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La misura e la statistica (1). Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy115 La misura e la statistica (1) Ricapitoliamo la situazione dal 700 in.

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1 La misura e la statistica (1)

2 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy115 La misura e la statistica (1) Ricapitoliamo la situazione dal 700 in poi

3 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy116 La misura e la statistica (1) Gauss verso la fine del 1700 scopre un fatto nuovo

4 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy117 La misura e la statistica (1) La posizione angolare di una stella non viene mai riprodotta esattamente

5 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy118 La misura e la statistica (1) Nasce una nuova visione della misura I dati sperimentali non sono certi, ma approssimati Più tardi ci si accorgerà che ciò accade anche per le previsioni teoriche –Sia per imprecisioni di calcolo –Sia per imprecisioni di metodo

6 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy119 La misura e la statistica (1) Più tardi ci si accorgerà che ciò accade anche per colpa del metodo Scarsa conoscenza dello strumento –Ed impossibilità di andare oltre a certi limiti Più tardi ci si accorgerà che ciò accade anche per colpa della Natura Impossibilità fisica di misurare certe zone della Natura (energia-tempo, momento-posizione, etc.) Impossibilità pratica di prevedere fenomeni iterati

7 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy120 La misura e la statistica (1) Ciò che riusciamo a dominare (entro certi limiti) sono Limprecisione casuale ERRORI CASUALI Limprecisione strumentale ERRORI SISTEMATICI Limprecisione teorica ERRORI DI FORMALISMO E DI CALCOLO NUMERICO

8 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy121 La misura e la statistica (1) Con Gauss il caso entra nella Scienza... è la fine dellepoca della Dea Ragione? Oggi senza la statistica non esiste metodo sperimentale

9 La probabilità e le sue leggi Gli inizi

10 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy123 La probabilità e le sue leggi La definizione astratta di probabilità è praticamente inutile Petizione di principio Rapporto fra i casi favorevoli ad un evento ed i casi possibili, quando questi siano equiprobabili È la probabilità a priori

11 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy124 La probabilità e le sue leggi La difficoltà concettuale è solo apparente –Si tratta di una sistemazione di fatti empirici Il dado ed i suoi rimbalzi I fenomeni complessi ed iterati La statistica è al confine fra Empiria (= Natura) ed Astrazione

12 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy125 La probabilità e le sue leggi Definizione

13 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy126 La probabilità e le sue leggi In generale, per un evento ripetuto volte, definiremo –Frequenza assoluta: numero di casi favorevoli –Frequenza relativa: di solito semplicemente frequenza

14 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy127 La probabilità e le sue leggi LEGGE DEI GRANDI NUMERI Per la frequenza tende alla probabilità (a priori) Attenzione: in senso statistico o stocastico Non è la solita tendenza al limite

15 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy128 La probabilità e le sue leggi Tendenza al limite stocastica –Diverse sequenze danno diversi percorsi –Non si può stabilire un N talmente grande che... Sono sempre possibili scostamenti molto grandi...solo che divengono sempre più rari

16 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy129 La probabilità e le sue leggi Facciamo lesempio del solito dado –Uscita di una faccia

17 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy130 La probabilità e le sue leggi Legge della somma Due eventi mutuamente esclusivi A e B Uscita del 2 o del 4 Si considera evento favorevole il verificarsi del primo o del secondo

18 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy131 La probabilità e le sue leggi I casi favorevoli si sommano Quindi si sommano le probabilità –Per un or ( +) di eventi mutuamente esclusivi

19 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy132 La probabilità e le sue leggi Legge del prodotto Due eventi indipendenti A e B Uscita del 2 su un dado e del 4 sullaltro Si considera evento favorevole il verificarsi del primo e del secondo

20 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy133 La probabilità e le sue leggi I casi favorevoli e possibili si combinano, e quindi si moltiplicano Quindi si moltiplicano le probabilità –Per un and ( ) di eventi indipendenti

21 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy134 La probabilità e le sue leggi Se A a B non sono indipendenti definiremo le probabilità condizionali –Probabilità che avvenga A dopo che si è verificato B, etc. Evidentemente...

22 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy135 La probabilità e le sue leggi La formula di Bayes: Partiamo da una serie di eventi mutuamente esclusivi –La scelta di un cassetto in cui siano contenuti diversi miscugli di palle bianche e nere Un evento E può accadere solo se è accaduto un evento B –Estrazione di una palla bianca o nera

23 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy136 La probabilità e le sue leggi Probabilità che avendo estratto una palla nera il cassetto da cui è stata estratta sia il secondo Praticamente mai usata in fisica, e difatti...

