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Modellistica e Gestione dei Sistemi Ambientali Modelli Modellistica e Gestione dei Sistemi Ambientali a.a. 2007-2008 Laurea in Ingegneria Gestionale Laurea.

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Presentazione sul tema: "Modellistica e Gestione dei Sistemi Ambientali Modelli Modellistica e Gestione dei Sistemi Ambientali a.a. 2007-2008 Laurea in Ingegneria Gestionale Laurea."— Transcript della presentazione:

1 Modellistica e Gestione dei Sistemi Ambientali Modelli Modellistica e Gestione dei Sistemi Ambientali a.a Laurea in Ingegneria Gestionale Laurea Specialistica in Ingegneria delle Telecomunicazioni Laurea Specialistica in Ingegneria Informatica Prof.ssa: Chiara Mocenni 08.html

2 Modellistica e Gestione dei Sistemi Ambientali Modelli e sistemi Sistema: è un complesso normalmente costituito di più elementi interconnessi, in cui si possono distinguere grandezze soggette a variare nel tempo (variabili). Solitamente levoluzione di alcune variabili dipende da altre variabili, per cui parleremo di ingressi (cause) ed uscite (effetti).

3 Modellistica e Gestione dei Sistemi Ambientali Modello matematico (di un sistema): è un insieme di equazioni e di parametri che permettono di determinare (in modo approssimato) gli andamenti nel tempo delle uscite noti quelli degli ingressi. E di fondamentale importanza trovare il giusto compromesso tra precisione e semplicità del modello. SM

4 Modellistica e Gestione dei Sistemi Ambientali Motivazioni zDefinire un problema zOrganizzarne lo studio zComprendere dati che si sono raccolti zFare previsioni sul problema basandosi sul modello

5 Modellistica e Gestione dei Sistemi Ambientali classificazione conoscenze dati disponibili Analisi Statistica Modelli Deterministici semplificati Modelli Stocastici Modelli Deterministici complessi

6 Modellistica e Gestione dei Sistemi Ambientali zModelli Statistici. Dati disponibili ma raccolti in modo non finalizzato. Scarsa conoscenza sul sistema. Classificazione. zModelli Stocastici. Serie storiche di dati disponibili. Strumento operativo che riproduca al meglio landamento osservato delluscita, utilizzando dati di ingresso misurati. Causa-effetto. Separare la parte predicibile da quella stocastica. Previsioni.

7 Modellistica e Gestione dei Sistemi Ambientali zModello deterministico semplificato. Buona conoscenza sui meccanismi che stanno alla base del fenomeno. Mancanza della convenienza a procedere verso un modello più complesso. zModello deterministico complesso. Stadio più avanzato della modellistica. Conoscenza profonda sulla fisica del sistema.

8 Modellistica e Gestione dei Sistemi Ambientali z Scatola Nera z Scatola Grigia z Fisici Classi di Modelli

9 Modellistica e Gestione dei Sistemi Ambientali Obiettivi zControllo zAnalisi zPredizione zScelta della classe di modelli zScelta dei segnali di ingresso zScelta dei segnali di uscita Scelte fondamentali

10 Modellistica e Gestione dei Sistemi Ambientali z Statici / Dinamici z Lineari / Non Lineari z Tempo Continuo / Discreto z Parametri Concentrati / Distribuiti Tipologia dei modelli

11 Modellistica e Gestione dei Sistemi Ambientali Modelli statici zLa dipendenza tra ingressi e uscite è istantanea, cioè gli ingressi presenti hanno influenza solo sulle uscite presenti. La storia passata del sistema non influenza lo stato presente (relazione algebrica ingressi- uscite).

12 Modellistica e Gestione dei Sistemi Ambientali Esempio. Confluenza fra due canali Q 1, C 1 Q 2, C 2 Q v, C v Bilancio di portate Q v = Q 1 + Q 2 Bilancio delle sostanze disciolte Q v C v = Q 1 C 1 + Q 2 C 2 Segue C v = (Q 1 C 1 + Q 2 C 2 ) / (Q 1 + Q 2 )

13 Modellistica e Gestione dei Sistemi Ambientali Modelli dinamici zSi introduce il concetto di stato del sistema: variabili interne che tengono conto della storia passata del sistema. Il legame tra ingresso e uscita non è istantaneo, ma è mediato dalle variabili di stato. zUn sistema dinamico è composto da una relazione ingresso-uscita (senza memoria) e da un termine di aggiornamento dello stato (con memoria).

14 Modellistica e Gestione dei Sistemi Ambientali I sistemi lineari Definizione interna (ingresso-stato-uscita) u(t) = [u 1 (t),…u m (t)] T = ingresso allistante t x(t) = [x 1 (t),…x n (t)] T = stato allistante t y(t) = [y 1 (t),…y p (t)] T = uscita allistante t Sistema a tempo continuo: t numero reale Sistema a tempo discreto: t numero intero

15 Modellistica e Gestione dei Sistemi Ambientali Sistema continuo (scrittura matriciale) Sistema discreto (scrittura matriciale) A(nxn), B(nxm), C(pxn), D(pxm) matrici reali.

