stesse modalità operative, la compensazione angolare consiste nel distribuire l’errore di chiusura angolare (cambiato di segno) in parti uguali su tutti gli angoli misurati:   = –  N (AA 1 )’ = (AA 1 ) ± (A 1 A 2 )’ = (A 1 A 2 ) ± 2 (A 2 A 3 )’ = (A 2 A 3 ) ± 3 (A 3 A 4 )’ = (A 3 A 4 ) ± (BR)’ = (BR) ± N  18

19 CONTROLLO LINEARE: verifica di X B,Y B Con gli azimut compensati si procede al calcolo delle coordinate parziali: O X Y A A1A1 B X’ A ;Y’ A A2A2 A3A3 AnAn A4A4 X’ B ;Y’ B Ascisse parziali (x) (x A1 ) A = AA 1  sen (AA 1 )’ (x A2 ) A1 = A 1 A 2  sen (A 1 A 2 )’ (x A3 ) A2 = A 2 A 3  sen (A 2 A 3 )’ (x A4 ) A3 = A 3 A 4  sen (A 3 A 4 )’ …………………………. (x B ) An = A n B  sen (A n B)’ Ordinate parziali (y) (y A 1 ) A1 = AA 1  cos (AA 1 )’ (y A2 ) A1 = A 1 A 2  cos (A 1 A 2 )’ (y A3 ) A2 = A 2 A 3  cos (A 2 A 3 )’ (y A4 ) A3 = A 3 A 4  cos (A 3 A 4 )’ ………………………….. (y B ) An = A n B  cos (A n B)’ Le coordinate di B, passando attraverso tutti i lati della poligonale, saranno: X B = X’ A +  x Y B = Y’ A +  y B*B* X B ;Y B xx yy  19

20 LA COMPENSAZIONE LINEARE Nelle poligonali catastali con sviluppo inferiore ai 2 km, la tolleranza lineare T L viene calcolata con la formula assegnata ( L=AB+BC+CD+… ): T L = 0,025  L La compensazione lineare viene eseguita ridistribuendo (con segno opposto) sia il valore ±  x che quello ±  y, proporzionalmente alla lunghezza dei lati. Si calcolano, prima di tutto, gli errori unitari (per metro di poligonale), distintamente per le ascisse e per le ordinate:   x K x = –  L   y K y = –  L   x = X B –X’ B ≠ 0   y = Y B –Y’ B ≠ 0   x = X B –X’ B ≠ 0   y = Y B –Y’ B ≠ 0 Errore di chiusura lineare  = √  x 2 +  y 2 La misura dei lati avviene con errori che si trasmettono su tutte coordinate parziali, e infine anche sulle coordinate del punto B che, pertanto, saranno diverse da quelle assegnate X’ B, Y’ B : 20

21 LA COMPENSAZIONE LINEARE Ascisse parziali corrette (x’) (x A1 )’ A = (x A1 ) A ± K x  AA 1 (x A2 )’ A1 = (x A2 ) A1  ± K x  A 1 A 2 (x A3 )’ A2 = (x A3 ) A2  ± K x  A 2 A 3 (x A4 )’ A3 = (x A4 ) A3  ± K x  A 3 A 4 …………………………. (x B )’ An = (x B ) An  ± K x  A n B Con gli errori unitari si correggono le coordinate parziali: Ordinate parziali corrette (y’) (y A1 )’ A1 = (y A1 ) A1 ± K y  AA 1 (y A2 )’ A1 = (y A2 ) A1 ± K y  A 1 A 2 (y A3 )’ A2 = (y A3 ) A2 ± K y  A 2 A 3 (y A4 )’ A3 = (y A4 ) A3 ± K y  A 3 A 4 ………………………….. (y B )’ An = (y B ) An ± K y  A n B Ascisse totali X’ A = elemento noto X A1 = X’ A + (x A1 )’ A X A2 = X A1 + (x A2 )’ A1 X A3 = X A2 + (x A3 )’ A2 X A4 = X A3 + (x A4 )’ A3 ………………..…. X B = X An + (x B )’ An Infine si calcolano le coordinate totali: Ordinate totali Y’ A = elemento noto Y A1 = Y’ A + (y A1 )’ A1 Y A2 = Y A1 + (y A2 )’ A1 Y A3 = Y A2 + (y A3 )’ A2 Y A4 = Y A3 + (y A4 )’ A3 ………………….. Y B = Y An + (y B )’ An 21