24 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy137 ATTENZIONE Siamo sicuri che siano rispettate teoricamente le ipotesi? »La scelta dei cassetti è veramente equiprobabile? Siamo sicuri che siano rispettate in pratica le ipotesi? »La scelta dei cassetti è stata fatta effettivamente in modo equiprobabile? »Non ci sono bias? Non ci sono errori sistematici? Questioni molto sottili e molto difficili da controllare... La probabilità e le sue leggi

25 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy138 La probabilità e le sue leggi Se A e B non sono mutuamente esclusivi otteniamo

26 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy139 La probabilità e le sue leggi Se la probabilità di un evento è p, la probabilità che esso avvenga k volte in n tentativi vale

27 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy140 La probabilità e le sue leggi Il calcolo delle probabilità è essenzialmente un gioco di calcolo combinatorio Il calcolo può divenire anche molto complicato Esempio: il terno al Lotto

28 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy141 La probabilità e le sue leggi

29 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy142 La probabilità e le sue leggi Quindi se io gioco tutti i terni ad 1 per terno spendo –Uno esce Per la vincita mi pagano 5000 –Ed i rimanenti 6748 ?......

30 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy143 La probabilità e le sue leggi Attenzione alle leggende metropolitane –I numeri che ritardano –...e che quindi scientificamente debbono uscire –(Se no che figura ci farebbero?) In realtà levento raro è già accaduto

31 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy144 La probabilità e le sue leggi Importante il calcolo dei fattoriali Formula di Stirling

32 Elementi di statistica

33 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy146 Elementi di statistica La statistica è unestensione del calcolo delle probabilità –Si parte dai concetti fondamentali –Si estende la definizione di probabilità –Si introducono delle nuove variabili

34 Estensione del concetto di probabilità

35 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy148 Estensione del concetto di probabilità La probabilità viene fatta passare –da un numero razionale... –... ad un numero reale La probabilità può essere infinitesima –Anche se poi si darà significato sempre all probabilità finita –Tramite integrazioni

36 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy149 Estensione del concetto di probabilità Si suppongono valide tutte le leggi delle probabilità già stabilite Non si può più definire la probabilità come rapporto fra casi favorevoli e casi possibili

37 Le variate

38 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy151 Le variate Una variata è una variabile... –... reale –... discreta o continua –... associata ad una probabilità

39 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy152 Le variate Una variata discreta –Assume i valori... –... con probabilità

40 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy153 Le variate Esempio classico: il dado –Variata: un numero da 1 a 6 –Probabilità associata: 1/6

41 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy154 Le variate Si definisce –Valore atteso –Speranza matematica –Valore medio

42 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy155 Le variate La variata discreta può essere definita da una tabella Esempio: –I numeri riportati sulle facce di un dado Attenzione: i numeri potrebbero essere diversi –Anche le probabilità se il dado fosse truccato...

43 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy156 Le variate

44 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy157 Le variate Ed ecco una rappresentazione grafica –Distribuzione –Spettro

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46 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy159 Le variate Se si conoscono solo valori proporzionali alle probabilità occorrerà normalizzarli

47 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy160 Le variate Una variata continua –Assume valori reali in un dominio D con probabilità infinitesima –La è la funzione di distribuzione (spettro) Funzione densità

48 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy161 Le variate Il dominio D sarà per noi, praticamente sempre, uno dei seguenti insiemi –Tutto lasse reale –Il semiasse reale positivo –Un intervallo (e di solito chiuso) Indicheremo in ogni caso lestremo inferiore con low e quello superiore con high Ecco degli esempi

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53 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy166 Le variate In ogni caso vale la condizione di normalizzazione...ed in generale un valore atteso (speranza matematica) vale...

54 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy167 Le variate

55 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy168 Le variate Una distribuzione si può descrivere –Con la funzione di distribuzione stessa –Con la distribuzione cumulativa –Con la trasformata di Fourier della –Funzione caratteristica –Funzione generatrice dei momenti

56 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy169 Le variate Attenzione alle funzioni cumulative –Sono più simili delle funzioni di distribuzione! Solo un paio di esempi –Hanno molta importanza quando si simulano dei dati MonteCarli

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59 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy172 Le variate...è sempre il solito passaggio dalle derivate agli integrali e viceversa...

60 Le distribuzioni in generale

61 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy174 Le distribuzioni in generale Sono funzioni per cui è sempre Per un insieme di definizione infinito devessere »Per evitare la divergenza logaritmica

62 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy175 Le distribuzioni in generale Di solito hanno quindi dei picchi –Il picco più alto si chiama moda della distribuzione –Un picco: unimodale Poi bimodale, multimodale...

63 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy176 Le distribuzioni in generale Si definisce la mediana È definita con unequazione integrale Non gode di proprietà di linearità Molto utile e potente soprattutto nellanalisi delle serie temporali

64 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy177 Le distribuzioni in generale Poi ci sono i quartili Mediane della mediana Poi i percentili... NON USATELI MAI

65 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy178 Le distribuzioni in generale Quasi sempre di una distribuzione si fornisce –La media –La standard deviation –La moda –A volte anche il momento secondo (o la sua radice) »Valore quadratico medio »È il caso delle velocità in un gas

66 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy179 Le distribuzioni in generale Attenzione a non confondere Facili a confondere se si usa il simbolo

67 Distribuzioni discrete e continue

68 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy181 Distribuzioni discrete e continue In molti testi sono trattate assieme Per usare sommatorie + integrali occorre usare gli integrali di Stjeltjes Ma ne vale la pena?... Noi separeremo i due casi Non capita mai di avere variate miste (discrete + continue)

