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Minimizzazione Makespan ossia Tempi di Set-up Metodo Euristico: Modello di Karg e Thompson Ipotesi del Modello: N job indipendenti date di consegna non.

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Presentazione sul tema: "Minimizzazione Makespan ossia Tempi di Set-up Metodo Euristico: Modello di Karg e Thompson Ipotesi del Modello: N job indipendenti date di consegna non."— Transcript della presentazione:

1 Minimizzazione Makespan ossia Tempi di Set-up Metodo Euristico: Modello di Karg e Thompson Ipotesi del Modello: N job indipendenti date di consegna non rilevanti non è ammessa preemption tempi di set-up dipendenti dalla sequenza dei jobs Modello Macchina Singola

2 Passi dellAlgoritmo: Step 1. Selezionare Casualmente due jobs. Step 2. Selezionare un nuovo job e provare a disporlo nella sequenza corrente Step 3. Per ogni posizione provata calcolare il set-up complessivo Step 4. Allocare il job nella posizione che garantisce i più bassi tempi di set-up Step 5. Se vi sono ancora job da allocare vai al passo 2. Altrimenti fine. Modello Macchina Singola Modello di Karg e Thompson

3 Siano dati 7 Jobs: J1, J2, J3, J4, J5, J6, J7, con i tempi di set-up: Esempio Algoritmo Euristico di Karg e Thompson Step 1. Si sceglie casualmente la sequenza (J2,J3). Set-up=1 Step 2. Si sceglie J5 e si prova a disporlo: (J5, J2, J3)->Set-up=5+1=6 (J2, J5, J3)-> Set-up=2+1=3 (J2, J3, J5)-> Set-up=1+4=5 Step 3. Si sceglie la sequenza (J2,J5,J3)

4 Complessità computazionale bassa: Limite: Soluzione dipendente dalla scelta della coppia iniziale di job e dall'ordine con cui vengono inseriti gli altri job. Soluzione: E possibile rieseguirlo più volte a partire da coppie di jobs diverse Modello Macchina Singola Modello di Karg e Thompson

5 Minimizzazione del numero di Job in Ritardo Metodo Euristico: Modello di Hodgson Ipotesi del Modello: N job indipendenti date di consegna sono note e sono rilevanti non è ammessa preemption tempi di set-up nulli o indipendenti dalla sequenza e quindi inclusi nei tempi di lavorazione Modello Macchina Singola

6 Dati dellAlgoritmo: Input: Tempi di lavorazione dei job, Date di Consegna Outputs: E={Sequencing dei jobs non in ritardo} L={l'insieme dei job in ritardo, da sequenziare in qualsiasi ordine dopo i jobs relativi all'insieme E} Variabili Intermedie: E *, L * Modello Macchina Singola Modello di Hodgson

7 Passi dellAlgoritmo: Step 1. Creare l'insieme E * ={elenco dei job per data di consegna crescente}, L * ={} Step 2. In base all'ordine di sequenziamento individuato in E *, determinare i tempi di completamento di ciascun job, ed individuare i job in ritardo Step 3. Se in E * non vi sono job in ritardo allora E= E * e L=L *. STOP. Se in E * vi è almeno un job in ritardo, sia k il primo job in ritardo nella sequenza. Step 4. Identificare il job con tempo di lavorazione più alto entro i primi k job (job k compreso) della sequenza E *. Rimuovere questo job e metterlo in L *. GOTO Step 2. Modello Macchina Singola Modello di Hodgson

8 Step 1. E * ={1,2,3,5,4}, L * ={} Prima Iterazione: Step 2. Job 1 (1), Job 2 (6), Job 3 (9), Job 5 (16), Job 4 (25) Step 3. Primo job in ritardo, Job k=3 Step 4. E * ={1,3,5,4}, L * ={2} Seconda Iterazione: Step 2. Job 1 (1), Job 3 (4), Job 5 (10), Job 4 (19). Step 3. Primo job in ritardo, Job k=4 Step 4. E * ={1, 3, 5}, L * ={2, 4} Esempio dell'Algoritmo Euristico di Hodgson Job12345 tjtj djdj

