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Ing. Francesco Scarcella. Cos’è la logica? La logica è semplicemente la scienza del ragionamento. LOGICA LOGICA MATEMATICA Scienza del ragionamento Scienza.

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Presentazione sul tema: "Ing. Francesco Scarcella. Cos’è la logica? La logica è semplicemente la scienza del ragionamento. LOGICA LOGICA MATEMATICA Scienza del ragionamento Scienza."— Transcript della presentazione:

1 Ing. Francesco Scarcella

2 Cos’è la logica? La logica è semplicemente la scienza del ragionamento. LOGICA LOGICA MATEMATICA Scienza del ragionamento Scienza del ragionamento matematico

3 Scienza e ragionamento Ragionamento significa studiare come l’uomo ragiona. Scienza significa adottare un metodo scientifico: «metodo matematico». Scienza significa adottare un metodo scientifico: «metodo matematico».

4 Come si arriva a studiare la logica?

5 La Dialettica È stata iniziata in Occidente dalla Scuola greca dei Sofisti (Protagora e Gorgia). I Sofisti erano interessati all’arte della parola, all’arte del discorso; pertanto, iniziarono a studiare le regole che soggiacevano al discorso per cercare di usarle ai propri fini.

6 La Via dei Paradossi Cos’è un paradosso?  In termini filosofici, un paradosso consiste in una vera e propria contraddizione logica.  In termini matematici, un paradosso consiste in una proposizione eventualmente dimostrata e logicamente coerente, ma lontana dall’intuizione.  In termini filosofici, un paradosso consiste in una vera e propria contraddizione logica.  In termini matematici, un paradosso consiste in una proposizione eventualmente dimostrata e logicamente coerente, ma lontana dall’intuizione.

7 Paradossi della storia Il mentitore Achille e la tartaruga

8 Quale è il paradosso del mentitore? Il paradosso del mentitore è il paradosso di qualcuno che dice: "Io sto mentendo" Come mai è paradossale? Se si suppone che chi dice: "Io sto mentendo" dica il vero, allora si deduce che ha detto il falso; se, invece, si suppone che chi dice :"Io sto mentendo" dica il falso, allora si deduce che ha detto il vero. Se si suppone che chi dice: "Io sto mentendo" dica il vero, allora si deduce che ha detto il falso; se, invece, si suppone che chi dice :"Io sto mentendo" dica il falso, allora si deduce che ha detto il vero. Quindi si tratta di una contraddizione, di un paradosso.

9 Gara tra Achille e la tartaruga Paradosso di Achille e la tartaruga Achille : simbolo della velocità Tartaruga : simbolo della lentezza

10 Achille corre dieci volte più veloce della tartaruga e le concede 10 m di vantaggio. Achille percorre quei 10 m e la tartaruga avanza di un 1 m; Achille percorre quel metro e la tartaruga avanza di un 1 dm; Achille percorre quel decimetro e la tartaruga avanza di 1 cm; Achille percorre quel centimetro e la tartaruga avanza di 1 mm, e così via all’infinito. Dunque, Achille non potrà mai raggiungere la tartaruga.

11 Dove sta l’errore? Qual’ è il problema? L’assunzione implicita che sta fisicamente dietro questo paradosso è che lo spazio sia divisibile all’infinito, cioè che sia possibile dire che tra questi due punti ce ne stanno una infinità. Da un punto di vista matematico, questo è vero; da un punto di vista fisico questo non è assolutamente detto che sia vero; da punto di vista logico, il problema è il regresso all’infinito, ossia tutti questi paradossi si basano sul "e così via", sulla possibilità di ripetere lo stesso argomento decine e decine di volte, anzi una infinità di volte. Da un punto di vista matematico, questo è vero; da un punto di vista fisico questo non è assolutamente detto che sia vero; da punto di vista logico, il problema è il regresso all’infinito, ossia tutti questi paradossi si basano sul "e così via", sulla possibilità di ripetere lo stesso argomento decine e decine di volte, anzi una infinità di volte. Sappiamo tutti che correndo dietro una tartaruga, prima o poi si riesce a raggiungerla.

12 Soluzioni del paradosso Rifiuto dell’infinito fisico, cioè lo spazio non si può dividere all’infinito. Rifiuto dell’infinito logico, cioè non è possibile fare regressi all’infinito.

13 La terza Via : la Via delle Dimostrazioni I greci capirono che i risultati della matematica necessitavano di dimostrazioni, anche perché non c’era modo di sapere se un risultato fosse giusto o meno. Prima del 600 a.C Agli inizi la matematica è nata senza dimostrazioni. Dal 600 a.C I risultati venivano trascritti in maniera intuitiva, senza alcuna dimostrazione. Come si fa a decidere di fronte ad un’intuizione se questa è effettivamente vera o meno? BISOGNA DIMOSTRARLA!

14 I Greci furono stimolati allo studio delle dimostrazioni da due famosi risultati, collegati fra loro ed associati a Pitagora. 1. Il Teorema di Pitagora 2. L’irrazionalità della diagonale del quadrato

15 Teorema di Pitagora «In ogni triangolo rettangolo, l’area del quadrato costruito sull’ipotenusa è uguale alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui due cateti» Il triangolo rettangolo è un triangolo in cui l’angolo formato dai due lati, detti cateti, è retto, ovvero di 90°. Il lato opposto all’angolo retto è detto ipotenusa. Definizione:

16 Costruendo un quadrato su ogni lato del triangolo rettangolo si constata che:

17 16+9 = 25 Somma aree quadrati costruiti sui cateti Area quadrato costruito sull’ipotenusa

18 Quale è l’utilità di questo teorema? È quella di poter conoscere la misura di ogni lato di un triangolo rettangolo, essendo note le misure degli altri due lati

19 Esempio

20 Irrazionalità della diagonale del quadrato

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22 con m ed n due numeri naturali. Possiamo scegliere m ed n in maniera tale che siano primi fra loro. In particolare allora m ed n non sono entrambi pari.

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24 Dividendo primo e secondo membro per 2 si ottiene n 2 = 2k 2 (7) Ciò dimostra che anche n è pari. Dunque, si è dimostrato che sia n che m sono numeri pari.

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