69 Le principali distribuzioni discrete

70 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy183 Le principali distribuzioni discrete Veramente importanti solamente due –Distribuzione di Bernoulli e binomiale –Distribuzione di Poisson, o degli eventi rari

71 La distribuzione di Bernoulli

72 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy185 La distribuzione di Bernoulli Il caso più semplice Variata che può assumere due valori SCHEMA XProb. 1 successo p 0 insuccesso q=1-p

73 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy186 La distribuzione di Bernoulli Valor medio Varianza

74 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy187 La distribuzione binomiale Estensione della distribuzione di Bernoulli Caso tipico: –Estraiamo da unurna una palla Bianca: probabilità p Nera: probabilità q=1-p –Probabilità di estrarre k palle bianche su n estrazioni, rimpiazzando ogni volta la palla

75 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy188 La distribuzione binomiale Legge della distribuzione Introduciamo una variata che valga 1 per successo e 0 per insuccesso –Quindi –Su n prove

76 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy189 La distribuzione binomiale Si può calcolare anche con la funzione caratteristica Varianza

77 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy190 La distribuzione binomiale

78 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy191 La distribuzione binomiale Allaumentare della probabilità (da 0.1 a 0.3) la distribuzione diviene più simmetrica –Assomiglia ad una distribuzione gaussiana...che vedremo

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80 La distribuzione di Poisson

81 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy194 La distribuzione di Poisson È la distribuzione di eventi rari È ciò che diviene la binomiale quando Legge della distribuzione

82 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy195 La distribuzione di Poisson

83 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy196 La distribuzione di Poisson

84 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy197 La distribuzione di Poisson Media Varianza

85 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy198 La distribuzione di Poisson Ed infine un grafico per e

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87 Le principali distribuzioni continue

88 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy201 Le principali distribuzioni continue Molte hanno interesse limitato Qui studiamo solo quelle di maggiore interesse per la misura Definite –In un intervallo (solo la uniforme) –Semiasse reale positivo –Tutto lasse reale

89 La distribuzione uniforme

90 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy203 La distribuzione uniforme Definita fra –1/2 e 1/2 Di solito però fra 0 e 1 –Il calcolatore estrae numeri a caso in questo intervallo –In realtà i numeri sono pseudocasuali –Estratti con un formalismo causale si verifica a posteriori che rispettino la casualità Il caso di –Sono la base per simulazioni statistiche

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92 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy205 La distribuzione uniforme Definizione della distribuzione In generale

93 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy206

94 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy207 La distribuzione uniforme Media Varianza

95 UN PROBLEMA INTERESSANTE

96 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy209 Un problema interessante Visto che il calcolatore mi dà solo numeri (pseudo)casuali fra 0 ed 1, posso (e se sì come) ottenere dei numeri distribuiti fra A e B con una distribuzione f(x) ? La risposta è affermativa Metodo di reiezione

97 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy210 Un problema interessante Uno schizzo grafico...

98 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy211 Un problema interessante Ricetta 1.Calcoliamo anzitutto il massimo della funzione nel nostro intervallo 2.Poi calcoliamo 3.Estraiamo un numero fra 0 ed 1 4.Calcoliamo

99 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy212 Un problema interessante Ora estraiamo un secondo numero fra 0 ed 1, e moltiplichiamolo per M: –Quindi una distribuzione uniforme fra 0 ed M Siamo ora in possesso di due numeri (pseudo)casuali –X fra a e b –Y fra 0 ed M

100 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy213 Un problema interessante Calcoliamo la Terremo per buono il valore X se è Rigetteremo il valore X se è

101 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy214 Un problema interessante Il metodo è usatissimo e garantito Funziona a spese di estrazioni a vuoto –In pratica Si riempie uniformemente il rettangolo verde di punti Si tengono per buoni solo quelli sotto la curva –Funziona anche per più dimensioni...e si allungano i tempi...

102 La distribuzione gaussiana

103 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy216 La distribuzione gaussiana Se sommiamo variabili distribuite uniformemente otteniamo –Numero di variabili: 1, 2, 3, 4, 10

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109 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy222 La distribuzione gaussiana Si dimostra che si tende ad una distribuzione tipica, a campana La distribuzione normale In generale La distribuzione gaussiana

110 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy223 La distribuzione gaussiana Dimostrazione non immediata –Bisogna lavorare sulle funzioni caratteristiche –Passare al limite (e si tratta di dipendenze funzionali... Si vede anche che il limite è lo stesso anche se le distribuzioni NON sono uniformi...e difatti è MOLTO IMPORTANTE il

111 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy224 La distribuzione gaussiana Teorema del limite centrale Se una variata ha una ha una distribuzione la media di un campione su osservazioni tende ad essere distribuita normalmente al crescere di

112 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy225 La distribuzione gaussiana Quindi le al crescere di tendono ad essere distribuite normalmente anche se non lo sono le singole variate

113 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy226 La distribuzione gaussiana Noi ci limiteremo alle variate normali Sono le più utili Coprono lassoluta maggioranza dei casi pratici –Quando occorre qualcosa di più si è nei guai In questo caso bastano due momenti –Media e SD