9 Terza Iterazione: Step 2. Job 1 (1), Job 3 (4), Job 5 (10) Step 3. Nessun Job in ritardo. STOP Soluzione di Schedulazione E={1,3,5}, L={2,4} Possibili schedulazioni: 1,3,5,2,4 o 1,3,5,4,2 Job12345 tjtj djdj Esempio dell'Algoritmo Euristico di Hodgson

10 Minimizzazione del Flowtime Medio Ipotesi del Modello N job indipendenti date di consegna non rilevanti non è ammessa preemption tempi di set-up sono nulli od indipendenti dalla sequenza Metodo di Ottimizzazione Algoritmica I jobs vengono ordinati in ordine crescente in base ai tempi di lavorazione (complessità O(N 2 )) Soluzione Ottima Regola di Carico per i Job Shop Modello Macchina Singola

11 Minimizzazione Makespan Metodo di Ottimizzazione Algoritmica: Modello di Mc Naughton Ipotesi del Modello: M macchine identiche parallele N job indipendenti date di consegna non sono rilevanti è ammessa preemption tempi di set-up nulli o indipendenti dalla sequenza e quindi inclusi nei tempi di lavorazione un job non può essere lavorato contemporaneamente su più macchine Modello Macchine Parallele Identiche

12 Risultato teorico su cui si basa la soluzione algoritmica: sotto le ipotesi del modello, il minimo makespan è: Modello Macchine Parallele Identiche Modello di Mc Naughton Caratteristiche dell'Algoritmo: L'algoritmo ammette più di una soluzione In ogni caso la soluzione fornita è ottima

13 J1(5), J2(6), J3(4), J4(3) Modello Macchine Parallele Identiche Modello di Mc Naughton J3 J2 J1J4 9 M1 M2

14 J1(2), J2(11), J3(4), J4(3) Modello Macchine Parallele Identiche Modello di Mc Naughton J3 J2 J1J4 11 M1 M2

15 Passi dell'Algoritmo: Step 1. Selezionare un job da iniziare sulla macchina 1 al tempo 0 Step 2. Se la macchina corrente è occupata per un tempo pari a M *, allora terminare la schedulazione sulla macchina, e GOTO Step 3. In caso contrario, alla fine della lavorazione corrente, segliere uno tra i job rimasti e schedularlo sulla stessa macchina, senza lasciare tempi morti. GOTO Step 2. Step 3. Se tutti i job sono stati schedulati, ossia non vi sono più macchine, allora STOP. Altrimenti, asegnare il tempo di processo rimanente del job su cui si è operata la preemption, alla macchina successiva a partire dall'istante 0. Modello Macchine Parallele Identiche Modello di Mc Naughton

16 J1(5), J2(6), J3(4), J4(3) due Macchine Una soluzione fornita dall'algoritmo: Esempio dell'Algoritmo di Mc Naughton J3 J2 J1J4 9

17 Minimizzazione Makespan in assenza di preemption Metodo di Ottimizzazione Analitico Ipotesi del Modello: M macchine identiche parallele N job indipendenti date di consegna non sono rilevanti non è ammessa preemption tempi di set-up nulli o indipendenti dalla sequenza e quindi inclusi nei tempi di lavorazione Modello Macchine Parallele Identiche

18 Soluzione: Programmazione Lineare Intera: Modello Macchine Parallele Identiche dove: y=Makespan x ji =1 se il job j è assegnato alla macchina i, x ji =0 altrimenti t j =tempo di lavorazione del job j. M+N vincoli M*N+1 variabili Assenza di preemption

19 Minimizzazione del Makespan Metodo Euristico: Algoritmo Euristico di Campbell, Dudek e Smith Si basa sullalgoritmo di ottimizzazione di Johnson Metodo di Ottimizzazione Algoritmico Specifico Flow Shop

20 Il sistema è un flow shop con: 2 macchine N job date di consegna non rilevanti non è ammessa preemption dei job tempi di set-up nulli o indipendenti dalla sequenza e dunque inglobati nei tempi di lavorazione non sono ammessi sorpassi Obiettivo: Minimizzazione del Makespan Metodo di Ottimizzazione Algoritmico: basata su Teorema di Johnson Flow Shop Modello di Johnson

