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Espressione dellincertezza di misura (UNI CEI 9) Lincertezza rappresenta in generale un dubbio. Il dubbio circa la validità del risultato di una misurazione.

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1 Espressione dellincertezza di misura (UNI CEI 9) Lincertezza rappresenta in generale un dubbio. Il dubbio circa la validità del risultato di una misurazione viene espresso mediante lincertezza di misura. Incertezza di misura Parametro, associato al risultato di una misurazione, che ne caratterizza la dispersione dei valori ragionevolmente attribuibili al misurando. Il parametro può essere uno scarto tipo o la semiampiezza di un intervallo avente un livello di fiducia stabilito. Lincertezza di misura, in generale, dipende da più componenti. Talune possono essere valutate dalla distribuzione statistica dei risultati di serie di misurazioni, altre sono valutate da distribuzioni di probabilità ipotizzate.

2 Il problema dellespressione dellincertezza venne posto nel 1977 dal Comitato Internazionale dei Pesi e delle Misure (CIPM). L Ufficio Internazionale dei Pesi e delle Misure (BIPM) produsse quindi nel 1980 la raccomandazione INC-1 intitolata Espressione delle incertezze sperimentali. Norma UNI CEI 9 Guida allespressione dellincertezza di misura (ISO Guide to the expression of uncertainty in measurement – 1995). 100_2008_E.pdf La norma stabilisce le regole generali per la valutazione e lespressione dellincertezza di misura. Espressione dellincertezza di misura (UNI CEI 9)

3 Il metodo ideale per la valutazione dellincertezza del risultato di una misurazione deve essere: 1.Universale: il metodo deve essere applicabile a tutti i tipi di misurazione e di dati in ingresso. 2.Internamente coerente: lincertezza deve essere direttamente derivabile dalle componenti che vi contribuiscono, indipendentemente dal modo in cui queste vengono raggruppate. 3.Trasferibile: lincertezza valutata per un risultato deve essere direttamente utilizzabile come componente nella valutazione dellincertezza di unaltra misurazione nella quale intervenga il primo risultato. Espressione dellincertezza di misura (UNI CEI 9)

4 1)Lincertezza del risultato di una misurazione consiste in genere in svariate componenti che possono essere raggruppate in due categorie a seconda del modo in cui se ne stima il valore numerico: A.quelle valutate per mezzo di metodi statistici; B.quelle valutate mediante altri metodi. ……. Incertezze di tipo A e di tipo B 2) Le componenti appartenenti alla categoria A sono caratterizzate dalle loro varianze stimate s i 2 …….. 3) Le componenti appartenenti alla categoria B devono essere caratterizzate da grandezze u j 2, interpretabili come approssimazioni delle varianze corrispondenti …….. Lincertezza deve essere espressa mediante lo scarto tipo 4) L incertezza composta deve essere caratterizzata mediante il valore numerico che si ottiene applicando il metodo abituale per la composizione delle varianze….. Definizione di incertezza composta 5) Qualora sia necessario, moltiplicare lincertezza composta per un fattore, così da ottenere unincertezza globale, il fattore moltiplicativo deve essere indicato. Definizione di incertezza estesa ? Espressione dellincertezza di misura (UNI CEI 9)

5 Argomento: Incertezza di misura Obiettivo: definizione e calcolo dellincertezza di misura Prerequisiti culturali: piano cartesiano, calcolo alle differenze; Ausili didattici allo svolgimento della lezione: SW per il tracciamento di grafici (Matlab?). Espressione dellincertezza di misura (UNI CEI 9)

6 Unincertezza tipo di categoria A è ottenuta da una densità di probabilità derivata da una distribuzione di frequenza osservata. var(x) ans = sqrt(var(x)) ans = La varianza stimata u 2 sarà in questo caso la varianza stimata statisticamente s 2, lo scarto tipo stimato u è dunque u=s. vx=0; >> for i=1:10000, vx=vx+(x(i)-mean(x))^2; end >> vx=vx/9999 vx = Espressione dellincertezza di misura (UNI CEI 9)

