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A. Stefanel - Fluidodinamica1 Dinamica del fluidi.

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Presentazione sul tema: "A. Stefanel - Fluidodinamica1 Dinamica del fluidi."— Transcript della presentazione:

1 A. Stefanel - Fluidodinamica1 Dinamica del fluidi

2 A. Stefanel - Fluidodinamica2 Per descrivere il moto di un fluido ci sono due formalismi equivalenti: x y z Porzione di fluido di massa m che al tempo t si trova in (x,y,z). Le sue grandezze si descrivono come f=f(x,y,z,t). Lagrange: si descrive il moto di ogni porzione di fluido x y z Eulero: si descrive ciò che accade in ogni singolo volumetto attraversato dal fluido (x,y,z,t) = (x,y,z,t) v= v(x,y,z,t)

3 A. Stefanel - Fluidodinamica3 Flusso stazionario: ad ogni punto viene associata una velocità costante: v = v (x,y,z) Flusso rotazionale: 0 Flusso irrotazionale: =0 Tipi di flusso: Flusso non stazionario: ad ogni punto viene associata una velocità che dipende esplicitamente dal tempo: v = v (x,y,z,t)) Proprietà del fluido: Densità: = (x,y,z,t) in generale varia da punto a punto da istante a istante Fluido incomprimibile: = (x,y,z,t) = o [con ottima approx Liquidi] Viscosità: = (x,y,z,t) si manifesta come forza parallela alla velocità e che dipende da essa. Si oppone allo scorrimento delle diverse parti di fluido una sullaltra (forze di taglio presenti in condizioni dinamiche) Fluido non viscoso: =0 [solo in prima approssimazione]

4 A. Stefanel - Fluidodinamica4 Si tratta da qui fino a indicazione contraria di: Flussi stazionari, irrotazionali di fluidi incomprimibili e non viscosi. Linea di flusso x y z Un linea di flusso è tangente punto a punto al vettore velocità in quel punto Con moti stazionari: le linee sono fisse nel tempo e non si incrociano

5 A. Stefanel - Fluidodinamica5 x y z Si considerano due superfici S1 e S2 a v S1S1 S2S2

6 A. Stefanel - Fluidodinamica6 x y z S1S1 S2S2 Si considerano due superfici S1 e S2 a v Nel volume delimitato dalle due superfici considerate in un tempo t: - entra una massa di fluido : m 1 = 1 S 1 v 1 t - esce una massa di fluido : m 2 = 2 S 2 v 2 t v1v1 v2v2 S1S1 v 1 t Distanza percorsa da fluido in t Volume di fluido entrato S 1 v 1 t Equazione di continuità: S v =cost Dato che non vi sono sorgenti: e quindi 1 S 1 v 1 = 2 S 2 v 2 m 1 m 2 t t =

7 A. Stefanel - Fluidodinamica7 Per un fluido incomprimibile: 1 = 2 = uniforme Non solo: S v =cost Ma anche: S v =cost la portata Q=Sv è costante Se la portata è costante la velocità e inversamente proporzionale alla sezione v v w w > v

8 A. Stefanel - Fluidodinamica8 Teorema di Bernoulli v A t SASA vAvA h Si applica il teorema dellenergia cinetica: L = E cin Si considera la massa di fluido che in un tempo t, quando si trova in A,percorre un tratto v A t. Questa massa è compresa tra le superfici S A e S A1 A S A1 Dopo un ulteriore intervallo di tempo t la massa avrà attraversato completamente S A1

9 A. Stefanel - Fluidodinamica9 Teorema di Bernoulli v A1 t S A2 v A1 h Si applica il teorema dellenergia cinetica: L = E cin Si considera la massa di fluido che in un tempo t, quando si trova in A1, percorre un tratto v A1 t. Questa massa è compresa tra le superfici S A1 e S A2 A1A1 S A1 Dopo un ulteriore intervallo di tempo t la massa avrà attraversato completamente S A2