21 Ipotesi: Dato un Routing fisso: Macchina1, Macchina2 Teorema: Il job X precede il job Y in una sequenza ottima se viene verificata la condizione: min{t X1,t Y2 } min{t X2,t Y1 } t ji = tempo di lavorazione del job j sulla macchina i Teorema di Johnson

22 J1=(M1(1),M2(2)) J2=(M1(3),M2(6)) Esempio Teorema Johnson min{t 11,t 22 }=min{1,6}=1 min{t 12,t 21 }=min{2,3}=2 min{t X1,t Y2 } min{t X2,t Y1 } min{t 11,t 22 }min{t 22,t 11 }

23 J1=(M1(8),M2(2)) J2=(M1(5),M2(1)) Esempio Teorema Johnson min{t 11,t 22 }=min{8,1}=1 min{t 12,t 21 }=min{2,5}=2 min{t X1,t Y2 } min{t X2,t Y1 } min{t 11,t 22 }min{t 22,t 11 }

24 Step 0. Considerare un insieme S contenente tutti i job non ancora schedulati. Inizialmente la sequenza di schedulazione è SP={} Step 1. Trovare il min j {t j1,t j2 } tra tutti i Job j di S (j=1,..,N) Step 2. Se il minimo tempo è sulla macchina 1, allora inserire il relativo job j nella prima posizione disponibile della sequenza di schedulazione SP. Goto 4 Step 3. Se il minimo tempo è sulla macchina 2, allora inserire il job j nellultima posizione disponibile della sequenza di schedulazione SP Step 4. Rimuovere il job j da S. Se S non è vuoto goto 1. Altrimenti fine. Le situazioni di parità vengono sempre gestite in modo casuale Lalgoritmo fornisce sempre la soluzione ottima Algoritmo di Ottimizzazione di Johnson

25 J1=(M1(3),M2(6)) J2=(M1(5),M2(2)) J3=(M1(1),M2(2)) J4=(M1(6),M2(6)) J5=(M1(7),M2(5)) Step 0. S={J1,J2,J3,J4,J5}, SP={} Step.1 min j {t j1,t j2 }=t 31 tra tutti i job j di S Step.2. Il job 3 viene inserito nella prima posizione disponibile di SP={J3} Step 3. S={J1,J2,J4,J5) Step 4. min j {t j1,t j2 }=t 22 Step 5. Il job 2 viene inserito nellultima posizione disponibile di SP={J3, …..,J2} Step 6. S={J1,J4,J5) Step 7. min j {t j1,t j2 }=t 12 Step 8. Il job 1 viene inserito nella prima posizione disponibile di SP={J3, J1,……..,J2} Esempio Algoritmo di Johnson

26 Step 9. S={J4,J5) Step 10. min j {t j1,t j2 }=t 52 Step.11. Il job 5 viene inserito nellultima posizione disponibile di SP={J3, J1,……,J5,J2} Step 12. S={J4) Step 13. min j {t j1,t j2 }=t 41 Step.11. Il job 4 viene inserito nella prima posizione disponibile di SP={J3, J1,J4,J5,J2} Soluzione Finale: Makespan 24 Esempio Algoritmo di Johnson

27 Il sistema è un flow shop con: M macchine N job date di consegna non rilevanti non è ammessa preemption dei job tempi di set-up nulli o indipendenti dalla sequenza non sono ammessi sorpassi Obiettivo: Minimizzazione del Makespan Algoritmo Euristico di Campbell, Dudek e Smith

28 Si compone di L (L=1, 2,.., M-1) passi Ad ogni passo L, viene generata una schedulazione completa per la quale viene calcolato il makespan Tra tutte le M-1 schedulazioni complete viene scelta quella con il makespan migliore Algoritmo Euristico di Campbell, Dudek e Smith

29 Calcolo della Schedulazione Completa al passo L: Applicazione dellalgoritmo di Johnson a N job e 2 macchine fittizie. I tempi di processamento dei job j (j=1,..,N) sulle due macchine fittizie sono dati da: Algoritmo Euristico di Campbell, Dudek e Smith j=1,..,N

