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Il caso delle misure di eventi rari Caterina Bloise Incontri di Fisica LNF-INFN, 2 ottobre 2007.

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Presentazione sul tema: "Il caso delle misure di eventi rari Caterina Bloise Incontri di Fisica LNF-INFN, 2 ottobre 2007."— Transcript della presentazione:

1 Il caso delle misure di eventi rari Caterina Bloise Incontri di Fisica LNF-INFN, 2 ottobre 2007

2 LNF-INFN, FrascatiC. Bloise- 2 ottobre Scelta degli argomenti I risultati delle misure Determinazione del livello di confidenza di un risultato Il caso (molto comune) della ricerca di eventi rari Estrazione del segnale in presenza di fondo Trattamento delle fluttuazioni statistiche Trattamento delle sistematiche Motivazioni Sono tutte questioni ampiamente dibattute Facilmente esemplificabili Di interesse generale Tutti esemplificati

3 LNF-INFN, FrascatiC. Bloise- 2 ottobre I risultati delle misure Il risultato si vuole che contenga linformazione del processo di misura che lo determina, un processo complesso in cui sono coinvolti la strumentazione e la capacità sperimentale di controllo, i criteri per la selezione degli eventi di interesse, le fluttuazioni statistiche del campione. Possiamo esemplificare bene la procedura che porta alla determinazione del risultato focalizzando le argomentazioni al caso della ricerca di eventi rari. Questa presuppone, schematicamente, una procedura di selezione la valutazione della composizione del campione selezionato la determinazione del numero di eventi di cercati (segnale), estratta dal conteggio del campione selezionato (s+b) la valutazione degli intervalli di confidenza del risultato in connessione alle fluttuazioni statistiche e alle sistematiche

4 LNF-INFN, FrascatiC. Bloise- 2 ottobre Selezione degli eventi Bisogna definire un set di variabili discriminanti in grado di separare il segnale dal fondo e un set di loro valori (tagli) in base ai quali effettuare la selezione Il campione selezionato sarà composto di un numero di eventi n n = s + b = s S + b B s = P ( accept | s ), b = P ( accept | b )

5 LNF-INFN, FrascatiC. Bloise- 2 ottobre Un esempio di procedura selettiva Le predizioni del Modello Standard sono confermate oggi con incredibile precisione dagli esperimenti Laspetto insoddisfacente è lincapacità di motivare il numero e la massa di quark e leptoni La ricerca di fenomeni di nuova fisica comprende una serie di processi soppressi e calcolabili con precisione nellambito del Modello Standard. Un risultato diverso indicherebbe effetti nuovi nel settore indagato La ricerca di decadimenti K e (K e2 ) ricade in questa classe, in questo caso la frequenza aspettata è 1.4/10 5 K e2 a KLOE

6 Ricerca di nuova fisica: K e2 a KLOE M 2 lep (MeV 2 ) MC K e2 MC K 2 e E1E1 E2E2 E5E5 Cluster depth Calorimeter Sperimentalmente bisogna identificare questi eventi, isolandoli dal canale 40,000 volte più frequente K (K 2 ) Gli eventi sono caratterizzati a KLOE da impulsi diversi dei secondari carichi. Lottima ma comunque finita precisione della misura dellimpulso impone lintroduzione di ulteriori variabili discriminanti M 2 lep = (E K -P lep ) 2 – (P lep ) 2 per K 2 ~ per K e2 ~0.2 T.Spadaro, Pechino 07

7 MC K e2 MC K 2 MC K e2 E max (MeV) E RMS (MeV) AfAf Variabili discriminanti K e2 a KLOE T.Spadaro, Pechino 07

8 M 2 lep (MeV 2 ) MC K 2 w/o PID MC K 2 w PID MC K e2 w/o PID MC K e2 w PID M 2 lep (MeV 2 ) Data w/o PID Data w PID Risultati della selezione La procedura è in grado di selezionare il segnale con = 0.6, riducendo il fondo allo 0.2% del valore iniziale Lanalisi di un ulteriore campione, K e, permette di controllare le incertezze dovute alla simulazione. K e2 a KLOE T.Spadaro, Pechino 07

