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Assiomi della Probabilità 1.La probabilità di una qualunque ipotesi A è un numero reale non-negativo, i.e. P (A) 0 2.La probabilità di una qualunque verità

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Presentazione sul tema: "Assiomi della Probabilità 1.La probabilità di una qualunque ipotesi A è un numero reale non-negativo, i.e. P (A) 0 2.La probabilità di una qualunque verità"— Transcript della presentazione:

1 Assiomi della Probabilità 1.La probabilità di una qualunque ipotesi A è un numero reale non-negativo, i.e. P (A) 0 2.La probabilità di una qualunque verità necessaria T è 1, i.e. P (T) = 1 3.Se A e B sono mutuamente esclusive (A B = ) allora la somma delle loro probabilità eguaglia la probabilità della loro unione, i.e P (A B) = P (A) + P (B) se A B = a)P (A) = 1 - P (Ā) b)P ( ) = 0 c)A B P (A) P (B) d)P (A B) = P (A) + P (B) - P (A B)

2 4La probabilità della congiunzione di A e B è data dal prodotto della probabilità condizionata P (A | B) e della probabilità di B, i.e. P (A B) = P (A | B) P (B) Assiomi della Probabilità AB A B

3 P (A | B) probabilità di A dato B; P (A B) probabilità che A e B si verifichino P (A B) P (A | B) Esempio: A = B P (A) = P (A A) P (A | A) = 1 i.e. A dato A è un evento certo indipendentemente dal valore di P (A) (anche se P (A) = 0) Levento A | B può avere 3 valori: Probabilità Condizionata VERO (A = vero e B = falso) FALSO (A = falso e B = vero) INDETERMINATO (B = falso)

4 Probabilità Condizionata Eventi indipendenti: P (A B) = P (A) P (B) P (A | B) = P (A) P (B | A) = P (B) i.e., sapere che un evento si è verificato non altera la probabilità dellaltro. Invece, se P(A | B) P(A) gli eventi A e B sono correlati: Scambiando A e B nellassioma 4, si ha: P (B A) = P (B | A) P (A) A B B A P (A | B) P (B) = P (B | A) P (A) positivamente se P (A | B) > P (A) negativamente se P (A | B) < P (A)

5 Teorema di Bayes Consideriamo tutte le possibili (mutuamente esclusive) ipotesi H i che potrebbero influenzare un dato evento E qualè la probabilità di H i sotto lipotesi delloccorrenza di E ? i.e., avendo osservato un effetto, assegnare la probabilità di ciascuna delle cause che potrebbero averlo prodotto (= inferenza) Ipotesi H i - mutuamente esclusive, i.e. H i H j =, (i, j) - esaustive, i.e. i H i = E = i E H i E H1H1 H2H2 HnHn HiHi

6 Teorema di Bayes P (E) = P ( i E H i ) = i P (E H i ) = i P (E | H i ) P (H i ) P (H i | E) P (E) = P (E | H i ) P (H i ) P(H i | E) = P (E | H i ) P (H i ) i P (E | H i ) P (H i ) teorema di Bayes Phil. Trans. R. Soc. 53, 370 (1763); Biometrika 45, 293 (1958)

7 Teorema di Bayes Espressioni alternative per il teorema di Bayes ripristinando P (E) P (H i | E) P (H i ) = P (E | H i ) P (E) i.e. P (H i ) è alterato dalla condizione E con lo stesso rapporto con cui P (E) lo è dalla condizione H i poiché il denominatore nellespressione del teorema di Bayes è solo un fattore di normalizzazione che fa si che risulti i P (H i | E) = 1 è possibile riscrivere il teorema nella forma seguente:

8 Teorema di Bayes P(H i | E) P (E | H i ) P (H i ) questa forma del teorema mostra esplicitamente come la probabilità di una certa ipotesi è aggiornata a seguito del cambiamento dello stato di informazione P (H i ) = probabilità iniziale (a priori), i.e. la probabilità di H i prima di sapere che si è verificato E P (H i | E) = probabilità finale (a posteriori), i.e. la probabilità H i dopo la nuova informazione P (E | H i ) = likelihood N.B. - nessun ordinamento temporale: prima e dopo si riferiscono alla considerazione o meno della nuova informazione

9 Teorema di Bayes Causa = qualunque sorgente fisica in grado di produrre un dato osservabile, i.e. un effetto Likelihood indica la verosimiglianza che una causa produrrà un certo effetto Esempio: particella carica che attraversa materiale in cui rilascia una certa quantità denergia Causa: tutte le possibili particelle che attraversano il rivelatore Effetto: quantità di energia persa Likelihood: probabilità che ciascuna delle particelle rilasci quella quantità denergia

10 Applicazioni del teorema di Bayes Esempio 1: test per un certo virus influenzale Il test prevede 2 soli risultati: + / P (virus) = P (no virus) = probabilità a priori, i.e. prima di aver sostenuto il test P (+ | virus) = 0.98 P ( | virus) = 0.02 probabilità dei 2 possibili risultati nel caso di persona infetta P (+ | no virus) = 0.03 P ( | no virus) = 0.97 probabilità dei 2 possibili risultati nel caso di persona sana Il risultato del test è + devo preoccuparmi ?