30 J1=(M1(3),M2(9),M3(4)) J2=(M1(5),M2(8),M3(8)) J3=(M1(9),M2(3),M3(7)) J4=(M1(7),M2(5),M3(6)) J5=(M1(4),M2(12),M3(6)) M=3, Numero di Passi L=1,2 Esempio Algoritmo Euristico di Campbell, Dudek e Smith

31 Passo L=1 Esempio Algoritmo Euristico di Campbell, Dudek e Smith t 31 =9, t 32 =7 t 41 =7, t 42 =6 t 51 =4, t 52 =6 Applicando lalgoritmo di Johnson si ottiene: {J 1, J 5, J 2, J 3, J 4 } Makespan=53

32 Passo L=2 Esempio Algoritmo Euristico di Campbell, Dudek e Smith t 21 =13, t 22 =16 t 31 =12, t 32 =10 t 41 =12, t 42 =11 t 51 =16, t 52 =18 Applicando lalgoritmo di Johnson si ottiene: { J 1, J 2, J 5, J 4, J 3 } Makespan=51 Soluzione Finale: J2 J1J4 M2 M1 J5 J3 M3 J2 J1J4 J5 J3 J2 J1 J5 J3J4 51

33 Problema estremamente complesso Regole di Carico: Scegliere il job da caricare su una macchina (quando si libera) tra quelli in attesa di essere lavorati Differenza con i precedenti approcci: la regola di carico non implica necessariamente un sequencing, ma solo il dispatching del job con priorità più bassa o più alta. Job Shop

34 Vantaggi dellApproccio basato sulle Regole di Carico: può essere applicato a qualunque impianto, con qualunque numero di job, di macchine e qualunque tipo di routing può essere esteso anche ad altri modelli (flow shop, open shop, e macchine singole/parallele) è semplice permette di personalizzare la valutazione delle priorità Svantaggi dellApproccio basato sulle Regole di Carico: difficoltà nella scelta delle priorità in relazione alla funzione da minimizzare non è possibile avere una stima sugli istanti di completamento dei job Job Shop

35 Modalità Operative: Regole Statiche. I parametri su cui la regola opera (assegnazione della priorità) non variano nel tempo Regole Dinamiche. Hanno senso solo in impianti monitorati da calcolatore Visibilità Regole Locali. Utilizza informazioni relative unicamente alla macchina su cui fare il dispatching Regole Globali. Utilizzano informazioni relative ad altre macchine dell'impianto (lunghezza delle code di attesa, tempo di processamento rimanente, etc.) Regole di Carico

36 Regole che considerano il tempo di lavorazione o il tempo di set-up Regola SPT (Shortest Processing Time): viene caricato il job che ha tempo di lavorazione più breve sulla macchina. Regola TSPT (Truncated SPT): viene applicata la regola SPT, ma quando un job rimane in attesa in coda per un tempo superiore di una soglia, esso viene caricato. Regole che considerano la data di consegna Regola EDD (Earliest Due Date): viene caricato il job che ha data di consegna più vicina. Regole di Carico

37 Regole che considerano il tempo di accesso e la data di consegna Regola S/OPN (Slack per Operation): viene caricato il job che ha il minimo valore del rapporto: Regole di Carico slack= data consegna - istante attuale - tempo lavorazione rimanente Regola SPTEX (SPT with Expediting): i job sono distinti in due classi di priorità. Nella prima classe sono inclusi i job soggetti ad anticipo di consegna o già in ritardo. Vengono schedulati (con la regola SPT) tutti i job della prima classe, e solo in assenza di essi, la regola SPT viene applicata ai job della seconda classe.