114 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy227 La distribuzione gaussiana Caso importante fuori dal coro i conteggi Seguono la statistica di Poisson Però Regola a spanne Quando usate pure Gauss con

115 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy228 La distribuzione gaussiana Sotto a questo limite bisogna stare attenti perchè... La distribuzione è asimmetrica

116 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy229 La distribuzione gaussiana Insomma... TUTTO FINISCE PER ESSERE GAUSSIANO

117 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy230 La distribuzione gaussiana La funzione di distribuzione

118 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy231 La distribuzione gaussiana Media Varianza

119 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy232 La distribuzione gaussiana Definiremo a partire da una variata normale x –La variata centrata (detta anche scarto) –La variata ridotta (detta anche scarto ridotto) Vediamo degli esempi grafici

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121 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy234 La distribuzione gaussiana Una proprietà importante: –Le probabilità di stare dentro un certo numero N di SD sono sempre le stesse Attenzione: la funzione derrore è (storicamente) definita per una gaussiana non normalizzata...

122 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy235 La distribuzione gaussiana Definizione

123 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy236 La distribuzione gaussiana In realtà a noi serve

124 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy237 La distribuzione gaussiana

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126 La distribuzione maxwelliana

127 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy240 La distribuzione maxwelliana Importante per la distribuzione dei moduli delle velocità delle molecole in un gas Funzione di distribuzione Stavolta non conviene usare la funzione caratteristica...

128 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy241 La distribuzione maxwelliana Moda Media Varianza

129 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy242 La distribuzione maxwelliana Standard deviation Velocità quadratica media

130 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy243 La distribuzione maxwelliana Skewness Kurtosis Quasi una gaussiana

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132 La distribuzione del 2

133 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy246 La distribuzione del 2 La funzione di distribuzione è temibile... Funzione caratteristica

134 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy247 La distribuzione del 2 Media Varianza

135 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy248 La distribuzione del 2 Una rappresentazione grafica per

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137 Perché il 2 ?

138 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy251 Perché il 2 ? Prendiamo variate Distribuite normalmente Indipendenti La somma si distribuisce come

139 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy252 Perché il 2 ? La somma dei quadrati degli scarti ridotti ci dice quanto può essere buona una previsione rispetto ai dati osservati Dobbiamo osservare (sempre in senso stocastico!) Con una varianza

140 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy253 Perché il 2 ? Che probabilità cè di osservare un valore di 2 superiore ad un valore trovato? Si chiama livello di confidenza –Un grande 2 ha un basso CL –È improbabile osservarlo –-> qualcosa sta andando male...

141 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy254 Perché il 2 ? Ecco cosa succede per N=10 –Funzione CL

142 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy255

143 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy256 Perché il 2 ? Cè solo il 10% di probabilità di trovare un 2 maggiore o uguale a 15 Se lo si trova si è di fronte ad un evento improbabile...se questo deriva da unipotesi teorica che abbiamo fatto...

144 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy257 Perché il 2 ? Insomma abbiamo un Test di ipotesi

145 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy258 Perché il 2 ?...ma anche se troviamo un 2 troppo piccolo qualcosa potrebbe non andar bene Non è che abbiamo sbagliato a calcolare le varianze?...magari stimandole troppo elevate?

146 Le distribuzioni bivariate

147 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy260 Le distribuzioni bivariate Sono definite per due variate –La situazione adesso è molto più complessa –Il grafico è una superficie

148 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy261 Le distribuzioni bivariate Si definiscono le distribuzioni marginali......e quelle condizionali

149 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy262 Le distribuzioni bivariate Se la non dipende da x allora...e le variabili si dicono indipendenti Tutto simmetrico per la y

150 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy263 Le distribuzioni bivariate Per ogni valore di x avremo una media Plottando questo verso x si ottiene la curva di regressione di y su x Regressione : da studi di biometria (Galton): la statura dei figli di genitori con statura superiore alla media tende a regredire verso la statura media della razza

151 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy264 Le distribuzioni bivariate Il caso delle distribuzioni di variate normali indipendenti:

152 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy265 Le distribuzioni bivariate Se le variate non sono indipendenti È sempre possibile riportarsi ad una forma del tipo »La curva di regressione di y su x è una retta

153 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy266 Le distribuzioni bivariate Abbiamo una serie di osservazioni Calcoliamo la somma dei quadrati degli scarti Questa è minima per

154 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy267 Le distribuzioni bivariate

155 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy268 Le distribuzioni bivariate Questo è il coefficiente di correlazione fra le variate La stima teorica è Per variabili non ridotte

156 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy269 Le distribuzioni bivariate La varianza di Y su X è data quindi da Le variabili indipendenti sono Leggi:

157 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy270 Le distribuzioni bivariate Quindi la legge generale

158 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy271 Le distribuzioni bivariate Due esempi di distribuzioni con variate indipendenti e due con variate dipendenti Nel caso di quelle indipendenti: –Una stella fotografata da un telescopio Tremolio attorno ad una posizione media »La SD misurata in secondi darco, prende il nome di seeing

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163 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy276 Le distribuzioni bivariate In generale...

