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Fondamenti di Informatica

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Presentazione sul tema: "Fondamenti di Informatica"— Transcript della presentazione:

1 Fondamenti di Informatica
Monica Bianchini Dipartimento di Ingegneria dell’Informazione ENIAC (1946 ca.) 1

2 Sommario Introduzione L’algebra di Boole Sistemi di numerazione
il calcolo automatico dalla preistoria ai giorni nostri L’algebra di Boole da Analisi Matematica della Logica (1847) al progetto degli elaboratori digitali Sistemi di numerazione da additivi a posizionali, da decimale a binario, a esadecimale: l’alfabeto dell’elaboratore La rappresentazione dei dati e l’aritmetica degli elaboratori dai bit ai numeri, ai testi, alle immagini, alla musica, ai video in digitale UNIVAC (1951)

3 Introduzione

4 Cenni storici  1 Wilhelm Schickard ( ) La presenza “invasiva” dell’informatica nella vita di tutti i giorni è un fenomeno relativamente recente; non recente è invece la necessità di avere a disposizione strumenti e metodi per contare rapidamente, elaborare dati, “calcolare” Le prime testimonianze di strumenti per contare risalgono a anni fa I primi esempi di algoritmi  procedure di calcolo “automatico”  sono stati scoperti in Mesopotamia su tavolette babilonesi risalenti al 18001600 a.C. Macchina moltiplicatrice (1624) Il sogno di costruire macchine capaci di effettuare calcoli automatici affonda le radici nel pensiero filosofico del ‘600: Wilhelm Schickard introdusse la prima macchina moltiplicatrice dotata di accumulatori cilindrici

5 Cenni storici  2 Blaise Pascal ( ) Gottfried Leibnitz ( ) Pascal e Leibnitz non solo affrontarono il problema, già studiato da Cartesio, di automatizzare il ragionamento logicomatematico, ma si cimentarono anche nella realizzazione di semplici macchine per calcolare (capaci di effettuare somme e sottrazioni) Macchina computazionale (G. Leibnitz) Macchina addizionatrice  la Pascalina (B. Pascal)

6 Cenni storici  3 Charles Babbage ( ) La macchina alle differenze, concepita da Babbage nel 1833, rappresenta il primo esempio di macchina programmabile di utilità generale In seguito, lo stesso Babbage progetta la macchina analitica (mai realizzata, troppo complessa e critica la sua costruzione per le tecnologie meccaniche dell’epoca) La prima programmatrice nella storia dell’informatica è Ada Augusta Byron, contessa di Lovelace Macchina alle differenze: modello ricostruito presso il Museo della Scienza di Londra seguendo il progetto del 1849 6

7 Cenni storici  4 Herman Hollerith ( ) Fu Herman Hollerith, nel 1890, a sviluppare la macchina a schede perforate, per compiere le statistiche del censimento decennale degli Stati Uniti I dati venivano immessi su schede di cartone opportunamente perforate, le stesse schede che sono state usate fino a due decenni or sono Le schede venivano successivamente “contate” da una sorta di pantografo che permetteva diversi tipi di elaborazioni (totali, medie, statistiche, etc.) Si impiegarono due anni e mezzo ad analizzare i dati (contro i sette anni del censimento del 1880), nonostante l’incremento di popolazione da 50 a 63 milioni Census Tabulator (1890) 7

8 Cenni storici  5 Konrad Zuse ( ) Successivamente la macchina a schede perforate venne utilizzata con successo per i censimenti in Austria, Norvegia e Russia, tanto che Hollerith decise di fondare una società: la Computing Tabulating Recording Company che, nel 1923, divenne l’International Business Machine, o IBM Nel 1932, il tedesco Konrad Zuse realizza una macchina elettromeccanica in grado di eseguire calcoli con controllo programmato, ed introduce il sistema di numerazione binario (la cui algebra era stata definita da Leibnitz e da Boole) Il calcolatore Z1 (1939)

9 Cenni storici  6 Alan Turing ( ) Durante la seconda guerra mondiale, fioriscono i progetti di elaboratori da utilizzarsi per scopi bellici Enigma, realizzata dai tedeschi (A. Scherbius) per codificare le comunicazioni militari Red Purple, di costruzione giapponese Computer Colossus, costruito dagli inglesi per la decifrazione dei messaggi tedeschi, alla cui progettazione e realizzazione collaborò Alan Turing, permise la vittoria angloamericana sull’Atlantico La macchina Enigma

10 Cenni storici  7 Con l’invenzione del tubo a vuoto (1904), del transistor (1947) e, infine, dei circuiti integrati (1969), l’evoluzione dei computer divenne inarrestabile Finora la potenza di calcolo degli elaboratori si è decuplicata ogni 56 anni (…ma non può durare, almeno con le tecnologie in uso)

