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Il sonometro e il problema dellaccordatura Un ponte tra Arte, Fisica e Matematica a cura di Alberto Martini e Gloria Nobili Liceo Scientifico Malpighi.

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1 Il sonometro e il problema dellaccordatura Un ponte tra Arte, Fisica e Matematica a cura di Alberto Martini e Gloria Nobili Liceo Scientifico Malpighi Bologna 25 febbraio 2009

2 Il sonometro Un posto essenziale nella storia delle ricerche di acustica (e di musica) è occupato da uno strumento costruttivamente molto semplice, ma rilevante per i risultati che con esso si ottennero, il cosiddetto monocordo,che venne usato per secoli negli studi sulle proporzioni musicali, sugli accordi e sull'armonia. Infatti permise la risoluzione del problema della determinazione del numero assoluto di vibrazioni nell'unità di tempo (= frequenza in Hertz) che sono associate ad un suono. La risoluzione di tale problema fu fondamentale per lo sviluppo dell'acustica. Un posto essenziale nella storia delle ricerche di acustica (e di musica) è occupato da uno strumento costruttivamente molto semplice, ma rilevante per i risultati che con esso si ottennero, il cosiddetto monocordo,che venne usato per secoli negli studi sulle proporzioni musicali, sugli accordi e sull'armonia. Infatti permise la risoluzione del problema della determinazione del numero assoluto di vibrazioni nell'unità di tempo (= frequenza in Hertz) che sono associate ad un suono. La risoluzione di tale problema fu fondamentale per lo sviluppo dell'acustica.

3 Struttura del sonometro Il monocordo consiste in una tavola su cui viene tesa, tra due cavalletti fissi fra i quali ne può essere posto un terzo mobile, una corda. La corda è fissata da un lato ad un piolo fisso, dall'altro ad una chiave o ad un peso che ne regolano la tensione. Il monocordo consiste in una tavola su cui viene tesa, tra due cavalletti fissi fra i quali ne può essere posto un terzo mobile, una corda. La corda è fissata da un lato ad un piolo fisso, dall'altro ad una chiave o ad un peso che ne regolano la tensione.monocordo Quando alla tavola sia sostituita una cassa armonica, siano presenti più corde e scale, lo strumento viene detto sonometro. Quando alla tavola sia sostituita una cassa armonica, siano presenti più corde e scale, lo strumento viene detto sonometro. Agendo sulla tensione si ottiene dalla corda, messa in vibrazione, un determinato suono di altezza musicale (= frequenza) conosciuta. Per mezzo del cavalletto mobile si può ridurre la parte di corda che può vibrare in modo da far generare un suono diverso (più acuto = frequenza maggiore). Agendo sulla tensione si ottiene dalla corda, messa in vibrazione, un determinato suono di altezza musicale (= frequenza) conosciuta. Per mezzo del cavalletto mobile si può ridurre la parte di corda che può vibrare in modo da far generare un suono diverso (più acuto = frequenza maggiore). Agli inizi del Seicento si verificò che il rapporto fra le lunghezze delle corde è uguale all'inverso del rapporto tra le frequenze dei suoni. Agli inizi del Seicento si verificò che il rapporto fra le lunghezze delle corde è uguale all'inverso del rapporto tra le frequenze dei suoni.

4 Un po di storia Fra il 1700 e il 1711 Joseph Sauveur ( ) (sordo dalla nascita!) fece degli esperimenti fondamentali col sonometro in vari punti della corda in modo da determinare la posizione di ventri e nodi, termini da lui introdotti insieme ad armonica superiore. Fra il 1700 e il 1711 Joseph Sauveur ( ) (sordo dalla nascita!) fece degli esperimenti fondamentali col sonometro ponendo dei cavalierini in vari punti della corda in modo da determinare la posizione di ventri e nodi, termini da lui introdotti insieme ad armonica superiore. Provò sperimentalmente lesistenza, nel moto vibratorio di una singola corda, di più vibrazioni contemporanee che furono anche dette suoni concomitanti (o, appunto, armonici superiori). Provò sperimentalmente lesistenza, nel moto vibratorio di una singola corda, di più vibrazioni contemporanee che furono anche dette suoni concomitanti (o, appunto, armonici superiori). Estese le relazioni fra frequenza, lunghezza d'onda e lunghezza della corda alla canna d'organo, trovandone conferma sperimentale. Estese le relazioni fra frequenza, lunghezza d'onda e lunghezza della corda alla canna d'organo, trovandone conferma sperimentale.