9 LNF-INFN, FrascatiC. Bloise- 2 ottobre Una procedura di fit del likelihood nel piano E RMS vs M 2 lep permette, conosciute le p.d.f. di segnale e background, di ottenere il conteggio di b e s (s = 8090±160) M 2 lep (MeV 2 ) Data Fit region E RMS (MeV) M 2 lep (MeV 2 ) Data ° MC Fit MC bkg Conteggio del segnale K e2 a KLOE T.Spadaro, Pechino 07

10 LNF-INFN, FrascatiC. Bloise- 2 ottobre Determinazione del livello di confidenza Data la distribuzione P(x| ) si individuano i valori di x più improbabili fino ad ottenere una somma di probabilità leggermente minore o uguale a tali valori sono intesi come utili a rigettare lipotesi che il risultato della misura sia Loperazione si ripete per ogni

11 LNF-INFN, FrascatiC. Bloise- 2 ottobre Intervalli di confidenza P(n| e - n /n! Per ogni la probabilità che n sia compreso nellintervallo centrale è del 68% o appena superiore per costruzione Per ogni n, è compreso tra [ -,, + ] con livello di confidenza del 68% n = 3 [2.16, 3.38] La tecnica è la stessa per ogni C.L., sia esso centrale, sia un limite superiore [0, + ], o inferiore [ -, ] Se la determinazione sperimentale di x è n, siamo in grado di selezionare tra tutti i valori di quelli compatibili con n, per cui n non è compreso tra i valori individuati nelloperazione precedente Lintervallo di ottenuto conterrà il valore del parametro misurato con probabilità 1 -. n % 16%

12 LNF-INFN, FrascatiC. Bloise- 2 ottobre P(n|s e -(s+b) (s+b) n /n! Unanaloga regione, traslata di b, si ottiene quando si vuole misurare un segnale in presenza di fondo b La costruzione indica zone scoperte, con risultati nella regione di s non fisica,in caso di sottofluttuazione nel background La costruzione degli intervalli per i limiti superiori rimane indipendente e diversa da quella degli intervalli centrali Questi aspetti sono inerenti la costruzione degli intervalli di confidenza che è indipendente dalla prossimità della regione non fisica dei valori dei parametri Estrazione del segnale in presenza di fondo intervalli centrali, di 90% C.L. con fondo b = 3 G.Feldman e R.Cousins,Phys.Rev.D,57(1998),3873

13 LNF-INFN, FrascatiC. Bloise- 2 ottobre Sottofluttuazioni del fondo P(n|s e -(s+b) (s+b) n /n! n = 5, b = 0.9 s = n = 5, b = 4.9 s = ? n = 5, b = 6.9 s = ? n = 5, b = 10.9 s = ? Corretto se si ricorda lintera procedura e che ci si aspetta per costruzione di rigettare lipotesi giusta sul parametro con probabilità del 32% Un risultato che tenga conto della regione fisica del parametro sarebbe comunque di più facile lettura

14 LNF-INFN, FrascatiC. Bloise- 2 ottobre Ordinamento della p.d.f. G.Feldman e R.Cousins,Phys.Rev.D,57(1998),3873 intervalli centrali, di 90% C.L. con fondo b = 3 P(n|s e -(s+b) (s+b) n /n! Feldman e Cousins hanno proposto un diverso principio di ordinamento per la costruzione degli intervalli di confidenza Ad ogni n viene assegnato un rango in base al rapporto P(n|s P(n|s best s best nel caso della poissoniana è max{0, n-b} Per costruire gli intervalli [n - (s), n + (s)] si utilizzano gli n in ordine decrescente di rango fino ad integrare una probabilità pari al C.L.