11 Applicazioni del teorema di Bayes La probabilità di essere infetto dato un risultato + del test è: P (virus | +) = P (+ | virus) P (virus) P (+ | virus) P (virus) + P (+ | no virus) P (no virus) = 0.98 x x x = probabilità a posteriori la probabilità di essere infetto dato un risultato + del test è soltanto il 3.2 %, i.e. sono OK ! Risultato sorprendente ? NO, la probabilità a priori è molto piccola (0.1 %)

12 Applicazioni del teorema di Bayes P (virus | ) = P ( | virus) P (virus) P ( | virus) P (virus) + P ( | no virus) P (no virus) = 0.02 x x x x … e la probabilità di essere infetto dato un risultato ? … il test è affidabile

13 Applicazioni del teorema di Bayes Esempio 2: 3 scatole con 2 anelli ciascuna, ma una contiene 2 anelli doro, in unaltra gli anelli sono entrambi di ferro e nellultima ci sono un anello doro e uno di ferro Si estrae un primo anello da una scatola il cui contenuto è incognito supponiamo che lanello sia doro Se voglio che anche il secondo anello sia doro è preferibile estrarlo dalla stessa scatola o da una scatola diversa ??

14 Applicazioni del teorema di Bayes Le probabilità iniziali, i.e. prima di aver estratto lanello doro, per la scelta delle 3 scatole è (per simmetria): P (A) = P (B) = P (C) = 1/3 per cui (K = A, B, C) P (E) = K P (E | K) P(K) = 1 x x 0 x = 1 2 scatola A: Au-Au P ( E | A) = 1 scatola B: Au-Fe P ( E | B) = 1/2 scatola C: Fe-Fe P ( E | C) = 0 E = anello di Au

15 Applicazioni del teorema di Bayes P (A | E) = P (E | A) P (A) P (E) 1 x 1/3 1/2 = = 2 3 P (B | E) = P (E | B) P (B) P (E) 1/2 x 1/3 1/2 = = 1 3 P (C | E) = P (E | C) P (C) P (E) 0 x 1/3 1/2 = = 0 S = anello successivo sarà doro se lo estraggo dalla stessa scatola P (S | E) = P (S | A,E) P (A | E) + P (S | B,E) P (B | E) + P (S | C,E) P (C | E) = 1 x x + 0 x 0 = 2 3

16 Applicazioni del teorema di Bayes osservazioni sui 2 esempi Esempio 1 - probabilità utilizzate desunte da frequenze relative osservate studiando un campione di pazienti sotto osservazione problema: cosa dire nel caso di un singolo paziente ? Inevitabile trasformazione (inconscia) frequenze probabilità dipotesi, nel senso di quanto confidente sono nelle 2 ipotesi (sano o infetto ?) Esempio 2 - significato di P (A | E) = 2/3 e P (B | E) = 1/3 ? esistono solo 2 eventi: Au e Fe ! quali sono gli equiprobabili favorevoli e possibili casi ? se la probabilità è il rapporto tra questi numeri, in qualunque momento potrebbe esserci richiesto di elencare questi casi equiprobabili che servono per calcolarlo. Anche in questo, almeno intuitivamente, tutti interpretano 2/3 e 1/3 come quanto essere confidenti in ciascuna ipotesi analisi del concetto di probabilità

17 Concetto di Probabilità 2 definizioni standard (da libro di testo): definizione combinatoria - rapporto tra il numeri di casi favorevoli e il numero totale dei casi … se tutti i casi sono equiprobabili definizione circolare spesso si trova scritto: se tutti i casi sono egualmente possibili soluzione ? NO, in tale contesto possibile probabile Questa definizione è, al più, una regola per calcolare la probabilità definizione frequentista - rapporto tra il numero di volte che levento si presenta nelle ripetizioni di un certo esperimento e il numero totale di prove

18 Insoddisfacente per 2 motivi: Concetto di Probabilità a)non è detto che il numero di ripetizioni deve essere molto grande ( ) b)definisce la frequenza relativa con cui levento è occorso nel passato che per essere usata come misura della probabilità richiede lipotesi che levento è occorso nel passato e occorrerà nel futuro con la stessa probabilità. N.B. - il punto a) è secondario, ma il punto b) è cruciale: chi può assicurarci che lipotesi sia valida? nessuno, siamo costretti a fare congetture in ogni singolo caso … in definitiva, che cosè la probabilità ?