10 A. Stefanel - Fluidodinamica10 Teorema di Bernoulli v A2 t S A3 v A2 h Si applica il teorema dellenergia cinetica: L = E cin Si considera la massa di fluido che in un tempo t, quando si trova in A,percorre un tratto v A2 t. Questa massa è compresa tra le superfici S A2 e S A3 A2A2 S A2 Dopo un ulteriore intervallo di tempo t la massa avrà attraversato completamente S A3 Dopo ogni ulteriore intervallo di tempo t la massa avrà attraversato completamente la superficie che la delimitava anteriormente

11 A. Stefanel - Fluidodinamica11 Teorema di Bernoulli v A3 t S A4 v A3 h Si applica il teorema dellenergia cinetica: L = E cin Si considera la massa di fluido che in un tempo t, quando si trova in A,percorre un tratto v A3 t. Questa massa è compresa tra le superfici S A3 e S A4 A2A2 S A3 Dopo un ulteriore intervallo di tempo t la massa avrà attraversato completamente S A4 Dopo ogni ulteriore intervallo di tempo t la massa avrà attraversato completamente la superficie che la delimitava anteriormente

12 A. Stefanel - Fluidodinamica12 Teorema di Bernoulli v A4 t S A5 v A4 h Si applica il teorema dellenergia cinetica: L = E cin Si considera la massa di fluido che in un tempo t, quando si trova in A,percorre un tratto v A4 t. Questa massa è compresa tra le superfici S A4 e S A5 A4A4 S A4 Dopo un ulteriore intervallo di tempo t la massa avrà attraversato completamente S A5 Dopo ogni ulteriore intervallo di tempo t la massa avrà attraversato completamente la superficie che la delimitava anteriormente

13 A. Stefanel - Fluidodinamica13 Teorema di Bernoulli v A5 t S A6 v A5 h Si applica il teorema dellenergia cinetica: L = E cin Si considera la massa di fluido che in un tempo t, quando si trova in A,percorre un tratto v A5 t. Questa massa è compresa tra le superfici S A5 e S A6 A5A5 S A5 Dopo un ulteriore intervallo di tempo t la massa avrà attraversato completamente S A6 Dopo ogni ulteriore intervallo di tempo t la massa avrà attraversato completamente la superficie che la delimitava anteriormente

14 A. Stefanel - Fluidodinamica14 Teorema di Bernoulli v A6 t S A7 =S B h Si applica il teorema dellenergia cinetica: L = E cin Si considera la massa di fluido che in un tempo t, quando si trova in A,percorre un tratto v A6 t. Questa massa è compresa tra le superfici S A6 e S A7 A6A6 S A6 Dopo un ulteriore intervallo di tempo t la massa avrà attraversato completamente S A7 v A6 Dopo ogni ulteriore intervallo di tempo t la massa avrà attraversato completamente la superficie che la delimitava anteriormente

15 A. Stefanel - Fluidodinamica15 Teorema di Bernoulli v B t S A7 =S B h Si applica il teorema dellenergia cinetica: L = E cin Si considera la massa di fluido che in un tempo t, quando si trova in A,percorre un tratto v A7 t. Questa massa è compresa tra le superfici S A7 e S A8 A 7 =B S A8 Dopo un ulteriore intervallo di tempo t la massa avrà attraversato completamente S A8 v A7 =v B Dopo ogni ulteriore intervallo di tempo t la massa avrà attraversato completamente la superficie che la delimitava anteriormente

16 A. Stefanel - Fluidodinamica16 Teorema di Bernoulli SASA h Sulla massa di fluido considerata, allistante iniziale, agiscono le seguenti forze: A S A1 F A = P A S A, dovuta al fluido che precede S A e che si trova a pressione P A F A1 = - P A1 S A1, dovuta al fluido che segue S A1 e che si trova a pressione P A1 p=mg= gS A v A t, la forza peso p =mg F A1 FAFA p =mg F A1 FAFA m

17 A. Stefanel - Fluidodinamica17 Teorema di Bernoulli SASA h Tali forze compiono il seguente lavoro: A S A1 L A =F A v A t= P A S A v A t L A1 =F A1 v A1 t = - P A1 S A1 v A1 t L1=mg v A t cos ( angolo fra v A e p) p =mg F A1 FAFA

