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Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010 Analisi delle Decisioni Esistenza della funzione di utilita Chiara Mocenni.

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1 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a Analisi delle Decisioni Esistenza della funzione di utilita Chiara Mocenni

2 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a Esistenza della funzione u Una simile funzione u( ) esiste? Assiomi della razionalità riguardanti il comportamento dei decisori (Von Neumann e Morgenstern 1947)

3 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a Esistenza della funzione u X è linsieme dei risultati certi x 1, x 2, …, x i,…, x r L rappresenta linsieme di tutte le lotterie che si possono definire su X

4 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a Ordinamento debole Dati due elementi a, b A è sempre possibile confrontarli, ossia vale una tra queste: a b b a a ~ b Inoltre a b, b c implica a c

5 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a Non banalità Si consideri linsieme X dei possibili risultati certi x 1 x 2 … x r allora x 1 x r >>> non tutti i risultati sono ugualmente appetibili

6 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a Riduzione di lotterie composite (I) Consideriamo una lotteria composita (cioè una lotteria i cui premi sono altre lotterie) L = che dà diritto alla partecipazione a s lotterie semplici, t.c. L j =, j = 1,…,s. Sia L = t.c. p i = q 1 p 1i +q 2 p 2i +…+q s p si, i = 1,…,r. Allora L L

7 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a Le preferenze del decisore dipendono solo dai risultati finali e dalle probabilità con cui questi possono essere ottenuti e non dalle modalità con cui vengono di volta in volta organizzate le lotterie.

8 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a Consideriamo la lotteria L = che assegna il premio x i con probabilità 1. Allora x i L 3. Riduzione di lotterie composite (II)

9 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a Q uesto corollario dellassioma 3 permette di stabilire che il decisore non prova gusto semplicemente nel partecipare ad una lotteria, ma unicamente nel vincere il premio che vi è associato.

10 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a Lotterie composite (esempio) Una lotteria i cui premi sono altre lotterie L L1L1 L2L2 L3L

11 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a Lotterie composite Probabilità di avere +10: L1L1 L2L2 L3L3 L

12 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a * * 0.3 = 0.25 L1L1 L2L2 L3L3 L

13 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a La lotteria L è equivalente a L L

14 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a Osservazioni Ripetendo il procedimento per tutti i risultati possibili, otteniamo una lotteria L avente come probabilità i numeri ottenuti. E evidente che le probabilità di conseguire i vari risultati sono esattamente le stesse nella lotteria composita L, come nella lotteria L. Per questo motivo, lassioma delle lotterie composite dice che un decisore razionale dovrebbe provare indifferenza tra L e L.

15 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a Sostituibilità Se a ~ b, allora due lotterie identiche tranne che per il fatto che a è sostituito da b, sono equivalenti: L = L

16 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a Lotterie di riferimento Sono di particolare importanza le lotterie di riferimento: L p 1-p x1x1 xrxr

17 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a LOTTERIE DI RIFERIMENTO DEF. Si chiamano lotterie di riferimento le lotterie del tipo x 1 px r =. DEF. Si definisce esperimento di riferimento linsieme di tutte le lotterie di riferimento x 1 px r A, 0 p 1.

18 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a Monotonicità L p 1-p x1x1 xrxr L p x1x1 xrxr L L p p

19 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a Continuità xixi L uiui 1-u i x1x1 xrxr ~ Esiste un valore di probabilità u i tale che:

20 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a Osservazioni Il sesto e ultimo assioma è forse il più importante, anche se per certi versi lunico un po controverso. Consideriamo un qualunque risultato intermedio x i. Questo assioma dice che per ogni x i esisterà un valore di probabilità, indicato con u i, tale da rendere il risultato certo x i indifferente rispetto a una lotteria di riferimento in cui u i è la probabilità di vincere x 1. Ossia, per quanto catastrofico possa essere x r, ci sarà sempre un valore u i che rende il rischio di giocare la lotteria L equivalente alla certezza del risultato x i.

21 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a Continuità Obiezione circa lesistenza del valore u i (facilmente confutabile) Difficoltà nella determinazione precisa del valore u i >>> Necessità di una analisi della sensibilità

22 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a Teorema di von Neumann- Morgenstern Se il sistema di preferenze di un decisore rispetta tutti gli assiomi, allora esiste una funzione u: X [0,1] che per qualunque coppia di lotterie, L e M: –se L è preferita a M U[L] > U[M] –se M è preferita a L U[M] > U[L] –se L e M sono indifferenti U[L] = U[M]

23 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a Utilità elementari Diamo convenzionalmente valore 1 e 0 allutilità dei due risultati estremi, ossia u(x 1 ) = 1 u(x r ) = 0

24 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a Utilità di una lotteria di riferimento xixi L uiui 1-u i x1x1 xrxr ~ u(x i ) = u i u(x 1 ) + (1- u i )u(x r )

25 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a u(x i ) = u i u(x 1 ) + (1- u i )u(x r ) = 1= 0

26 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a Funzione di utilità Lutilità del risultato x i è data dal valore di probabilità u i che rende indifferente x i rispetto alla lotteria di riferimento, ossia u(x i ) = u i

27 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a A questo punto è chiaro che il valore di u i definito prima può essere preso proprio a misura dellutilità del risultato x i. In altre parole, se riusciamo a stabilire i valori di utilità per i singoli risultati certi, e se il decisore accetta gli assiomi della razionalità, allora è possibile esprimere il valore di utilità attesa per qualsiasi lotteria, e impiegare tali valori per confrontare quantitativamente due lotterie qualsiasi.

