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INTRODUZIONE I moti del cielo Modelli geocentrico ed eliocentrico Le leggi di Keplero e la legge di Newton Generalità sulle stelle.

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1 INTRODUZIONE I moti del cielo Modelli geocentrico ed eliocentrico Le leggi di Keplero e la legge di Newton Generalità sulle stelle

2 L'Universo ha impiegato miliardi di anni a scrivere la storia della creazione. L'uomo, senza dubbio, dovrà continuare a cercare di imparare a leggerla ancora per molto tempo. C.S.Powell

3 Nella seconda metà del XIX secolo è nata lAstronomia Moderna: LAstrofisica (studia la fisica e levoluzione degli oggetti dellUniverso): Astrofisica delle alte energie (studio dell'irraggiamento, X e ultravioletto) Astrofisica delle basse energie (irraggiamento nel visibile, infrarosso e radio). Un'altra distinzione viene fatta tra: Cosmogonia che studia la formazione e l'evoluzione dei corpi celesti particolari (stelle, pianeti, galassie, ecc) Cosmologia che cerca di spiegare la formazione e l'evoluzione dell'Universo considerato nella sua totalità. LAstrochimica (si interessa della chimica extraterrestre) La Bioastronomia o Esobiologia o Astrobiologia che studia la possibilità di vita nel cosmo. Astronomia Diverse discipline concorrono oggi allo studio dell'Universo. L'Astronomia di posizione o Astrometria (è la più antica) La Meccanica Celeste (insieme costituiscono l'Astronomia fondamentale o classica). Dal greco (astro) e (legge), è la scienza che studia le posizioni relative, il moto, la struttura e l'evoluzione degli astri.

4 Principio di uniformità della Natura Principio Copernicano LE LEGGI DELLA NATURA SONO LE STESSE IN TUTTE LE PARTI DELLUNIVERSO LA TERRA NON OCCUPA UNA POSIZIONE SPECIALE NELLUNIVERSO

5 Alcuni concetti di fisica

6 Se si produce una variazione periodica di un campo elettrico o magnetico in un punto dello spazio si origina la propagazione di una successione continua dimpulsi elettromagnetici, cioè unonda elettromagnetica. ONDE ELETTROMAGNETICHE Le onde elettromagnetiche si propagano alla velocità della luce, c= ,458 km/s. Alle onde elettromagnetiche si estendono le definizioni di lunghezza donda ( ), periodo (T) e frequenza ( ). E fondamentale la relazione tra velocità di propagazione, lunghezza donda e frequenza: c =

7 LO SPETTRO ELETTROMAGNETICO Le onde elettromagnetiche possono essere classificate in base alla lunghezza donda o alla frequenza. La luce visibile ha lunghezze donda comprese tra 400 nm (violetto) e 750 nm (rosso).

8 Onde elettromagnetiche e assorbimento atmosferico

9 Onde elettromagnetiche Onde radio Raggi XVisibile Infrarosso

10 I moti del cielo

11

12 Modelli geocentrico ed eliocentrico

13 Traiettoria apparente di Marte fra il 10 maggio ed il 10 novembre Tra i primi problemi che gli astronomi si sono trovati ad affrontare cè stata la spiegazione del moto dei pianeti. La presenza di cappi mal si conciliava con lidea greca di moti circolari uniformi attorno alla Terra.

14 Modello delle sfere secondo Platone

15 Modello delle sfere secondo Eudosso Secondo Eudosso solo le stelle fisse possedevano un'unica sfera. La Luna e il Sole, ad esempio, possedevano ben tre sfere ciascuno. Nel disegno si vede un corpo celeste che si trova inserito in un sistema di tre sfere legate tra loro da vincoli di rotazione. La sfera interna, sulla quale è fissato il corpo celeste, ruota su se stessa attorno un asse vincolato alla seconda sfera, la quale a sua volta ha l'asse di rotazione vincolato alla terza sfera, più esterna.

16 Teoria degli epicicli Per un pianeta interno, come ad esempio Venere, il Sole ruota attorno alla Terra e Venere, a sua volta, ruota attorno al Sole. Venere percorre quindi un piccolo "ciclo" (epiciclo) che si trova su un'orbita più grande (deferente). Un pianeta esterno, come ad esempio Marte, ruota attorno ad un centro C con lo stesso periodo di rotazione del Sole attorno alla Terra e, nello stesso tempo, il centro C ruota attorno alla Terra con lo stesso periodo di rotazione del pianeta attorno al Sole (in questo caso la circonferenza descritta dal pianeta è lepiciclo, mentre quella descritta da C è il deferente.