7 1) Dobbiamo introdurre il concetto di probabilità (usando esempi di chiara comprensione…….). 2) Passiamo ad introdurre listogramma (con Matlab) 3) Introduciamo la pdf attraverso lestensione del concetto di incremento finito per intuire il concetto di variazione infinitesima. 4) Ci è possibile a questo punto introdurre il concetto di probabilità come area. 5) Introduciamo il concetto di media sperimentale 6) Introduciamo il concetto di varianza sperimentale e di deviazione standard sperimentale Espressione dellincertezza di misura (UNI CEI 9)

8 Unincertezza tipo di categoria B è ottenuta da una densità di probabilità ipotizzata sulla base del grado di credenza del verificarsi di un evento (cfr i data sheet che abbiamo già mostrato. La varianza stimata u 2 sarà in questo caso calcolata in base alle informazioni disponibili, lo scarto tipo stimato u è u=. a -a 0.5/a E possibile arrivare a questo risultato attraverso un processo di somme finite! Espressione dellincertezza di misura (UNI CEI 9)

9 Valutazione dellincertezza tipo Modello della misurazione Un misurando Y viene in genere determinato mediante altre N grandezze X 1,X 2,…,X n, utilizzando una relazione funzionale f : Y=f (X 1,X 2,…,X n ) La funzione f potrebbe anche ridursi alla funzione identità essere talmente complicata da non essere esprimibile in forma analitica. I valori delle grandezze X 1,X 2,…,X n e le rispettive incertezze possono provenire da misurazioni dirette (cfr. Incertezza di categoria A ), o possono essere introdotte da fonti esterne (cfr. incertezze di categoria B ). Espressione dellincertezza di misura (UNI CEI 9)

10 E per la nostra classe? Modello della misurazione Esempio….. Un misurando Y viene in genere determinato mediante altre N grandezze X 1,X 2,…,X n, utilizzando una relazione funzionale f : Y=f (X 1,X 2,…,X n ) Espressione dellincertezza di misura (UNI CEI 9)

11 Valutazione dellincertezza tipo Valutazione di categoria A dellincertezza tipo Date n osservazioni X i,k della grandezza dingresso X i, la migliore stima del valore atteso è la media aritmetica o valore medio La varianza sperimentale delle osservazioni è: N.B.: Se si utilizza nel modello della misurazione il valore medio occorre utilizzare la stima della varianza di tale valore: Tale quantità e la sua radice quadrata positiva vengono spesso chiamati varianza di categoria A - u 2 (x i ) - e incertezza tipo di categoria A - u(x i ). Espressione dellincertezza di misura (UNI CEI 9)

12 E per la nostra classe? Valutazione di categoria A dellincertezza tipo Usiamo Matlab e vediamo che succede della media se aumentiamo la numerosità della popolazione….. Espressione dellincertezza di misura (UNI CEI 9) Due grafici dovrebbero bastarci (uno per la popolazione e uno per la media)….io userei una grandezza nota alla classe

13 Valutazione dellincertezza tipo Valutazione di categoria B dellincertezza tipo Per grandezza dingresso X i che non è stata stimata mediante osservazioni ripetute, la varianza stimata u 2 (x i ) e lincertezza tipo u(x i ) devono essere valutate per mezzo delle informazioni disponibili e ritenute attendibili: dati di misurazioni precedenti; esperienza o conoscenza generale del comportamento e delle proprietà dei materiali e strumenti dinteresse; specifiche tecniche del costruttore; dati forniti in certificati di taratura o altri; incertezze assegnate a valori di riferimento presi da manuali u 2 (x i ) e u(x i ), valutate in questo modo vengono spesso chiamate varianza di categoria B e incertezza tipo di categoria B. Espressione dellincertezza di misura (UNI CEI 9)

14 Valutazione dellincertezza tipo Un paio di osservazioni (e qualche esempio) Una stima di categoria B dellincertezza tipo può risultare più attendibile di una stima di categoria A della stessa incertezza. Ciò può accadere quando la stima di categoria A è basata su un numero troppo limitato di osservazioni indipendenti del misurando. E possibile imbattersi in dichiarazioni di incertezza che fanno riferimento a un fissato livello di fiducia. In tale caso lincertezza tipo può essere stimata soltanto se si suppone nota anche la funzione di distribuzione associata. ESEMPIO 1: Un resistore campione ha un valore di esistenza pari a 10, dove lincertezza dichiarata individua un intervallo di fiducia del 99 %. Supponendo che la distribuzione sia normale si può assumere le lincertezza tipo del resistore sia u(R s )=(129 /2,58=50 ESEMPIO 2: Abbiamo già visto che, nel caso di una distribuzione rettangolare simmetrica di semi-ampiezza a, la varianza vale u 2 (x i )=a 2 /3. Espressione dellincertezza di misura (UNI CEI 9)