28 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a Funzione di utilità Una funzione di utilità U[L] modella le preferenze di un particolare decisore Diversi decisori hanno in generale diverse funzioni di utilità, anche se alcune funzioni sono più usate

29 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a Da quanto detto finora, emerge che è possibile associare un valore di utilità a ciascun risultato certo x i. Occorre sottolineare che questa funzione esprime le preferenze del singolo decisore, e dunque decisori diversi, pur accentando gli stessi assiomi, possono avere funzioni di utilità molto diverse. Lunica proprietà che deve avere una u(x) perché sia una funzione di utilità (rappresentando x una quantità di denaro) è il fatto che sia una funzione monotona crescente.

30 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a Determinazione di u( ) Applicazione accurata dellassioma di continuità Esempio: un investitore deve scegliere tra 3 alternative (lotterie): a 1, a 2, a 3

31 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a a1a1 Variazione indice Dow-Jones (%) 110 < -3 [-3,+2] > +2 a2a2 a3a Decisioni

32 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a Assessment Ricavando la funzione di utilità per i sei risultati certi in esame, si potrà calcolare linvestimento più razionale per il decisore in questione

33 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a Linsieme X dei risultati In questo caso X consiste di tutti i possibili risultati, vale a dire 120, 115, 110, 105, 100, 90 x 1 x r Le lotterie di riferimento hanno come premi 90 e 120

34 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a Assessment 110 L Lanalista pone domande del tipo: cosa sceglierebbe tra queste due?

35 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a Assessment (cont.) Supponiamo che la risposta sia:110 sicuri Possiamo già escludere che lutilità di 110 sia inferiore 0.5

36 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a Assessment (cont.) 110 L Lanalista pone allora la seguente alternativa

37 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a Assessment (cont.) Supponiamo che stavolta la risposta sia: la lotteria Possiamo escludere che lutilità di 110 sia superiore a Si prosegue fino a individuare quel valore di probabilità per cui si ha indifferenza

38 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a Assessment (cont.) 110 L ~ Supponiamo che si abbia per: Da cui, u(110)=0.8

39 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a Assessment (cont.) Procedendo allo stesso modo si può determinare lutilità degli altri valori, ad esempio u(100)=0.4 u(105)=0.6 u(115)=0.95

40 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a Verifica della consistenza 115 L U[L] = 0.75 * u(120) *u(110) = 0.75 * *0.8 = 0.95

41 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a Verifica della consistenza Poiché era stato misurato che lutilità di 115 è pari a 0.95, posto di fornte alla scelta il decisore dovrebbe dichiararsi indifferente Se ciò non accade: –vanno rivisti i valori di utilità –il decisore rifiuta gli assiomi di von Neumann…

42 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a Tavole di decisione, analisi di decisione e funzioni utilità Che relazione esiste tra la scelta tra lotterie e la scelta in condizioni di rischio? Cerchiamo di individuare una corrispondenza tra lotterie e tavole di decisione.

43 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a a1a1 Stati di natura x 11 1 a2a2 a3a3 Decisioni Probabilità 2 3 P( 1 )P( 2 )P( 3 ) x 12 x 13 x 21 x 22 x 23 x 31 x 32 x 33

44 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a Consideriamo la seguente lotteria semplice: l k = Allora a k l k

45 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a NOTE Nella precedente equivalenza abbiamo leggermente modificato la notazione introdotta per le lotterie. In particolare: 1. Non assumiamo che i premi siano ordinati secondo un ordine decrescente, cioè non assumiamo che x 1 x 2 … x r. Inoltre, le m lotterie che possono essere costruite a partire dalle azioni nella tavola di decisione hanno il seguente insieme dei premi: X = x ij | i=1,2,…,m ; j=1,2,…,n.

46 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a Ogni conseguenza che risulta impossibile sotto la scelta a k non appartiene allinsieme dei premi (cioè non si considerano premi che hanno probabilità nulla). 3. Che cosa succede se due scelte diverse conducono agli stessi risultati? Nella notazione precedente non avevamo posto assunzioni sul fatto che i premi fossero tutti distinti. Lassioma 4 Sostituibilità afferma che se due premi sono uguali (o ugualmente graditi), allora le lotterie che si possono costruire sono tra loro equivalenti.

47 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a Assioma 7. Equivalenza di situazioni di incertezza Sia data la tavola di decisione precedente e siano l i le m lotterie da essa estratte come mostrato. Allora il decisore considera la sua scelta nella tavola di decisione identica alla scelta tra le suddette m lotterie. In particolare, a i a k l i l k, i,k=1,2,…,m.

48 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a Corollario Dagli assiomi 1-6, dallAssioma 7 e dal Teorema di von Neumann-Morgenstern discende che

49 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a Riassumendo DallAssioma di continuità discende che la funzione di utilità è univocamente determinata. La funzione di utilità è una funzione che permette di ordinare lotterie/decisioni assumendo il fatto che le utilità attese calcolate siano effettivamente coerenti con le preferenze del decisore.

50 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a Teorema. Se u è una funzione di utilità su X, allora w = u + ( >0) è a sua volta una funzione di utilità che rappresenta le stesse preferenze. Viceversa, se u e w sono due funzioni di utilità su X che rappresentano le stesse preferenze, allora esistono >0 e t.c. w = u +.


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