5 La relazione lunghezza corda- frequenza Diminuendo la lunghezza della corda, ad esempio a metà, si ottiene un suono uguale al precedente come tono, ma più alto di un'ottava: la corda vibra con un numero di vibrazioni al secondo doppio (= raddoppia la frequenza). Se accorciamo la corda ancora a metà, quindi a un quarto rispetto allinizio, avremo un suono ancora più alto: la corda vibra con una frequenza quadrupla. Diminuendo la lunghezza della corda, ad esempio a metà, si ottiene un suono uguale al precedente come tono, ma più alto di un'ottava: la corda vibra con un numero di vibrazioni al secondo doppio (= raddoppia la frequenza). Se accorciamo la corda ancora a metà, quindi a un quarto rispetto allinizio, avremo un suono ancora più alto: la corda vibra con una frequenza quadrupla.ottavafrequenzaottavafrequenza Es: La 2 (ottava inf) a 220 Hz Es: La 3 a 440Hz f α 1/L Se L = L 0 f 0 = f Se L 1 = ½ L 0 f 1 = 2f Se L 2 = ¼ L 0 f 2 = 4f f α λ Es: La 4 (ottava sup) a 880Hz

6 Le relazioni lunghezza corda – armoniche superiori Nella relazione tra L e f interviene anche in quanto: Nella relazione tra L e f interviene anche λ in quanto: Quando una corda vibra, può quindi vibrare in più modalità diverse, rette da semplici relazioni matematiche Quando una corda vibra, può quindi vibrare in più modalità diverse, rette da semplici relazioni matematiche Corda a riposo di lunghezza L Suono base (es:110 Hz): L = ½ λ ; λ = 2L; f = f 0 1^ armonica superiore L = λ; f = 2 f 0 2^ armonica superiore L = 3/2 λ ; λ = 2/3L; f = 3 f 0 λ α f 3^ armonica superiore L = 2 λ ; λ = ½ L; f = 4 f 0 In una stessa corda si possono produrre contemporaneamente più vibrazioni, ognuna con una sua λ e f caratteristiche. Ciò che hanno in comune sono i vincoli (o nodi) agli estremi fissati.

7 Il sonometro del Liceo Malpighi Vista dallalto Confronto con un sonometro antico: il sonometro differenziale di Marloye (Konig, Parigi, 1873)

8 Elementi caratteristici E composto da una cassa armonica sulla quale sono fissati tre regoli graduati: uno riporta le divisioni corrispondenti alle note della scala cromatica temperata musicale (basata sul LA3=435 Hz); un altro alle frequenze della scala cromatica naturale; l'ultima (quella centrale) è un metro diviso in millimetri. Due corde fisse sono montate fra cavalletti e messe in tensione da chiavi; una terza corda può essere posta al centro fra le prime due, passando su una carrucola per poter essere tesa tramite un peso. Cavalletti mobili permettono di limitare la parte vibrante delle corde. E composto da una cassa armonica sulla quale sono fissati tre regoli graduati: uno riporta le divisioni corrispondenti alle note della scala cromatica temperata musicale (basata sul LA3=435 Hz); un altro alle frequenze della scala cromatica naturale; l'ultima (quella centrale) è un metro diviso in millimetri. Due corde fisse sono montate fra cavalletti e messe in tensione da chiavi; una terza corda può essere posta al centro fra le prime due, passando su una carrucola per poter essere tesa tramite un peso. Cavalletti mobili permettono di limitare la parte vibrante delle corde. Si possono riprodurre le note di unottava intera, sia in una modalità (temperata) che nellaltra (naturale) Si possono riprodurre le note di unottava intera, sia in una modalità (temperata) che nellaltra (naturale) Se si osserva con attenzione, le tacche corrispondenti a note uguali sulle due scale non sono sempre allineate (es: La, Si), ciò significa che le frequenze dei due suoni non sono le stesse! Anche se, musicalmente, si scrivono nello stesso modo nel pentagramma (rigo musicale). Se si osserva con attenzione, le tacche corrispondenti a note uguali sulle due scale non sono sempre allineate (es: La, Si), ciò significa che le frequenze dei due suoni non sono le stesse! Anche se, musicalmente, si scrivono nello stesso modo nel pentagramma (rigo musicale). Si possono verificare 3 leggi sulle corde tese: Si possono verificare 3 leggi sulle corde tese: 1° legge della lunghezza: mantenendo costante la tensione il numero delle vibrazioni eccitate sulla corda in un secondo è inversamente proporzionale alla lunghezza della corda. 2° legge delle tensioni: il numero delle vibrazioni di una corda è direttamente proporzionale alla radice quadrata del peso che la tende. 3° legge delle dimensioni : il numero delle vibrazioni di una corda è inversamente proporzionale al raggio della corda e alla radice quadrata della sua densità. 1° legge della lunghezza: mantenendo costante la tensione il numero delle vibrazioni eccitate sulla corda in un secondo è inversamente proporzionale alla lunghezza della corda. 2° legge delle tensioni: il numero delle vibrazioni di una corda è direttamente proporzionale alla radice quadrata del peso che la tende. 3° legge delle dimensioni : il numero delle vibrazioni di una corda è inversamente proporzionale al raggio della corda e alla radice quadrata della sua densità. Come mai ci sono due modalità? Come mai ci sono due modalità? Quando sono nate? Quando sono nate? Quando si usano o sono usate? Quando si usano o sono usate? Cosa centra la matematica nella loro costruzione? Cosa centra la matematica nella loro costruzione?