17 Il Sistema Tolemaico Claudio Tolomeo (circa d.C.), nato ad Alessandria d'Egitto, fu l'ultimo rappresentante dell'antica astronomia greca. Il suo merito principale fu quello di aver raccolto tutto lo scibile astronomico dei suoi tempi e, arricchitolo con le sue esperienze, di averlo esposto nella sua opera principale, la Mathematike Syntaxis (Composizione Matematica), che tradotto in arabo divenne Al Magisti, da cui il titolo a noi conosciuto: Almagesto. In essa aveva esposto il sistema del mondo noto come sistema tolemaico. La Terra era al centro dell'Universo ed i pianeti, il Sole e la Luna ruotavano attorno ad essa col sistema degli epicicli e dei deferenti.

18 Tolomeo negava anche la rotazione della Terra intorno al proprio asse, essendo il movimento diurno proprio della sfera celeste. I primi capitoli dellAlmagesto trattano di coordinate celesti, di trigonometria piana e sferica, di dimensioni della Terra, di eclissi di Sole e di Luna, di strumenti di osservazione e cè un catalogo delle posizioni di 1022 stelle. Quello di Tolomeo fu per parecchi secoli il Libro dell'astronomia perché i metodi matematici e geometrici di cui si servì lo fecero preferire alle opere simili di quel tempo. Per la sua completezza ebbe una rapida ed ampia diffusione. Il sistema tolemaico è piuttosto complicato però risponde con una buona approssimazione alle posizioni dedotte col calcolo matematico. Le irregolarità dei moti dei pianeti, del Sole e della Luna sono spiegabili mettendo la Terra non esattamente al centro delle orbite planetarie, ma leggermente decentrata. Ciò permetteva anche di attribuire la diversa velocità del Sole nel cielo e, soprattutto, l'alternarsi delle stagioni.

19 Il Sistema Copernicano Nel 1542 la pubblicazione e la diffusione dell'opera De Rivolutionibus Orbium Coelestium di Nicolò Copernico (1473 – 1543) mette in discussione il sistema tolemaico. Per la realizzazione del sistema copernicano viene ripresa una vecchia idea di Aristarco, che può essere sintetizzata nel seguente modo: > la Terra compie una rotazione attorno al proprio asse da ovest a est in circa ventiquattro ore; > la Terra non si trova al centro dell'Universo, ma solo dell'orbita lunare, e compie un giro attorno al Sole nel corso di un anno; > come la Terra i pianeti ruotano attorno al Sole che occupa il centro dell'Universo.

20 Con questo modello si possono spiegare facilmente gli strani moti dei pianeti. La concezione eliocentrica era stata accantonata per quasi venti secoli dagli studiosi perché appariva attaccabile sia dal punto di vista strettamente fisico, sia da quello metafisico. Fisicamente, l'ipotesi che la Terra orbitasse attorno al Sole veniva scartata per i seguenti motivi: sembrava contraddire il senso comune che prevedeva in una tale eventualità effetti catastrofici quali crollo di edifici, caduta degli oggetti non più lungo la verticale, eccetera; poiché l'angolo sotto cui le stelle vengono viste da un osservatore posto sulla Terra dipende dalla posizione della stessa, si dovrebbero osservare variazioni nel corso dell'anno nella posizione apparente delle stelle nella volta celeste (parallasse).

21 Se a queste obiezioni si potevano in qualche modo contrapporre argomentazioni scientifiche, ben poco poteva essere fatto se gli attacchi avevano fondamenti di tipo metafisico o teologico. La concezione aristotelica che aveva distinto in modo inequivocabile l'Universo in due mondi separati, quello sublunare e quello celeste, era difficilmente attaccabile senza scontrarsi anche con la Chiesa, che nel frattempo aveva fatto sua questa concezione (vedi Giordano Bruno che venne messo al rogo per le sue idee). L'idea copernicana ponendo la Terra sullo stesso piano degli altri corpi celesti, le faceva perdere quella posizione privilegiata che secoli di dispute filosofiche le avevano attribuito. Non sorprendano dunque i dubbi e le titubanze di Copernico, visto che doveva passare ancora più di un secolo perché le sue idee fossero accettate dalla comunità scientifica, e visto che ancora nel XVIII secolo tra i sostenitori delle due teorie si accendevano dispute accanite. Con Copernico erano state gettate le basi della moderna astronomia, ma per arrivare ad una descrizione di tipo quantitativo del moto dei corpi celesti dovevano passare ancora molti decenni.