16 Modellistica e Gestione dei Sistemi Ambientali Osservazioni La coppia (u(t),x(t)) determina univocamente luscita y(t). (trasformazione di uscita) La coppia (u(t),x(t)) determina univocamente la derivata dx/dt e x(t+1). (equazioni di stato) La conoscenza dello stato allistante t = 0 permette di determinare univocamente lo stato e luscita del sistema nel futuro. Infatti, noti x(0) e u(t) per t 0, le equazioni di stato permettono di calcolare univocamente x(t) per t 0. Conoscere lo stato del sistema ad un istante di tempo significa, quindi, poter dimenticare tutta la storia passata del sistema senza per questo inficiare la possibilità di determinare levoluzione futura del sistema. Lo stato è una variabile interna del sistema.

17 Modellistica e Gestione dei Sistemi Ambientali Il n. di equazioni è lordine del sistema; Se non cè ingresso il sistema si dice autonomo Sistema continuo (scrittura estesa)

18 Modellistica e Gestione dei Sistemi Ambientali z Particolarmente studiati sono i sistemi propri (D=0) ad un ingesso ed una uscita, cioè descritti da una terna (A,b,c T ), o, analogamente, dalle equazioni:

19 Modellistica e Gestione dei Sistemi Ambientali MODELLI ARMA Possiamo definire un sistema dinamico lineare a tempo continuo come un ente le cui coppie ingresso-uscita (u( ¦ ),y( ¦ )) sono tra loro legate da unequazione differenziale lineare di ordine n, del tipo (u (i) e u (i) denotano la derivata i-esima). definizione esterna

20 Modellistica e Gestione dei Sistemi Ambientali Sistemi discreti che, risolta rispetto a y, dice che in ogni istante di tempo t luscita y di un sistema lineare è la somma di una combinazione lineare delle ultime n uscite (termine autoregressivo - AR) e di una combinazione lineare degli ultimi n+1 ingressi (media mobile - MA).

21 Modellistica e Gestione dei Sistemi Ambientali Sinteticamente: Un modello ARMA può essere descritto dalla relazione: dove i polinomi rappresentano operatori applicati alle funzioni u e y. Loperazione che rappresenta la loro applicazione è una differenziazione (tempo continuo, p=s) o una anticipazione (tempo discreto, p=z).

22 Modellistica e Gestione dei Sistemi Ambientali Modelli ridotti In generale un modello ARMA non ridotto è della forma (N(s),D(s)) con N(s)=q(s)r(s)n(s)D(s)=q(s)r(s)d(s) dove i polinomi n(s) e d(s) sono coprimi e il modello ARMA ridotto è individuato dalla coppia di polinomi (r(s)n(s),r(s)d(s)). Modello ARMA di trasferimento (n,d) è definito dalla funzione di trasferimento

23 Modellistica e Gestione dei Sistemi Ambientali Movimento, traiettoria, cicli ed equilibri Fissato lo stato iniziale x(0) e lingresso u(t) per t ¸ 0 le equazioni di stato ammettono ununica soluzione x(t) per t ¸ 0 (il fatto è evidente per i sistemi a tempo discreto, mentre per i sistemi a tempo continuo è conseguenza di risultati classici sullesistenza e unicità della soluzione delle equazioni differenziali ordinarie).

24 Modellistica e Gestione dei Sistemi Ambientali La funzione x( ¦ ) si chiama movimento, mentre linsieme {x(t), t ¸ 0} nello spazio di stato R n si chiama traiettoria o orbita. x1x1 x2x2 x(0) t x 0 x1x1 x2x2 x(1) x(2) x(3)

25 Modellistica e Gestione dei Sistemi Ambientali Una traiettoria puo passare piu volte dallo stesso punto x in istanti di tempo diversi. Nel caso in cui anche i vettori tangenti siano diversi in quel punto, allora Ax+Bu(t 1 ) Ax+Bu(t 2 ) che implica Bu(t 1 ) Bu(t 2 ) Ne consegue che tale condizione non può essere verificata se lingresso è costante.

26 Modellistica e Gestione dei Sistemi Ambientali Può anche capitare che il movimento x( ¦ ) corrispondente ad un particolare stato iniziale x(0) e ad una particolare funzione di ingresso u( ¦ ) sia periodico di periodo T, cioè x(t) = x(t+T) 8 t In questo caso la traiettoria risulta essere una linea chiusa (ciclo) ripetutamente percorsa ogni unità T di tempo.

27 Modellistica e Gestione dei Sistemi Ambientali Poiché se x è periodico anche lo è, segue che Ax(t)+Bu(t) = Ax(t+T)+Bu(t+T) 8 t, e quindi Bu(t) = Bu(t+T) 8 t. Ciò significa che un ciclo può ottenersi soltanto con funzioni di ingresso particolari. Un sistema si dice in regime periodico se ingresso e stato, e quindi anche uscita, sono funzioni periodiche di periodo T. La traiettoria chiusa nello spazio di stato si chiama ciclo. I cicli ottenuti da ingressi periodici si dicono forzati, quelli ottenuti da ingressi costanti si dicono autonomi.

