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A. Stefanel - Introduzione alla dinamica dei sistemi 1 Dalla dinamica del punto materiale alla dinamica dei sistemi.

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Presentazione sul tema: "A. Stefanel - Introduzione alla dinamica dei sistemi 1 Dalla dinamica del punto materiale alla dinamica dei sistemi."— Transcript della presentazione:

1 A. Stefanel - Introduzione alla dinamica dei sistemi 1 Dalla dinamica del punto materiale alla dinamica dei sistemi

2 A. Stefanel - Introduzione alla dinamica dei sistemi 2 Loggetto sul piano inclinato Lequilibrio del punto materiale FPFP Il piano deve agire sul sistema con una forza F p : - uguale in modulo al peso, - diretta verticalmente, - verso lalto P =mg Il sistema è fermo La risultante delle forze deve essere nulla Il sistema interagisce con: -la Terra P = mg -il piano inclinato F p

3 A. Stefanel - Introduzione alla dinamica dei sistemi 3 Loggetto sul piano inclinato Lequilibrio del punto materiale x y O R = F p + P =0 R x = F p x + P x =0 R y = F p y + P y =0 F p x = - P x F p y = - P y Il corpo è fermo La risultante delle forze deve essere nulla P x = mg sen P y = - mg cos F p x = - F p y P x = mg sen P y = - mg cos F p x = - P x F p y = - P y mg sen = mg cos -P x = P y = tg Misuro al distacco misuro FpyFpy FpxFpx PxPx PyPy

4 A. Stefanel - Introduzione alla dinamica dei sistemi 4 Loggetto sul piano inclinato La dinamica del punto materiale Il corpo è soggetto a un sistema di forze non equilibrate. FPFP P =mg Il vettore risultante delle forze, se il piano non viene sfondato, deve essere parallelo al piano inclinato. Si aumenta linclinazione del piano R = P +F p Il corpo, non più soggetto a un sistema di forze in equilibrio, scende lungo il piano inclinato.

5 A. Stefanel - Introduzione alla dinamica dei sistemi 5 Loggetto sul piano inclinato La dinamica del punto materiale FPFP P =mg FpxFpx PyPy FpyFpy PxPx x y O R = F p + P R x = P x + F p x R y = P y + F p y =0 F p y = - P y F p x =- d mg cos P x = mg sen R x = mg sen - d mg cos Equilibrio lungo la direzione y (il piano non si sfonda) Componente della forza peso lungo il piano Forza dattrito piano oggetto

6 A. Stefanel - Introduzione alla dinamica dei sistemi 6 Loggetto sul piano inclinato La dinamica del punto materiale FpxFpx PyPy FpyFpy PxPx x y O Secondo principio della dinamica: F = m a R = m a R x = F p x + P x R y = F p y + P y =0 Moto lungo x: uniformemente accelerato (a x < g sen ) Moto lungo y: sistema fermo R x = mg sen - d mg cos R y =0 a x = R x /m = g sen - d g cos a y = R y /m=0

7 A. Stefanel - Introduzione alla dinamica dei sistemi 7 Es.: Si applica una opportuna forza parallela al piano (con una funicella, con una molla…), FPFP P =mg si abbia: R=0 Come si può ripristinare lequilibrio? Lequilibrio si ripristina se: F = - ( F p + P) F R = F p + P + F in modo che per il vettore risultante: P +F p

8 A. Stefanel - Introduzione alla dinamica dei sistemi 8 Affinché il sistema sia in equilibrio, è necessario e sufficiente che il vettore risultante delle forze agenti sul sistema sia nullo: R = 0 Se il vettore risultante delle forze agenti sul sistema non è nullo, dal secondo principio della dinamica si può ricavare ad ogni istante laccelerazione del sistema, la sua velocità, la sua posizione (la sua traiettoria) : a = R/m Il corpo è vincolato in modo che o trasla o traslerebbe se venissero meno i vincoli.

