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Un esempio di maximum likelihood. Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy 70 Retta e Poisson Ricordiamo la statistica di Poisson Useremo dati.

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Presentazione sul tema: "Un esempio di maximum likelihood. Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy 70 Retta e Poisson Ricordiamo la statistica di Poisson Useremo dati."— Transcript della presentazione:

1 Un esempio di maximum likelihood

2 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy 70 Retta e Poisson Ricordiamo la statistica di Poisson Useremo dati abbastanza consistenti da poter usare Stirling

3 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy 71 Retta e Poisson Altrimenti conviene eliminare il fattoriale, passando al continuo Prima o poi dovremo fare delle derivate...

4 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy 72 Retta e Poisson Con questo... Adesso supponiamo di avere dei dati...e di far lipotesi che derivino da una retta

5 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy 73 Retta e Poisson Quindi la variata k diviene Il valore atteso diviene La distribuzione diviene

6 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy 74 Retta e Poisson

7 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy 75 Retta e Poisson Questa ci dà la probabilità di osservare... supponendo che il valore medio sia... e che la statistica sia poissoniana

8 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy 76 Retta e Poisson Costruiamo ora il prodotto di tutte le probabilità È la probabilità di osservare il set di dati nelle ipotesi date...sempre che i dati siano indipendenti!

9 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy 77 Annullando la derivata di questa funzione rispetto ad m e q si ottengono i valori che rendono massima la probabilità di osservare il campione dato nelle ipotesi che sia valida la statistica di Poisson per ogni dato e che il modello sia una retta

10 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy 78 Retta e Poisson La derivata è tremenda È la somma di N termini Ognuno fatto da un prodotto di N fattori Del quale uno per volta viene derivato...

11 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy 79 Retta e Poisson Allora si passa al logaritmo......e si sviluppa con pazienza....

12 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy 80 Retta e Poisson

13 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy 81 Retta e Poisson Attenzione: la parte verde non entrerà nel successivo gioco delle derivate Conterà ai fini della minimizzazione solo la parte rossa...che –finalmente- è la funzione della Maximum Likelihood!

14 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy 82 Retta e Poisson Attenzione! la costante va calcolata se alla fine del processo vogliamo calcolarci la probabilità del fit!

15 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy 83 Retta e Poisson Attenzione! Nella Maximum Likelihood la probabilità del fit tiene il posto del livello di confidenza nel fit col 2

16 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy 84 Retta e Poisson Ora deriviamo...

17 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy 85 Retta e Poisson Le equazioni divengono a questo punto NON LINEARI in m e q

18 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy 86 Retta e Poisson Nel caso della di Euler...

19 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy 87 Retta e Poisson...e la funzione cambia solo rispetto alla costante!

20 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy 88 Retta e Poisson Di solito conviene cercare direttamente il minimo di Poi si calcola la probabilità del fit


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