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Prezzi Forward e Prezzi Futures Capitolo 3 Opzioni, Futures e altri Derivati, J. Hull 3.1 Formule Conversione Tassi Interesse - R c un tasso d’interesse.

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2 Prezzi Forward e Prezzi Futures Capitolo 3

3 Opzioni, Futures e altri Derivati, J. Hull 3.1 Formule Conversione Tassi Interesse - R c un tasso d’interesse composto continuamente - R m il tasso d’interesse equivalente composto m volte l’anno Le formule di conversione sono:

4 Opzioni, Futures e altri Derivati, J. Hull 3.2 Vendita allo Scoperto (short selling)  La vendita allo scoperto consiste nel vendere titoli che non si posseggono  I titoli vengono presi in prestito attraverso un broker e vengono venduti nel modo consueto  Chi vende allo scoperto dovrà prima o poi ricomprare i titoli per restituirli al broker da cui li ha presi in prestito  Deve pagare i dividendi e altri eventuali proventi al legittimo proprietario dei titoli

5 Opzioni, Futures e altri Derivati, J. Hull 3.3 Tasso di Riporto (repo rate) I contratti di riporto (repos o repurchase agreements) sono accordi con i quali un’istituzione finanziaria vende titoli spot ad un’altra istituzione finanziaria e li riacquista a termine ad un prezzo che in genere è lievemente più alto La differenza tra il prezzo di riacquisto a termine e il prezzo di vendita spot è l’interesse percepito dalla controparte (tasso di riporto)

6 Opzioni, Futures e altri Derivati, J. Hull 3.4 Definizioni F : prezzo forward f : valore del contratto forward K : prezzo di consegna del contratto forward Prezzo forward osservato corrisponde al prezzo di consegna che rende nullo il valore del contratto Alla stipula contratto  F = K e f = 0 Col passare del tempo sia f che F cambiano

7 Opzioni, Futures e altri Derivati, J. Hull 3.5 Contratti Forward su Titoli che NON Offrono Redditi Relazione tra prezzo forward F e prezzo spot S affinché non vi sia arbitraggio F  S ·e r ·  T  t  dove r è il tasso di interesse privo di rischio a  T  t  anni composto continuamente

8 Opzioni, Futures e altri Derivati, J. Hull 3.6 Contro-esempio F > S · e r ·  T  t  Strategia cash and carry  Prendere a prestito S per il periodo T-t al tasso r  Acquistare spot l’attività sottostante  Assumere posizione corta sul forward

9 Opzioni, Futures e altri Derivati, J. Hull 3.7 Contro-esempio F < S · e r ·  T  t  Strategia reverse cash and carry  Assumere posizione lunga sul forward  Vendita allo scoperto dell’attività sottostante  Ricavato investito per il periodo T-t al tasso r

10 Opzioni, Futures e altri Derivati, J. Hull 3.8 Dimostrazione formale Portafoglio A  Forward lungo  f  Deposito bancario  K · exp { - r · (T - t) } Portafoglio B  Titolo senza reddito  S Al tempo T entrambi i portafogli saranno composti da una unità del titolo sottostante

11 Opzioni, Futures e altri Derivati, J. Hull 3.9 Condizione di non-arbitraggio f + K · exp { - r · (T - t) } = S Poiché in t, F = K e f = 0, allora la condizione di non-arbitraggio equivale a: F  S ·e r ·  T  t  

12 Opzioni, Futures e altri Derivati, J. Hull 3.10 Contratti Forward su Titoli che Offrono Redditi Noti Relazione tra prezzo forward F e prezzo spot S affinché non vi sia arbitraggio F  (S - I) ·e r ·  T  t  dove I è il valore attuale dei redditi che verranno distribuiti in T (già noti in t)

13 Opzioni, Futures e altri Derivati, J. Hull 3.11 Dimostrazione formale Portafoglio A  Forward lungo  f  Deposito bancario  K · exp { - r · (T - t) } Portafoglio B  Titolo con reddito noto  S  Prestito bancario  - I Al tempo T entrambi i portafogli saranno composti da una unità del titolo sottostante

14 Opzioni, Futures e altri Derivati, J. Hull 3.12 Condizione di non-arbitraggio f + K · exp { - r · (T - t) } = S - I Poiché in t, F = K e f = 0, allora la condizione di non-arbitraggio equivale a: F  (S - I) ·e r ·  T  t  

