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1 Correlazione Il coefficiente di correlazione r è un indice campionario del grado e del tipo di associazione lineare. Il segno di tale coefficiente indica.

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1 1 Correlazione Il coefficiente di correlazione r è un indice campionario del grado e del tipo di associazione lineare. Il segno di tale coefficiente indica il tipo (positivo se la variazione è concorde, negativo quando, allaumentare di una variabile laltra decresce), il valore assoluto ne specifica invece il grado. Il valore della correlazione varia tra -1 e +1. Il coefficiente r non è in grado di rilevare uneventuale correlazione di tipo non lineare.

2 2 Esempi di r r = x y 1.000r = x y r = x y r = x y r = x y r = x y Perfetta correlazione positiva Debole correlazione positiva

3 3 Esempi di r Associazione lineare non significativa Vari gradi di correlazione negativa r = x y r = x y 0.026r = x y r = x y r = x y r = x y

4 4 ESERCIZIO 52 La concentrazione plasmatica di sodio (mmol/L) e la pressione arteriosa sistolica (mmHg) sono state misurate contemporaneamente in un campione di 12 pazienti. I dati sono riportati nella seguente tabella. Rappresentare i dati mediante un diagramma di dispersione e calcolare il coefficiente di correlazione.

5 5 La correlazione lineare suggerita dal diagramma a dispersione è molto forte. Allaumentare della concentrazione di sodio aumenta in modo lineare la pressione sanguigna.

6 6 ESERCIZIO 53 Si consideri la distribuzione chi-quadrato con due gradi di libertà. a) Quale proporzione dell'area sotto la curva giace a destra di 9.21? b) Quale valore di delimita il 10% superiore della distribuzione? a) b)

7 7 Quando le variabili sono qualitative e i dati da confrontare indipendenti si utilizza il Test 2 Per l'applicazione di questo test è opportuno costruire una tavola di contingenza che contenga il numero di casi osservati (O) in ogni combinazione delle modalità delle due variabili analizzate, e di casi attesi (A), cioè il numero di casi che ci si potrebbe aspettare se non fosse presente la differenza studiata. Test chi quadrato

8 8 Esempio Si studia leffetto di un farmaco antiinfiammatorio nella cura dellartrite reumatoide. A 62 pazienti viene somministrato il farmaco e a 11 un placebo. La frequenza di rigidità articolare rilevata nei due gruppi è riportata nella tabella sottostante: farmacoplaceboTotale Rigidità14519 Non rigidità48654 Totale621173

9 9 Il p-value non è significativo e non supporta quindi lefficacia di tale farmaco. Risultato (Excel) Calcolo attesi: la probabilità di rigidità articolare in tutto il campione indipendentemente dal trattamento è 19 su 73. Se non ci fosse effetto del trattamento mi aspetterei la stessa proporzione di casi di rigidità nei due gruppi, cioè: (19/73)*62=16,14 e (19/73)*11=2.86

10 10 ESERCIZIO 54 Un gruppo di cardiologi conduce uno studio per accertare l'associazione che esiste tra metodo contraccettivo e ipertensione. Di 40 donne che usano contraccettivi orali e 60 donne che usano altri metodi, rispettivamente 8 e 15 sono ipertese. Testare l'ipotesi che tra il tipo di contraccettivo e ipertensione esista associazione ad un livello di significatività dell'1%. Ipertese81523 Non ipertese Tot OraliAltroTot frequenze osservate Ipertese Non ipertese Tot OraliAltroTot frequenze attese

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12 12 ESERCIZIO 55 Saggiate ad un livello di significatività del 5% se il sesso e l'età sono significativamente associati anni anni 65 anni maschi femmine maschi femmine Tot (39.7) 52 (48.3) (102.1) 117 (123.9) (129.2) 160 (156.8) 286 Tot Tabella osservati e attesi

