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1 Analisi Fattoriale Lezione – 1 Definizione Introduzione allanalisi fattoriale Ogni comportamento (dinamica) non elementare è presumibilmente frutto dellintervento.

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1 1 Analisi Fattoriale Lezione – 1 Definizione Introduzione allanalisi fattoriale Ogni comportamento (dinamica) non elementare è presumibilmente frutto dellintervento di più fattori (struttura latente) che, ognuno con un suo specifico contributo, ne determinano qualche aspetto (Luccio, 1996) La STRUTTURA LATENTE Lanalisi fattoriale rappresenta un corpo di metodi statistici atto ad ottenere una maggiore comprensione delle complesse e ambigue relazioni tra grandi numeri di variabili misurate in modo impreciso. (Comrey and Lee, 1995)

2 2 Analisi Fattoriale Lezione – 1 DefinizioneScopi dellAnalisi Fattoriale Trovare costrutti teorici adeguati per spiegare le correlazioni osservate in un insieme di variabili. Trovare costrutti teorici adeguati per spiegare le correlazioni osservate in un insieme di variabili. Esaminare la validità di una teoria rispetto al numero ed alla natura dei costrutti fattoriali eventualmente osservati tra le variabili sotto indagine Esaminare la validità di una teoria rispetto al numero ed alla natura dei costrutti fattoriali eventualmente osservati tra le variabili sotto indagine

3 3 Analisi Fattoriale Lezione – 1 DefinizionePassi Fondamentali dellAnalisi Fattoriale Selezione delle variabili sotto indagine Selezione delle variabili sotto indagine Calcolo della matrice di correlazione tra le variabili Calcolo della matrice di correlazione tra le variabili Estrazione dei fattori (non ruotati) Estrazione dei fattori (non ruotati) Rotazione dei Fattori Rotazione dei Fattori Interpretazione della matrice dei fattori ruotati. Interpretazione della matrice dei fattori ruotati.

4 4 Analisi Fattoriale Lezione – 1 DefinizioneEsempio di Matrice delle Correlazioni (R) Nome Variabili IIIIIIIVVVI I -r 12 r 13 r 14 r 15 r 16 II –r 21 r 23 r 24 r 25 r 26 III-r 31 r 32 r 34 r 35 r 36 IV –r 41 r 42 r 43 r 45 r 46 V -r 51 r 52 r 53 r 54 r 56 VI -r 61 r 62 r 63 r 64 r 65

5 5 Analisi Fattoriale Lezione – 1 DefinizioneMatrice delle Correlazioni (R) Quando la matrice delle correlazioni contiene coefficienti elevati, ciò indica che le variabili sono correlate tra di loro, o si sovrappongono in ciò che misurano. Ad esempio per la correlazione che caratterizza laltezza è il peso potrebbe essere postulato un costrutto fattoriale latente chiamato >. La correlazione tra altezza e peso potrebbe allora essere spiegata dal fatto che entrambe condividono una relazione con il fattore ipotetico della Grandezza.

6 6 Analisi FattorialeAnalisi Fattoriale L'analisi fattoriale nasce come un tentativo di dare una rappresentazione efficiente ma NON conservativa dei dati, ovvero di rappresentare la variabilità contenuta nella matrice R utilizzando un numero di costrutti latenti (fattori) molto inferiore al numero di variabili misurate. ( m < n ) Lezione – 2 Modello Fondamentale

7 7 Analisi Fattoriale Lezione – 2 Modello FondamentaleIl modello dellAnalisi Fattoriale Il modello statistico dellanalisi fattoriale parte dallassunto fondamentale che il punteggio standardizzato in una variabile può essere espresso come somma ponderata del punteggio nei fattori comuni, del punteggio in un fattore specifico, e del punteggio in un fattore di errore.