22 Tycho Brahe Un ruolo fondamentale ebbero i dati di continue osservazioni della volta celeste raccolti e catalogati per più di trentanni dal matematico ed astronomo danese Tycho Brahe (1546 – 1601). Sulla base delle proprie osservazioni propose una teoria che si collocava a metà strada tra quella tolemaica e quella copernicana. Secondo Tycho i pianeti Mercurio e Venere ruotavano attorno al Sole, Giove, Marte, Saturno ed il Sole stesso orbitavano attorno alla Terra.

23 Le leggi di Keplero e la legge di Newton

24 Le leggi di Keplero Prima legge Le traiettorie descritte dai pianeti attorno al Sole sono ellissi di cui il Sole occupa uno dei fuochi Keplero chiamò perielio (dal greco peri = intorno e helios = Sole) il punto di minima distanza e afelio (dal greco apo = lontano e helios = Sole) il punto di massima distanza. La distanza di un pianeta dal Sole non è costante.

25 Le leggi di Keplero Seconda legge Il raggio vettore che congiunge il Sole con un pianeta descrive aree uguali in tempi uguali. Da questa legge segue che la velocità con cui i pianeti orbitano attorno al Sole non è uniforme, ma inversamente proporzionale alla radice quadrata della loro distanza dal esso. Poiché le aree sono uguali e vengono descritte dal raggio vettore in tempi uguali ne segue che il tratto di orbita AA è minore del tratto BB per cui la velocità in AA è minore di quella in BB.

26 Le leggi di Keplero Terza legge I quadrati dei periodi di rivoluzione sono proporzionali ai cubi dei semiassi maggiori delle rispettive orbite. T è il tempo che un pianeta impiega a ruotare attorno al Sole e a è il semiasse maggiore dellorbita. Utilizzando la legge della Gravitazione Universale di Newton si ricava il valore della costante; la legge è data quindi da: G (=6,67· N·m 2 /kg 2 ) è una costante e M S è la massa del Sole.

27 La legge della Gravitazione Universale Isaac Newton ( ), avvalendosi del principio d'inerzia enunciato da Galileo e di una brillante intuizione di Hooke (gli aveva infatti consigliato di studiare il moto dei pianeti dividendolo in due parti: una prima parte rappresentata dal moto inerziale lungo la tangente alla traiettoria, la seconda rappresentata da un moto accelerato in direzione del Sole), scoprì quale fosse il significato fisico delle leggi di Keplero. Dal momento che il moto dei pianeti non è rettilineo ed uniforme, deve esserci una forza diretta verso il Sole che regola, ma non causa il moto. Newton accertò che tale forza segue la legge dell'inverso del quadrato della distanza. I punti salienti del suo ragionamento sono: 1) tutti i corpi cadono in prossimità della superficie terrestre con un'accelerazione pari a 9,8 m/s 2 ;

28 2) la causa che fa cadere un corpo non viene meno qualunque sia l'altezza a cui il corpo è posto; se così non fosse dovrebbe esistere una determinata quota al di sopra della quale i corpi cessano di cadere e di pesare; 3) anche la Luna deve avere un peso e deve in qualche modo cadere sulla Terra; questo significa che la presenza della Terra regola il moto orbitale della Luna (potremmo dire che la Luna non cade affatto, ma se sulla Luna non agisse alcuna forza, essa proseguirebbe in linea retta, mentre invece viaggia lungo una traiettoria circolare, cosicché in realtà cade rispetto alla posizione in cui si troverebbe se non vi fosse nessuna forza). Da ciò Newton formulò la legge della gravitazione universale, che possiamo enunciare come segue:legge della gravitazione universale due corpi di masse m 1 ed m 2 esercitano l'uno sull'altro una forza, diretta lungo la loro congiungente, che è direttamente proporzionale al prodotto delle masse ed inversamente proporzionale al quadrato della distanza fra i loro centri. La legge della Gravitazione Universale