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14 14 ESERCIZIO 56 Un farmaco per il trattamento del raffreddore è stato somministrato a metà di un gruppo di malati selezionati casualmente. All'altra metà dei pazienti con raffreddore è stato somministrato un placebo. I risultati ottenuti sono riportati nella seguente tabella: Verificare se l'opinione del paziente è indipendente dal trattamento ricevuto ammettendo un errore del I° tipo del 5%. Farmaco NocivoNessun effetto Utile Placebo Farmaco16 (18)30 (36)104 (96)150 Placebo20(18)42 (36)88 (96)150 Tot NocivoNessun effettoUtileTot

15 15 =0.05 Poichè (3.778<5.99) non ci sono motivi per affermare che vi sia una relazione tra opinione dei pazienti e tipo di trattamento. Il test non è significativo ad un livello del 5%.

16 16 ESERCIZIO 57 La distribuzione percentuale, in accordo allo stato civile, della popolazione USA al di sopra dei 18 anni nel 1968 è la seguente: celibe/nubile=21.6, coniugato/a=62.9, vedovo/a=7.7, divorziato/a=7.8. Un campione casuale di 400 persone, di età superiore ai 18 anni (selezionato nel 1990) ha mostrato che 102 di queste sono celibi/nubili, 220 coniugate, 35 vedove e 43 divorziate. Saggiate, ad un livello di significatività del 5%, se in questo periodo è cambiata la distribuzione percentuale dello stato civile della popolazione USA di età superiore ai 18 anni. SingleCngVed.Div.Tot Osservati %Attese Attesi =0.05

17 17 Poichè (11.822>7.815) si può affermare che dal 1968 vi è stato un mutamento nella struttura dello stato civile in USA. ESERCIZIO 58 Una ditta ha 500 dipendenti. Di questi 300 sono uomini e 280 sono coniugati/e. Dei 300 uomini, 190 sono coniugati. Se un soggetto di questa ditta è selezionato a caso, qual è la probabilità che sia: a) una donna b) un uomo sapendo che è coniugato c) Si può ritenere che tra i dipendenti vi sia associazione tra sesso e stato civile ( =0.05). Uomini Donne Tot OSSERVATISingleCng.Tot

18 18 a) b) c) =0.05 Uomini Donne Tot ATTESISingleCng.Tot Poichè (16.37>3.84) ci sono motivi per affermare che vi sia una relazione tra sesso e stato civile tra i dipendenti della fabbrica considerata.

19 19 ESERCIZIO maschi sono classificati secondo l'età in anni compiuti e il numero dei fratelli. I risultati ottenuti sono riportati nella seguente tabella: a) con quale misura di dispersione è possibile confrontare la variabilità delle due variabili prese in considerazione, cioè letà ed il numero di fratelli (non fare i calcoli)? b) calcolare per la variabile età una opportuna misura di posizione e una di dispersione. c) calcolare per la variabile N° di fratelli una opportuna misura di posizione e una di dispersione. d) quale è la probabilità che un soggetto estratto a caso abbia uno o più di un fratello? e) gli eventi "essere in età prescolare" ed "avere un solo fratello" sono mutualmente esclusivi? Dimostrarlo con il calcolo delle probabilità. f) verificare se esiste unassociazione tra età e numero di fratelli.

20 20 a) Il coefficiente di variazione a) con quale misura di dispersione è possibile confrontare la variabilità delle due variabili prese in considerazione, cioè letà ed il numero di fratelli (non fare i calcoli)? b) b) calcolare per la variabile età una opportuna misura di posizione e una di dispersione. c) calcolare per la variabile N° di fratelli una opportuna misura di posizione e una di dispersione. c) Moda=0Range=2-0=2 d) quale è la probabilità che un soggetto estratto a caso abbia uno o più di un fratello? d)

21 21 e) P( età prescolare avere un solo fratello) = 9/500 0 non sono eventi mutualmente esclusivi neassociazio:H zaindipenden:H 1 0 =0.05 X Poichè ,6 2 X (1.62<12.59) non ci sono motivi per affermare che vi sia una relazione tra età numero di fratelli -


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