8 8 Analisi Fattoriale Lezione – 2 Modello FondamentaleEquazione di Thurstone Z ik : Il punteggio standardizzato per la persona k nella variabile i a i1 : La saturazione fattoriale della variabile i nel fattore comune 1 a i2 : La saturazione fattoriale della variabile i nel fattore comune 2 a im : La saturazione fattoriale della variabile i nellultimo fattore comune a is : La saturazione fattoriale della variabile i nel fattore specifico S a ie : La saturazione fattoriale della variabile i nel fattore di errore E. F 1k : Il punteggio standardizzato del soggetto k nel fattore comune 1 F 2k : Il punteggio standardizzato del soggetto k nel fattore comune 2 F mk : Il punteggio standardizzato del soggetto k nellultimo dei fattori comuni S ik : Il punteggio standardizzato del soggetto k nel fattore specifico i E ik : Il punteggio standardizzato del soggetto k nel fattore di errore i

9 9 Analisi Fattoriale Lezione – 1 DefinizioneMatrice delle Correlazioni (R) Nome Variabili IIIIIIIVVVI I -r 12 r 13 r 14 r 15 r 16 II –r 21 r 23 r 24 r 25 r 26 III-r 31 r 32 r 34 r 35 r 36 IV –r 41 r 42 r 43 r 45 r 46 V -r 51 r 52 r 53 r 54 r 56 VI -r 61 r 62 r 63 r 64 r 65 Matrice Simmetrica r ij = r ji Lanalisi fattoriale rappresenta una maniera di considerare queste interrelazioni ipotizzando lesistenza di Fattori Latenti o Costrutti Fattoriali che spiegano i valori nella matrice delle correlazioni tra le variabili.

10 10 Analisi Fattoriale Lezione – 2 Modello FondamentaleEquazione di Thurstone ZFSE I punteggi Z, F, S ed E nellequazione sono tutti punteggi standardizzati (M = 0, D.S. = 1). a Ogni valore a nellequazione è una costante numerica, o peso, chiamata saturazione fattoriale [-1.0, 1.0]. Z Il punteggio Z viene ottenuto empiricamente come un normale punteggio in una variabile. aI valori a vengono trovati nello stesso processo di analisi fattoriale.

11 11 Analisi Fattoriale Lezione – 2 Modello FondamentaleEquazione di Thurstone Lequazione di Thurstone può essere rappresentata schematicamente in forma matriciale per tutti i valori di i e k simultaneamente (ad esempio, per tutte le variabili e tutti i soggetti). 1 2 … N n Variabili Soggetti = Z

12 12 Analisi Fattoriale Lezione – 2 Modello FondamentaleEquazione di Thurstone Matrice Au 1 2 … m 1 2 … n 1 2 … n 1 2 … nFattoriVariabili

13 13 Analisi Fattoriale Lezione – 2 Modello FondamentaleEquazione di Thurstone Matrice Fu 1 2 … N 1 2 … m 1 2 … n 1 2 … n Fattori Soggetti

14 14 Analisi Fattoriale Lezione – 2 Modello FondamentaleEquazione di Thurstone Le tre matrici precedenti possono essere combinate nella seguente equazione matriciale: Z = A u F u Ciò implica che la matrice Z dei punteggi nelle variabili può essere ricavata moltiplicando la matrice delle saturazioni fattoriali A u per la matrice dei punteggi fattoriali F u.

15 15 Analisi Fattoriale Lezione – 3 Lequazione FondamentaleEquazione Fondamentale Se volessimo riprodurre il punteggio nella variabile 3 per la persona 7, la terza riga della matrice A u dovrebbe essere moltiplicata con la settima colonna della matrice F u. Questa operazione darebbe il seguente risultato:

16 16 Analisi Fattoriale Lezione – 3 Lequazione Fondamentale i j Dato che lanalisi fattoriale procede dalla matrice di correlazione tra le variabili osservate, si riportano innanzi tutto le formule della correlazione tra due variabili i e j (standardizzate) e della varianza di un insieme di variabili standardizzate. CorrelazioneVarianza

17 17 Analisi Fattoriale Lezione – 3 Lequazione FondamentaleLe condizioni di Ortogonalità Il modello dell'analisi fattoriale prevede dei vincoli sulla struttura dei fattori latenti, specifici e di errore, che possono essere descritti come condizioni di ortogonalità (ovvero di indipendenza statistica). Tali vincoli sono espressi dalle seguenti condizioni:

18 18 Analisi Fattoriale Lezione – 3 Lequazione FondamentaleFattori Ortogonali (Definizione) Lortogonalità di due fattori implica la loro indipendenza lineare, in altri termini non esiste una relazione (causale o spuria) che lega la variabilità osservata nelle due dimensioni rappresentate dai fattori.