9 Qualità (o timbro) del suono In base alla forma donda, i suoni si suddividono in: In base alla forma donda, i suoni si suddividono in: a) semplici (es: diapason) a) semplici (es: diapason) b) composti b) composti (es: corde di uno strumento; colonne daria) (es: corde di uno strumento; colonne daria) Sovrapposizione di onde sinusoidali semplici = suono complesso (analisi di Fourier) (b) La lettera A sta al posto della nota LA (notazione anglosassone)

10 Notazione musicale In musica, più che di frequenze, si parla di note e di ottave, per posizionare le varie altezze (frequenze) In musica, più che di frequenze, si parla di note e di ottave, per posizionare le varie altezze (frequenze) Negli spartiti le altezze Negli spartiti le altezze delle note si individuano delle note si individuano in base alla posizione in in base alla posizione in cui sono scritte nel cui sono scritte nel pentagramma. pentagramma. Oltre alle 7 note di base, esistono anche 5 suoni intermedi, detti note alterate ( e ) che nel pianoforte ( e ) che nel pianoforte corrispondono ai tasti neri e hanno frequenze intermedie. 1 ottava = 13 note e 12 intervalli 12 intervalli

11 Le scale musicali Le scale musicali (successione ordinata di suoni) sono costituite da una serie di note corrispondenti a suoni di altezza progressiva, il cui numero e i cui intervalli si possono ottenere in modi diversi. Le scale musicali (successione ordinata di suoni) sono costituite da una serie di note corrispondenti a suoni di altezza progressiva, il cui numero e i cui intervalli si possono ottenere in modi diversi. Nellambito storico dei sistemi musicali occidentali si susseguono in ordine di tempo: Nellambito storico dei sistemi musicali occidentali si susseguono in ordine di tempo: 1) scala greca (o pitagorica) 1) scala greca (o pitagorica) 2) scala naturale ( o zarliniana) 2) scala naturale ( o zarliniana) 3) scala temperata (attuale) 3) scala temperata (attuale)

12 La scala pitagorica Per tradizione si attribuisce a Pitagora (500 a.C. circa) la costruzione di questa scala, che avviene per quinte successive Per tradizione si attribuisce a Pitagora (500 a.C. circa) la costruzione di questa scala, che avviene per quinte successive (= armonica superiore di frequenza tripla della fondamentale). (= armonica superiore di frequenza tripla della fondamentale). Per riportare l'insieme di note ottenuto nell'ambito dell'ottava di partenza si divide la frequenza così ottenuta per 2 n dove n è il numero di ottave che si sono "percorse" dalla nota di partenza a quella di arrivo. Per riportare l'insieme di note ottenuto nell'ambito dell'ottava di partenza si divide la frequenza così ottenuta per 2 n dove n è il numero di ottave che si sono "percorse" dalla nota di partenza a quella di arrivo. Quinte Suono base frequenza f =1 Es: Do Rapporti tra le frequenze 3:29:827:1681:64243:128729:512 Note scala SolReLaMiSiFa

