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Deduzione naturale + Logica & Calcolabilità. La nozione di mondo possibile, fondamentale per la semantica dei linguaggi logici, è tuttavia una nozione.

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1 Deduzione naturale + Logica & Calcolabilità

2 La nozione di mondo possibile, fondamentale per la semantica dei linguaggi logici, è tuttavia una nozione non dominabile, perché evoca per definizione una infinità di situazioni possibili. Prendiamo il caso in cui è conseguenza logica di : sappiamo che ciò significa in tutti i mondi in cui è vera, anche è vera quanti mondi? quali? cosa significa in termini operativi?

3 Le alternative logicamente concepibili nella sfera dei mondi possibili sono infinite e risulta estremamente difficile trattare la nozione di conseguenza con modalità finitarie. Come rendere allora dominabile la relazione tra ipotesi e conclusione? Mediante il cosiddetto calcolo della deduzione naturale, un metodo effettivo per costruire concrete dimostrazioni della validità di argomenti dati.

4 In termini intuitivi: Dimostrazione Successione finita di formule in cui, mediante una procedura effettiva, si passa in modo controllabile da un elemento allaltro della successione: formalmente scriveremo 1,..., n (Conseguenza a lungo termine per la relazione tra logica e calcolabilità: una procedura effettiva è in linea di principio eseguibile)

5 È possibile, in altri termini, ridurre le conseguenze logiche a dimostrazioni e controllare effettivamente se possiamo produrre a partire da 1,..., n. In una dimostrazione, le premesse permettono di ottenere in modo effettivo e procedurale la conclusione: per questo motivo, lanalisi del concetto di dimostrazione rimanda alla relazione tra logica e calcolabilità.

6 Nel calcolo della deduzione naturale, lo strumento principale per costruire dimostrazioni è linsieme delle regole di inferenza, che sono prescrizioni su come ricavare un certo enunciato da altri enunciati. Calcolo enunciativo (CE): sistema di regole di inferenza per produrre dimostrazioni dentro la logica enunciativa.

7 Regole di inferenza per CE: regole di introduzione e di eliminazione di connettivi nel corso delle dimostrazioni. Se § è un connettivo qualsiasi Introduzione (I-§)Eliminazione (E-§), § _______ §,

8 Forma generale di una dimostrazione 1,..., m Numeri di riga Giustificazione della formula (1)#G.#G.# GLe 1,..., m.#Goccorrono qui.#G (m)# (m+1)# ………. GQui occorrono.# ………. Gformule ottenute (n)#con regole di inf. Numeri che indicano le formule da cui dipende la formula della riga formula conclusione =

9 La regola più generale di tutte: Regola di Assunzione (Assn) Regola che consiste semplicemente nellassumere una formula in un qualsiasi passo di una dimostrazione. Se scegliamo per esempio di aprire una dimostrazione con la formula come assunzione, scriveremo (1)1 Assn Questi due numeri sono uguali perché la fbf dipende da se stessa.

10 Se i connettivi della logica enunciativa LE sono,,,, avremo le rispettive regole di inferenza I, E Introduzione ed Eliminazione di

11 Cominciamo a vedere le regole più semplici. Eliminazione di (legge del modus ponens). Da un condizionale e dallantecedente, possiamo inferire il conseguente Formalmente:, _____ E Es.:«Se il capo fuma, è nervoso.» «Il capo fuma» quindi _____ «Il capo è nervoso.»

12 (1) 1 Assn (2) 2 Assn (3) 1,2 1,2 E (1) 1 Assn (2) 2 Assn (3) 3 Assn (4)1,3 1,3 E (5)1,2,3 2,4 E

13 Introduzione di (Regola di scarico) Supponiamo di avere una dimostrazione con premesse 1,..., m, e supponiamo di voler derivare un condizionale della forma. Possiamo allora cercare di costruire una dimostrazione con premesse 1,..., m, : se in questa dimostrazione riusciremo a derivare, allora saremo autorizzati a scrivere Si dice allora che lassunzione viene scaricata.