15 Determinazione dellincertezza tipo composta L incertezza tipo composta rappresenta lo scarto tipo stimato associato con la stima del risultato della misurazione y ed è indicato con u c (y). La relazione che lega lincertezza tipo degli ingressi u(x i ) con lincertezza tipo delluscita u c (y) è data dalla legge di propagazione dellincertezza (da non confondere con la legge di propagazione degli errori!). Espressione dellincertezza di misura (UNI CEI 9)

16 Grandezze dingresso non correlate Due variabili casuali sono statisticamente indipendenti o non correlate se la distribuzione di probabilità congiunta è uguale al prodotto delle due distribuzioni marginali Lincertezza tipo composta è la radice quadrata positiva della varianza composta : Lincertezza tipo composta caratterizza la dispersione dei valori ragionevolmente attribuibili al misurando Y. Ciascuna u(x i ) è unincertezza tipo valutata come incertezza di categoria A o come incertezza di categoria B. Determinazione dellincertezza tipo composta Espressione dellincertezza di misura (UNI CEI 9)

17 Determinazione dellincertezza tipo composta Grandezze dingresso non correlate Infatti…. Sviluppando in serie di Taylor la funzione f(.) attorno ai valori attesi E(x i )= i delle x i, e trascurando i termini di ordine superiore, si ha: Il valore atteso dei quadrati degli scostamenti rispetto ai valori medi indicati sono proprio le varianze y 2 e i 2 ; u 2 c (y) u 2 (x i ) Il valore atteso E[ ]del prodotto misto è nullo per le ipotesi fatte. Espressione dellincertezza di misura (UNI CEI 9)

18 Determinazione dellincertezza tipo composta Grandezze dingresso non correlate La legge di propagazione dellincertezza può essere espressa come: I termini c i (pari alle derivate parziali della funzione f(.) rispetto alle variabili x i ) vengono detti coefficienti di sensibilità. Essi descrivono come la stima delluscita y varia al variare delle stime degli ingressi. I coefficienti c i possono essere calcolati anche sperimentalmente - senza ricorrere alla conoscenza della funzione f (.). Si varia una variabile x i di una quantità opportuna e si misura la variazione prodotta sulluscita y. Espressione dellincertezza di misura (UNI CEI 9)

19 Determinazione dellincertezza tipo composta Grandezze dingresso non correlate ESEMPIO: si vuole calcolare la potenza a radiofrequenza incidente su un resistore campione (metodo bolometrico ). Esistono resistenze in grado di permettere misure fino a frequenze dellordine di 70 GHz. Infatti, in assenza e in presenza dellirraggiamento la resistenza si porterà a due temperature diverse e quindi la potenza assorbita varierà in modo corrispondente. Espressione dellincertezza di misura (UNI CEI 9)

20 20 Determinazione dellincertezza tipo composta Grandezze dingresso non correlate La determinazione dellincertezza composta richiede la determinazione dei coefficienti c i : Espressione dellincertezza di misura (UNI CEI 9)

21 Determinazione dellincertezza tipo composta Grandezze dingresso non correlate Lincertezza composta del valore attribuito alla potenza sarà: Espressione dellincertezza di misura (UNI CEI 9)

22 Determinazione dellincertezza tipo composta Grandezze dingresso correlate Lincertezza tipo composta nel caso di grandezze correlate (o dipendenti) è ancora la radice quadrata positiva della varianza composta, questa tuttavia assume la forma: Infatti, in questo caso non è più lecito supporre che sia nullo il valore della covarianza tra le variabili x i e x j, ovvero il valore E[ ]. Espressione dellincertezza di misura (UNI CEI 9)

23 Determinazione dellincertezza tipo composta Grandezze dingresso correlate La covarianza associata alle variabili x i e x j è unespressione quantitativa della loro dipendenza mutua ed è definita come: La covarianza stimata u(X i,X j )=u(X j,X i ) si ottiene da n coppie indipendenti di osservazioni simultanee delle due variabili come: Espressione dellincertezza di misura (UNI CEI 9)

