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Corso di Studi in Informatica Applicata – Università di Catania, Campus di Comiso Dr. Simone Faro – – Diapositiva

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Presentazione sul tema: "Corso di Studi in Informatica Applicata – Università di Catania, Campus di Comiso Dr. Simone Faro – – Diapositiva"— Transcript della presentazione:

1 Corso di Studi in Informatica Applicata – Università di Catania, Campus di Comiso Dr. Simone Faro – – Diapositiva Algoritmi e Strutture Dati I – Sommatorie Sommatorie Proprietà Serie aritmetica Serie geometrica Serie armonica Serie telescopica

2 Corso di Studi in Informatica Applicata – Università di Catania, Campus di Comiso Dr. Simone Faro – – Diapositiva Algoritmi e Strutture Dati I – Sommatorie Quando un algoritmo contiene un costrutto di controllo iterativo come un ciclo while o for, il suo tempo di esecuzione può essere espresso come la somma dei tempi impiegati per ogni esecuzione del corpo del ciclo. Data una sequenza di numeri a 1, a 2, …… la somma finita a 1 + a 2 + …. + a n può essere scritta nel seguete modo: Sommatorie Se n=0, il valore della sommatoria è 0 per definizione. Se n non è un intero si assume per definizione che il limite superiore sia n Se la somma comincia con k=x, dove x non è un intero, si assume che il valore iniziale si x I termini della sommatoria possono essere sommati in qualsiasi ordine

3 Corso di Studi in Informatica Applicata – Università di Catania, Campus di Comiso Dr. Simone Faro – – Diapositiva Algoritmi e Strutture Dati I – Sommatorie Data una sequenza di numeri a 1, a 2, …… la somma infinita a 1 + a 2 + …. può essere scritta nel seguete modo: Sommatorie Se il limite non esiste la serie diverge, altrimenti converge.

4 Corso di Studi in Informatica Applicata – Università di Catania, Campus di Comiso Dr. Simone Faro – – Diapositiva Algoritmi e Strutture Dati I – Sommatorie Proprietà di Linearità Dato un qualunque numero reale c e due qualunque sequenze finite a 1, a 2, …a n, e b 1, b 2, …, b n allora La proprietà di linearità si applica anche a serie convergenti infinite e può inoltre essere impiegata per manipolare sommatorie contenenti termini di notazioni asintotiche.

5 Corso di Studi in Informatica Applicata – Università di Catania, Campus di Comiso Dr. Simone Faro – – Diapositiva Algoritmi e Strutture Dati I – Sommatorie InsertionSort(A,n) for j 1 to n do key A[i] i=j-1 while i>0 and A[i]>key do A[i+1] A[i] i i-1 A[i+1] key Analisi dellInsertionSort Due cicli annidati. Quante volte si ripetono i cicli nel caso peggiore? Se i=1 1 ripetizione Se i=2 2 ripetizioni Se i=3 3 ripetizioni

6 Corso di Studi in Informatica Applicata – Università di Catania, Campus di Comiso Dr. Simone Faro – – Diapositiva Algoritmi e Strutture Dati I – Sommatorie La sommatoria che viene fuori dallanalisi dellinsertion sort è un aserie aritmetica: Serie aritmetica

7 Corso di Studi in Informatica Applicata – Università di Catania, Campus di Comiso Dr. Simone Faro – – Diapositiva Algoritmi e Strutture Dati I – Sommatorie Somma esponeziale Algo2(n) key 1 while key n do for i=1 to key do A[i] ++ key key 2 Due cicli annidati. Tempo di esecuzione costante allinterno del ciclo. Quante volte vengono eseguiti i cicli? Passo 0 : key = volta Passo 1 : key = volte Passo 2 : key = volte Passo j : key = 2 j 2 j volte

8 Corso di Studi in Informatica Applicata – Università di Catania, Campus di Comiso Dr. Simone Faro – – Diapositiva Algoritmi e Strutture Dati I – Sommatorie Dato un reale x 1, la sommatoria Serie geometrica è una serie geometrica o esponenziale ed ha come valore Se la serie è infinita e |x|<1, si ha la serie geometrica decrescente infinita