164 La somma delle varianze

165 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy278 La somma delle varianze Supponiamo di avere delle variabili indipendenti Ora prendiamo le variate centrate

166 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy279 La somma delle varianze Ora abbiamo E quindi la legge della somma delle varianze per variate indipendenti

167 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy280 La somma delle varianze Per somme di variate indipendenti le varianze si sommano quadraticamente

168 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy281 La somma delle varianze Quindi sommare direttamente le standard deviation porta ad una sovrastima della varianza finale A volte può essere perfino conveniente...

169 La misura come variata

170 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy283 La misura come variata Una qualunque misura è affetta da una serie di incertezze Se ripetuta non dà gli stessi risultati Molte (ed in numero sempre maggiore) di previsioni teoriche non possono essere fatte con mezzi formali Vengono fatte con mezzi o numerici o statistici MonteCarli

171 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy284 La misura come variata In definitiva il confronto fra teoria ed esperimento è sempre probabilistico

172 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy285 La misura come variata Il primo passo è che una misura è sempre pensata come una variata –E di solito normale Questo vale sia per misure tipiche –Il diametro di un chiodo... sia per misure di tipo statistico –Il peso medio di un pollo di un allevamento...sia per misure complesse –Densitometria ossea

173 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy286 La misura come variata Di norma si suppone che La misura di una quantità singola sia una variata normale Con valore atteso Con SD I momenti superiori sono (evidentemente) noti La SD sia piccola rispetto al valore atteso

174 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy287 La misura come variata SE QUESTE IPOTESI NON FUNZIONANO OCCORRE AGIRE DI CONSEGUENZA E CAMBIARE IL FORMALISMO DI QUANTO DIREMO

175 Medie ed errori

176 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy289 Medie ed errori Risultato di una misura: una variata normale Momenti: –Primo: -> la media –Secondo: -> la varianza Si fornisce la deviazione standard

177 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy290 Medie ed errori Nellipotesi normale è sufficiente fornire i primi due momenti In realtà si fornisce per convenzione media e SD Il risultato di una misura viene espresso in generale come

178 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy291 Medie ed errori Due tipi di errore –Assoluto –Relativo Di solito misurato in % o in ppm

179 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy292 Medie ed errori Quasi sempre è espresso con una o al massimo due cifre significative Non si ritiene utile andare più in là Esempio: –Numero di Avogadro

180 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy293 Medie ed errori La SD ha sempre il significato statistico visto nella distribuzione normale –Fuori di 1 SD -> 33 % –Fuori di 2 SD -> 4 % –Fuori di 3 SD -> 0,3 % = 3000 ppm Cosiddetto errore massimo

181 La misura diretta

182 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy295 La misura diretta Il caso più semplice Misuriamo il lato di un cubo con un calibro –O stimiamo lerrore in base alla lettura –O ripetiamo N volte la misura Otteniamo un vettore

183 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy296 La misura diretta Stima del valore più probabile Questo è il valore che si fornisce come risultato della misura MA: anche questa è una variata!

184 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy297 La misura diretta Le medie hanno dispersione minore Attenzione: ridurre la SD costa caro! –Per ridurre la SD di un fattore 10 occorre aumentare il campione di un fattore 100!

185 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy298 La misura diretta...e le fluttuazioni? Si fa lipotesi (ragionevole) che la caduta in un bin rappresenti un evento raro –Statistica di Poisson –Quindi in un bin abbiamo

186 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy299 La misura diretta Errore relativo......ancora la dipendenza dalla radice! A spanne: aumentare di 10 volte la statistica riduce lerrore di un fattore 3

187 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy300 La misura diretta Un esempio pratico: Prendiamo un campione casuale di 1000 casi, da cui traiamo una certa conclusione. Che fluttuazioni ci possiamo aspettare?...e con 100 casi

188 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy301 La misura diretta...e se volessimo ottenere fluttuazioni del 3 per mille? Dovremmo salire a casi!

189 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy302 La misura diretta Insomma: attenti ai sondaggi ed ai risultati di medicamenti miracolosi provati su ben 127 casi...

190 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy303 La misura diretta E se non abbiamo a disposizione molte misure? Si stima lerrore. CONVENZIONI ACCETTATE 1.Per strumenti a indicatore: metà della divisione più piccola 2.Per strumenti digitali: metà dellultima cifra significativa

191 La misura di grandezze funzioni di altre

192 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy305 La misura di grandezze funzioni di altre Caso tipico Misuriamo il diametro di una sfera Determiniamo lerrore di misura Calcoliamo il volume della sfera Come facciamo a calcolare lerrore sul volume?

193 La propagazione degli errori

194 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy307 La propagazione degli errori Riprendiamo la formula Nellipotesi normale e di errori piccoli

195 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy308 La propagazione degli errori Errore relativo Più in generale

196 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy309 La propagazione degli errori E se le variabili sono in numero maggiore? Dovremo tener conto –Del teorema del differenziale totale –Delladditività quadratica delle varianze

197 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy310 La propagazione degli errori In totale... E lerrore relativo diviene

198 La derivata logaritmica

199 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy312 La derivata logaritmica Nel caso di una variabile...