19 Dizionario Zingarelli probabilità - condizione, carattere di ciò che è probabile; probabile - credibile, verosimile, ammissibile in base a motivi e argomenti abbastanza sicuri Probabilità Soggettiva probabile si contrappone a certo: se non possiamo affermare con sicurezza che un evento è vero/falso, diciamo che è possibile o probabile eventi diversi possono avere gradi di probabilità differenti a seconda se pensiamo che per essi è più verosimile essere veri o falsi, e.g dati due eventi E 1 e E 2 o considero E 2 più probabile di E 1 o sono più confidente in E 2 o dovendo scommettere scelgo senza dubbio E 1

20 Probabilità Soggettiva probabilità come misura della fiducia, del grado di confidenza, che riponiamo nel fatto che un certo evento si verificherà luso del futuro non implica ordinamento temporale, ma sta ad indicare che laffermazione sarà provata essere vera anche se si riferisce al passato (e.g. probabilità che il giorno della vostra laurea fosse soleggiato) N.B. - La probabilità come atto di fede ?? … È una definizione utile ?? … Se riflette il nostro personale grado di fiducia, come è possibile basare su essa una logica oggettiva dinferenza induttiva ?? … Le definizioni combinatoria e frequentista, se non altro, forniscono regola per calcolare qualcosa. E quella soggettiva ?? La definizione necessita indubbiamente di alcune spiegazioni … ma già così presenta indubbi vantaggi

21 Probabilità Soggettiva naturale, (molto) generale e applicabile a qualunque evento indipendentemente dalla possibilità di: costruire un elenco di tutti i casi possibili e favorevoli ripetere gli esperimenti sotto condizioni di equiprobabilità non richiede distinzione tra la probabilità scientifica e quella non-scientifica (i.e. quella usata nella vita di tutti i giorni) Consente teoria generale dellincertezza che tiene conto di qualunque sorgente derrore statistico e sistematico nel caso di misure, consente di parlare della probabilità del valore vero di una quantità (teoria) fisica N.B. - nellapproccio frequentista si può parlare solo della probabilità di un risultato sperimentale: il valore vero è una costante

22 Gioco di de Finetti Un vostro studente afferma di essere sicuro al 100 % di aver superato con successo il test di Matematica Come fare per stabilire quanto lo studente sia veramente sicuro di essere andato bene ? gioco di de Finetti: serie di domande volte a valutare il grado di fiducia p che lo studente ripone nellaffermazione test perfetto (= probabilità soggettiva) Strumenti (virtuali) del gioco: scatola con R palle rosse e B palle blu (R + B = 100) una posta S in denaro, e.g. 1 M

23 Gioco di de Finetti Si propongono allo studente 2 alternative: A = aspettare il risultato del test, se prende il massimo vince S E = estrarre una palla dalla scatola, se prende una palla R vince S E (R = 98) A p E (R = 80) A < p 0.98 E (R = 90) A < p 0.9 E (R = 85) A < p p = 0.83 E (R = 83)A (i.e. scelta indifferente)

24 Teorema Ramsey-de Finetti Scommessa che prevede che una parte (A) sia disposta a scambiare con laltra (B) una certa somma pS con lopportunità di ricevere: una somma S ( 0) se una certa ipotesi H è vera 0 se lipotesi H è falsa somme incassate dai due contraenti: HAB veraS - pSpS - S falsa-pS-pSpSpS Ipotesi: p è tale che la scommessa è leale, i.e. non cè alcun vantaggio a scegliere uno o laltro lato della scommessa p = grado di confidenza in H N.B.- p 1 ??

25 Teorema Ramsey-de Finetti Insieme finito di ipotesi arbitrarie H i con gradi di confidenza p i Strategia di gioco rispetto alle H i è un insieme di decisioni della forma: scommetti a favore (o contro) ciascuna H i Teorema: se le p i non soddisfano gli assiomi della probabilità, allora esistono poste S i e una strategia di gioco per le H i che necessariamente comportano una perdita certa per chiunque segua questa strategia, i.e. le scommesse non sono tutte leali Esempio: assioma 2 (i.e. P (T) = 1) p = P (T) > 1 poiché T è necessariamente vera chi scommette su T ha una perdita garantita pari a pS - S p = P (T) < 1 chi scommette contro T ha una perdita garantita pari a S - pS i.e. in entrambi i casi una o laltra parte perdono con certezza nessun valore p 1 può essere leale

26 Teorema Ramsey-de Finetti … i gradi di confidenza possono essere personali ma non sono infondati o anarchici: devono soddisfare gli assiomi della probabilità La definizione della probabilità tramite le puntate delle scommesse è operativa, sebbene non ci sia alcun bisogno di fare una scommessa (con chi ?) ogni volta che viene presentato un risultato. Lo scopo della scommessa è di costringere a unassegnazione onesta della probabilità. Il fatto che la procedura operativa non sia da prendere alla lettera non deve suscitare scandalo, basti pensare alla definizione di sostanza chimica velenosa: qualcosa che è letale se ingerita … anche se rappresenta la migliore definizione possibile del concetto, è meglio mantenere questa definizione operativa a livello ipotetico. … gioco dazzardo e fisica: quale legame ??

