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Grandezze omogenee La Misura. Misurare una grandezza significa confrontarla con unaltra scelta come ununità di misura e associare ad essa, mediante il.

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Presentazione sul tema: "Grandezze omogenee La Misura. Misurare una grandezza significa confrontarla con unaltra scelta come ununità di misura e associare ad essa, mediante il."— Transcript della presentazione:

1 Grandezze omogenee La Misura

2 Misurare una grandezza significa confrontarla con unaltra scelta come ununità di misura e associare ad essa, mediante il confronto, un numero che permetta di ricostruire la grandezza data.

3 A B U AB=3U 3 è la misura di AB rispetto ad U Ad ogni grandezza AB possiamo associare una misura?

4 A B U AA 1 < AB < AB 1 A1A1 B1B1 Ma se con la misura U non ricopriamo interamente AB…. 3U < AB < 4U

5 A B U1U1 AB=36U 1 = 3,6 U A1A1 B1B1 Dividiamo U in parti più piccole, ad esempio in dieci parti. U 1= U/10

6 A B U1U1 AA 1 < AA 2 < AB < AB 2 < AB 1 A1A1 B1B1 Ma se nemmeno con la misura U1 ricopriamo Interamente AB…. A2A2 B2B2

7 Possiamo continuare questo procedimento e possono verificarsi due casi: 1. Il procedimento ha termine…abbiamo trovato la misura di AB rispetto un sottomultiplo di U Ad esempio AB=3,678 U 2. Il procedimento non ha termine….

8 Nel secondo caso determino due insiemi di grandezze - AA1, AA2, AA3, AA4,…. - AB1, AB2, AB3, AB4,…. A BA1A1 B1B1 A2A2 B2B2 A3A3 B3B3 Tali che le misure delle prime sono tutte più piccole delle misure delle seconde ( infatti i punti A1, A2, A3…precedono tutti i punti B1, B2, B3….)

9 Quale sarà la misura di AB? Un numero tale da essere o il massimo delle misure della prima classe o il minimo delle misure della seconda classe. Esiste tale numero? A BA1A1 B1B1 A2A2 B2B2 A3A3 B3B3

10 Richiamo : Postulato di Dedekind (continuità della retta) Due parti complementari e separate di una retta hanno sempre lelemento di separazione Complementari: lunione da tutta la retta Complementari: lunione da tutta la retta Separate: ogni punto della prima precede i punti della seconda Separate: ogni punto della prima precede i punti della seconda Elemento separatore: lultimo punto della prima parte o il primo della seconda Elemento separatore: lultimo punto della prima parte o il primo della seconda

11 Postulato di Dedekind per le grandezze Divisa una classe di grandezze in due insiemi complementari e separati, o il primo insieme ha massimo o il secondo insieme ha minimo. Quindi la misura di AB esiste ed è o la grandezza massima del primo insieme o la grandezza minima del secondo…. A BA1A1 B1B1 A2A2 B2B2 A3A3 B3B3

12 Questo numero può essere: 1. U n numero razionale 2. U n numero irrazionale Ad ogni grandezza quindi possiamo associare un numero reale che è la sua misura rispetto ad una unità di misura U. AB=rU con r numero reale

13 Grandezze omogenee Grandezze commensurabili e incommensurabili

14 Def. : Due grandezze aventi un sottomultiplo in comune si dicono commensurabili. AB/n=CD/m con n e m naturali In questo caso AB=n/m CD Ovvero se due grandezze sono commensurabili la misura di una rispetto allaltra è un numero razionale.

15 Teorema Il lato del quadrato e la sua diagonale non sono commensurabili. l d

16 Def. : Due grandezze (della stessa specie) si dicono incommensurabili quando non hanno sottomultipli comuni. In questo caso la misura di una rispetto allaltra è un numero irrazionale AB = i CD (i numero irrazionale)


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