La presentazione è in caricamento. Aspetta per favore

La presentazione è in caricamento. Aspetta per favore

Fisica 1 Gravitazione. Programma della lezione Richiami matematici sulle coniche Leggi di Keplero Legge di gravitazione di Newton Soluzione del problema.

Presentazioni simili


Presentazione sul tema: "Fisica 1 Gravitazione. Programma della lezione Richiami matematici sulle coniche Leggi di Keplero Legge di gravitazione di Newton Soluzione del problema."— Transcript della presentazione:

1 Fisica 1 Gravitazione

2 Programma della lezione Richiami matematici sulle coniche Leggi di Keplero Legge di gravitazione di Newton Soluzione del problema dei due corpi –Scelta del sistema di riferimento –Momento della quantita` di moto –Energia Dimostrazione delle leggi di Keplero Considerazioni sullenergia

3 In coordinate polari, scelto uno dei fuochi come origine, lequazione di una conica è ove r è la distanza tra un punto della conica e il fuoco e è langolo compreso tra lasse della conica e il vettore r e è detta eccentricità della conica Si può mostrare che la formula scritta rappresenta sempre una conica, il cui tipo dipende dal valore delleccentricità: e 1 iperbole Richiami di matematica: le coniche r

4 Richiami di matematica: lellisse Lellisse è caratterizzata dal fatto che la somma delle distanze di un punto dai fuochi è costante Detto E il centro dellellisse, EB=a è il semiasse maggiore ed ED=b il semiasse minore La distanza dei fuochi dal centro è EF 2 =EF 1 =ea Il semiasse minore si può esprimere in funzione del semiasse maggiore e delleccentricità: P F1F1 F2F2 D C BA E Larea dellellisse è Quanto vale la costante? Dimostrare la relazione tra b e a, e

5 Gravitazione universale Agisce tra due corpi qualunque dotati di massa Supponiamo inizialmente che le masse abbiano dimensione trascurabile rispetto alla distanza reciproca (caso ideale di masse puntiformi) È descritta dalla legge di Newton Ove F 21 è la forza agente sulla massa 2, dovuta alla massa 1, m 1 e m 2 sono le masse dei corpi, r la loro distanza, r 12 il versore orientato da 1 a 2 La combinazione -r 12 il indica che la forza è attrattiva

6 Gravitazione universale G è una costante fisica universale di dimensioni (nel sistema MKS) E di valore

7 Energia potenziale gravitazionale Dalla legge di forza possiamo calcolare lenergia potenziale: r dl F

8 Leggi di Keplero Newton arrivò alla sua legge studiando lopera di Keplero, il quale aveva enunciato tre leggi valide per il moto dei pianeti del sistema solare Prima legge: lorbita percorsa da un pianeta giace su di un piano e ha forma di ellisse, di cui il sole occupa uno dei due fuochi

9 Leggi di Keplero Useremo un sistema di coordinate polari per descrivere lorbita del pianeta Il raggio vettore r, con origine nel sole e vertice nel pianeta, è definito dal modulo r e dallangolo (detto anomalia o azimut) Il punto A in cui il pianeta è più lontano dal sole è detto afelio; il punto B in cui il pianeta è più vicino al sole è detto perielio Entrambi son detti apsidi r AB

10 Leggi di Keplero La prima legge si può esprimere matematicamente Ove p ed e sono due parametri orbitali: e è leccentricità dellorbita (sempre <1 per unellisse) Esercizio: esprimere p in funzione degli altri parametri orbitali analizzando, p.e., il perielio (r=a-ae, =0)

11 Leggi di Keplero Seconda legge: larea spazzata dal raggio vettore è proporzionale al tempo impiegato per spazzarla: A=kt, in termini infinitesimi: dA=kdt Ovvero: la velocità areale è costante Storicamente fu scoperta per prima AB Possiamo esprimere la costante k mediante larea e il periodo

12 Leggi di Keplero Terza legge: il quadrato del periodo di rivoluzione di un pianeta attorno al sole è proporzionale al cubo del semiasse maggiore dellorbita La costante di proporzionalità è uguale per tutti i pianeti Una legge analoga vale per il sistema di Giove e i suoi satelliti La costante è uguale per tutti i satelliti (ma è diversa da quella del sistema Sole-pianeti, come vedremo)