27 Statistica Bayesiana probabilità soggettiva + teorema di Bayes = statistica Bayesiana A = ipotesi che una certa teoria sia vera B = ipotesi che un esperimento darà un certo risultato, i.e. dei dati teorema di Bayes assume la forma: P (teoria | dati) P(dati | teoria) P (teoria) probabilità a priori che la teoria sia vera probabilità a posteriori che la teoria è corretta dopo aver osservato il risultato dellesperimento probabilità, sotto lassunzione della teoria, di osservare i dati effettivamente ottenuti

28 Statistica Bayesiana … ancora lesempio del test influenzale punto di vista del virologo, i.e. di chi studia un gran numero di potenziali portatori del virus probabilità come frequenze relative (frequentista): P (virus) = frazione f di persone infette; P (virus | +) = frazione di persone che sono infette tra quelle per le quali il test è + punto di vista del paziente, i.e. del singolo che si sottopone al test se nessun altra info è disponibile si assume: P (virus) = f, i.e. come nel caso frequentista, ma interpretandola come grado di confidenza dellipotesi infetto prima di eseguire il test. se altre info a disposizione probabilità a priori differenti potrebbero essere assegnate (aspetto soggettivo della statistica bayesiana) Una volta assegnata P (virus), però, il teorema di Bayes ci dice come la probabilità di avere il virus, i.e. il grado di confidenza in questa ipotesi, cambia alla luce del risultato + del test

29 Statistica Bayesiana Esempio 3 - Cè da lavare i piatti dopo cena. Il vostro partner propone di lasciar decidere alla sorte: lava i piatti chi estrae dal mazzo la carta più bassa. Voi accettate e perdete … La cosa si ripete nei giorni successivi: tocca sempre a voi lavare i piatti … Qual è la probabilità che il vostro partner cominci a barare al crescere del numero n di vittorie consecutive ? Le ipotesi sono 2: B = il partner è un baro O = il partner è onesto P (B) è bassa (è pur sempre delluomo/donna della vostra vita …) ma 0: assumiamo P (B) = 0.05 assumiamo (per semplificare) che un baro vince sempre: P (S n | B) = 1 assumiamo che la chance di vittoria ad ogni prova è 1/2 probabilità di vittoria se onesto è: P (S n | O) = 1/2 n

30 Statistica Bayesiana P (B | S n ) = P (S n | B) P (B) P (S n | B) P (B) + P (S n | O) P (O) = 1 x x x 2 -n n P (B | S n ) (%) P (O | S n ) (%)

31 Statistica Bayesiana La risposta è sempre probabilistica: non potete mai essere completamente certi che il vostro partner sia un baro … Ciò è coerente con il fatto che stiamo trattando eventi casuali e con il fatto che qualunque sequenza di risultati ha la stessa probabilità (sebbene ci sia solo 1 possibilità su 2 n che il vostro partner sia sempre il più fortunato). In base al valore di P (B | S n ), voi potete decidere come agire: continuare il gioco, con probabilità P (B | S n ) di perdere certamente alla prossima estrazione smettere di giocare, con probabilità P (O | S n ) di offendere il vostro innocente partner P (B) = 0 la probabilità finale rimane sempre = 0, i.e. se voi credete ciecamente nellonesta del vostro partner, allora dovete solo registrare il verificarsidi un evento raro al crescere di n.

32 Statistica Bayesiana dipendenza della probabilità finale da quella iniziale per un dato numero n di vittorie P (B) (%) P (B | S n ) (%) n = 5n = 10n = 15n = al crescere del numero di osservazioni sperimentali la conclusione (i.e. la probabilità a posteriori) diviene indipendente da quella a priori i risultati sono stabili rispetto a variazioni ragionevoli della probabilità a priori (cfr. i casi P (B) = 5 %, 10 %)

33 Referenze Tutti gli argomenti sono trattati con maggiore ampiezza e profondità nel libro di Giulio DAgostini, Bayesian Reasoning in Data Analysis, World Scientific (2003) Il libro è il culmine del lavoro decennale dellautore nellambito della analisi dei dati nella Fisica delle Particelle Elementari. Traccia di tutta questa attività è reperibile sul sito web


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