19 19 F1F1F1F1 F2F2F2F2 S1S1S1S1 E1E1E1E1 Z1Z1 Z2Z2 S2S2S2S2 E2E2E2E2 F3F3F3F3 a 11 a 21 a 12 a 22 a 13 a 23 a 1S a 2S a 1E a 2E UNICITA della variabile Z 1 Lortogonalità riguarda anche lindipendenza statistica dei fattori latenti con i fattori specifici e di errore, in quanto calcolati sui residui di varianza non spiegata dagli altri fattori comuni. Analisi Fattoriale Lezione – 3 Lequazione Fondamentale

20 20 Analisi Fattoriale Lezione – 3 Lequazione FondamentaleEquazione fondamentale Volendo a questo punto riprodurre la correlazione fra due variabili i e j secondo lequazione di Thurstone: riordinando i termini e applicando tutte le semplificazioni che derivano dalle condizioni di ortogonalità dei fattori, sostituendo zero a tutte le correlazioni tra i fattori diversi (latenti, specifici e di errore) e 1 alle varianze dei fattori, lequazione risultante risulta semplificata come segue:

21 21 Analisi Fattoriale Lezione – 3 Lequazione FondamentaleEquazione fondamentale Lequazione risultante implica che la correlazione tra le variabili i e j corrisponde alla somma dei prodotti delle loro saturazioni nei fattori comuni soltanto. Tutti i prodotti tra i fattori specifici e di errore si annullano fintanto che i fattori sono ortogonali (cioè non correlati tra loro).

22 22 E rappresenta la diagonale della parte sinistra della matrice A u (che differisce solo in questo dalla matrice di correlazione) Analisi Fattoriale Lezione – 3 Lequazione FondamentaleComunalità Nel caso in cui i sia uguale a j, la correlazione è quella di una variabile con se stessa dovuta alla varianza dei soli fattori comuni, avendo omesso la varianza dei fattori specifici. COMUNALITA. Tale quantità e definita COMUNALITA.

23 23 Analisi Fattoriale Lezione – 3 Lequazione FondamentaleRappresentazione Matriciale Quando nella diagonale vengono inseriti dei valori uguali ad 1.0 al posto delle comunalità la matrice delle correlazioni è rappresentata con il simbolo R u se nella diagonale principale vengono inserite le comunalità, la matrice delle correlazioni è rappresentata con il simbolo R

24 24 Analisi Fattoriale Lezione – 3 Lequazione FondamentaleRappresentazione Matriciale R u ) Usando il formalismo matriciale è possibile rappresentare la matrice delle correlazioni tra tutte le variabili (R u ) con la seguente equazione: Moltiplicando una riga i della matrice Z per una colonna j della matrice Z si ottiene una somma di prodotti tra variabili standardizzate. Dividendo questa somma per N, lespressione risultante è un coefficiente di correlazione tra le variabili i e j. N = Numero di soggetti (righe) della matrice Z Z = Matrice dei punteggi standardizzati per tutti i soggetti (righe) in tutte le variabili (colonne) Z = Trasposta della matrice Z

25 25 Analisi Fattoriale Lezione – 3 Lequazione FondamentaleRappresentazione Matriciale Richiamando la formulazione matriciale dellequazione fondamentale di Thurstone: Z = A u F u Cioè la matrice dei punteggi standardizzati nelle variabili è uguale alla moltiplicazione tra la matrice completa delle saturazioni fattoriali e la matrice completa dei punteggi fattoriali. Si ottiene che:

26 26 Analisi Fattoriale Lezione – 3 Lequazione FondamentaleRappresentazione Matriciale Utilizzando la proprietà che la trasposta del prodotto di due matrici è uguale al prodotto delle loro trasposte in ordine inverso, e ricollocando la posizione del divisore N costante, la precedente può essere riscritta come: La matrice prodotto in parentesi quadra rappresenta la matrice delle correlazioni tra i punteggi fattoriali.