9 A. Stefanel - Introduzione alla dinamica dei sistemi 9 O x y z riri PiPi Fext i O r1r1 Fext 1 P1P1 P2P2 Fext 2 Fext n rnrn PnPn Fext = Fext ij Sistema di punti materiali sistema esteso. Risultante delle forze esterne al sistema

10 A. Stefanel - Introduzione alla dinamica dei sistemi 10 O x y z riri PiPi Fi ii O r1r1 Fi i1 P1P1 P2P2 rnrn PnPn Fint = Fint jk =0 Per il terzo principio della dinamica R = Fext = Fext ij Risultante delle forze interne al sistema

11 A. Stefanel - Introduzione alla dinamica dei sistemi 11 O x y z riri PiPi Fext i O r1r1 Fext 1 P1P1 P2P2 Fext 2 Fext n rnrn PnPn R = Fext = Fext ij Dalla seconda legge della dinamica R = Fext = Fext ij = m a ij = m = v m v t Q = m v Quantità di moto del sistema Se R = 0 (Fext =0, sistema isolato o soggetto a un sistema di forze esterne con vettore risultante nullo) Q = m v= cost Il sistema trasla complessivamente con quantità di moto costante.

12 A. Stefanel - Introduzione alla dinamica dei sistemi 12 O x y z riri PiPi Fext i O r1r1 Fext 1 P1P1 P2P2 Fext 2 Fext n rnrn PnPn R = Fext = Fext ij R = Fext= = t Q m v Prima equazione cardinale della dinamica.

13 A. Stefanel - Introduzione alla dinamica dei sistemi 13 Il disco sul bordo del tavolo Un disco appoggiato sul bordo del tavolo come nel disegno accanto non sta fermo E neppure trasla semplicemente

14 A. Stefanel - Introduzione alla dinamica dei sistemi 14 Il disco sul bordo del tavolo Un disco appoggiato sul bordo del tavolo come nel disegno accanto non sta fermo… ….e neppure trasla semplicemente Si mette in moto cominciando a ruotare intorno al bordo del tavolo e quindi compie un moto rototraslatorio

15 A. Stefanel - Introduzione alla dinamica dei sistemi 15 Il disco sul bordo del tavolo Come è possibile impedire che cada? Es.: si trattiene il bordo del disco con uno spago, come nel disegno Affinché il disco sia in equilibrio, è sufficiente richiedere: R=0? NO. Anche se il disco fosse incardinato sul bordo, nella situazione in cui si trova qualora non ci fosse il filo, comincerebbe a ruotare, in modo che la parte sporgente si porti più in basso possibile.

16 A. Stefanel - Introduzione alla dinamica dei sistemi 16 Il disco non omogeneo sul tavolo Ruotato di un certo angolo e quindi lasciato libero

17 A. Stefanel - Introduzione alla dinamica dei sistemi 17 Il disco non omogeneo sul tavolo comincia ad oscillare Ruotato di un certo angolo e quindi lasciato libero

18 A. Stefanel - Introduzione alla dinamica dei sistemi 18 Il disco non omogeneo sul tavolo comincia ad oscillare. Ruotato di un certo angolo e quindi lasciato libero Loscillazione avviene intorno alla posizione in cui la parte che ha densità maggiore si trova nella posizione più in basso possibile.

19 A. Stefanel - Introduzione alla dinamica dei sistemi 19 Il disco non omogeneo sul tavolo comincia ad oscillare. Ruotato di un certo angolo e quindi lasciato libero Loscillazione avviene intorno alla posizione in cui la parte che ha densità maggiore si trova in basso. Criterio: Il corpo sta in equilibrio nella posizione in cui il baricentro del corpo si porta nella posizione di minima altezza, compatibilmente con i vincoli che agiscono sul sistema. Spostato da quella posizione comincia ad oscillare intorno ad essa

20 A. Stefanel - Introduzione alla dinamica dei sistemi 20 Determinazione sperimentale del baricentro di un corpo G

21 A. Stefanel - Introduzione alla dinamica dei sistemi 21 Determinazione sperimentale del baricentro di un corpo G G Il corpo sospeso per il baricentro sta in equilibrio indifferente (comunque lo si disponga resta fermo – si trova in equilibrio)

22 A. Stefanel - Introduzione alla dinamica dei sistemi 22 La bilancia a bracci uguali Si appende un pesetto sul braccio di destra. Il giogo della bilancia è imperniato in un punto posto sopra al baricentro. Se si sposta dalla posizione orizzontale comincia ad oscillare intorno alla posizione di equilibrio (Il baricentro sotto al punto di sospensione)

23 A. Stefanel - Introduzione alla dinamica dei sistemi 23 La bilancia si sposta dalla iniziale posizione di equilibrio con il giogo in posizione orizzontale in modo che il baricentro del sistema gioco-pesetto si porti sotto allasse di sospensione La bilancia a bracci uguali Si appende un pesetto sul braccio di destra. Si può riportare la bilancia in equilibrio nella posizione iniziale appendendo un pesetto uguale al primo dallaltra parte rispetto allasse di sospensione a uguale distanza