15 Opzioni, Futures e altri Derivati, J. Hull 3.13 Contratti Forward su Titoli che Offrono un Dividend Yield Noto Relazione tra prezzo forward F e prezzo spot S affinché non vi sia arbitraggio F  S ·e (r - q) ·  T  t  dove q è il dividend yield (si ipotizza che vi sia un flusso di dividendi continuo tra t e T e che tali dividendi vengano distribuiti al tasso annuale q)

16 Opzioni, Futures e altri Derivati, J. Hull 3.14 Dimostrazione formale Portafoglio A  Forward lungo  f  Deposito bancario  K · exp { - r · (T - t) } Portafoglio B  Titolo con dividend yield noto  exp { - q · (T - t) } unità del titolo, con reddito reinvestito nel titolo stesso Al tempo T entrambi i portafogli saranno composti da una unità del titolo sottostante

17 Opzioni, Futures e altri Derivati, J. Hull 3.15 Condizione di non-arbitraggio f + K · exp { - r · (T - t)} = S · exp { - q · (T - t)} Poiché in t, F = K e f = 0, allora la condizione di non-arbitraggio equivale a: F  S ·e (r - q) ·  T  t  

18 Opzioni, Futures e altri Derivati, J. Hull 3.16 Valore di un Contratto Forward Contratto forward ha valore nullo al momento della stipula. Può avere valore positivo o negativo successivamente, durante la vita del contratto.  Valore al tempo t di un contratto forward lungo f in funzione del prezzo di consegna K concordato alla stipula (tempo 0) e del prezzo forward corrente F. f   F  K  e  r ·  T  t 

19 Opzioni, Futures e altri Derivati, J. Hull 3.17  Si considerino i portafogli A e B nel caso di titolo privo di reddito. Si ipotizzi che tali portafogli siano stati formati al tempo 0 e che il contratto forward allora stipulato scada al tempo T.  Ad una data intermedia t, 0 < t < T, la condizione di non-arbitraggio imporrà che valga la relazione: f + K · exp { - r · (T - t) } = S  Per un contratto forward stipulato al tempo t con scadenza al tempo T, per la condizione di non- arbitraggio vista in precedenza, si ha: S  F  e  r ·  T  t   Ne consegue il risultato

20 Opzioni, Futures e altri Derivati, J. Hull 3.18 Futures su Indici Azionari Gli indici azionari possono essere considerati alla stregua di titoli che offrono dividend yield continuo La relazione tra prezzo futures e prezzo spot è: F  S ·e (r - q) ·  T  t  dove q rappresenta il dividend yield del portafoglio che è alla base dell’indice Esercizio. Si verifichi tale relazione utilizzando dati su MIB30, FIB30 e tasso risk-free, con differenti dividend yield (per es., q = 3%)

21 Opzioni, Futures e altri Derivati, J. Hull 3.19 Futures su Valute (Currency Futures) Valute estere sono simili a titoli che offrono un dividend yield continuo, dove questo è dato dal tasso d’interesse estero privo di rischio Ne segue che: F  S ·e (r - y) ·  T  t  dove y è il tasso d’interesse estero privo di rischio Esercizio. Si verifichi tale relazione utilizzando dati sul tasso di cambio dollaro/yen e sui tassi risk-free di Stati Uniti e Giappone

22 Opzioni, Futures e altri Derivati, J. Hull 3.20 Futures su Merci (Commodity Futures) Vale la relazione F  (S  U  e r ·  T  t  dove U è il valore attuale dei costi di immagazzinamento dell’attività sottostante In alternativa, F  S  e (r + u) ·  T  t  dove u è il costo di immagazzinamento per unità di tempo espresso in proporzione al valore dell’attività sottostante

23 Opzioni, Futures e altri Derivati, J. Hull 3.21 Prezzi Futures e Futuri Prezzi Spot Si supponga che il tasso di rendimento atteso dagli investitori su una certa attività sia k Si può investire al tempo t l’importo F · e  r  T  t  in titoli privi di rischio e simultaneamente assumere una posizione lunga su un contratto futures per scadenza T in modo da avere S T alla scadenza del contratto futures Pertanto: F · e  r  T  t   E  S T  e  k ·  T  t  da cui: F  E  S T  e  r  k  T  t 

24 Opzioni, Futures e altri Derivati, J. Hull 3.22  Se l’attività: non ha rischio sistematico, si ha k  r e F  E(S T  ha rischio sistematico positivo, si ha (normal backwardation) k  r e F  E(S T  ha rischio sistematico negativo, si ha (contango) k  r e F  E(S T 


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