13 Frequenze scala pitagorica Riordinando in 1 ottava si ottiene: Riordinando in 1 ottava si ottiene: NotaDoReMiFaSolLaSiDo Rapportonumerico 19/881/644/33/227/16243/1282 frequenze In Hertz A Questo sistema fu in vigore nell'Antichità e nel Medio Evo, sino a tutto il secolo XV, è eccellente per la musica monodica (canto "gregoriano") ma inadatto alla polifonia.frequenze In Hertz B

14 La scala naturale La necessità di una riforma della scala pitagorica era già stata sentita da Aristosseno (IV secolo a.C.) e riproposta da vari autori (tra cui anche Vincenzo Galilei), ma venne ufficialmente codificata da Gioseffo Zarlino (1517 – 1590), organista al duomo di S. Marco a Venezia. In definitiva a lui è attribuita l'invenzione della moderna armonia tonale, basata su due soli modi: il maggiore e il minore. La necessità di una riforma della scala pitagorica era già stata sentita da Aristosseno (IV secolo a.C.) e riproposta da vari autori (tra cui anche Vincenzo Galilei), ma venne ufficialmente codificata da Gioseffo Zarlino (1517 – 1590), organista al duomo di S. Marco a Venezia. In definitiva a lui è attribuita l'invenzione della moderna armonia tonale, basata su due soli modi: il maggiore e il minore. armoniatonale armoniatonale La riforma consiste nelluso dei suoni armonici che accompagnano il suono fondamentale; dato che possiedono frequenza multipla secondo i numeri interi, l'intervallo naturale suona quindi puro, senza battimenti, ed è tanto più "piacevole" all'ascolto quanto più è "semplice" il rapporto fra le frequenze dei suoni. La riforma consiste nelluso dei suoni armonici che accompagnano il suono fondamentale; dato che possiedono frequenza multipla secondo i numeri interi, l'intervallo naturale suona quindi puro, senza battimenti, ed è tanto più "piacevole" all'ascolto quanto più è "semplice" il rapporto fra le frequenze dei suoni. La conferma scientifica di tale effetto uditivo venne da Joseph Sauveur nel La conferma scientifica di tale effetto uditivo venne da Joseph Sauveur nel La base per la costruzione di tale scala sono gli accordi perfetti maggiori La base per la costruzione di tale scala sono gli accordi perfetti maggiori costituiti da 1 terza maggiore +1 terza minore = 1 quinta costituiti da 1 terza maggiore +1 terza minore = 1 quinta a cui corrispondono i rapporti 5/4 = 1,25 e 6/5 = 1,2 a cui corrispondono i rapporti 5/4 = 1,25 e 6/5 = 1,2 solSiRe 5/46/5 Accordo di Fa DoMiSol Accordo di Sol 5/4 * 6/5 = 3/2 5/46/5 FaLaDo Accordo di Do 5/46/5 5/4 * 6/5 = 3/2 Storicamente la scala naturale ebbe vita breve: da Zarlino a BACH! Il problema erano le note alterate…

15 Frequenze scala naturale Riorganizzando le note e i corrispondenti rapporti allinterno di 1 ottava si ottiene la scala naturale: Riorganizzando le note e i corrispondenti rapporti allinterno di 1 ottava si ottiene la scala naturale:NotaDoReMiFaSolLaSiDoRapportonumerico19/85/44/33/25/315/82 frequenze In Hertz A frequenze In Hertz B

16 La scala temperata Il problema dei diesis e dei bemolle creava non poche difficoltà tecniche. Già Marin Mersenne (1588 – 1648) nella sua Harmonie Universelle aveva proposto un cambiamento, che poi venne attribuito allorganista Andrea Werckmeister (1645 – 1706) Il problema dei diesis e dei bemolle creava non poche difficoltà tecniche. Già Marin Mersenne (1588 – 1648) nella sua Harmonie Universelle aveva proposto un cambiamento, che poi venne attribuito allorganista Andrea Werckmeister (1645 – 1706) La novità consiste nellaver unificato il diesis e il bemolle tra 2 note consecutive e nellaver diviso lottava in 12 semitoni uguali, in progressione geometrica, ciascuno dei quali è pari a 2 1/12. La novità consiste nellaver unificato il diesis e il bemolle tra 2 note consecutive e nellaver diviso lottava in 12 semitoni uguali, in progressione geometrica, ciascuno dei quali è pari a 2 1/12. Ogni rapporto tra 2 note successive vale quindi 1, … Ogni rapporto tra 2 note successive vale quindi 1, … Nota DoReMiFaSolLaSiDo Rapportonumerico / / / / / / /12 frequenze In Hertz A frequenze In Hertz B