13 Il problema dei due corpi Consideriamo un sistema isolato costituito da due masse puntiformi interagenti con forza newtoniana Sia S un sistema di riferimento inerziale in cui descrivere il sistema dei due corpi r1r1 r2r2 Siano r 1 e r 2 i vettori posizione (in S) delle due masse La forza mutua dipende solo dal vettore r tra le due masse: r = r 2 - r 1 r

14 Il problema dei due corpi Introduciamo anche il vettore R, posizione del centro di massa: r1r1 r2r2 r R Le trasformazioni inverse permettono di esprimere r 1 e r 2 in funzione di R e r

15 Il problema dei due corpi Poiché il sistema è isolato, il centro di massa si muove di moto rettilineo uniforme Possiamo sfruttare questo risultato per scegliere un sistema di riferimento inerziale più conveniente S: uno con lorigine O coincidente con il centro di massa dei due corpi (i due punti coincidono e traslano assieme) Dora in poi, anche se con abuso di notazione, continueremo ad usare gli stessi simboli nel nuovo sistema S (però ora R=0)

16 Il problema dei due corpi Risolvere il problema significa trovare la dipendenza di r dal tempo. Una volta noto r, le coordinate delle masse si ottengono (ora R=0) semplicemente da Un fatto importante è che nel sistema S, le velocità v 1 e v 2 sono parallele Ciò significa che i vettori v 1, v 2 e r sono complanari

17 Forze centrali La forza gravitazionale rientra in un tipo più generale di forze, dette centrali Queste forze hanno limportante proprietà di essere dirette lungo la congiungente dei corpi in interazione, cioè lungo r e dipendere solo da r

18 Il momento delle forze Calcoliamo il momento delle forze interne, sfruttando il fatto che la forza è centrale: Lannullarsi del momento delle forze, implica che il momento della quantità di moto sia costante

19 Il momento della qdm Abbiamo mostrato che v 1, v 2 e r sono complanari Ne segue che i vettori mqm dei due corpi sono paralleli Calcoliamo ora il mqm totale Il fatto che l 1, l 2 (e quindi L) siano paralleli, assieme al fatto che L si conservi, significa che il moto dei due corpi avviene su di un piano (perpendicolare a L e contenente v 1, v 2, r) Il problema è quindi ridotto a due dimensioni. Scegliamo il sistema S su questo piano: un sistema di riferimento polare di coordinate r e

20 Il momento della qdm Il vettore r potrà ruotare attorno al punto O (e anche cambiare lunghezza ) Ciò significa che la velocità angolare delle due masse è uguale O d 2 d 1

21 Il momento della qdm Tenendo conto del parallelismo dei due mqm e detta v la componente azimutale della velocità, il modulo L è r v v vrvr

22 Il momento della qdm Ovvero Esprimendo r 1 e r 2 in funzione di r, (R=0), otteniamo

23 Il momento della qdm Ove è una costante con le dimensioni di una massa, detta massa ridotta Il risultato ottenuto si può interpretare dicendo che il sistema dei due corpi è equivalente ad un solo corpo di massa a distanza r da un centro fisso di forza Risultato utile per esprimere la velocità angolare in funzione della distanza r (e delle costanti, L)

24 2 a legge di Keplero Siamo ora in grado di dimostrare questa legge nellambito della teoria di Newton P1P1 S P2P2 Esprimiamo larea del triangolo infinitesimo SP 1 P 2 in coordinate polari

25 2 a legge di Keplero Dividendo per il tempo otteniamo la velocità areale Per quanto detto sul momento della qdm abbiamo Da notare che abbiamo usato soltanto il fatto che la FG è di tipo centrale: il risultato è quindi valido per qualunque forza centrale CDD

26 Energia Finora abbiamo usato la legge di conservazione della qdm Usiamo ora una seconda legge di conservazione, quella dellenergia Ove T è lenergia cinetica delle due masse e V (già calcolata) è lenergia potenziale gravitazionale dovuta allattrazione mutua

