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A.Stefanel - Riepilogo meccanica1 Meccanica Riepilogo.

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Presentazione sul tema: "A.Stefanel - Riepilogo meccanica1 Meccanica Riepilogo."— Transcript della presentazione:

1 A.Stefanel - Riepilogo meccanica1 Meccanica Riepilogo

2 A.Stefanel - Riepilogo meccanica2 I tre principi della dinamica Primo Principio Un sistema permane nel suo stato di moto rettilineo uniforme se esso è isolato (su di esso non agisce alcuna forza), ovvero è soggetto a una risultante di forze nulle. Secondo Principio Un corpo di massa m, su cui agisce una risultante di forze F, è soggetto a una accelerazione proporzionale a F: F = m a In un sistema di riferimento inerziale. Terzo Principio (principio di azione e reazione) Quando due sistemi A e B interagiscono, il sistema A esercita sul sistema B una forza F B e il sistema B agisce sul sistema A con una forza F A che sono uguali in modulo, agiscono sulla stessa retta e hanno verso opposto: F B = - F A

3 A.Stefanel - Riepilogo meccanica3 I tre principi della dinamica Primo Principio - sistema di riferimento inerziale - stato di moto (velocità) - per modificare lo stato di moto interazioni Secondo Principio F = m a (F: risultante delle forze) Nota la risultante delle forze nota laccelerazione (è definito il modello fisico) Date le condizioni iniziali legge oraria ; traiettoria (è definito lo specifico processo) In un sistema di riferimento inerziale. Terzo Principio (principio di azione e reazione) - Indica come si costruisce il modello di una interazione - Reciprocità delle forze; azione e reazione agiscono su corpi diversi;F B = -F A - Principio di conservazione quantità di moto per sistemi isolati - Principio di conservazione del momento della quantità di moto per sistemi isolati, ovvero per forze centrali. F= ma sufficiente per la fisica del punto materiale.

4 A.Stefanel - Riepilogo meccanica4 Equilibrio Statica – Moto rettilineo uniforme R = 0 R x = 0 R y = 0 R z = 0 Dinamica R = m a R x = m a x R y = m a y R z = m a z a x = R x / m a y = R y / m a z = R z / m Note le condizioni iniziali (posizione iniziale e velocità iniziale), si può determinare levoluzione del sistema nel tempo (r = r (t); v = v (t))

5 A.Stefanel - Riepilogo meccanica5 Sistema di n punti materiali F i = m i a i R = i F i = i m i a i R = F ext = = t Q i m i v i Prima equazione cardinale della dinamica. Centro di massa: OG = i m i r i i m i v G = i m i v i i m i R = F ext = M v G t rG=rG=

6 A.Stefanel - Riepilogo meccanica6 Sistema di n punti materiali soggetto a forze esterne con vettore risultante nullo = = = 0 t Q i m i v i M v G t R =0 Q iniziale = Q finale Sistema isolato Sistema soggetto a un vettore risultante di forze nullo Q = costante Conservazione della quantità di moto Principio di conservazione della quantità di moto: In un sistema isolato o soggetto a un sistema di forze con vettore risultante nullo, La quantità di moto del sistema si conserva: Q = i m i v i = cost v G = cost

7 A.Stefanel - Riepilogo meccanica7 Il momento di un sistema di forze rispetto a un punto O x y z riri PiPi FiFi M = i r i Λ F i M O r1r1 F1F1 P1P1 P2P2 F2F2 FnFn rnrn PnPn Dal terzo principio della dinamica M = M ext = i r i Λ F ext i

8 A.Stefanel - Riepilogo meccanica8 Il momento di un sistema di forze rispetto a asse O riri PiPi FiFi M n =(M·n) n = [( i r i Λ F i )·n]n = ( i b i F i )n r1r1 F1F1 P1P1 P2P2 F2F2 FnFn rnrn PnPn n bibi b2b2 b1b1 bnbn

9 A.Stefanel - Riepilogo meccanica9 M =M ext = L t L = (r i Λ (m i v i ) Momento angolare o della quantità di moto M = i r i Λ F i Risultante dei momenti Seconda equazione cardinale della dinamica

10 A.Stefanel - Riepilogo meccanica10 Seconda equazione cardinale della dinamica M ext = ---- L t Nei corpi rigidi in rotazione intorno ad un asse L = I M ext =I t momento di inerzia I = i m i r i 2 con r i distanza del punto i-esimo dallasse di rotazione : velocità angolare (in generale non costante)