29 La costante G è nota come costante di gravitazione universale ed assume nel Sistema Internazionale il valore G = 6, N m 2 /kg 2. È importante capire quali estrapolazioni avesse dovuto compiere Newton per giungere al risultato che la forza di gravità segue la legge dell'inverso del quadrato della distanza. In primo luogo il risultato ottenuto per il sistema Terra-Luna non autorizzava a pensare che potesse essere altrettanto corretto in altri sistemi con caratteristiche totalmente diverse da quello preso in esame. Solo in tempi relativamente recenti si è potuto verificare che ovunque nell'Universo la gravità varia come 1/r 2. La legge della Gravitazione Universale

30 In secondo luogo cera il problema che il calcolo delle distanze usate per rapportare tra loro g e a C,L (accelerazione centripeta della Luna) veniva eseguito partendo dal centro della Terra. Per poter giustificare questo calcolo Newton dovette sviluppare il calcolo infinitesimale. Si può supporre che la massa di ciascun corpo sia concentrata nel centro del corpo stesso (il baricentro). Era opinione corrente che il moto dei pianeti si svolgesse attorno ad un punto coincidente con il centro del corpo centrale (il Sole) ritenuto immobile. Newton superò questa concezione applicando al moto planetario la sua terza legge del moto, il principio di azione e reazione. Affermò che le azioni dei corpi che attraggono e che sono attratti sono sempre reciproche ed uguali: perciò, se ci sono due corpi, nessuno dei due può trovarsi in quiete, ed entrambi orbitano attorno a un centro comune (il centro di massa del sistema). La legge della Gravitazione Universale

31 Newton si chiese anche quale fosse la natura della gravità. Fin qui ho spiegato i fenomeni del cielo e del nostro mare mediante la forza di gravità, ma non ho mai fissato la causa della gravità. Questa forza nasce interamente da qualche causa, che penetra fino al centro del Sole e dei pianeti […] e opera […] in relazione alla quantità di materia solida. La sua azione si estende per ogni dove ad immense distanze, sempre decrescendo in proporzione inversa al quadrato delle distanze. La gravità verso il Sole è composta dalla gravità verso le singole particelle del Sole […]. In verità non sono ancora riuscito a dedurre dai fenomeni la ragione di queste proprietà della gravità, e non invento ipotesi. [hypotheses non fingo] Qualunque cosa, infatti, non deducibile dai fenomeni va chiamata ipotesi; e nella filosofia sperimentale non trovano posto le ipotesi sia metafisiche, sia fisiche, sia delle qualità occulte, sia meccaniche. In questa filosofia le proposizioni vengono dedotte dai fenomeni e sono rese generali per induzione. In tal modo divennero note limpenetrabilità, la mobilità e limpulso dei corpi, le leggi del moto e la gravità. Ed è sufficiente che la gravità esista di fatto, agisca secondo le leggi da noi esposte, e spieghi tutti i movimenti dei corpi celesti e del nostro mare.. La legge della Gravitazione Universale

32 Generalità sulle stelle

33 La parallasse stellare I primi tentativi di valutare le dimensioni dellUniverso risalgono al mondo greco: Eratostene ha misurato il diametro della Terra, Aristarco e Ipparco hanno proposto metodi per determinare la distanza del Sole e della Luna.EratosteneAristarcoIpparco Conoscendo la distanza del Sole se ne può determinare la massa e quindi con la terza legge di Keplero è possibile calcolare la distanza dei pianeti del sistema solare. Per la determinazione della distanza delle stelle più vicine si fa uso della cosiddetta parallasse annua in virtù della quale le stelle vicine si spostano rispetto a quelle più lontane a causa del moto della Terra attorno al Sole. Lo spostamento massimo è dato dal diametro dellorbita terrestre (circa 3·10 11 m = 2 UA).

34 La parallasse stellare Si noti che dal triangolo formato dalla Stella, dal Sole e dalla posizione T 2 della Terra si ricava la relazione: 1 UA = d tan p che per valori di p molto piccoli (misurati in radianti) diventa: d = 1/p UA Si definisce quindi il parsec (= parallasse- secondo, abbreviato pc), la distanza dalla quale il raggio dellorbita terrestre è visto sotto langolo di 1. Si ha: 1 pc = 2,06265·10 5 UA = 3,086·10 16 m. In astronomia si usa anche lanno luce (a.l.), cioè la distanza che la luce percorre in un anno. 1 a.l. = 9,46·10 15 m 1 pc = 3,26 a.l.