24 A. Stefanel - Introduzione alla dinamica dei sistemi 24 La bilancia si sposta dalla iniziale posizione di equilibrio con il giogo in posizione orizzontale in modo che il baricentro del sistema gioco-pesetto si porti sotto allasse di sospensione La bilancia a bracci uguali Si appende un pesetto sul braccio di destra. Si può riportare la bilancia in equilibrio nella posizione iniziale appendendo sul braccio sinistro del giogo un pesetto uguale a quello appeso sul braccio destro a uguale distanza dallasse di sospensione.

25 A. Stefanel - Introduzione alla dinamica dei sistemi 25 La bilancia a bracci uguali Scaricata la bilancia, si appendono due pesetti sul braccio di destra. Si vuole ripristinare la situazione iniziale di equilibrio utilizzando solo un altro pesetto.

26 A. Stefanel - Introduzione alla dinamica dei sistemi 26 La bilancia a bracci uguali Scaricata la bilancia, si appendono due pesetti sul braccio di destra. Si vuole ripristinare la situazione iniziale di equilibrio utilizzando solo un altro pesetto. Si deve appendere il pesetto sul braccio di sinistra a distanza doppia dallasse di sospensione rispetto a quella dei due pesetti posti sul braccio di destra. bDbD bSbS b s = 2 b d b s = (P D /P S ) b d b s P S = b d P D M S = M D I momenti delle forze hanno lo stesso modulo

27 A. Stefanel - Introduzione alla dinamica dei sistemi 27 Il momento di una forza rispetto a un punto O x y z r P F M = r Λ F Vettore con: - modulo M = r F sen F r - direzione piano per r e F. - verso regola della mano destra o della vite/cavatappi M

28 A. Stefanel - Introduzione alla dinamica dei sistemi 28 Il momento di un sistema di forze rispetto a un punto O x y z riri PiPi FiFi M = r i Λ F i M O r1r1 F1F1 P1P1 P2P2 F2F2 FnFn rnrn PnPn

29 A. Stefanel - Introduzione alla dinamica dei sistemi 29 Il momento di un sistema di forze rispetto a asse O riri PiPi FiFi M ·n= ( r i Λ F i ) ·n = = b i F i r1r1 F1F1 P1P1 P2P2 F2F2 FnFn rnrn PnPn n

30 A. Stefanel - Introduzione alla dinamica dei sistemi 30 M = i r i Λ F i F = m a F i = m i a i M = i [r i Λ (m i a i )] = i [r i Λ (m i )] v i t = = (r i Λ (m i v i )] [r i (t+ t) Λ (m i v i (t+ t) ] - [r i (t) Λ (m i v i (t) ] t t = [r i (t+ t) Λ (m i v i (t+ t) ]- [r i (t+ t) Λ (m i v i (t) ] + [r i (t+ t) Λ (m i v i (t) ]- [r i (t) Λ (m i v i (t) ] t = = t r i (t+ t) Λ [m i v i (t+ t )- m i v i (t) ] + [r i (t+ t)- r i (t)] Λ (m i v i (t) ) = r i (t+ t) Λ Λ (m i v i (t) ) = t t [m i v i (t+ t )- m i v i (t) ] [r i (t+ t)- r i (t)] La dinamica dei corpi in movimento = r i (t+ t) Λ Λ (m i v i (t)) r i (t) Λ v i (t) Λ (m i v i (t)) t m i v i r i m i v i t

31 A. Stefanel - Introduzione alla dinamica dei sistemi 31 M = i r i Λ F i F = m a F i = m i a i M = i [r i Λ (m i a i )] = i [r i Λ (m i )] v i t = r i Λ (r i Λ (m i v i )] m i v i t t La dinamica dei corpi in movimento M = i [r i Λ (m i a i )] = i [ ] = t (r i Λ (m i v i )] [ (r i Λ (m i v i )] t M = L t L = (r i Λ (m i v i ) M = i r i Λ F i = ( j r j Λ F j ) ext Dalla terza legge della dinamica

32 A. Stefanel - Introduzione alla dinamica dei sistemi 32 La seconda equazione cardinale della dinamica M ext = ---- L t Se M ext = 0 - sistema isolato - forze centrali - forze costanti Conservazione di L Nei corpi rigidi imperniati su un asse L = I M ext =I ---- t


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