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23 APERTURA A TERRA DELLE POLIGONALI I punti trigonometrici A e P (come B e R) sono spesso inaccessibili, dunque non è possibile farvi stazione per misurare direttamente l’angolo  (o  ). Non solo, ma anche la misura diretta della lunghezza del primo lato AA 1 risulta impedita. Per misurare  e la lunghezza del lato AA 1 esiste una procedura topografica, nota come apertura a terra. Essa prevede la scelta di un punto ausiliario M in posizione tale che da esso siano visibili A, A 1 e il trigonometrico P. 23

24 1. APERTURA A TERRA: P visibile da A 1 Si misura direttamente il lato b=MA 1 e gli angoli  =AMA 1 e =MA 1 A. A A1A1 X’ A ;Y’ A  A2A2 yNyN (AA 1 ) P X’ P ;Y’ P  M  b Con stazione in A 1 si misura l'angolo  =PA 1 A. Il triangolo APA 1 diviene risolvibile (noti AP, AA 1 e  ), dunque si calcola l’angolo APA 1 quindi, per differenza, l’angolo  = PAA 1, cioè l’angolo di apertura. Con il teorema dei seni si calcola la lunghezza del lato AA 1 (primo della poligonale). 24

25 2. APERTURA A TERRA: P non visibile da A 1 Si misura direttamente il lato b=MA 1 e gli angoli  =AMA 1 e =MA 1 A. A A1A1 X’ A ;Y’ A  A2A2 yNyN (AA 1 ) P X’ P ;Y’ P  M  b Con stazione in M si misura l’angolo  =PMA. Il triangolo APM diviene risolvibile (noti AP, AM e  ). Si calcola, dunque, l’angolo APM, quindi, per differenza, l’angolo  =PAM, cioè l’angolo di apertura. Con il teorema dei seni si calcola la lunghezza del lato AA 1 e AM. 25

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27 POLIGONALI PARTICOLARI Se dai vertici A e B non sono visibili altri punti di coordinate note (P e R) allora non sarà possibile eseguire il controllo e la compensazione angolare. Sono invece possibili il controllo e la compensazione laterale. C’è poi anche un altro problema; non potendo misurare l’angolo , non è nemmeno possibile l’apertura della poligonale che, dunque, rimane priva dell’orientamento iniziale, cioè dell’azimut del primo lato (AA 1 ). O X Y A A1A1 B X’ A ;Y’ A A2A2 A3A3 AnAn X’ B ;Y’ B yNyN (AA 1 ) incognito 27

28 POLIGONALI PARTICOLARI Per “aprire” la poligonale si fissa arbitrariamente l’azimut del primo lato assegnandogli un valore fittizio (AA 1 ) * [es. 100 C ]. Possiamo ora procedere al calcolo delle coordinate dei vertici della poligonale fittizia A, A * 1, A * 2, A * 3...B *, che risulteranno tutti rigidamente ruotati di una certa quantità  rispetto al sistema di riferimento X, Y. O X Y A A1A1 B X’ A ;Y’ A A2A2 A3A3 AnAn X’ B ;Y’ B yNyN A*1A*1 B*B* A*2A*2 A*3A*3 A*nA*n X * B ;Y * B (AA 1 ) (AA 1 ) *  X * B = X’ A +  x * Y * B = Y’ A +  y * (AB’) (AB * )  28

29 POLIGONALI PARTICOLARI L’angolo  rappresenta la rotazione della poligonale fittizia della quale già si conoscono gli azimut dei lati. Ciascun azimut della poligonale fittizia verrà poi corretto del valore ± , ottenendo gli azimut di tutti i lati della poligonale reale A, A 1, A 2, A 3 …B. (AA 1 ) = (AA 1 ) * ±  (A 1 A 2 ) = (A 1 A 2 ) * ±  (A 2 A 3 ) = (A 2 A 3 ) * ±  (A n B) = (A n B) * ±  Ottenuti gli azimut dei lati della poligonale reale A, A 1, A 2, A 3 …B (ricordiamo però che essi non sono né controllati né compensati), il suo calcolo proseguirà come una normale poligonale aperta vincolata con controllo e compensazione lineare. 29

