Il sonometro e il problema dell’accordatura

Presentazione sul tema: "Il sonometro e il problema dell’accordatura"— Transcript della presentazione:

1 Il sonometro e il problema dell’accordatura
Liceo Scientifico “Malpighi” Bologna 25 febbraio 2009 Il sonometro e il problema dell’accordatura Un ponte tra Arte, Fisica e Matematica a cura di Alberto Martini e Gloria Nobili

2 Il sonometro Un posto essenziale nella storia delle ricerche di acustica (e di musica) è occupato da uno strumento costruttivamente molto semplice, ma rilevante per i risultati che con esso si ottennero, il cosiddetto monocordo,che venne usato per secoli negli studi sulle proporzioni musicali, sugli accordi e sull'armonia. Infatti permise la risoluzione del problema della determinazione del numero assoluto di vibrazioni nell'unità di tempo (= frequenza in Hertz) che sono associate ad un suono. La risoluzione di tale problema fu fondamentale per lo sviluppo dell'acustica.

3 Struttura del sonometro
Il monocordo consiste in una tavola su cui viene tesa, tra due cavalletti fissi fra i quali ne può essere posto un terzo mobile, una corda. La corda è fissata da un lato ad un piolo fisso, dall'altro ad una chiave o ad un peso che ne regolano la tensione. Quando alla tavola sia sostituita una cassa armonica, siano presenti più corde e scale, lo strumento viene detto sonometro. Agendo sulla tensione si ottiene dalla corda, messa in vibrazione, un determinato suono di altezza musicale (= frequenza) conosciuta. Per mezzo del cavalletto mobile si può ridurre la parte di corda che può vibrare in modo da far generare un suono diverso (più acuto = frequenza maggiore). Agli inizi del Seicento si verificò che il rapporto fra le lunghezze delle corde è uguale all'inverso del rapporto tra le frequenze dei suoni.

4 Un po’ di storia Fra il 1700 e il 1711 Joseph Sauveur ( ) (sordo dalla nascita!) fece degli esperimenti fondamentali col sonometro ponendo dei ‘cavalierini’ in vari punti della corda in modo da determinare la posizione di ventri e nodi, termini da lui introdotti insieme ad armonica superiore. Provò sperimentalmente l’esistenza, nel moto vibratorio di una singola corda, di più vibrazioni contemporanee che furono anche dette suoni concomitanti (o, appunto, armonici superiori). Estese le relazioni fra frequenza, lunghezza d'onda e lunghezza della corda alla canna d'organo, trovandone conferma sperimentale.

5 La relazione lunghezza corda- frequenza
Diminuendo la lunghezza della corda, ad esempio a metà, si ottiene un suono uguale al precedente come tono, ma più alto di un'ottava: la corda vibra con un numero di vibrazioni al secondo doppio (= raddoppia la frequenza). Se accorciamo la corda ancora a metà, quindi a un quarto rispetto all’inizio, avremo un suono ancora più alto: la corda vibra con una frequenza quadrupla. Se L = L f0 = f Se L1 = ½ L f1 = 2f Se L2 = ¼ L f2 = 4f f α 1/L Es: La 2 (ottava inf) a 220 Hz f α λ Es: La 3 a 440Hz Es: La 4 (ottava sup) a 880Hz

6 Le relazioni lunghezza corda – armoniche superiori
Nella relazione tra L e f interviene anche λ in quanto: Quando una corda vibra, può quindi vibrare in più ‘modalità’ diverse, rette da semplici relazioni matematiche Corda a riposo di lunghezza L Suono ‘base’ (es:110 Hz): L = ½ λ ; λ = 2L; f = f0 λ α f 1^ armonica superiore L = λ; f = 2 f0 2^ armonica superiore L = 3/2 λ ; λ = 2/3L; f = 3 f0 3^ armonica superiore L = 2 λ ; λ = ½ L; f = 4 f0 In una stessa corda si possono produrre contemporaneamente più vibrazioni, ognuna con una sua λ e f caratteristiche. Ciò che hanno in comune sono i vincoli (o nodi) agli estremi fissati.

7 Il sonometro del Liceo Malpighi
Vista dall’alto Confronto con un sonometro antico: il sonometro differenziale di Marloye (Konig, Parigi, 1873)