9 Corso di Studi in Informatica Applicata – Università di Catania, Campus di Comiso Dr. Simone Faro – – Diapositiva Algoritmi e Strutture Dati I – Sommatorie Somma esponeziale Algo2(n) key 1 while key n do for i=1 to key do A[i] ++ key key 2

10 Corso di Studi in Informatica Applicata – Università di Catania, Campus di Comiso Dr. Simone Faro – – Diapositiva Algoritmi e Strutture Dati I – Sommatorie Dato lintero positivo n, ln-esimo numero armonico è Serie armonica con valore

11 Corso di Studi in Informatica Applicata – Università di Catania, Campus di Comiso Dr. Simone Faro – – Diapositiva Algoritmi e Strutture Dati I – Sommatorie Le formule risultato delle sommatorie possono essere ottenute integrando e differenziando le formule appena viste. Per esempio applicando il differenziale ad entrambi i lati della serie geometrica infinita, e moltiplicando per x, si ha Applicazione di Integrali e Differenziali

12 Corso di Studi in Informatica Applicata – Università di Catania, Campus di Comiso Dr. Simone Faro – – Diapositiva Algoritmi e Strutture Dati I – Sommatorie Data una qualunque sequenza a 0, a 1, a 2, …, a n, vale che Serie telescopiche Poiché ognuno dei termini della sequenza sequenza a 1, a 2, …, a n-1, è sia sommato che sottratto esattamente una volta. Analogamente

13 Corso di Studi in Informatica Applicata – Università di Catania, Campus di Comiso Dr. Simone Faro – – Diapositiva Algoritmi e Strutture Dati I – Sommatorie Come esempio di serie telescopica si consideri la sommatoria Serie telescopiche Poiché ogni termine può essere scritto come si ha

14 Corso di Studi in Informatica Applicata – Università di Catania, Campus di Comiso Dr. Simone Faro – – Diapositiva Algoritmi e Strutture Dati I – Sommatorie Il prodotto finito di una sequenza di elementi a 1, a 2, …, a n, può essere scritto come Produttorie Se n=0, il valore del prodotto è 1 per definizione. Si può convertire una formula contenente un prodotto in una formula contenente una sommatoria usando la seguente identità

15 Corso di Studi in Informatica Applicata – Università di Catania, Campus di Comiso Dr. Simone Faro – – Diapositiva Algoritmi e Strutture Dati I – Sommatorie Limitazioni sulle sommatorie Vi sono molte tecniche disponibili per definire limiti sulle sommatorie che descrivono i tempi di esecuzione degli algoritmi. Di seguito saranno presentati alcuni metodi usati più di frequente. Induzione matematica Limitazione dei termini Spezzare le sommatorie Approssimazione con integrali

16 Corso di Studi in Informatica Applicata – Università di Catania, Campus di Comiso Dr. Simone Faro – – Diapositiva Algoritmi e Strutture Dati I – Sommatorie Il metodo base per calcolare il valore di una serie e di usare linduzione matematica. 1.Si dimostra il passo base (per n=0, oppure n=1) 2.Si fa lipotesi induttiva che esso valga per n 3.Si dimostra che vale per n+1 Induzione matematica

17 Corso di Studi in Informatica Applicata – Università di Catania, Campus di Comiso Dr. Simone Faro – – Diapositiva Algoritmi e Strutture Dati I – Sommatorie Esempio: dimostriamo che 1.Passo base (n=1): 2.Supponiamo vero per n. 3.Dimostriamolo per n+1: Induzione matematica

18 Corso di Studi in Informatica Applicata – Università di Catania, Campus di Comiso Dr. Simone Faro – – Diapositiva Algoritmi e Strutture Dati I – Sommatorie Linduzione può essere usata per tentare un limite superiore Esempio: dimostriamo che o più precisamente dimostreremo che 1.Passo base (n=0): 2.Supponiamo vero per n. 3.Dimostriamolo per n+1: Induzione matematica

19 Corso di Studi in Informatica Applicata – Università di Catania, Campus di Comiso Dr. Simone Faro – – Diapositiva Algoritmi e Strutture Dati I – Sommatorie Limitazioni dei termini Talvolta un buon limite superiore su una serie può essere ottenuto maggiorando ogni termine della serie, e spesso è sufficiente usare il termine più grande per limitare gli altri. In generale:

20 Corso di Studi in Informatica Applicata – Università di Catania, Campus di Comiso Dr. Simone Faro – – Diapositiva Algoritmi e Strutture Dati I – Sommatorie Limitazioni dei termini Data la serie con Per ogni k 0 dove r<1 è una costante Dato che a k a 0 r k la somma può essere limitata da una serie geometrica decrescente infinita

21 Corso di Studi in Informatica Applicata – Università di Catania, Campus di Comiso Dr. Simone Faro – – Diapositiva Algoritmi e Strutture Dati I – Sommatorie Limitazioni dei termini Esempio : si può applicare il metodo per dare un limite alla sommatoria Il rapporto tra due termini consecutivi è: Quindi ogni termine è limitato seperiormente da (1/3)(2/3) k

22 Corso di Studi in Informatica Applicata – Università di Catania, Campus di Comiso Dr. Simone Faro – – Diapositiva Algoritmi e Strutture Dati I – Sommatorie Spezzare le sommatorie Per ottenere dei limiti su una sommatoria difficile si può esprimere la serie come la somma di due o più serie ottenute spezzando lintervallo dellindice e quindi limitando ognuna delle serie risultanti. Per esempio abbiamo visto che Per ottenere un limite inferiore si potrebbe limitare ogni termine con il termine più piccolo, ma poiché quel limite è 1 si avrebbe un limite di sommatoria inferiore a n

23 Corso di Studi in Informatica Applicata – Università di Catania, Campus di Comiso Dr. Simone Faro – – Diapositiva Algoritmi e Strutture Dati I – Sommatorie Spezzare le sommatorie Si può ottenere un risultato migliore spezzando la sommatoria. Si assuma per comodità che n sia pari. Si ha:

24 Corso di Studi in Informatica Applicata – Università di Catania, Campus di Comiso Dr. Simone Faro – – Diapositiva Algoritmi e Strutture Dati I – Sommatorie Spezzare le sommatorie Spesso si può spezzare la sommatoria ottenuta dallanalisi di un algoritmo, ignorando un numero costante di termini iniziali. In generale si adotta questa tecnica quando ogni termine a k della sommatoria è indipendente da n. Per esempio, per qualunque k 0 >0 si può scrivere

25 Corso di Studi in Informatica Applicata – Università di Catania, Campus di Comiso Dr. Simone Faro – – Diapositiva Algoritmi e Strutture Dati I – Sommatorie Spezzare le sommatorie Esempio : troviamo un limite asintotico superiore per la sommatoria Si osservi che il rapporto tra due termini consecutivi è Se k 3. Quindi la somma può essere spezzata così

26 Corso di Studi in Informatica Applicata – Università di Catania, Campus di Comiso Dr. Simone Faro – – Diapositiva Algoritmi e Strutture Dati I – Sommatorie Approssimazione con integrali Quando una sommatoria può essere espressa come Dove f(k) è una funzione monotona crescente, si può approssimarla con i seguenti integrali

27 Corso di Studi in Informatica Applicata – Università di Catania, Campus di Comiso Dr. Simone Faro – – Diapositiva Algoritmi e Strutture Dati I – Sommatorie Approssimazione con integrali

28 Corso di Studi in Informatica Applicata – Università di Catania, Campus di Comiso Dr. Simone Faro – – Diapositiva Algoritmi e Strutture Dati I – Sommatorie Approssimazione con integrali

29 Corso di Studi in Informatica Applicata – Università di Catania, Campus di Comiso Dr. Simone Faro – – Diapositiva Algoritmi e Strutture Dati I – Sommatorie Approssimazione con integrali Analogamente quando una sommatoria può essere espressa come Dove f(k) è una funzione monotona decrescente, si può approssimarla con i seguenti integrali

30 Corso di Studi in Informatica Applicata – Università di Catania, Campus di Comiso Dr. Simone Faro – – Diapositiva Algoritmi e Strutture Dati I – Sommatorie Approssimazione con integrali Esempio : forniamo un limite stretto per ln-esimo numero armonico


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