35 La parallasse stellare La prima misura di parallasse fu fatta da Bessel nel Solo agli inizi del 1900 si poterono misurare angoli di parallasse con un errore dell'ordine di 0,01 mediante lapplicazione delle tecniche fotografiche. La stella più vicina al Sole è Proxima Centauri, la cui parallasse è p = 0,762", che corrisponde ad una distanza d = 1,3 pc = 4,3 a.l.. Il metodo trigonometrico per il calcolo della parallasse è valido solo per le piccole distanze. Alla distanza di 4 pc si ha un errore del 2%, alla distanza di 20 pc l'errore è già del 10%, infine alla distanza di 100 pc lerrore diventa del 50%. Le stelle comprese entro 4 pc dal Sole sono una trentina; quelle comprese entro 20 pc sono circa 700.

36 La parallasse stellare Altri metodi per la misura delle distanze in astronomia dipendono dalla misura della parallasse. L8 agosto 1989, lESA (European Space Administration, lAgenzia Spaziale Europea) ha lanciato il satellite Hipparcos (High Precision PARallax COllecting Satellite). La missione è stata portata a termine il 15 agosto 1993 ed ha permesso di misurare la posizione di circa stelle con la precisione di 0,001. In teoria ciò permetterebbe di misurare la parallasse delle stelle con questa precisione e di dedurne le distanze fino a un massimo di parsec = 3260 anni luce, ma in pratica si è arrivati solo a anni luce ! Attualmente è allo studio dellESA la missione GAIA (Global Astrometric Interferometer for Astrophysics) con lo scopo di misurare le parallassi di 50 milioni di oggetti con la precisione di 10 microsecondi darco, 100 volte superiore a quella di Hipparcos, il che permetterebbe in teoria di misurare le distanze di tutte le stelle della Via Lattea (usando come sfondo le altre galassie).

37 La magnitudine assoluta e relativa Lilluminamento di uno schermo diminuisce in modo proporzionale al quadrato della distanza tra lo schermo e la sorgente luminosa. Se prendiamo una lampada da 100 W e la spostiamo dalla distanza di 1 m da noi ad unaltra a 2 m, lilluminamento che ne riceviamo diventa un quarto. Definiremo luminosità intrinseca L, di una sorgente la potenza totale della sorgente, ossia lenergia raggiante totale emessa in un secondo e chiameremo flusso F attraverso una superficie S lenergia che attraversa S in un secondo in direzione normale. Si definisce invece intensità luminosa il flusso per unità di area attraversata. Si chiama magnitudine (o anche grandezza) una quantità legata alla luminosità delle stelle. La magnitudine relativa m è la magnitudine di un oggetto celeste misurata da Terra.

38 La magnitudine assoluta e relativa Ipparco aveva suddiviso le stelle visibili ad occhio nudo in 6 classi di magnitudini: le stelle più brillanti erano dette di prima grandezza, quelle appena visibili ad occhio nudo erano di 6ª grandezza e le altre venivano classificate entro questi due estremi. Oggi possiamo dire che le stelle di prima grandezza sono circa 100 volte più luminose di quelle appena visibili ad occhio nudo. La relazione tra la magnitudine delle stelle e la loro luminosità, che conserva la classificazione di Ipparco, è nota come legge di Pogson : Se S è una stella di prima grandezza (ossia di magnitudine 1) ed S 0 è una stella appena visibile a occhio nudo (ossia di magnitudine 6), utilizzando la classificazione di Ipparco deve essere m – m 0 = -5. Inoltre risulta F/F 0 =100. Da ciò si comprende perché viene scelto il coefficiente -2,5.

39 La magnitudine assoluta e relativa Si chiama magnitudine assoluta M la magnitudine che avrebbe un oggetto celeste se fosse posto alla distanza convenzionale di 10 pc. Tra la magnitudine relativa, la magnitudine assoluta e la distanza delloggetto esiste la relazione: Per le stelle vicine conosciamo la magnitudine relativa e la distanza d (da misure di parallasse) è quindi possibile determinare M. Se una stella è così lontana che la misura di parallasse è impossibile, ma se esiste un metodo per misurare la magnitudine assoluta M, allora si può determinarne la distanza d (in pc): = m - M è detto modulo di distanza. Lapplicazione della relazione ora data non è così semplice. E difficile ricavare M; inoltre lungo la linea di vista si possono interporre gas o polveri, che assorbono o diffondono parte della radiazione inviata dall'oggetto verso la Terra. In questo modo il valore di m viene falsato.