27 Energia cinetica Calcoliamo lenergia cinetica

28 Energia cinetica Di nuovo possiamo interpretare dicendo che per quanto riguarda T, il sistema dei due corpi equivale ad un corpo solo di massa ridotta Esprimendo la velocità in termini delle componenti radiale e azimutale: r v v vrvr

29 Energia Tornando allenergia Esprimendo la velocità angolare in funzione di L e r e inserendo lespressione di V, otteniamo infine

30 Integrazione dellequazione Lequazione (differenziale) precedente è una relazione tra la coordinata r (incognita), la sua derivata (incognita) e due costanti del moto E e L (supposte note) Possiamo esplicitare rispetto alla derivata

31 Integrazione dellequazione Risolvere questa equazione ci darebbe la distanza r (e quindi ) in funzione del tempo È più interessante però determinare r in funzione dellangolo, in questo modo otteniamo lequazione dellorbita A tal fine riscriviamo la velocità radiale

32 Integrazione dellequazione Otteniamo infine Questequazione si può risolvere per quadrature:

33 Integrazione dellequazione Lintegrando si può riportare ad una forma standard con la sostituzione u=1/r Lintegrale è della forma

34 Integrazione dellequazione E quindi E tornando alla variabile r:

35 1 a legge di Keplero Lespressione precedente è della forma Ove leccentricità è E si è scelto =0 in corrispondenza del perielio CDD

36 1 a legge di Keplero Nel caso in cui il sole sia identificato col corpo 1 e un pianeta col corpo 2, abbiamo Il sole è praticamente fermo Il corpo di massa ridotta e il pianeta si possono identificare

37 Energia Torniamo allespressione dellenergia Il primo termine del membro di destra è lenergia cinetica radiale, il secondo termine è lenergia cinetica azimutale, il terzo termine è lenergia potenziale Formalmente possiamo considerare invece il secondo termine come energia potenziale, aggiuntiva a quella gravitazionale, di una particella fittizia di cui il primo termine rappresenta tutta lenergia cinetica Questo modo di vedere ha il vantaggio di ridurre il numero di dimensioni del problema da due a una

38 Energia Nella figura abbiamo tracciato le due energie potenziali con linee tratteggiate e la loro somma V tot con linea continua Lenergia totale E è una costante (retta tratteggiata) La differenza tra E e V tot è lenergia cinetica (freccia) r

39 Energia Per E>0, r assume un valore minimo ma può assumere valori arbitrariamente grandi: lorbita è aperta r E>0 Leccentricità è >1, come devessere per uniperbole T

40 Energia Per E<0, r è compreso tra un valore minimo e uno massimo: lorbita è limitata (e chiusa) r E<0 Leccentricità è <1, come devessere per unellisse T

41 3 a legge di Keplero Come abbiamo visto, la 2 a legge di Keplero stabilisce che Integrando questa relazione su di un periodo di rivoluzione, abbiamo Ricordando la relazione tra b, a ed e:

42 3 a legge di Keplero Dalla 1 a legge di Keplero, applicata al perigeo, avevamo trovato Ove ora Che ci permette di esprimere e in funzione di, L, k, a:

43 3 a legge di Keplero Ed infine La teoria di Newton verifica e smentisce allo stesso tempo la 3 a legge di Keplero La smentisce in quanto la costante che compare nella legge è diversa da pianeta a pianeta La conferma in quanto tale costante è con buona approssimazione uguale per tutti i pianeti CDD

44 Masse estese Newton fece qualcosa di più: dimostrò che la legge di forza ha la stessa espressione anche per masse estese con simmetria sferica Lo dimostreremo in elettrostatica quando studieremo la legge di Gauss

45 Il problema degli n corpi Se si hanno tre o più corpi, qualunque sia la forza dinterazione, il problema non ammette, in generale, una soluzione analitica Teoria delle perturbazioni Problema della stabilità del sistema solare


Scaricare ppt "Fisica 1 Gravitazione. Programma della lezione Richiami matematici sulle coniche Leggi di Keplero Legge di gravitazione di Newton Soluzione del problema."

Presentazioni simili


Annunci Google