27 27 Analisi Fattoriale Lezione – 3 Lequazione FondamentaleRappresentazione Matriciale Nel caso di fattori indipendenti (ortogonali) le correlazioni fra fattori diversi (fuori dalla diagonale principale della matrice) sono per definizione uguali a 0, mentre le correlazioni dei fattori con se stessi (sulla diagonale principale), rappresentando una varianza di una variabile standardizzata sono per definizione tutti uguali ad 1. Questo tipo di matrice viene definito MATRICE IDENTITA Matrice delle correlazioni tra i punteggi fattoriali

28 28 Analisi Fattoriale Lezione – 3 Lequazione FondamentaleMatrice FuFu/N … m … m … n 123…m123…m123…m123…m 123…n123…n123…n123…n 123…n123…n123…n123…n

29 29 Analisi Fattoriale Lezione – 3 Lequazione FondamentaleMatrice Identità Matrice Identità di ordine 4 La matrice identità (I) ha sempre valori uno nella diagonale principale e valori zero in tutte le altre celle. La matrice identità è lequivalente dello scalare 1 nellalgebra scalare. Quindi moltiplicare una matrice per la matrice identità equivale a lasciare la prima invariata. = I

30 30 Analisi Fattoriale Lezione – 3 Lequazione FondamentaleRiformulazione dellequazione matriciale Dove R u è la matrice delle correlazioni tra le variabili con valori 1 nella diagonale principale e A u è la matrice completa delle saturazioni fattoriali, che include i fattori comuni, specifici e di errore. La matrice R u è simmetrica per cui: R u = R u R u = R u

31 31 Analisi Fattoriale Lezione – 3 Lequazione Fondamentale I valori della matrice A u rappresentano le correlazioni tra le variabili e i fattori. Queste correlazioni sono chiamate saturazioni fattoriali nel modello dei fattori ortogonali, il quale richiede che i fattori siano ciascuno ad angolo retto rispetto agli altri (cioè non correlati). La matrice A rappresenta solo la parte dei fattori comuni della matrice A u. Da quanto visto finora è chiaro che solo i fattori comuni entrano nella determinazione degli elementi di R al di fuori della diagonale principale. Per gli elementi sulla diagonale, tuttavia, ovvero per gli elementi: R ij dove i = j i fattori specifici e di errore forniscono un contributo.

32 32 Analisi Fattoriale Lezione – 3 Lequazione Fondamentale Tutti gli elementi sulla diagonale della matrice R u sono uguali ad 1, che equivale anche alla varianza di ogni variabile standardizzata. Questa varianza può essere divisa come segue: 1 = h ii 2 + u ii 2 Dove: h ii 2 = a i1 2 + a i2 2 + … + a im 2 - Comunalità u ii 2 = a is 2 + a ie 2 - Unicità Comunalità ed Unicità

33 33 Analisi Fattoriale Lezione – 3 Lequazione Fondamentale Lequazione fondamentale dellanalisi fattoriale così come è stata formulata da Thurstone (1947) stabilisce che la matrice delle correlazioni tra le variabili può essere scomposta nel prodotto di una matrice di fattori per la sua trasposta. Equazione fondamentale dellanalisi Fattoriale

34 34 Analisi Fattoriale Lezione – 3 Lequazione Fondamentale R u = A u A uriproduce la matrice delle correlazioni con valori 1 sulla diagonale, utilizzando una matrice di saturazioni A u che contiene i fattori comuni, specifici e di errore. R = AA riproduce la matrice delle correlazioni R con i valori delle comunalità nella diagonale principale al posto degli 1.Tutti gli altri elementi delle matrici R ed R u sono identici Equazione fondamentale dellanalisi Fattoriale

35 35 Analisi Fattoriale Lezione – 3 Lequazione FondamentaleDalla forma Analitica alla forma Matriciale Considerando tutti i valori di i e j simultaneamente, quindi rappresentando in matrici il sistema costituito dalle n equazioni del tipo della precedente (forma analitica), otteniamo la seguente equazione matriciale: R = A A R Lequazione implica che la matrice delle correlazioni (R) con le comunalità (h 2 ) nella diagonale principale può essere rappresentata come il prodotto della matrice delle saturazioni nei fattori comuni moltiplicato per la sua trasposta.