14 Formalmente, 1,..., m [ ]..I _____ Nota: la parentesi quadra [ ] indica lassunzione scaricata.

15 Esempio: Tutti i gatti fanno le fusa 1,..., m [Fido è un gatto][ ____________________ Se Fido è un gatto, allora fa le fusa

16 Introduzione di Da due formule qualsiasi e possiamo inferire, _____ I Eliminazione di Da una congiunzione possiamo inferire uno qualsiasi dei congiunti _____ E,

17 Dimostrazione ( ), 11 ( )Assn 22 Assn 31,2 1,2 E 41,2,3 3, E 51,2,3,4 2,4 I

18 Introduzione di Data una formula qualsiasi, possiamo inferire la disgiunzione di con una formula qualsiasi (che indichiamo con X) _____ I X

19 Eliminazione di Da formule della forma, e possiamo inferire la formula.,, ______________ E

20 La regola di eliminazione di è definita dilemma costruttivo: Oggi o è sabato o è domenica Se è sabato ci sarà un concerto Se è domenica ci sarà un concerto ____________________________ Ci sarà un concerto Linformazione disgiuntiva non serve più!

21 Eliminazione di Da due formula della forma e possiamo inferire (principio secondo cui da una contraddizione segue qualsiasi cosa). Formalmente:, _____ E

22 Dimostrazione 1 Assn 2 Assn 3 1,2 E 4 2,3 I

23 Eliminazione di (alternativa) Da una formula della forma possiamo inferire (legge della doppia negazione). Formalmente: _____ E

24 Dimostrazione, 11 Assn 22 Assn 32 2 E 41,3 1,3 E 51,2,3,4 4 E

25 Introduzione di Se da una formula deriviamo una contraddizione, cioè deriviamo sia una formula sia la sua negazione, allora possiamo scrivere, introducendo il connettivo. [ ] [ Principio della.. dimostrazione..I per assurdo..

26 Dimostrazione, 1 Assn 2 Assn 3 Assn 4 1,3 E 5 2,3 E 6 3,4,5 I

27 Le nozioni di DECIDIBILITÀ e COMPUTABILITÀ e i loro limiti Formulazione della logica in termini di teorie formalizzate e di dimostrazioni (allinterno di teorie formalizzate) Soluzione effettiva di tutti i problemi logici? NO!

28 Problema della Decisione Data una qualsiasi proposizione A della logica predicativa, è possibile determinare se A è vera o falsa? Esiste cioè un algoritmo capace di decidere se, per una qualsiasi proposizione A, quella proposizione è vera o falsa? Il problema nascosto è: cosè un algoritmo?

29 ALGORITMO Concetti vaghi e indefiniti PROCEDURA, METODO,... MACCHINA DI TURING (MdT) Concetto preciso

30 LOGICA Decidibilità/Indecidibilità COMPUTABILITÀ RicorsivitàTEORIA DEGLI ALGORITMI Linguaggio come strumento cognitivo (Produzione linguistica come fenomeno computabile) LINGUISTICA I sistemi cognitivi umani producono espressioni linguistiche adeguate al contesto e in tempi corretti

31 Chiarificazione della nozione di algoritmo Definizione di un modello astratto di computazione (Macchina di Turing [MdT]) Assunzione: la MdT (modello astratto) include in realtà le caratteristiche fondamentali di ogni possibile procedura di calcolo, cioè di ogni possibile algoritmo.

32 I FONDAMENTI DELLA NOZIONE DI MdT Assunzione qualitativa di Turing: le condizioni più generali di un modello astratto di un generico processo di calcolo sono proprio i vincoli ai quali deve sottostare un qualsiasi generico agente razionale che debba eseguire un calcolo. Idea di fondo: questi vincoli sono legati ai limiti percettivi e computazionali generali di sistemi cognitivi

33 Intuizione fondamentale alla base della MdT Un agente razionale C dispone di una memoria e di capacità percettive limitate. Se assumiamo che lo spazio a disposizione di C per eseguire il calcolo sia rappresentato da un nastro unidimensionale potenzialmente infinito, quali sono le possibili operazioni che C è in grado di eseguire?

34 1. C può osservare delle caselle sul nastro e scrivere sul nastro dei simboli tratti da un alfabeto finito; 2. C può ricordare risultati determinati da passi precedenti del calcolo e utilizzare tale informazione nel seguito del calcolo; 3.Ogni operazione elementare che C può eseguire è determinata univocamente da ciò che C osserva e ricorda (cioè dal contenuto delle caselle osservate e dal contenuto degli stati interni).

35 Se con Turing assumiamo che le condizioni 1-3 siano le condizioni che possiamo assumere per un generico processo di calcolo, allora è possibile sostenere la seguente tesi: TESI DI CHURCH-TURING Ogni processo di calcolo effettivo (cioè ogni algoritmo) può essere realizzato mediante una macchina di Turing.