200 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy313 La derivata logaritmica Una comoda scorciatoia –Usabile per errori piccoli –Utile se le funzioni sono di tipo algebrico –Facile da memorizzare … se uno non ha molte pretese …

201 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy314 La derivata logaritmica Ecco un esempio strambo

202 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy315 La derivata logaritmica Attenzione: Non è rispettata ladditività quadratica delle varianze Si ottiene una sovrastima dellerrore complessivo

203 La misura statistica

204 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy317 La misura statistica Un problema: come misuriamo lenergia (o il momento) di un fascio ad es. Di elettroni? –Non cè unenergia unica –Possiamo far passare gli elettroni in campo magnetico e poi misurare lintensità alle varie deflessioni –Possiamo usare campi magnetici ed elettrici incrociati –...

205 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy318 La misura statistica Cosa succede se gli elettroni sono pochi? Dobbiamo accumulare statistica –Misurare lenergia di uno alla volta –Accumulare i dati –Riportare le misure in un istogramma delle frequenze A questo punto abbiamo dei conteggi ad intervalli fissati »In conteggi sono interi (numeri esatti...)

206 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy319 La misura statistica Prenderemo –Come valori della x i centri degli intervalli –Come valori della y i conteggi –Come errori la loro radice quadrata –Statistica di Poisson Abbiamo lapprossimazione di una funzione

207 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy320 La misura statistica Da questo momento in poi le misure statistiche si trattano come le altre Attenzione a pensare che il numero dei casi sia esatto –Cosa comune in economia e medicina...

208 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy321 La misura statistica Aver osservato 100 casi vuol dire –Altroché valore esatto...

209 IL problema

210 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy323 IL problema Abbiamo dei dati sperimentali DOBBIAMO avere almeno un modello teorico Il(-i) modell0(-i) dipende(-ono) da alcuni parametri incogniti

211 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy324 IL problema Come facciamo a determinare le migliori stime dei parametri in questione?

212 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy325 IL problema Come facciamo a determinare gli errori sulle stime dei suddetti parametri?

213 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy326 IL problema Come facciamo a decidere se un modello è accettabile?

214 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy327 IL problema Come facciamo a decidere qualè il modello migliore?

215 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy328 IL problema Come facciamo ad escludere un modello?

216 La stima parametrica

217 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy330 La stima parametrica Un esempio: A vari si misurano dei valori –Come possiamo determinare la migliore stima dei coefficienti della retta che meglio approssima i dati? –Come possiamo determinare gli errori sui coefficienti della retta?

218 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy331 La stima parametrica Scegliamo ora per lapprossimazione una parabola, e ripetiamo il processo –Come possiamo decidere quale è il modello migliore (retta o parabola)? –È possibile determinare la probabilità che sia verificato il modello?

219 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy332 La stima parametrica Il primo problema si chiama stima parametrica Il secondo problema si chiama test di ipotesi

220 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy333 La stima parametrica Supponiamo ora di misurare distanze ed angoli fra tre vette di montagne. –Come possiamo determinare le migliori stime di distanze ed angoli in modo che il triangolo chiuda? –La somma degli angoli interni devessere 180° –Vera la geometria euclidea –Come possiamo decidere se vale o no la geometria euclidea?

221 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy334 La stima parametrica Il problema si chiama stima parametrica vincolata Il secondo problema è unestensione del test di ipotesi ed è il test di una teoria –Nessuna differenza concettuale, solo una maggioreimportanza

222 La Maximum Likelihood

223 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy336 La Maximum Likelihood Esempio della retta Se conosciamo la legge di distribuzione intorno a y, calcoliamo la probabilità di ottenere le y osservate attorno al valore previsto –Se sono indipendenti è solo il prodotto Otteniamo una funzione

224 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy337 La Maximum Likelihood Che di solito è complicatissima Esprime la probabilità di trovare i valori osservati nellipotesi del nostro modello Funzione delle osservazioni e dei parametri incogniti

225 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy338 La Maximum Likelihood Cercheremo i parametri in modo da renderla massima Siccome è un prodotto si semplifica prendendo il suo ln Le derivate di un prodotto......ed i prodotti divengono somme!

226 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy339 La Maximum Likelihood Di questa funzione si deve cercare il massimo –Se poi ci sono correlazioni, apriti Cielo...

227 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy340 Questo è lunico metodo statistico di stima parametrica

228 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy341 La Maximum Likelihood Il calcolo delle condizioni di massimo va fatto con metodi numerici In giro ci sono ottimi packages Un consiglio USATE ALMENO DUE PACKAGES DIVERSI!