8 Elementi caratteristici
E’ composto da una cassa armonica sulla quale sono fissati tre regoli graduati: uno riporta le divisioni corrispondenti alle note della scala cromatica temperata musicale (basata sul LA3=435 Hz); un altro alle frequenze della scala cromatica naturale; l'ultima (quella centrale) è un metro diviso in millimetri. Due corde fisse sono montate fra cavalletti e messe in tensione da chiavi; una terza corda può essere posta al centro fra le prime due, passando su una carrucola per poter essere tesa tramite un peso. Cavalletti mobili permettono di limitare la parte vibrante delle corde. Si possono riprodurre le note di un’ottava intera, sia in una modalità (temperata) che nell’altra (naturale) Se si osserva con attenzione, le tacche corrispondenti a note uguali sulle due scale non sono sempre allineate (es: La, Si), ciò significa che le frequenze dei due suoni non sono le stesse! Anche se, musicalmente, si scrivono nello stesso modo nel pentagramma (rigo musicale). Si possono verificare 3 leggi sulle corde tese: 1° legge della lunghezza: mantenendo costante la tensione il numero delle vibrazioni eccitate sulla corda in un secondo è inversamente proporzionale alla lunghezza della corda. 2° legge delle tensioni: il numero delle vibrazioni di una corda è direttamente proporzionale alla radice quadrata del peso che la tende. 3° legge delle dimensioni : il numero delle vibrazioni di una corda è inversamente proporzionale al raggio della corda e alla radice quadrata della sua densità. Come mai ci sono due modalità? Quando sono nate? Quando si usano o sono usate? Cosa centra la matematica nella loro costruzione?

9 Qualità (o timbro) del suono
In base alla forma d’onda, i suoni si suddividono in: a) semplici (es: diapason) b) composti (es: corde di uno strumento; colonne d’aria) (b) Sovrapposizione di onde sinusoidali semplici = suono complesso (analisi di Fourier) La lettera A sta al posto della nota LA (notazione anglosassone)

10 Notazione musicale In musica, più che di frequenze, si parla di note e di ottave, per posizionare le varie altezze (frequenze) Negli spartiti le altezze delle note si individuano in base alla posizione in cui sono scritte nel pentagramma. Oltre alle 7 note di base, esistono anche 5 suoni intermedi, detti note ‘alterate’ ( e ) che nel pianoforte corrispondono ai tasti neri e hanno frequenze intermedie. 1 ottava = 13 note e 12 intervalli

11 Le scale musicali Le scale musicali (successione ordinata di suoni) sono costituite da una serie di note corrispondenti a suoni di altezza progressiva, il cui numero e i cui intervalli si possono ottenere in modi diversi. Nell’ambito storico dei sistemi musicali occidentali si susseguono in ordine di tempo: 1) scala greca (o pitagorica) 2) scala naturale ( o zarliniana) 3) scala temperata (attuale)

12 La scala pitagorica Per tradizione si attribuisce a Pitagora (500 a.C. circa) la costruzione di questa scala, che avviene per quinte successive (= armonica superiore di frequenza tripla della fondamentale). Per riportare l'insieme di note ottenuto nell'ambito dell'ottava di partenza si divide la frequenza così ottenuta per 2n dove n è il numero di ottave che si sono "percorse" dalla nota di partenza a quella di arrivo. Quinte Suono base frequenza f =1 Es: Do Rapporti tra le frequenze 3:2 9:8 27:16 81:64 243:128 729:512 Note scala Sol Re La Mi Si Fa

13 Frequenze scala pitagorica
Riordinando in 1 ottava si ottiene: Nota Do Re Mi Fa Sol La Si Rapporto numerico 1 9/8 81/64 4/3 3/2 27/16 243/128 2 frequenze In Hertz A 261 293 330 348 391 440 495 522 frequenze In Hertz B 256 288 324 341 384 432 486 512 Questo sistema fu in vigore nell'Antichità e nel Medio Evo, sino a tutto il secolo XV, è eccellente per la musica monodica (canto "gregoriano") ma inadatto alla polifonia.

14 La scala naturale sol Si Re 5/4 6/5 Accordo di Fa Do Mi Accordo di Sol
La necessità di una riforma della scala pitagorica era già stata sentita da Aristosseno (IV secolo a.C.) e riproposta da vari autori (tra cui anche Vincenzo Galilei), ma venne ufficialmente codificata da Gioseffo Zarlino (1517 – 1590), organista al duomo di S. Marco a Venezia. In definitiva a lui è attribuita l'invenzione della moderna armonia tonale, basata su due soli modi: il maggiore e il minore. La riforma consiste nell’uso dei suoni armonici che accompagnano il suono fondamentale; dato che possiedono frequenza multipla secondo i numeri interi, l'intervallo naturale suona quindi puro, senza battimenti, ed è tanto più "piacevole" all'ascolto quanto più è "semplice" il rapporto fra le frequenze dei suoni. La conferma scientifica di tale effetto uditivo venne da Joseph Sauveur nel 1701. La ‘base’ per la costruzione di tale scala sono gli accordi perfetti maggiori costituiti da 1 terza maggiore +1 terza minore = 1 quinta a cui corrispondono i rapporti 5/4 = 1,25 e 6/5 = 1,2 sol Si Re 5/4 6/5 Accordo di Fa Do Mi Sol Accordo di Sol 5/4 * 6/5 = 3/2 Fa La Accordo di Do Storicamente la scala naturale ebbe vita breve: da Zarlino a BACH! Il problema erano le note alterate…