24 Determinazione dellincertezza tipo composta Grandezze dingresso correlate Si utilizza spesso il coefficiente di correlazione Esso è compreso nellintervallo [-1,1] ed è nullo se le variabili sono indipendenti. La legge di propagazione dellincertezza diventa allora: Nel caso specialissimo in cui tutti gli ingressi sono correlati con coefficiente di correlazione r(x i,x j )=±1 la legge di propagazione dellincertezza assume la forma: Espressione dellincertezza di misura (UNI CEI 9)

25 Determinazione dellincertezza tipo composta Grandezze dingresso correlate Anche per la covarianza è possibile avere una valutazione di categoria A o di categoria B. A) Se due variabili di ingresso X i e X j vengono stimate calcolando le medie, allora una stima di categoria A della covarianza delle medie è: B) Se si utilizzano le informazioni disponibili sulla variabilità correlata delle grandezze di ingresso X i e X j si ottiene usa stima di categoria B delle della covarianza delle due variabili. Espressione dellincertezza di misura (UNI CEI 9)

26 Parte I (introduzione) Determinazione dellincertezza estesa L incertezza tipo composta può essere utilizzata universalmente per esprimere l incertezza di misura ; in talune applicazioni commerciali, industriali e normative, e là dove sono coinvolte la sicurezza e la salute pubblica, è sovente necessario dare una valutazione quantitativa dellincertezza che definisca un intervallo intorno al risultato della misurazione che ci si aspetti comprendere una gran parte della distribuzione di valori che possono essere ragionevolmente attribuiti al misurando.

27 E per la nostra classe? Ci salva la norma! ……I coefficienti c i possono essere calcolati anche sperimentalmente - senza ricorrere alla conoscenza della funzione f (.). Si varia una variabile x i di una quantità opportuna e si misura la variazione prodotta sulluscita y. Espressione dellincertezza di misura (UNI CEI 9)

28 Determinazione dellincertezza estesa Se consideriamo una distribuzione gaussiana otteniamo che gli intervalli scelti sono legati ai livelli di confidenza secondo la figura riportata: Se, tuttavia consideriamo una distribuzione rettangolare il livello di confidenza associato allintervallo [( ),( )] è pari a Espressione dellincertezza di misura (UNI CEI 9)

29 Determinazione dellincertezza estesa La valutazione quantitativa supplementare dellincertezza che fornisce un tale intervallo è denominata incertezza estesa U. Lincertezza estesa U viene ottenuta moltiplicando lincertezza tipo campione per un fattore di copertura k Il valore del fattore di copertura dipende dalla porzione p della distribuzione di probabilità che si vuole includere (ovvero dalla probabilità p che il valore del misurando cada in tale intervallo). Il parametro p viene detto probabilità di copertura o livello di fiducia. In generale k è nel campo tra 2 e 3. Espressione dellincertezza di misura (UNI CEI 9)

30 Determinazione dellincertezza estesa Come determinare la relazione tra il livello di fiducia desiderato p e il fattore di copertura k? La norma descrive un metodo semplificato per la determinazione del fattore di copertura basato sulle seguenti osservazioni: la stima di y è ricavata da stime delle grandezze dingresso caratterizzate da distribuzioni ben individuate; le incertezze delle stime dei parametri dingresso contribuiscono equamente allincertezza composta delluscita; Lapprossimazione, implicita nella legge di propagazione dellincertezza, è adeguata; Lincertezza composta è piccola. Espressione dellincertezza di misura (UNI CEI 9)

31 Determinazione dellincertezza estesa In queste circostanze, grazie al Teorema del limite centrale, si può ritenere normale la distribuzione di probabilità che caratterizza il risultato della misurazione! In questo caso, frequente nella pratica, si può ritenere che k=2 fornisca un intervallo di fiducia approssimativamente del 95 per cento, k=3 fornisca un intervallo di fiducia approssimativamente del 99 per cento ; L Appendice G della Norma UNI CEI 9 fornisce una guida completa al trattamento dei casi ribelli. Espressione dellincertezza di misura (UNI CEI 9)


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