40 Lo spettro luminoso Spettro di emissione Spettro di assorbimento

41 Spettro atomico Un atomo è costituito da un nucleo centrale e da elettroni che orbitano attorno su orbite ben determinate. Gli elettroni possono muoversi su ben determinate orbite. Latomo di idrogeno è costituito da un protone e da un elettrone e i raggi delle orbite permesse sono dati dalla relazione: Ad ogni orbita corrisponde una ben determinata energia e per latomo di idrogeno si ha: con n = 1, 2, 3,...

42 Spettro atomico Nellatomo di idrogeno lelettrone si trova in genere nellorbita corrispondente ad n = 1, (stato fondamentale) le altre sono dette eccitate. Per far sì che un elettrone salti da unorbita più bassa n 1 ad unaltra più alta n 2 si deve fornire unenergia E = E(n 2 ) - E(n 1 ). Dopo un tempo brevissimo (meno di s) lelettrone ritorna nellorbita ad energia più bassa cedendo lenergia E sotto forma di un fotone di frequenza data dalla relazione di Planck: h = 6,83· J·s è la costante di Planck. Un gas freddo posto tra una sorgente di radiazione elettromagnetica e losservatore assorbirà fotoni di frequenze opportone producendo uno spettro di assorbimento. Un gas caldo (eccitato) emetterà fotoni di frequenze opportune producendo uno spettro di emissione.

43 Lo spettro di alcune stelle

44 Classificazione delle stelle Classe spettrale Temperatura superficiale Colore Magnitudine assoluta O KBlu intenso- 5,8 B KBlu- 4,1 A KBlu-bianco+ 0,7 F KBianco+ 2,6 G0 (Sole = G2)6.000 KGiallo+ 4,4 K KArancione+ 5,9 M KRosso-arancio+ 9,0 R, N3.000 KRosso S3.000 KRosso

45 Classificazione delle stelle ISuper-supergiganti IISupergiganti IIIGiganti IVGiganti normali VNane (stelle di sequenza principale). Il Sole è G2V VISottonane VIINane bianche Altre informazioni possono essere fornite aggiungendo delle lettere o altri simboli. Un numero romano serve per indicare la luminosità.

46 Aldebaran gigante rossa (K5) m=0,8 – d=68 a.l. 37 R S Betelgeuse supergigante rossa (M2) m=0,8 – d=650 s.l. 800 R S Capella Gialla (G5) m=0,1 – d=43 a.l. Deneb Supergigante bianca (A2) m=1,2-1,3 – d=1.800 a.l. Mintaka Azzurra (B0) m=2,1-2,3 – d=900 a.l. Procione Gialla (F5) m=0,4 – d=11 a.l. Rigel Azzurra (B8) m=0,1 – d=900 a.l. Il colore delle stelle

47 Il redshift Le righe spettrali possono presentare uno spostamento verso la parte rossa (redshift) o verso la parte violetta dello spettro (blushift). Interpretando questo fenomeno come effetto Doppler, nel primo caso loggetto si allontana, nel secondo si avvicina; conoscendo lo spostamento delle righe spettrali è possibile misurarne la velocità radiale (cioè lungo la congiungente osservatore-oggetto). La teoria della relatività fornisce le formule pertinenti; se la luce di lunghezza donda viene inviata da una sorgente che si muove alla velocità v verso un osservatore fermo, questi misura una lunghezza donda:

48 Il redshift Definiamo redshift la quantità: Si ha: Quindi la velocità della sorgente è data da: Se v << c allora le relazioni possono essere semplificate: da cuiquindi

49 Diagramma H-R Nel 1913 il danese Hertzsprung e l'americano Russel notarono che costruendo un grafico dove in ascissa sia indicato lindice di colore (una grandezza legato alla temperatura superficiale di una stella) e in ordinata la magnitudine assoluta di stelle di distanza nota, i punti apparivano raggruppati in due fasce molto strette, che non cambiavano mai di forma anche scegliendo un diverso campione di stelle. Queste due fasce furono denominate sequenza principale e ramo delle giganti; il grafico è oggi noto come diagramma H-R (diagramma di Hertzprung e Russel).