15 LNF-INFN, FrascatiC. Bloise- 2 ottobre Limiti superiori sul segnale P(n|s e -(s+b) (s+b) n /n! n = 5, b = 0.9 s = n = 5, b = 4.9 s < 2.81 (5.0) n = 5, b = 6.9 s < 1.23 (3.2) n = 5, b = 10.9 s < 0.35 (1.7) G.Feldman e R.Cousins,Phys.Rev.D,57(1998),3873 Limiti sul segnale più stringenti per sottofluttuazioni del background più improbabili Situazione attesa. Quando la sottofluttuazione è estremamente improbabile la valutazione del background diventa sospetta

16 LNF-INFN, FrascatiC. Bloise- 2 ottobre Evidenza di segnale Per n> 6 si passa da limiti superiori a intervalli di confidenza per s Per ottenere un livello di falsi segnali inferiore all1% con b = 3 è richiesto n 9 n s FC: C.L., b = 3

17 LNF-INFN, FrascatiC. Bloise- 2 ottobre Dal Report su Chernobyl n = 19 [15,24] 68% C.L. ; [12.5,27.5] 90% C.L.; [11,29] 95% C.L. indicativo della precisione del numero atteso o sovrafluttuazione di 2 ? Intervalli di confidenza, C.L. = 0.68, limiti superiori per = 0.90 n = 22 b = 6.78 [10.6, 20.5] b= [5.7, 15.6] n = 7 b = 4.87 < 7.6 b= 8.4 < 4.2 n = 0 b = 2.59 < 0.1 b=

18 LNF-INFN, FrascatiC. Bloise- 2 ottobre Trattamento Bayesiano Lapproccio alternativo proposto dagli statisti è quello di considerare le grandezze da determinare variabili, alla stregua delle quantità misurate Assunzione insoddisfacente per molti Il processo di misura è quindi schematizzabile in termini di estrazione della p.d.f. delle grandezze da determinare a partire dalla p.d.f. delle variabili misurate Loperazione presuppone lintroduzione a priori della p.d.f. delle grandezze P( ) Anche la necessità di introdurre P( ) sembra insoddisfacente per larbitrarietà della scelta Da un altro punto di vista questo sembra praticamente inevitabile La dipendenza del risultato dalla p.d.f. introdotta a priori va comunque studiata e presentata

19 LNF-INFN, FrascatiC. Bloise- 2 ottobre Intervalli credibili Seguendo lapproccio bayesiano si arriva a definire gli intervalli di credibilità [ -,, + ] per le grandezze misurate, corrispondenti ad un livello di confidenza, invertendo lequazione P( ) uniforme: tutti i valori di hanno la stessa credibilità a priori P(ln( ) uniforme P( ) 1/ tutti i valori di hanno la stessa credibilità a priori se sono della stessa scala, allaumentare della scala diventano proporzionalmente più improbabili r n costante di normalizzazione

20 LNF-INFN, FrascatiC. Bloise- 2 ottobre Intervalli credibili – prior uniforme = x P(0 events| ) (Likelihood) Prior: uniformPosterior P( ) 3 P ( ) d = 0.95 Stesso limite superiore del caso frequentista 0 Se n=0

21 LNF-INFN, FrascatiC. Bloise- 2 ottobre Intervalli credibili, dipendenza da b Prior: uniform Se n=0 il limite superiore non dipende da b 1.-s + = s + = -ln( 1.- s + = 90% C.L. s + = 95% C.L. s + = 99% C.L. Riflette il fatto che in questo caso sappiamo precisamente che il valore ottenuto n b = 0

22 LNF-INFN, FrascatiC. Bloise- 2 ottobre = x P(0 events| ) (Likelihood) Prior: uniform in ln Posterior P( ) 3 P ( ) d » Se n=0 Intervalli credibili – prior 1/

23 LNF-INFN, FrascatiC. Bloise- 2 ottobre Intervalli di confidenza usando le likelihood Si utilizzano i valori della grandezza da misurare corrispondenti a log(L) = log(L MAX ) – ½ : 68% C.L. log(L) = log(L MAX ) – 1.35 : 95% C.L. Se n = % C.L.