11 Cenni storici  8 John Von Neumann ( ) La costruzione dei primi calcolatori risale all’inizio degli anni ‘40, grazie alla tecnologia elettronica; i primi esemplari venivano programmati mediante connessioni elettriche e commutatori (ENIAC, Mark I) Il nome di Von Neumann è legato invece ai primi calcolatori a programma memorizzato realizzati alla fine degli anni ‘40 (EDSAC, Whirlwind, IAS, UNIVAC) Per la prima volta, vige il principio di unitarietà di rappresentazione di dati e istruzioni, che vengono codificati, all’interno dell’elaboratore, in maniera indistinguibile La diffusione dei calcolatori a livello mondiale è avvenuta nei decenni ‘60 e ‘70

12 Cenni storici  9 EDSAC (1949) ENIAC (1946) Mark I (1948)
Whirlwind (1949) IAS (1952) UNIVAC (1952)

13 Cenni storici  10 Tuttavia, l’esplosione dell’informatica come fenomeno di massa è datata 1981, anno in cui l’IBM introdusse un tipo particolare di elaboratore: il Personal Computer (PC) La particolarità dei PC consisteva nell’essere “assemblati” con componenti facilmente reperibili sul mercato (e quindi a basso costo) Possibilità per qualsiasi casa produttrice di costruire “cloni” Attualmente i PC, o meglio il loro componente fondamentale  il microprocessore  è utilizzato in tutti i settori applicativi (non solo per elaborare dati): Telefoni cellulari, ricevitori satellitari digitali, GPS Bancomat e carte di credito Lavatrici e forni a microonde Computer di bordo e ABS ...

14 Cenni storici  11 L’esigenza di realizzare sistemi di elaborazione dotati di più processori operanti in parallelo è stata sentita fin dalla preistoria dell’informatica In una relazione dello scienziato, generale e uomo politico italiano Luigi Menabrea, datata 1842, sulla macchina analitica di Babbage, si fa riferimento alla possibilità di usare più macchine dello stesso tipo in parallelo, per accelerare calcoli lunghi e ripetitivi Solo la riduzione dei costi dell’hardware ha consentito, verso la fine degli anni ‘60, l’effettiva costruzione dei primi supercalcolatori, come le macchine CDC6600 e Illiac e, successivamente, il Cray e le macchine vettoriali A partire dagli anni ‘90, gli ulteriori sviluppi della microelettronica hanno permesso la realizzazione di calcolatori a parallelismo massiccio e a “grana fine”, caratterizzati dall’interconnessione di decine di migliaia di unità di elaborazione elementari: le reti neurali, capaci di “simulare” il comportamento del cervello umano, sulla base degli studi di McCulloch e Pitts (1943)

15 Cenni storici  12 Cray 1 (1976) Cray XE6 (2010) Illiac (1955)
CDC 6600 (1963) Illiac (1955) PC IBM (1981) Portatile e Palmare (oggi)

16 Frasi celebri ed altro…
“Penso che ci sia mercato nel mondo per non più di cinque computer.” (Thomas Watson, Presidente di IBM, 1943) “Ho girato in lungo e in largo questo paese e ho parlato con le migliori menti e posso assicurarvi che questa moda dell’elaborazione automatica è un capriccio che non vedrà la fine dell’anno.” (Editor di libri scientifici di Prentice Hall, 1947) “Una unità di calcolo sull’ENIAC è dotata di tubi elettronici a vuoto e pesa 30 tonnellate, ma è possibile che in futuro i computer abbiano soltanto 1000 tubi e pesino soltanto una tonnellata e mezzo.” (Popular Mechanics, 1949) “Abbiamo un computer qui a Cambridge, ce n’è uno a Manchester e uno al laboratorio nazionale di fisica. Immagino che sarebbe giusto averne uno anche in Scozia, ma non di più.” (Douglas Hartree, fisico inglese, 1951) “Ma... a che serve?” (Un ingegnere della Advanced Computing Systems, Divisione dell’IBM, commentando il microchip, 1965). Nel 1976, il New York Times pubblicò un libro dal titolo La scienza nel ventesimo secolo, nel quale il calcolatore veniva menzionato una sola volta e indirettamente, in relazione al calcolo delle orbite dei pianeti “Non c’è ragione perché qualcuno possa volere un computer a casa sua.” (Ken Olson, fondatore di Digital, 1977) “640 Kbytes should be enough for anybody.” (Bill Gates, 1981)

17 Che cos’è l’informatica  1
Informatica  fusione delle parole informazione e automatica  l’insieme delle discipline che studiano gli strumenti per l’elaborazione automatica dell’informazione e i metodi per un loro uso corretto ed efficace L’informatica è la scienza della rappresentazione e dell’elaborazione dell’informazione L’accento sull’ “informazione” fornisce una spiegazione del perché l’informatica sia ormai parte integrante di molte attività umane: laddove deve essere gestita dell’informazione, l’informatica è un valido strumento di supporto Il termine “scienza” sottolinea il fatto che, nell’informatica, l’elaborazione dell’informazione avviene in maniera sistematica e rigorosa, e pertanto può essere automatizzata