11 A.Stefanel - Riepilogo meccanica11 Principio di conservazione del momento angolare o momento della quantità di moto M ext = ---- L t si ha: M ext = 0 - sistema isolato - forze centrali - forze uniformi Conservazione di L M ext = ---- d L d t Dalla seconda equazione cardinale della dinamica Se M ext = 0 L iniziale = L finale L = cost Da III legge dinamica

12 A.Stefanel - Riepilogo meccanica12 m T1T1 Il sistema T2T2 T3T3 Condizione di equilibrio della puleggia R = 0 T 1 + T 2 + T 3 =0 T 1 = kx 1 T 2 = kx 2 T 3 =mg Molla di costante elastica k Allungamento x 1 Molla di costante elastica k Allungamento x 2 Funi inestensibili Puleggia di massa m 1 trascurabile Moduli delle forze T 1 : tensione esercitata dalla fune che sorregge la puleggia, di modulo uguale a quello della forza esercitata dalla molla 1. Molla 1 Molla 2 T 2 : tensione esercitata dalla parte sinistra della fune che scorre nella puleggia, di modulo uguale a quello della forza esercitata dalla molla 2. T 3 : tensione esercitata dalla parte destra della fune che scorre nella puleggia, di modulo uguale a quello della forza peso mg. Allungamento delle molle allequilibrio?

13 A.Stefanel - Riepilogo meccanica13 m T1T1 Il sistema T2T2 T3T3 Condizione di equilibrio della puleggia R = 0 T 1 + T 2 + T 3 =0 T 3 =T 2 kx 2 = mg Condizione di equilibrio della massa m: x 1 = 2x 2 = 2(mg/k) Molla di costante elastica k Allungamento x 1 Molla di costante elastica k Allungamento x 2 Funi inestensibili Puleggia di massa m 1 trascurabile kx 1 =mg + kx 2 x 2 = (mg/k) T 1x = -kx 1 T 2x = kx 2 T 3x =mg Componenti x delle forze R x =0 x y z

14 A.Stefanel - Riepilogo meccanica14 m2m2 m1m1 La macchina di Atwood Masse m1 e m2 agli estremi del cavo perfettamente flessibile e inestensibile Puleggia di massa M e raggio R Momento di inerzia: I = M R 2 /2 A Prima equazione cardinale applicata alla puleggia R = m a T3T3 T1T1 T2T2 0 = m a z 0 = m a y T 1x +T 2x +T 3x = m a x x y z gm 1 +gm 2 –T 3 =0 Se il pignone A intorno a cui ruota la puleggia sta fermo: R x =0 T 3 = gm 1 +gm 2 Imporre il vettore risultante R=0 non è sufficiente per determinare la dinamica del sistema.

15 A.Stefanel - Riepilogo meccanica15 m2m2 m1m1 La macchina di Atwood Masse m1 e m2 agli estremi del cavo perfettamente flessibile e inestensibile Puleggia di massa M e raggio R Momento di inerzia: I = M R 2 /2 A Dalla prima equazione cardinale applicata alla puleggia T3T3 T1T1 T2T2 x y z T 3 = gm 1 +gm 2 M = T 2 r k – T 1 r k Seconda equazione cardinale applicata alla puleggia k : versore asse z piano x,y su cui giacciono i vettori T 1, T 2 e r. M = d L / dt L = I k + (r m 2 v 2 - r m 1 v 1 ) k= = I k + ( m 2 r 2 - m 1 r 2 ) k= = (I + m 2 r 2 - m 1 r 2 ) k

16 A.Stefanel - Riepilogo meccanica16 m2m2 m1m1 La macchina di Atwood Masse m1 e m2 agli estremi del cavo perfettamente flessibile e inestensibile Puleggia di massa M e raggio R Momento di inerzia: I = M R 2 /2 A Dalla prima equazione cardinale applicata alla puleggia T3T3 T1T1 T2T2 x y z T 3 = gm 1 +gm 2 M = T 2 r k – T 1 r k Seconda equazione cardinale applicata alla puleggia k : versore asse z piano x,y su cui giacciono i vettori T 1, T 2 e r. M = d L / dt L = I k + (r m 2 v 2 - r m 1 v 1 ) k= = I k + ( m 2 r 2 - m 1 r 2 ) k= = (I + m 2 r 2 - m 1 r 2 ) k