50 Diagramma H-R In base al diagramma H-R, ogni stella di sequenza principale avente una certa temperatura superficiale, è caratterizzata da una data magnitudine assoluta. Il diagramma H-R può essere utilizzato per determinare la distanza di ammassi di stelle. Siamo certi che esse hanno, più o meno, tutte la stessa distanza da noi. Tracciando il diagramma H-R con in ordinata la magnitudine apparente delle stelle dell'ammasso e lo confrontiamo che il diagramma H-R di stelle poste a distanza nota (che quindi riporta in ordinata la magnitudine assoluta). Per ogni stella dell'ammasso possiamo facilmente risalire alla magnitudine assoluta, essendo questa la stessa di ogni stella con lo stesso indice di colore posta sulla sequenza principale. In tal modo possiamo misurare la distanza degli ammassi aperti della Galassia e anche degli ammassi globulari.

51 FINE

52 Per verificare quantitativamente l'esattezza delle sue supposizioni Newton ipotizzò che la forza che faceva cadere i corpi in prossimità della superficie terrestre fosse la stessa che mantiene la Luna nella sua orbita. I dati in possesso di Newton erano i seguenti: raggio della Terra: R T ~ km distanza Terra-Luna: D T,L ~ km periodo di rivoluzione della Luna: T L = 29 giorni. Mediante questi dati è possibile calcolare le grandezze cinematiche relative al moto della Luna e precisamente: velocità orbitale della Luna: v L 1 km/s accelerazione centripeta della Luna: a C,L = 0,0027 m/s 2. Il rapporto tra la distanza Terra-Luna ed il raggio della Terra è: Deduzione della legge di Newon

53 La Luna si trova ad una distanza dal centro della Terra che è 60 volte più grande della distanza a cui si trova la mela dallo stesso centro. Se calcoliamo il rapporto tra l'accelerazione centripeta della Luna e l'accelerazione gravitazionale della mela in prossimità della Terra otteniamo: la Luna cade con un'accelerazione che è volte più piccola di quella con cui cade la mela. Questo indusse Newton a pensare che la forza di gravità variasse con l'inverso del quadrato della distanza: Deduzione della legge di Newon

54 Nel libro III, Proposizione IV Teorema IV, Newton afferma: La Luna gravita verso la Terra, ed è continuamente ritratta dal moto rettilineo e trattenuta nella sua orbita dalla forza di gravità e ne dà una dimostrazione che viene riportata con un linguaggio più moderno. Laccelerazione g con cui cade un corpo in prossimità della Terra è volte maggiore dellaccelerazione a con cui cade la Luna; osserviamo anche che in prossimità della superficie terrestre un corpo cade di una quantità h=5 m nel primo secondo dopo labbandono dello stato di quiete[h=½g(1s) 2 ], mentre lo spazio s di cui cade la Luna nello stesso intervallo di tempo è dato da: s = ½a(1s) 2. Da queste considerazioni si ricava che: Deduzione della legge di Newton

55 quindi cioè, in 1 s, la Luna cade di 1,4 mm. Deduzione della legge di Newton Conoscendo il raggio dellorbita lunare (D T,L ) e il tempo che la Luna impiega a girare intorno alla Terra (T L ), possiamo calcolare quale tratto (d) percorrerebbe la Luna, in 1 s, se non cadesse.

56 Indicando con s la quantità della quale cade in 1 s la Luna, dal triangolo rettangolo TLP si ricava: Si è trascurato s 2 perché piccolo rispetto agli altri termini. Si deduce che la Luna, in 1 s, cade di circa 1,3 mm. Deduzione della legge di Newton

57 Il metodo di Eratostene Eratostene calcolò il diametro della Terra basandosi sul fatto che un bastone verticale a Siene (Assuan) in Egitto, nel giorno del solstizio d'estate, non proietta ombra. Nello stesso giorno dell'anno, e alla stessa ora, un uguale bastone ad Alessandria proietta unombra e indica che i raggi del Sole hanno uninclinazione di 7°12' rispetto alla verticale. Se Alessandria si trova esattamente a nord di Siene (come Eratostene credeva), la differenza di latitudine tra i due luoghi è di 7°12'. La distanza tra le due città era stimata in stadi ( 1 stadio = 157 metri). Era quindi possibile calcolare il diametro terrestre: 7°12' rappresentano un cinquantesimo dell'angolo giro, quindi anche la distanza Siene-Alessandria è un cinquantesimo della circonferenza terrestre. Eratostene ottenne un valore del diametro terrestre di km. La misura oggi accettata è di km per il diametro equatoriale e km per quello polare.