18 A. Stefanel - Fluidodinamica18 Teorema di Bernoulli v A1 t S A2 h Nellintervallo successivo, sulla massa di fluido considerata agiranno le forze: A1A1 S A1 -F A1 = P A1 S A1, dovuta al fluido che precede S A e che si trova a pressione P A F A2 = -P A2 S A1, dovuta al fluido che segue S A1 e che si trova a pressione P A1 p=mg= gS A1 v A1 t, la forza peso F A1 F A2 Tali forze compiono il seguente lavoro: -L A1 =-F A1 v A1 t= -P A1 S A1 v A t L A2 =F A2 v A2 t = - P A2 S A2 v A2 t Lp=mg v A1 t cos 1 ( 1 angolo fra v A1 e p=mg) p =mg

19 A. Stefanel - Fluidodinamica19 L A =F A v A t= P A S A v A t L A1 =F A1 v A1 t = - P A1 S A1 v A1 t L 1 =mg v A t cos ( angolo fra v A e p) -L A1 =-F A1 v A1 t= -P A1 S A1 v A t L A2 =F A2 v A2 t = - P A2 S A2 v A2 t L 2 =mg v A1 t cos 1 ( 1 angolo fra v A1 e p) Se si somma il lavoro compiuto dalle diverse forze agenti sulla massa di fluido considerata si ottiene: (L A +L A1 +Lp)+ (-L A1 +L A2 +Lp1)= L A +L A2 +Lp+Lp 1 = = P A S A v A t – P A2 S A2 v A2 t-p h Lavoro delle forze agenti tra 0 e t= tLavoro delle forze agenti tra t= t e t=2 t

20 A. Stefanel - Fluidodinamica20 Teorema di Bernoulli v A t SASA vAvA h Si ripete la procedura per ogni intervallo di tempo t. Si ottiene che il lavoro complessivamente effettuato dalle forze agenti sulla massa fluida in movimento è dato da: A v B t SBSB B vBvB L= P A S A v A t – P B S B v B t – mg h La variazione di energia cinetica è data semplicemente dalla energia cinetica finale (energia cinetica in B), meno lenergia cinetica iniziale (energia cinetica in A) della massa di fluido considerata: E c = (1/2) m v B 2 – (1/2) m v A 2

21 A. Stefanel - Fluidodinamica21 Teorema di Bernoulli v A t SASA vAvA h A v B t SBSB B vBvB P A S A v A t – P B S B v B t – mg h = (1/2) m v B 2 – (1/2) m v A 2 Il teorema dellenergia cinetica L= E c permette di scrivere la relazione: Dato che il fluido è incomprimibile: S A v A t=S B v B t =V P A V – P B V – Vg h = (1/2) V v B 2 – (1/2) V v A 2

22 A. Stefanel - Fluidodinamica22 Teorema di Bernoulli v A t SASA vAvA h A v B t SBSB B vBvB P A – P B – g h = (1/2) v B 2 – (1/2) v A 2 P A – P B = g h +(1/2) v B 2 – (1/2) v A 2 P A + (1/2) v A 2 +0 = P B + (1/2) v B 2 + g h P + (1/2) v 2 + g h = cost. In un tubo di flusso la somma dei tre termini è uguale agli estremi del tubo stesso

23 A. Stefanel - Fluidodinamica23 Casi particolari: v=0 P A – P B = g h +(1/2) v B 2 – (1/2) v A 2 Teor. Bernoulli P A – P B = g h Legge di Stevino v=0 e h=0 P A – P B = 0 Principio di Pascal h=0 P A – P B = (1/2) v B 2 – (1/2) v A 2 P A > P B Se v B > v A vAvA vcvc vBvB v B > v A PAPA PCPC PBPB

24 A. Stefanel - Fluidodinamica24 h v?v o =0 P + (1/2) v 2 + g h = cost. Po P o + g h = Po + (1/2) v 2 P Teorema di Torricelli Velocità di efflusso v = 2gh Indipendente da Uguale velocità di un sasso che cade!


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