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1 Trasformazioni 2D e 3D Daniele Marini Con contributi di Maurizio Rossi.

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Presentazione sul tema: "1 Trasformazioni 2D e 3D Daniele Marini Con contributi di Maurizio Rossi."— Transcript della presentazione:

1 1 Trasformazioni 2D e 3D Daniele Marini Con contributi di Maurizio Rossi

2 2 L’ambiente per le trasformazioni Spazio affine Coordinate omogenee Matrici

3 3 Richiami di geometria affine - Spazio vettoriale lineare: operazioni di somma tra vettori Campo scalare; operazione prodotto vettore x scalare - Spazio affine: è costituito da un insieme di punti, uno spazio vettoriale associato e due operazioni: addizione vettore + punto; sottrazione punto-punto

4 4 Richiami di geometria affine

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7 7 Orientamento nello spazio affine lo spazio può essere orientato in due modi: –mano sinistra: avvolgete la mano all’asse x e puntate il pollice verso x a sinistra, z (medio) viene verso di voi e y (indice) va verso l’alto –mano destra: avvolgete la mano all’asse x e puntate il pollice verso x a destra, z (medio) viene verso di voi e y (indice) va verso l’alto questo definisce il world coordinate system in cui sono definiti la scena

8 8 Coordinate omogenee Spazio delle classi di equivalenza: ogni punto in coordinate cartesiane 3D corrisponde a infiniti punti nello spazio omogeneo 4D che differiscono solo per un fattore moltiplicativo w: Il passaggio dallo spazio omogeneo allo spazio 3D: solitamente si sceglie w=1

9 9 Coordinate omogenee Lo spazio 3D può anche essere considerato come lo spazio omogeneo del piano 2D: ogni punto nel piano 2D corrisponde a infiniti punti nello spazio omogeneo 3D che differiscono solo per un fattore moltiplicativo w:

10 10 Matrici

11 11 Trasformazione affine una trasformazione affine preserva una combinazione baricentrica la combinazione baricentrica è una somma pesata di punti dello spazio affine

12 12 Trasformazioni affini rappresentate con matrici più trasformazioni possono essere combinate moltiplicando le matrici tra loro, creando una sola trasformazione una trasformazione si ottiene in generale combinando trasformazioni lineari (rotazioni, scala e shear) seguite da una traslazione

13 13 Definizione degli oggetti gli oggetti possono essere definiti in un proprio sistema di riferimento locale: i vertici dell’oggetto sono definiti rispetto a un orientamento proprio e naturale un oggetto complesso può essere decomposto in elementi più semplici col proprio riferimento locale e in seguito assemblato aggregando oggetti elementari un oggetto può essere istanziato più volte per assemblare e istanziare un oggetto si applicano le trasformazioni affini, che cambiano il riferimento locale

14 14 Possiamo descrivere un poliedro con i suoi vertici, facce e spigoli, questa proprietà ci garantisce che è necessario trasformare soltanto i vertici per trasformare tutto il poliedro La trasformazione affine conserva le rette

15 15 Trasformare gli oggetti le trasformazioni agiscono sui vertici dell’oggetto denotiamo i vertici (punti) come vettore colonna v R, T e S sono operatori di rotazione, traslazione e scala il punto trasformato è quindi: v’ = v + T traslazione, v’ = S v scala, v’ = R v rotazione

16 16 traslazione scala

17 17 rotazione attorno all’origine rotazione attorno al centro dell’oggetto: prima traslare poi ruotare poi contro-traslare Due parametri per la rotazione: angolo, centro di rotazione

18 18 (x,y) (x’,y’)   x=  cos  y=  sin  y’=  sin(  cos  sin  sin  cos   x sin  y cos  x’=  cos(  cos  cos  sin  sin   x cos  y sin  La rotazione nel piano