38 Regole che considerano la situazione dell'impianto Regola NINQ (Number In Next QUEUE): viene caricato il job che ha la lavorazione successiva sulla macchina con il minor numero di job in coda. Regola WINQ (Work In Next QUEUE): viene caricato il job che ha la lavorazione successiva sulla macchina con la coda di attesa più breve in termini di carico di lavoro (non come numero di job !). Regole di Carico

39 Regole che considerano la situazione dei job Regola FIFO Regola LIFO Regola FROP (Fewest Remaining Operations): viene caricato il job con il minor numero di operazioni ancora da eseguire (più vicino al completamento). Regola MROP (Most Remaining Operations): viene caricato il job con il maggior numero di operazioni ancora da eseguire. Regole che considerano fattori economici Regola COVERT: viene caricato il job che ha il massimo valore del rapporto:(costo di ritardo)/(tempo rimanente). Regole di Carico

40 Combinazioni Lineari di Regole di Carico L'impiego di regole composte è di scarsa rilevanza pratica: è necessario tarare i coefficienti nella combinazione lineare i coefficienti potrebbero non essere costanti ma dipendere da alcune caratteristiche del job diversi studi hanno dimostrato che i benefici ottenibili dall'uso delle combinazioni lineari tra le regole di carico sono molto ridotti. Regole di Carico

41 Caratteristiche Principali: Sviluppato dalla Toyota Motor Corporation Gestione di Produzione di tipo Pull Ordini di Produzione a Valle del Sistema Produttivo Riduzione delle scorte (si spostano verso i fornitori) Programmazione della Produzione Just in Time (JIT)

42 Programmazione della Produzione Just in Time (JIT) Pianificazione di Lungo Periodo Livellamento Mensile della Produzione Calcolo della Produzione Livellata Piano di Produzione Media Giornaliera R n kanban R 2 R 1 R n-1 Programma di Produzione Mensile Programma di Produzione Annuale

43 Descrizione di un Sistema Kanban a 2 Cartellini cassetta di raccolta 7 R i R i-1

44 Cartellino (Kanban) di Produzione Cartellino (Kanban) di Prelievo Passi Operativi: Nel reparto R i si e verificata la necessità di un prodotto fornito dal reparto R i-1 Un kanban di Prelievo indica il prodotto richiesto. Un contenitore vuoto con associato il kanban di Prelievo viene inoltrato al magazzino del reparto R i-1 a monte (1). Viene cercato un contenitore pieno con cartellino di produzione corrispondente al kanban di prelievo (2). Il cartellino di produzione viene staccato e sostituito con quello di prelievo. il kanban di produzione viene posto in una cassetta di raccolta (3), secondo una certa priorità. il contenitore vuoto viene lasciato in una apposita area (4). il contenitore pieno viene trasferito al reparto R i a valle che ha fatto richiesta (5) i kanban di produzione vengono prelevati secondo una certa priorità dal cassetto di raccolta. Essi costituiscono gli ordini di produzione del reparto R i-1 (6) i prodotti completati dal reparto R i-1 vengono messi nei contenitori vuoti in attesa di essere prelevati (7) Descrizione di un Sistema Kanban a 2 Cartellini

45 Vantaggi del Sistema JIT Assenza di Schedulazione di Breve Periodo Produzione del Numero di Prodotti Richiesto Nessun Accumulo (WIP). Le scorte sono ridotte al minimo sufficiente a garantire le richieste dei reparti a valle. Nessuna Contesa sulle Risorse Il meccanismo kanban permette di far fronte a piccole variazioni delle richieste di produzione. Imprese giapponesi che usano il JIT da più di 5 anni hanno osservato: incremento della produttività del 30 % riduzione degli investimenti in scorte del 60 % riduzione dello spazio occupato del 15 % Programmazione della Produzione JIT

46 Limiti dei Sistemi Kanban (JIT) Necessità di Livellamento della Produzione (non sono ammessi flussi produttivi irregolari) Vicinanza dei Fornitori (Reparti a Monte) Criticità del Sistema di Trasporto Tempi di Regime Elevati (5-10 anni) Rigidità della produzione e dei ritmi produttivi (Il meccanismo kanban non è in grado di far fronte a forti variazioni di richieste di produzione) Programmazione della Produzione JIT

47 Applicazioni di Sistemi Kanban: Toyota Motor Corporation (ideatori e primi utilizzatori) General Motors (riduzione delle giacenze da 8 a 2 miliardi $ per anno) Kawasaki (Nebraska). Successo del kanban system dal Yamaha (Giappone) (riduzione del tempo di produzione da 20 a 10 giorni) Programmazione della Produzione JIT


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