15 Frequenze scala naturale
Riorganizzando le note e i corrispondenti rapporti all’interno di 1 ottava si ottiene la scala naturale: Nota Do Re Mi Fa Sol La Si Rapporto numerico 1 9/8 5/4 4/3 3/2 5/3 15/8 2 frequenze In Hertz A 264 297 330 352 396 440 495 528 In Hertz B 256 288 320 341 384 427 480 512

16 La scala temperata Do Re Mi Fa Sol La Si 440 256 1 2 2/12 2 4/12
Il problema dei diesis e dei bemolle creava non poche difficoltà tecniche. Già Marin Mersenne (1588 – 1648) nella sua “Harmonie Universelle” aveva proposto un cambiamento, che poi venne attribuito all’organista Andrea Werckmeister (1645 – 1706) La novità consiste nell’aver unificato il diesis e il bemolle tra 2 note consecutive e nell’aver diviso l’ottava in 12 semitoni uguali, in progressione geometrica, ciascuno dei quali è pari a 2 1/12 . Ogni rapporto tra 2 note successive vale quindi 1, 05946… Nota Do Re Mi Fa Sol La Si Rapporto numerico 1 2 2/12 2 4/12 2 5/12 2 7/12 2 9/12 211/12 2 12/12 frequenze In Hertz A 262 294 330 349 392 440 494 524 In Hertz B 256 287 323 342 384 431 483 512

17 La misura in cent degli intervalli
Il sistema logaritmico in base 2 per calcolare le frequenze delle note non è comunque molto agevole. Alexander Ellis (1814 – 1890) propose il cosiddetto sistema dei ‘cent’. 1 Cent = 1/1200 parte dell’ottava (di 2) = 1, …= 2 1/1200 1 Cent = 1/100 semitono temperato I semitoni temperati sono adatti a misurare la scala musicale temperata, i cents sono idonei a misurare qualsiasi intervallo. Un buon orecchio musicale molto difficilmente apprezza differenze di altezza inferiori a 8 cent; un’orchestra ben intonata tollera fluttuazioni di 10 cent. Nota Do Re Mi Fa Sol La Si Rapporto numerico 1 2 2/12 2 4/12 2 5/12 2 7/12 2 9/12 211/12 2 12/12 frequenze In Hertz 262 294 330 349 392 440 494 524 In cent 200 400 500 700 900 1100 1200

18 Confronti tra le varie accordature
RAPPORTI DI FREQUENZA NOTE SCALA CROMATICA SCALA TEMPERATA Valore matematico decimale in cent SCALA NATURALE matematico decimale in cent SCALA PITAGORICA valore DO 2⁰ 1 1.0000 Do ♯/ Reb 2 1/12 100 RE 2 2/12 200 9/8 1.1250 204 Re♯/ Mib 2 3/12 300 MI 2 4/12 400 5/4 1.2500 386 81/64 1.2656 408 FA 2 5/12 500 4/3 1.3333 498 Fa♯/Sol b 2 6/12 600 SOL 2 7/12 700 3/2 1.5000 702 Sol♯/ La b 2 8/12 800 LA 2 9/12 900 5/3 1.6666 864 27/16 1.6875 906 La♯/ Si b 2 10/12 1000 SI 2 11/12 1100 15/8 1.8750 1088 243/128 1.8984 1110 2 12/12 1200 2 2.0000

19 Valutazioni quantitative sul sistema temperato
NOTE FREQUENZE FATTORE SCARTI RAPPORTO SCALA cromatica (in Hertz) decimale in Hertz o semitono DO 3 256 s 1 261,6256 m Do# - Re b 271,2226 c 1,059463 15,22255 1, 277,1826 u 15,55707 RE 287,3503 i 1,122462 16,12773 293,6648 16,48214 Re# - Mi b 304,437 e 1,189207 17,08674 311,127 17,46222 MI 322,5398 n 1,259921 18,10277 329,6276 18,50057 FA 341,719 t 1,33484 19,17921 349,2282 a 19,60067 Fa# - Sol b 362,0387 1,414214 20,31967 369,9944 l 20,76619 SOL 383,5666 f 1,498307 21,52794 391,9954 22,00101 Sol # - La b 406,3747 1,587401 22,80806 415,3047 23,30926 LA 3 o corista 430,539 1,681793 24,1643 440 24,6953 La # - Si b 456,1401 1,781797 25,60118 466,1638 26,16376 SI 483,2636 1,887749 27,1235 493,8833 27,71954 DO 4 512 2 28,73635 523,2511 29,36783 Il perno dell’accordatura musicale attuale è il La 3 ( o la corista) a 440 Hz.

20 Estensione musicale N.B. Limiti delle frequenze udibili: 20 – Hz !!! La tastiera di un pianoforte presenta circa 7 ottave, dal La a 27,5 Hz a quello a 3520 Hz. La voce umana ha minor estensione!

21 Conclusioni La Matematica e la Fisica ci possono essere di grande aiuto per comprendere cosa si ‘nasconde’ dietro una sensazione sonora, ma non sopperiranno mai le sensazioni interiori che la musica evoca e esprime in modo così sublime! Fine