229 Il minimo del 2

230 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy343 Il minimo del 2 Supponiamo che le osservazioni siano indipendenti e normali La probabilità diviene il prodotto di tante gaussiane

231 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy344 Il minimo del 2 Ed il logaritmo della funzione di likelihood diviene una somma......che devessere massima

232 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy345 Il minimo del 2...e quindi dovrà essere minimo

233 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy346 Il minimo del 2 La stima dei parametri va in cerca dei valori dei parametri che rendono minima la somma dei quadrati degli scarti ridotti rispetto ai valori previsti dal modello scelto

234 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy347 Il minimo del 2 Come si scrive una funzione di 2 ? Anzitutto occorre scrivere la funzione Questa è il nostro modello teorico Dipende –dalle variabili che osserviamo –da alcuni parametri che vogliamo determinare Poi occorre determinare gli errori sulle Problema non facile –Da esso dipende non tanto la bontà della risposta, quanto il valore del minimo

235 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy348 Il minimo del 2 Un caso eclatante –Il fit geometrico di tracce di camere a bolle in campo magnetico (anni 60 al CERN ed altrove) –Supposto un modello con archi di cerchio In realtà erano archi di spirale che si stringeva –Ne derivava una sovrastima degli errori sui parametri –Si traduceva in fit eccessivamente ottimistici

236 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy349 Il minimo del 2 In generale la previsione è funzione di certi parametri Quindi

237 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy350 Il minimo del 2 Per trovare il minimo si possono seguire due strade Derivare rispetto ai parametri Si ottiene un sistema di equazioni Sistema normale

238 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy351 Il minimo del 2 Se il sistema è lineare si risolve nei parametri Il problema è semplice ed è trattato in tutti i testi di statistica Peccato che tutto ciò accada raramente: –Regressione lineare o quadratica: retta, parabola,... –In genere con funzioni lineari nei parametri incogniti

239 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy352 Il minimo del 2 Un esempio: Dato un set di coppie nel piano qualè la parabola che le approssima meglio? –Problema lineare

240 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy353 Il minimo del 2

241 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy354 Il minimo del 2 Ed analoghe per gli altri due coefficienti della parabola

242 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy355 Il minimo del 2 E se volessimo un cerchio? Problema comune: particelle in campi magnetici disegnano cerchi, e non parabole... Siamo nei guai: Dobbiamo determinare coordinate del centro e raggio Di nuovo tre parametri Solo che...

243 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy356 Il minimo del 2

244 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy357 Il minimo del 2...ed ora...

245 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy358 Il minimo del 2 Anche ora potete calcolare le derivate... Auguri......ma come si risolve poi il sistema normale NON lo trovate sui testi di statistica...

246 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy359 Il minimo del 2 Se il sistema non è lineare si può provare a linearizzarlo

247 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy360 Il minimo del 2 Quindi Si calcolano le correzioni e si pone

248 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy361 Il minimo del 2 –Non si tratta di un problema facile –Le derivate possono diventare facilmente formalmente molto complesse –Si tratta di programmi non semplici da scrivere e da gestire –Occorre scrivere dei programmi diversi per ogni problema che si affronta

249 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy362 Il minimo del 2 Molti problemi pratici: –Abbiamo dei ragionevoli valori di prima approssimazione? –Il metodo converge ? –Dopo quante iterazioni? –Con quale precisione? –Quando lo fermiamo? –Cosa facciamo se diverge? »Se le correzioni aumentano invece di diminuire

250 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy363 Il minimo del 2 Ultimo sistema Minimizzare direttamente la funzione Packages appositi MINFUN MINUIT MATHEMATICA MatLab MathCad

251 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy364 Il minimo del 2 Strategie tipiche (MINUIT) –Si parte su una catena di montagne –Si esplorano gli incrementi –Derivate direzionali –Si sceglie quello più negativo –Gradiente –Si segue la direzione del gradiente –Ad un certo punto lincremento diviene positivo

252 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy365 Il minimo del 2 Si esplora intorno –Se è positivo dappertutto si è in fondo ad uno stagno –Se no si riprende Come si fa a sapere che lo stagno è il più profondo di tutti? In due variabili si può visualizzare, ma in più di due? Problemi, problemi...

253 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy366 Il minimo del 2 Attenzione: Se trovate un minimo, chi vi dice che sia quello vero? –Siete arrivati davvero nella valle più profonda di tutte? –Potete arrangiarvi se siete in 2 variabili con la grafica –Se no...

254 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy367 Il minimo del 2 NESSUNA SOLUZIONE AL PROBLEMA DEI MINIMI LOCALI SOLO PAZIENZA ED ATTENZIONE

255 Il test di ipotesi

256 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy369 Il test di ipotesi Torniamo al caso della retta –Una serie di punti, riportati con le loro barre derrore Ecco un esempio ed un possibile fit –Fatto ad occhio...

257 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy370

258 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy371 Il test di ipotesi Calcoliamo il Ci sono 6 punti indipendenti, 2 parametri 4 equazioni in più 4 gradi di libertà

259 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy372 Il test di ipotesi Ci aspettiamo quindi –Attenzione alla skewness di 2 ! Supponiamo di aver misurato

260 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy373 La probabilità di osservare un 2 uguale o maggiore di C è assunta come livello di confidenza dellipotesi i punti sperimentali sono stati presi da un campione di punti che in realtà stanno su una retta, coi coefficienti da noi calcolati

261 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy374 Il test di ipotesi...ed ecco la curva per 4 gradi di libertà –Ascissa: valore del 2 –Ordinata: probabilità di osservare un 2 maggiore o uguale a quello dellascissa

262 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy375 Il test di ipotesi

263 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy376 Il test di ipotesi Però potremmo anche fare lipotesi che i punti nel nostro modello dovrebbero stare su una parabola E stavolta avremmo 3 gradi di libertà

264 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy377 Il test di ipotesi Un problema

265 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy378 Il test di ipotesi Aumentando il numero dei parametri il CL migliora Se usiamo una curva di 5° grado questa passa per tutti e 6 i punti –Il 2 diviene 0! »CL=100 %! Vuol dire forse che questa ipotesi è la migliore?

