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INTEGRALE DEFINITO Curva γ di equazione y = f(x) continua nellinterv. a-b. C D.

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Presentazione sul tema: "INTEGRALE DEFINITO Curva γ di equazione y = f(x) continua nellinterv. a-b. C D."— Transcript della presentazione:

1 INTEGRALE DEFINITO Curva γ di equazione y = f(x) continua nellinterv. a-b. C D

2 Ci proponiamo di calcolare larea del trapezoide mistilineo ABCD. A tale scopo dividiamo lintervallo (a,b) in un certo numero n di parti eguali e, detta h = b-a lampiezza comune di ciascuna di queste parti, ……… n AB C D ab h

3 AB C D ab h …consideriamo la seguente somma: s n = m 1 h + m 2 h + m 3 h + …..m n h, dove m i indica il minimo della f(x) nelliesimo intervallo. m1m1 1° m2m2 2° m3m3 3° mnmn

4 AB C D ab h …la somma: s n = m 1 h + m 2 h + m 3 h + …..m n h, rappresenta la superficie approssimata per difetto del trapezoide ABCD m1m1 1° m2m2 2° m3m3 3° mnmn

5 AB C D ab h …mentre la somma:S n = M 1 h + M 2 h + M 3 h…+ M n h, dove M i rap = = presenta il massimo della funzione f(x) nelliesimo intervallo… M1M1 1° M2M2 2° M3M3 3°

6 AB C D ab h …rappresenta un approssimazione per eccesso dellarea dello stesso trapezoide. M1M1 1° M2M2 2° M3M3 3°

7 Se aumentiamo il numero n di parti eguali in cui dividiamo lintervallo (a,b) lampiezza h = b-a di ciascun intervallino diminuisce n AB C D ab h

8 Se adesso rifacciamo la somma s n = m 1 h + m 2 h + m 3 h + …..m n h otteniamo la superficie del trapezzoide per difetto ma con una appros = =simazione migliore della precedente AB C D ab h

9 .. Analogamente se calcoliamo la S n = M 1 h + M 2 h + M 3 h…+ M n h, otteniamo la superficie del trapezzoide per eccesso ma con una appros = =simazione migliore della precedente. Se esiste un numero S da definirsi come area del trapezzoide dovrà essere: s n < S < S n AB C D ab h

10 Al crescere di n, s n aumenta e S n diminuisce, ma per n + possiamo scrivere: cioè il valore limite che assume= lim s n = lim S n = S ranno le due superfici per n n n tendente allinfinito è la superf. del trapezzoide Un modo equivalente per rappresentare lultima relazione è: S = f(x) dx dove il simbolo (integrale) rappresenta la sommatoria nellintervallo (a,b) della funzione per incrementi infinitesimi (dx) della variabile indipendente (dx prende il posto di h quando n ). a b

11 Significato geometrico di integrale definito Equazione: y = x 2 y x xy Equazione integrata: y = 0 x 2 dx = = 1.x 3 5 = 3 = [ – ] = 3 3 = 125 = 41,6 3 Unità di superficie 5 0

12 Significato geometrico di integrale definito Equazione: y = x 2 y x xy Equazione integrata: y = 0 x 2 dx = = [1.x 3 ] 3 0 = 3 = [ – ] = 3 3 = 27 = 9 3 Unità di superficie 3

13 y x Equazione : y = 20 = 20 1 x x xy , ,3 72,8 82,5 92,2 102 …… equazione integrata: y = dx = x = 20 [lnx] 10 1 = 20 [ln10 –ln1] = 46 10

14 Limpiego del calcolo integrale, ove possibile, comporta un notevole risparmio di tempo e un ottimo grado di precisione.


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