19 19 Traslazione, Rotazione e Scala sul piano sono espresse come trasformazioni nello spazio di coordinate omogenee 3D. Il vettore trasformato si ottiene pre-moltiplicando il vettore originale per la matrice di trasformazione: v’=T v

20 20 Traslazione

21 21 Scala

22 22 Rotazione la matrice di rotazione ha determinante pari a 1

23 23 Trasformazioni conformi Preservano relazioni angolari Considerare punti P come numeri complessi z=x+iy Anamorfosi conica: z’=r/z * (in cui z * =x-iy è il complesso coniugato di z) I punti P interni al cerchio sono proiettati all’esterno in P’ a distanza r/d e riflessi rispetto all’asse x e viceversa.

24 24 Trasformazioni di Mœbius (Omografiche) z’ = (az+b)/(cz+d) con: ad-bc ≠ 0 al variare dei coefficienti complessi a,b,c,d si hanno: scala, rotazione, traslazione, inversione,...

25 25 3D Ambiente: spazio affine, coordinate omogenee 4D Matrici, prodotto vettore per matrice

26 26 Traslazione, Rotazione e Scala espresse come trasformazioni nello spazio di coordinate omogenee 4D come prodotto tra matrici coord. omogenee coord. cartesiane

27 27 Scala coord. omogenee coord. cartesiane

28 28 Scala

29 29 Matrici di rotazione occorre specificare un asse di rotazione: attorno a x, y o z:

30 30 coord. omogenee coord. cartesiane ritroviamo la rotazione sul piano z=0 !

31 31

32 32 Trasformazioni inverse Denotiamo le inverse come: T -1, S -1, R -1. La traslazione inversa si ottiene negando i coefficienti di traslazione La scala inversa si ottiene prendendo il reciproco dei coefficienti La rotazione inversa si ottiene negando l’angolo di rotazione.

33 33 Composizione di trasformazioni Si possono applicare trasformazioni in successione, moltiplicando in ordine opportuno le matrici (associatività) v”=M 2 M 1 v = M 2 (M 1 v) =M 2 v’ –la trasf. M 1 viene applicata per prima! ricordiamo che il prodotto di rotazioni non è commutativo: R 2 R 1 ≠ R 1 R 2

34 34 Possiamo applicare a ogni punto separatamente le matrici: Oppure calcolare prima la matrice M: ABC p q M q p M=C(B(A))

35 35 Esempio: rotazione Ө attorno a un punto p e parallela a un asse Traslare l’oggetto nell’origine, i coefficienti della traslazione T sono riferiti al punto p Ruotare attorno all’origine di un angolo  Traslare inversamente nel punto p M=T -1 RT

36 36 Combiniamo le tre trasformazioni in un’unica matrice :

37 37 Rotazione attorno a un punto e un asse generico

38 38 Struttura di una generica matrice di trasformazione In generale una trasformazione composta è organizzata: traslazionerotazione

39 39 Cambiamento di riferimento Le trasformazioni si possono considerare applicate agli oggetti (punti in un s.d.r.) o come cambiamento di riferimento In questo caso si esprimono i punti p in un nuovo s.d.r. p’; es. traslazione:

40 40 Le trasformazioni per modellare Da oggetti prototipo (modelli) a loro “istanze” Tre trasformazioni nell’ordine: –Scala –Rotazione –Traslazione M inst =T(R(S))

41 41 Accumulare trasformazioni Per modellare una scena complessa si possono accumulare trasformazioni La scena è organizzata in una scene graph Durante la modellazione si creano matrici di istanza, applicate a ogni singolo oggetto Oggetti organizzati in gerarchia vengono raccolti e trasformati con nuove matrici che si accumulano sullo stack

42 42 Stack di matrici Attraversando la struttura della scena si cambiano le matrici di trasformazione gestendo lo stack Nei moderni sistemi real-time le operazioni sulle matrici di trasformazione sono gestite dall’hardware apposito nella pipeline di rendering

43 43 Classi di trasformazioni

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