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31 LA SCELTA DEI VERTICI Il rilievo di una poligonale inizia con un minuzioso e attento sopralluogo sul terreno interessato per individuare i vertici che andranno scelti in modo da rispettare le seguenti regole fondamentali: 1. i vertici devono essere individuati e materializzati a mezzo di picchetti, o da chiodi sulle superfici non penetrabili, in modo che da ciascuno di essi sia visibile il vertice precedente e quello seguente (per la misura dell'angolo al vertice); 2. il terreno tra due vertici consecutivi dovrà essere il più possibile sgombro da ostacoli, in particolare se la misura della dei lati avviene in modo diretto; 3. in una poligonale aperta i vertici devono discostarsi il meno possibile dalla congiungente i due estremi della poligonale stessa; 4. da ciascun vertice dovrà essere visibile un’adeguata estensione di terreno in modo che da esso sia poi facile partire per eseguire il successivo rilievo dei particolari topografici del terreno. I vertici vengono provvisoriamente segnalati con paline, quindi, una volta definita la loro posizione, le stesse vengono sostituite con picchetti in legno o con picchetti di ferro (talvolta con pilastrini in muratura). Di ciascuno di essi deve poi essere redatta un’adeguata monografia, oltre all’eidotipo della zona di terreno da rilevare da quel vertice. 31

32 LA MISURA DEI LATI ● Nella misura delle lunghezze dei lati di una poligonale, in relazione alla precisione da rispettare, alla lunghezza dei lati e alla conformazione del terreno, vengono di norma utilizzati i seguenti apparati (in ordine di importanza): 1. Geodimetri elettronici. 2. Misura indiretta (per poligonali speditive). 3. Cordelle metriche per la misura diretta. Utilizzando i geodimetri elettronici, e se non vi sono problemi di visibilità, è opportuno posizionare il prisma riflettente direttamente sul picchetto che segnala il vertice, in modo da evitare la diminuzione di precisione dovuta alla eventuale non perfetta verticalità del bastone portaprisma. Se ciò non è possibile occorre utilizzare appositi treppiedi che mantengono l’asta portaprisma verticale per tutta la durata delle operazioni di misura. 32

33 LA MISURA DEGLI ANGOLI ● Nella misura degli angoli al vertice compresi tra due lati consecutivi, vengono di norma utilizzati i seguenti apparati (in ordine di importanza): 1. Geodimetri elettronici. 2. Teodoliti 1”-10” (per poligonali di precisione). 3. Tacheometri 30”-60” (per poligonali speditive). La misura di un generico angolo al vertice  n inizia con la stazione del goniometro sul vertice A n. Successivamente, collimando il vertice precedente A n – 1 e quello seguente A n+1, opportunamente segnalati da paline, si faranno al cerchio orizzontale del goniometro le relative letture. L’angolo al vertice  n sarà determinato dalla differenza di queste letture. nn 0c0c An–1An–1 A n+1 AnAn Ln–1Ln–1 L n+1  n =L n+1 –L n–1 33

34 ERRORE DI CENTRAMENTO ● Nella misura degli angoli, soprattutto per vertici ravvicinati, è assai temibile l’errore di centramento del goniometro (o del segnale) sul vertice. ● Infatti, posizionando lo strumento, o le mire, sui vari vertici della poligonale, il centramento effettuato con mezzi ordinari (piombino ottico) avviene con errori dell’ordine di qualche millimetro (3-4 millimetri). Questo errore influenza le letture al CO, L n – 1 e L n+1, dunque anche l’angolo al vertice  n. 0c0c An–1An–1 AnAn Ln–1Ln–1 0c0c A’nA’n L’n–1L’n–1 e d ● L’angolo rappresenta l’errore di cui è affetta la lettura al cerchio L n – 1 ● Essendo d molto più grande di e, possiamo considerare e come un arco di cerchio di raggio d. L’errore angolare, provocato dal non perfetto centramento dello strumento sul vertice, è inversamente proporzionale alla lunghezza dei lati. Pertanto i vertici dalla poligonale andranno scelti in modo da limitare la presenza di lati corti (inferiori ai m). 34

35 CENTRAMENTO FORZATO ● Maggiore precisione nella misura degli angoli si ottiene ricorrendo a una procedura operativa denominata centramento forzato. Essa è realizzabile a mezzo di strumen- ti (teodoliti e mire) separabili da un comune basamento e intercambiabili sul basamento stesso. An–1An–1 A n+1 AnAn A n+2 nn ● Distribuzione di goniometro e mire durante la misura dell’angolo al vertice su A n ● Distribuzione di goniometro e mire durante la misura dell’angolo al vertice su A n+1 35


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