58 Il metodo della dicotomia lunare di Aristarco Quando la Luna si trova al primo o allultimo quarto (in quadratura) appare metà in luce e metà in ombra. La congiungente Sole-Luna (SL) e quella Terra-Luna (TL) formano un angolo retto; misurando langolo STL = (si può fare direttamente nel cielo misurando la distanza angolare fra il Sole e la Luna quando entrambi sono visibili), si hanno i tre angoli del triangolo STL e quindi si possono conoscere i rapporti fra i lati. Aristarco prese = 87° ed ottenne TL/TS 1/19 (cos 87° 1/19), cioè il Sole è 19 volte più lontano della Luna. In realtà 89°45 e quindi TL/TS 1/389 da cui si ricava che il Sole dista dalla Terra 389 volte più della Luna.

59 Distanza del Sole e della Luna Nella figura sono rappresentati il Sole con centro in O, la Terra con centro in C, ed un arco IMF dellorbita lunare (la figura non è in scala). I è il punto in cui la Luna entra in eclisse, M il punto centrale del fenomeno ed F quello di uscita dallombra. Si suppone che leclisse sia centrale, cioè che nella fase centrale Sole, Terra e Luna siano sulla stessa retta. S è la misura dellangolo sotto cui dal Sole si vede il raggio terrestre, cioè la parallasse del Sole; L è la parallasse della Luna. Langolo r è il semidiametro apparente del Sole; è noto che vale 16' (dalla Terra il disco del Sole ha mediamente un diametro angolare di 32); infine è larco entro cui la Luna è in eclisse.

60 Distanza del Sole e della Luna È noto che uneclisse centrale dura due ore e mezzo, la metà di tale arco, cioè langolo, viene percorsa quindi in unora e 15 minuti (= 1,25 ore). Nel suo moto attorno alla Terra la Luna, in cielo, si sposta mediamente di circa 13° in 24 ore, si può scrivere la proporzione : 1,25 = 13° : 24 dalla quale si ricava che = 40'. Poiché gli angoli (r + ) e ( S + L ) sono supplementari dello stesso angolo SCF, si ha ( S + L ) = (r + ) = = 56'.

61 Distanza del Sole e della Luna I triangoli CTS e CTF sono rettangoli in T, si ha quindi: S + L TC = CS sen S e TC = CF sen L. CS è la distanza del Sole dalla Terra (la indichiamo con d S ) mentre CF è la distanza della Luna dalla Terra (la indichiamo con d L ). Poiché gli angoli in gioco sono piccoli valgono le approssimazioni: sen S = S e sen L = L. Si ha quindi: TC = d S S e TC = d L L. da cui segue: d S /d L = L / S. Ipparco era a conoscenza del valore trovato da Aristarco per il rapporto d S /d L (= 19); si ottiene L = 19 S. Ricordando che S + L = 56 si ottiene: S = ~ 3'; L = ~ 53'.

62 Distanza del Sole e della Luna Oggi sappiamo che la parallasse solare è 8,79 e perciò il valore trovato da Ipparco era in eccesso per un fattore circa 20; la parallasse della Luna invece era assai prossima al vero, che è 57', un errore quindi solo del 7%. Il grande errore nel risultato è dovuto al valore dato da Aristarco per il rapporto fra le distanze del Sole e della Luna. Conoscendo il raggio della Terra TC (vedi Eratostene) utilizzando: d S = TC/sen S e d L = TC/sen L si ha: d S km e d L km La distanza del Sole corrisponde a circa 1100 volte il raggio terrestre; oggi sappiamo che è volte. Per quanto lerrore sia notevole si ricavava che il Sole, apparendo di circa mezzo grado, doveva essere un globo 5 volte più grande in diametro del globo terrestre; risultato molto importante se si considera che in epoca successiva cerano discussioni tra chi riteneva il Sole un immenso astro dominante il cosmo e chi un piccolo globo di fuoco entro latmosfera sovrastante la Terra piatta.


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