36 IMPORTANTE! LA TESI DI CHURCH-TURING NON È UN TEOREMA MA SOLO UNA TESI SULLA NATURA DELLA CALCOLABILITÀ Infatti nella formulazione della tesi di Church-Turing «Ogni processo di calcolo effettivo (cioè ognialgoritmo) può essere realizzato mediante una macchina di Turing» si utilizza il concetto di algoritmo, che come abbiamo visto, è in sé un concetto vago.

37 La tesi di Church-Turing non è dunque altro che la formulazione esplicita della convinzione che la nozione di MdT rappresenti in modo adeguato il concetto intuitivo di calcolabilità, algoritmicità o risolvibilità mediante procedura effettiva.

38 Ma come è fatta una MdT? Una MdT è definita da: –un nastro –una testina –uno stato interno –un programma –uno stato iniziale

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41 Il nastro Il nastro è * Infinito (cioè potenzialmente illimitato) * suddiviso in celle In una cella può essere contenuto un simbolo preso da un alfabeto opportuno Un alfabeto è semplicemente un insieme di simboli Una cella deve contenere un simbolo che appartiene allalfabeto

42 Lo stato interno e la testina La macchina è dotata di una testina di lettura/scrittura La testina è in grado di leggere e scrivere il contenuto della cella del nastro su cui si trova La macchina ha uno stato interno Uno stato è un elemento appartenente allinsieme degli stati

43 Il programma di una MdT Il comportamento della macchina è determinato da un insieme di regole Una regola ha la forma seguente: (A, a, B, b, dir) Una regola viene applicata se lo stato corrente della macchina è A e il simbolo letto dalla testina è a Lapplicazione della regola scrive sul nastro b, cambia lo stato in B ed eventualmente sposta la testina di una cella a sinistra o a destra (dir)

44 Il funzionamento di una MdT La macchina opera come segue: Determina la regola da applicare in base allo stato interno e al simbolo corrente (quello letto dalla testina) Se esiste una tale regola cambia lo stato, scrive il simbolo sulla cella corrente si sposta come indicato dalla regola Se non esiste la regola lesecuzione termina In questo modello non può esistere più di una regola per uno stato ed un simbolo corrente: la MdT è un sistema deterministico

45 Torniamo al nostro Problema della Decisione Data una qualsiasi proposizione A di L2, è possibile determinare se A è vera o falsa? Esiste cioè unalgoritmo capace di decidere se, per una qualsiasi proposizione A di L2, quella proposizione è vera o falsa? Ora sappiamo cosè un algoritmo: una MdT!

46 Vediamo allora il Problema della Decisione in termini di MdT: Data una qualsiasi proposizione A, esiste una MdT capace di decidere se, per una qualsiasi proposizione A, quella proposizione è vera o falsa? Teorema di Turing (1936) Non esiste alcuna MdT capace di risolvere il problema della decisione! Vediamo perché (in termini qualitativi).

47 Intuitivamente, possiamo indicare una MdT come un algoritmo con input e output: linput rappresenta il dato in ingresso della MdT, mentre loutput rappresenta il risultato dellapplicazione della MdT allinput. input output MdT

48 Possiamo cioè indicare una generica MdT usando i simboli di variabile n e m, cioè: MdT n la n-esima MdT m possibile input per MdT n MdT n (m) output di MdT n per input m

49 Consideriamo ora la seguente domanda (Problema della fermata): per m e n generici, la macchina di Turing MdTn si fermerà per linput m? Intuitivamente MdT n si fermaMdT n calcola per linput m loutput MdT n (m) MdT n non si ferma MdT n non calcola per linput m loutput MdT n (m)

50 La domanda "Per m e n generici, la macchina di Turing MdT n si fermerà per linput m?" può avere però risposta soltanto se esiste un'altra macchina di Turing, che calcola – dati n, m qualsiasi – se MdT n si ferma per l'input m o no.

51 Si dimostra tuttavia che questo algoritmo non può esistere: il problema della fermata ha soluzione NEGATIVA. Ma se il problema della fermata non è risolvibile, allora nemmeno il problema della decisione è risolvibile: perché? Formula A A è vera A non è vera [MdT si ferma [MdT non si per linput A] ferma per linput A] MdT

52 Riassumendo: Problema della Decisione RISOLVIBILE per LENON RISOLVIBILE per LP Esiste un algoritmo capaceNon esiste un algoritmo di decidere ( tavole di verità)generale capace di decidere


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