36 36 Analisi Fattoriale Lezione – 3 Lequazione FondamentaleEquazione fondamentale Riassumendo: Per spiegare le correlazioni tra le variabili sono necessari solo i fattori comuni. Per spiegare la varianza totale delle variabili sono necessari i fattori comuni, specifici e di errore.

37 37 Analisi Fattoriale Lezione – 4 Estrazione dei fattoriEstrazione dei Fattori R R Dopo aver calcolato la matrice delle correlazioni R, il passo successivo consiste nel determinare quanti costrutti fattoriali sono necessari per spiegare linsieme dei valori di R. Tutti i metodi di estrazione fattoriale finiscono con una colonna di numeri (vettore), uno per ciascuna variabile, che rappresentano le saturazioni (o pesi) delle variabili in quel fattore.

38 38 Analisi Fattoriale Lezione – 4 Estrazione dei fattoriEstrazione dei Fattori Estrazione dei Fattori La procedura che va sotto il nome di Estrazione dei Fattori consiste nellestrarre fattori dalla matrice di correlazione fino a che non rimanga più nessuna porzione apprezzabile di varianza da spiegare, cioè finche le correlazioni residue sono prossime allo zero (e quindi di importanza trascurabile).

39 39 Analisi FattorialeEstrazione dei Fattori R Dopo che il primo fattore è stato estratto, leffetto di questo fattore (nel determinare le correlazioni osservate nei dati) viene rimosso dalla matrice delle correlazioni R per produrre la matrice delle correlazioni residue rispetto al primo fattore. Lezione – 4 Estrazione dei fattori

40 40 Analisi FattorialeEstrazione dei Fattori Esempio: SOLTANTO Supponendo che un ipotetico primo fattore estratto abbia saturazioni di -.7 per una variabile (i) e di.8 per unaltra variabile(j). Moltiplicando -.7 per.8 abbiamo -.56, che rappresenta la correlazione tra queste due variabili dovuta SOLTANTO al primo fattore. Sottraendo -.56 al valore r ij otteniamo la correlazione residua rispetto al primo fattore. Lezione – 4 Estrazione dei fattori

41 41 Analisi FattorialeEstrazione dei Fattori R Una volta che i fattori necessari per spiegare le correlazioni nella matrice R sono stati estratti, i valori delle correlazioni tra variabili e fattori vengono sistemati in una tabella definita Matrice delle Saturazioni non Ruotate. Fattori VariabiliVariabiliVariabiliVariabili SSQ Lezione – 4 Estrazione dei fattori

42 42 Analisi FattorialeEstrazione dei Fattori Il primo fattore risulta il più grande dei quattro estratti e lultimo ovviamente il più piccolo varianza totale spiegata dalla soluzione fattoriale (SSQ) per ogni fattore è rappresentata dalla Somma dei quadrati delle saturazioni fattoriali. La varianza totale spiegata dalla soluzione fattoriale (SSQ) per ogni fattore è rappresentata dalla Somma dei quadrati delle saturazioni fattoriali. Lultima colonna (h 2 ) contiene le comunalità delle variabili, che è calcolata come somma dei quadrati delle saturazioni nei fattori. Fattori VariabiliVariabiliVariabiliVariabili SSQ Lezione – 4 Estrazione dei fattori

43 43 Analisi FattorialeComunalità Se la comunalità per una variabile raggiunge il valore di 1.0, questo significa che il punteggio nella variabile potrebbe essere perfettamente predetto da una combinazione pesata dei punteggi che rappresentano i soli fattori estratti. In altri termini tutta la varianza di questa variabile può essere spiegata dai punteggi che rappresentano la posizione di ogni soggetto nei fattori comuni estratti dallanalisi fattoriale. Lezione – 4 Estrazione dei fattori

44 44 Analisi FattorialeComunalità Daltro canto se una variabile avesse comunalità uguale a 0 le saturazioni di tutti i fattori per quella variabile sarebbero uguali a 0 e la variabile non avrebbe nulla in comune con nessuno dei fattori. Lezione – 4 Estrazione dei fattori

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