266 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy379 Il test di ipotesi NO!

267 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy380 Il test di ipotesi Vuol dire solo che noi non conosciamo il nostro mestiere...

268 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy381 Il test di ipotesi Un dubbio: ma allora come facciamo a distinguere fra –una teoria che predice una retta –(Prof.Tizio) –Una teoria che predice una curva di 5° grado? –(Prof.Caio) Risposta:

269 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy382 Il test di ipotesi NON CON QUESTI DATI Ne occorrono di più e con errori più piccoli Quindi più misure, e più precise ed accurate

270 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy383 Il test di ipotesi Un panico: ma allora la scelta, anche nella Scienza Esatta, è in certo modo arbitraria? Risposta:

271 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy384 Il test di ipotesi SÌ Scienza e Tecnologia non hanno mai preteso di dare Verità Ideologiche, Religiose, Superstiziose o alla Vanna Marchi –È per questo che tanti ne hanno paura... Si procede stringendo il cerchio –Confrontandosi, e con molto buon senso

272 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy385 Il test di ipotesi Parametro importante, e molto usato il 2 diviso per il numero di gradi di libertà Plot: curve parametrizzate su diversi livelli di confidenza Le trovate nella letteratura

273 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy386 Il test di ipotesi Per grandi N (>10 è un buon valore)

274 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy387 Il test di ipotesi Quindi esplicitamente

275 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy388 Il test di ipotesi Le approssimazioni, tabulazioni, funzioni, tabelle, routines si trovano ormai dappertutto »Librerie IMSL (IBM) »EXCEL (MicroSoft) »... Importante è che sappiate come usarle e cosa vogliono dire...

276 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy389 Il test di ipotesi Approfondiamo largomento

277 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy390 Il test di ipotesi Un altro problema

278 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy391 Il test di ipotesi Ho dei dati e faccio il fit con una retta Il 2 è così così Adesso provo una parabola Il 2 migliora (diviene più piccolo) Poi provo una cubica...va ancora meglio DOVE MI FERMO?

279 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy392 Il test di ipotesi CERTO È CHE SE HO 10 PUNTI UNA CURVA DI IX GRADO RENDE IL 2 PROPRIO 0...

280 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy393 Il test di ipotesi PROCEDURA COMUNEMENTE ACCETTATA Si fa un grafico con –In ascissa il numero di gradi di libertà del fit –In ordinata il valore del corrispondente 2 Ad un certo punto si nota un brusco calo –Uno scalino

281 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy394 Il test di ipotesi Si tiene per buono il fit allo scalino –Poi aumentando i parametri il 2 continua a calare lentamente –Si considera questo calo poco significativo

282 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy395 Il test di ipotesi Tipico il caso per i polinomi –Scarso livello di confidenza per una retta –Un po meglio con una parabola –Buono con una cubica –Meglio con una quartica Il risultato è che questi dati danno per buona lipotesi della cubica

283 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy396 Il test di ipotesi Un panico

284 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy397 Il test di ipotesi E se il 2 cala, ma non cè scalino? Risposta: niente da fare –O meglio: il tipo di curva da noi scelta non funziona –Esempio tipico: dati su un esponenziale, fittati con polinomi

285 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy398 Il test di ipotesi Anche questo è un risultato Il modello teorico proposto non va, Ed occorre cercarne un altro »Naturalmente bisogna essere ben sicuri dei dati sperimentali e degli errori ad essi associati »...

286 I vincoli sui parametri

287 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy400 I vincoli sui parametri Ci possono essere delle condizioni extra sui parametri

288 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy401 I vincoli sui parametri Esempio (un po banale...): –Misuriamo tre angoli –Ci chiediamo la migliore stima con la condizione che la somma dei valori finali dia 180°

289 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy402 I vincoli sui parametri Ci sono varie strade

290 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy403 I vincoli sui parametri Una è quella di ridursi a soli parametri indipendenti Può non essere facile esplicitare un parametro »E se sono parecchi, con equazioni non lineari...

291 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy404 I vincoli sui parametri Provare per credere Passate da Facile in linea di principio, ma nei casi pratici basta un radicale –Di solito questa strada non è quasi mai usata

292 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy405 I vincoli sui parametri Laltra strada è quella dei moltiplicatori di Lagrange Si minimizza rispetto sia alle sia alle

293 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy406 I vincoli sui parametri Alle derivate prime si ottengono delle equazioni Automaticamente soddisfatte

294 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy407 I vincoli sui parametri Il problema si riduce a minimizzare una funzione più complessa, con più parametri Di questi i moltiplicatori non entrano nelle analisi successive Problema sempre serio: evitare i minimi locali La cosa peggiora allaumentare del numero di dimensioni...


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