17 A.Stefanel - Riepilogo meccanica17 m2m2 m1m1 La macchina di Atwood Masse m1 e m2 agli estremi del cavo perfettamente flessibile e inestensibile Puleggia di massa M e raggio R Momento di inerzia: I = M R 2 /2 A Dalla prima equazione cardinale applicata alla puleggia T3T3 T1T1 T2T2 x y z T 3 = gm 1 +gm 2 Seconda equazione cardinale applicata alla puleggia M = d L / dt T 2 r k – T 1 r k = (I + m 2 r 2 - m 1 r 2 ) (d /dt) k d /dt = (T 2 – T 1 )r / (I + m 2 r 2 - m 1 r 2 ) La puleggia si muove con accelerazione angolare costante

18 A.Stefanel - Riepilogo meccanica18 Teorema dellenergia cinetica L = K ( i F i · R i ) Sistema di punti materiali di massa M A, M B,……M Z Somma su K = A, B,…..Z Somma dei contributi relativi a ciascuna massa Somma su i =1…n, sugli spostamenti R i cui è soggetto il punto di applicazione del vettore risultante delle forze agenti sulla massa K-esima (Lavoro della risultante delle forze agenti sulla massa K-esima). L = K (1/2 m K V Kf 2 - 1/2 m K V Ko 2 ) L = K (1/2 m K V Kf 2 ) - K (1/2 m K V Ko 2 ) Ec = K (1/2 m K V K 2 ) L = Ec f – Ec 0 = Ec

19 A.Stefanel - Riepilogo meccanica19 Energia cinetica di un sistema Ec = K (1/2 m K V K 2 ) V K 2 = v G 2 + v K 2 +2 (v K · v G ) x y zMBMB MKMK MZMZ MAMA G Ec = ½ M v G 2 + K (1/2 m K v K 2 ) Lenergia cinetica di un sistema di punti si esprime come somma dellenergia cinetica del centro di massa + lenergia cinetica rispetto al centro di massa.

20 A.Stefanel - Riepilogo meccanica20 Energia cinetica di un corpo rigido. Corpo rigido: Sistema di punti materiali di massa M A, M B,……M Z, per i quali non cambia la distanza tra di essi. r v Ec = 1/2 ( K m K r K 2 ) 2 Ec = 1/2 I 2 I = K m K r K 2 Momento di inerzia rispetto allasse di rotazione È una grandezza che caratterizza come è distribuita la massa in un sistema rispetto a un suo asse. Tutti i punti del sistema si muovono con la stessa velocità angolare Hanno velocità lineari diverse date da v = r..

21 A.Stefanel - Riepilogo meccanica21 Teorema di Huygens- Steiner A1A1 AGAG d Corpo rigido di massa M Momento di inerzia I G rispetto allasse A G passante per il baricentro del sistema. I A1 = I G + M d 2

22 A.Stefanel - Riepilogo meccanica22 Energia cinetica di un sistema rigido in rototraslazione intorno a un asse che resta parallelo a se stesso (es un cilindro che rotola su un piano inclinato). Ec = ½ M v G 2 + ½ I 2 v G : velocità del centro di massa M : massa del sistema I : momento di inerzia rispetto allasse baricentrico (fisso nel sistema di riferimento del baricentro) : velocità angolare di rotazione intorno allasse (in generale non è costante)

23 A.Stefanel - Riepilogo meccanica23 Energia potenziale Forze per cui il lavoro non dipende dal percorso, ma solo dal punti iniziale e finale dello spostamento. Forze conservative (forza peso e forza gravitazionale in generale, forza elastica…) L = - (Uf – Ui) Il lavoro si può esprimere come meno la differenza tra lenergia potenziale del sistema nella posizione finale e lenergia potenziale nella posizione iniziale. Il lavoro lungo un percorso chiuso è nullo Ui = mgh i Uf = mgh f En. Pot. gravitazionale Ui = 1/2 k x i 2 Ui = 1/2 k x f 2 En. Pot. elastica

24 A.Stefanel - Riepilogo meccanica24 Principio di conservazione dellenergia meccanica Dal teorema dellenergia cinetica : L = Ec f – Ec i Nel caso in cui si abbiano forze conservative: L = - (Uf – Ui) - (Uf – Ui) = Ec f – Ec i Ec i + Ui = Ec f + Uf E = Ec + U = costante Punto materiale: E = U + ½ M v 2 Corpo rigido in rotazione intorno a un asse passante per G che trasla: E = U + ½ M v G 2 + ½ I 2

25 A.Stefanel - Riepilogo meccanica25 Principio di conservazione dellenergia meccanica Nel caso in cui su un sistema agiscano solo forze conservative: Ec i + Ui = Ec f + Uf E = Ec + U = costante N.B. Non vale nel caso in cui al lavoro della risultante di forze contribuiscano forze dattrito.


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