17 La misura in cent degli intervalli Il sistema logaritmico in base 2 per calcolare le frequenze delle note non è comunque molto agevole. Il sistema logaritmico in base 2 per calcolare le frequenze delle note non è comunque molto agevole. Alexander Ellis (1814 – 1890) propose il cosiddetto sistema dei cent. Alexander Ellis (1814 – 1890) propose il cosiddetto sistema dei cent. 1 Cent = 1/1200 parte dellottava (di 2) = 1, …= 2 1 Cent = 1/1200 parte dellottava (di 2) = 1, …= 2 1/ Cent = 1/100 semitono temperato I semitoni temperati sono adatti a misurare la scala musicale temperata, i cents sono idonei a misurare qualsiasi intervallo. Un buon orecchio musicale molto difficilmente apprezza differenze di altezza inferiori a 8 cent; unorchestra ben intonata tollera fluttuazioni di 10 cent. Nota DoReMiFaSolLaSiDo Rapportonumerico / / / / / / /12 frequenze In Hertz frequenze In cent

18 Confronti tra le varie accordature RAPPORTI DI FREQUENZA NOTE SCALA CROMATICA SCALA TEMPERATA Valore matematico decimale in cent SCALA NATURALE Valore matematico decimale in cent SCALA PITAGORICA valore matematico decimale in cent DO Do / Re b 2 1/ RE2 2/ / / Re / Mi b 2 3/ MI2 4/ / / FA2 5/ / / Fa /Sol b 2 6/ SOL2 7/ / / Sol / La b 2 8/ LA2 9/ / / La / Si b 2 10/ SI2 11/ / / DO2 12/

19 Valutazioni quantitative sul sistema temperato NOTEFREQUENZEFATTORESCARTIRAPPORTOFREQUENZESCARTIRAPPORTO SCALA cromatica(in Hertz)decimalein Hertzo semitono(in Hertz)in Hertzo semitono DO 3256s10 261,6256m Do# - Re b271,2226c1, ,222551, ,1826u15,557071, RE287,3503i1, ,127731, ,6648s16,482141, Re# - Mi b304,437e1, ,086741, ,127i17,462221, MI322,5398n1, ,102771, ,6276c18,500571, FA341,719t1, ,179211, ,2282a19,600671, Fa# - Sol b362,0387i1, ,319671, ,9944l20,766191, SOL383,5666f1, ,527941, ,9954e22,001011, Sol # - La b406,3747i1, ,808061, , ,309261, LA 3 o corista430,539 c 1, ,16431, ,69531, La # - Si b456,1401a1, ,601181, , ,163761, SI483,2636 1, ,12351, , ,719541, DO ,736351, , ,367831, Il perno dellaccordatura musicale attuale è il La 3 ( o la corista) a 440 Hz.

20 Estensione musicale La tastiera di un pianoforte presenta circa 7 ottave, dal La a 27,5 Hz a quello a 3520 Hz. La voce umana ha minor estensione! La tastiera di un pianoforte presenta circa 7 ottave, dal La a 27,5 Hz a quello a 3520 Hz. La voce umana ha minor estensione! N.B. Limiti delle frequenze udibili: 20 – Hz !!!

21 Conclusioni La Matematica e la Fisica ci possono essere di grande aiuto per comprendere cosa si nasconde dietro una sensazione sonora, ma non sopperiranno mai le sensazioni interiori che la musica evoca e esprime in modo così sublime! La Matematica e la Fisica ci possono essere di grande aiuto per comprendere cosa si nasconde dietro una sensazione sonora, ma non sopperiranno mai le sensazioni interiori che la musica evoca e esprime in modo così sublime! Fine


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