28 Modellistica e Gestione dei Sistemi Ambientali Un sistema lineare si dice in regime stazionario (o allequilibrio) se ingresso e stato e, quindi anche uscita, sono costanti.

29 Modellistica e Gestione dei Sistemi Ambientali Linearizzazione Lo studio di un fenomeno descritto da una funzione non lineare y=f(x) viene spesso effettuata facendo variare x nellintorno di un punto di equilibrio, e approssimando f con la funzione lineare

30 Modellistica e Gestione dei Sistemi Ambientali Da un punto di vista analitico, ciò equivale ad aver sviluppato f(x) in serie di Taylor nellintorno del punto e nellaver poi trascurato i termini dello sviluppo in serie a partire da quello quadratico. La metodologia può essere estesa allo studio dei sistemi dinamici non lineari a tempo continuo e discreto.

31 Modellistica e Gestione dei Sistemi Ambientali Sia una soluzione di equilibrio del sistema Si possono allora sviluppare in serie di Taylor le funzioni f e g nellintorno del punto di equilibrio.

32 Modellistica e Gestione dei Sistemi Ambientali

33 Ponendo e tenendo conto che allequilibrio le equazioni di stato diventano

34 Modellistica e Gestione dei Sistemi Ambientali Mentre la trasformazione di uscita diventa

35 Modellistica e Gestione dei Sistemi Ambientali Se si trascurano i termini di ordine superiore al primo nello sviluppo in serie si ottiene un sistema lineare detto sistema linearizzato. La matrice che contiene tutte le derivate delle funzioni f rispetto alle variabili di stato, viene detta Jacobiano del sistema. Essa riveste un ruolo fondamentale nellanalisi di stabilità.

36 Modellistica e Gestione dei Sistemi Ambientali Stabilità Un sistema lineare è asintoticamente stabile se e solo se per ogni suo ingresso esiste uno stato di equilibrio verso cui lo stato x(t) tende qualsiasi sia lo stato iniziale x(0).

37 Modellistica e Gestione dei Sistemi Ambientali Classificazione dei sistemi lineari Consideriamo, per semplicità un sistema disaccoppiato ad esempio del tipo NB. In questo caso x e y sono entrambi stati del sistema e y non è luscita.

38 Modellistica e Gestione dei Sistemi Ambientali La soluzione di questo sistema radicata in x(0)=x 0 e y(0)=y 0 è x(t)=x 0 e at y(t)=y 0 e -t Cioè y decade esponenzialmente. Che cosa succede a x?

39 Modellistica e Gestione dei Sistemi Ambientali za<0 anche x decade esponenzialmente e tutte le traiettorie convergono verso lorigine. La velocità e la direzione con cui converge dipendono da a paragonato a -1. ya<-1 x decade più velocemente di y. (nodo stabile) ya=-1 x e y decadono con la stessa velocità (stella, nodo simmetrico) y-1

40 Modellistica e Gestione dei Sistemi Ambientali za=0 x(t)=x 0. (linea di punti fissi). za>0 lequilibrio diventa instabile perché x(t) diverge. Abbiamo una direzione stabile ed una instabile. (sella).

41 Modellistica e Gestione dei Sistemi Ambientali In generale Consideriamo gli autovalori 1 2 della matrice A in un sistema lineare autonomo. Si possono presentare i casi seguenti: z 2 < 1 < 0 autovalori reali Le traiettorie tendono asintoticamente verso il punto di equilibrio. Sono tangenti alla direzione lenta quando tendono allorigine (t ! 1 ) e parallele alla direzione veloce quando t ! – 1

42 Modellistica e Gestione dei Sistemi Ambientali z 1 2 complessi coniugati Immaginari puri (Re( )=0) Centro. Soluzione neutralmente stabile in quanto le traiettorie non vengono né attratte, né respinte. Immaginari (Re( ) 0) Spirale. La soluzione del sistema è ed, essendo gli autovalori complessi, è una combinazione lineare di e t cos( t), e t sin( t). A seconda del valore di le oscillazioni crescono o decrescono.

43 Modellistica e Gestione dei Sistemi Ambientali z 1 = 2 autovalori coincidenti Autovettori linearmente indipendenti cioè generano lo spazio. Se 0 si ha una stella Se invece = 0 lo spazio è riempito di punti fissi. Autovettori linearmente dipendenti cè un unico autovettore, lautospazio associato è monodimensionale. Si ha un nodo degenere.

44 Modellistica e Gestione dei Sistemi Ambientali SELLE PUNTI FISSI NON ISOLATI NODI STABILI SPIRALI STABILI SPIRALI INSTABILI NODI INSTABILI STELLE, NODI DEGENERI CENTRI


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