24 LNF-INFN, FrascatiC. Bloise- 2 ottobre a b L(a,b) Il caso di più parametri Si fissa un parametro, b, e si trova lintervallo per a usando ln L=-½ Si fissa a, e si trova lintervallo per b usando ln L=-½ Il rettangolo individuato è relativo a un C.L =46% Lellisse tangente è relativa a un C.L. = 39% In generale le curve di uguale likelihood L circoscrivono una regione nello spazio dei parametri relativa ad un C.L. dato da P( N) =, con = 2 ln L e N numero di parametri

25 LNF-INFN, FrascatiC. Bloise- 2 ottobre Trattamento delle sistematiche Si ripete la costruzione degli intervalli utilizzando la poissoniana o la funzione di verosimiglianza, likelihood, convoluta con il prodotto delle gaussiane che tengono conto delle incertezze sul valore del fondo e delle sistematiche sullefficienza nella selezione del segnale

26 LNF-INFN, FrascatiC. Bloise- 2 ottobre Effetto degli errori sistematici N_obsbSys. Unc. % Intervalli per 220.0[0,3.90] 0.2[0,3.95] 0.3[0,4.10] 0.4[0,4.65] 620.0[1.1,9.45] 0.2[1.05,10.05] 0.3[1,05,11.50] 0.4[1.05,13.35]

27 LNF-INFN, FrascatiC. Bloise- 2 ottobre Ricerca di eventi K s n = 4 b = 3.2±1.5 b = 0 < 5.3, 90% C.L. b/b = 0.4 < 5.8, 90% C.L. Previsto nel Modello Standard con frequenza 2/10 9 in quanto può avvenire solo attraverso processi che violano CP Il fondo è costituito da K s 0 0 che è 150 milioni di volte più frequente

28 LNF-INFN, FrascatiC. Bloise- 2 ottobre Ricerca di eventi a Belle b = n=10 b = 0 < 3.3, 90% C.L. b/b = 0.4 < 3.6, 90% C.L. Usando la funzione di verosimiglianza Belle ha pubblicato un limite leggermente migliore, corrispondente a < 2.2, 90% C.L. Decadimento vietato nel Modello Standard ma possibile in Modelli Supersimmetrici, che prevedono la violazione del numero leptonico

29 LNF-INFN, FrascatiC. Bloise- 2 ottobre Il fenomeno delle oscillazioni di particella Fenomeno quanto- meccanico governato da massa e vita medie delle particelle coinvolte Analisi che utilizza la funzione di likelihood, L= 1 -(+) A cos( m s t)

30 LNF-INFN, FrascatiC. Bloise- 2 ottobre Conclusioni I risultati si vorrebbe compendiassero molteplici aspetti della misura per garantire un confronto semplice e affidabile con altri esperimenti e con le previsioni teoriche La costruzione degli intervalli di confidenza è cruciale da questo punto di vista. Diverse procedure sono utilizzate per la definizione degli intervalli di confidenza. Per essere accettabili devono garantire la copertura dei valori compatibili con le variabili misurate al livello di confidenza dichiarato. Le procedure più comunemente utilizzate vincolano i risultati nella regione fisica La definizione degli intervalli attraverso le likelihood è ampiamente utilizzata perché permette di includere direttamente dettagli sperimentali e vincoli fisici

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32 LNF-INFN, FrascatiC. Bloise- 2 ottobre Χ 2 approximation Constant for n given Profile likelihood function 2 log L(b_max …) Χ 2 slsl susu Chi2 = 2.71

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34 LNF-INFN, FrascatiC. Bloise- 2 ottobre kkkk G.Feldman e R.Cousins,Phys.Rev.D,57(1998),3873


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