18 Che cos’è l’informatica  2
L’informatica non è la scienza dei calcolatori elettronici: il calcolatore è lo strumento che la rende “operativa” L’elaboratore (computer, calcolatore) è un’apparecchiatura digitale, elettronica ed automatica capace di effettuare trasformazioni sui dati: Digitale: i dati sono rappresentati mediante un alfabeto finito, costituito da cifre, digit, che ne permette il trattamento mediante regole matematiche Elettronica: realizzazione tramite tecnologie di tipo elettronico Automatica: capacità di eseguire una successione di operazioni senza interventi esterni “La disumanità del computer sta nel fatto che, una volta programmato e messo in funzione, si comporta in maniera perfettamente onesta.” (Isaac Asimov)

19 L’architettura di Von Neumann
La capacità dell’elaboratore di eseguire successioni di operazioni in modo automatico è determinata dalla presenza di un dispositivo di memoria Nella memoria sono registrati i dati e... ...le operazioni da eseguire su di essi (nell’ordine secondo cui devono essere eseguite): il programma, la “ricetta” usata dall’elaboratore per svolgere il proprio compito Il programma viene interpretato dall’unità di controllo Modello di Von Neumann

20 La macchina universale
Programma: sequenza di operazioni atte a predisporre l’elaboratore alla soluzione di una determinata classe di problemi Il programma è la descrizione di un algoritmo in una forma comprensibile all’elaboratore Algoritmo: sequenza finita di istruzioni attraverso le quali un operatore umano è capace di risolvere ogni problema di una data classe; non è direttamente eseguibile dall’elaboratore L’elaboratore è una macchina universale: cambiando il programma residente in memoria, è in grado di risolvere problemi di natura diversa (una classe di problemi per ogni programma)

21 Ancora sull’informatica…
L’informatica è lo studio sistematico degli algoritmi che descrivono e trasformano l’informazione: la loro teoria, analisi, progetto, efficienza, realizzazione (ACM, Association for Computing Machinery) Nota È possibile svolgere concettualmente un’attività di tipo informatico senza l’ausilio del calcolatore, per esempio nel progettare ed applicare regole precise per svolgere operazioni aritmetiche con carta e penna; l’elaboratore, tuttavia, è uno strumento di calcolo potente, che permette la gestione di quantità di informazione altrimenti intrattabili

22 L’algebra di Boole

23 L’algebra di Boole  1 Contempla due costanti 0 e 1 (falso e vero)
George Boole ( ) Contempla due costanti 0 e 1 (falso e vero) Corrispondono a due stati che si escludono a vicenda Possono descrivere lo stato di apertura o chiusura di un generico contatto o di un circuito a più contatti Sui valori booleani si definiscono le operazioni AND, OR, NOT 1

24 L’algebra di Boole  2 Le operazioni AND e OR sono operazioni binarie, l’operazione NOT è unaria Nella valutazione delle espressioni booleane esiste una relazione di precedenza fra gli operatori NOT, AND e OR, nell’ordine in cui sono stati elencati Gli operatori dell’algebra booleana possono essere rappresentati in vari modi Spesso sono descritti semplicemente come AND, OR e NOT Nella descrizione dei circuiti appaiono sotto forma di porte logiche In matematica si usano  per OR e  per AND, mentre si rappresenta il NOT con una barra posta sopra l’espressione che viene negata

25 L’operazione di OR Si definisce l’operazione di somma logica (OR): il valore della somma logica è il simbolo 1 se il valore di almeno uno degli operandi è il simbolo 1 1 0+0 0+1 1+0 1+1 00  0 01  1 10  1 11  1

26 L’operazione di AND Si definisce l’operazione di prodotto logico (AND): il valore del prodotto logico è il simbolo 1 se il valore di tutti gli operandi è il simbolo 1 1 11 10 01 00 00  0 01  0 10  0 11  1

27 La negazione NOT Si definisce l’operatore di negazione (NOT): l’operatore inverte il valore della costante su cui opera Dalla definizione… 0  1 1  0 0  0 1  1

28 Variabili binarie Una variabile binaria indipendente può assumere uno dei due valori 0 e 1 Date n variabili binarie indipendenti, la loro somma logica (OR) è x 1 1 se almeno una xi vale 1 x1+ x2+ …+ xn = 0 se x1= x2= …= xn = 0

29 AND e NOT con variabili binarie
Date n variabili binarie indipendenti, il loro prodotto logico (AND) è La negazione di una variabile x è L’elemento x  NOT(x) viene detto complemento di x; il complemento è unico x1 x2 … xn = 0 se almeno una xi vale 0 1 se x1= x2= …= xn = 1 x = 0 se x = 1 x = 1 se x = 0

30 Alcune identità x + 1  1 x + 0  x x + x  x
Si verificano le seguenti identità: 0 è l’elemento neutro per l’operazione di OR; 1 è l’elemento neutro per l’AND Gli elementi neutri sono unici Ad esempio… x + 1  1 x + 0  x x + x  x x  1  x x  0  0 x  x  x Legge dell’idempotenza x  1  x 1  1  1 01  0 x  0 x  1 OK!

31 Altre proprietà Per gli operatori AND e OR valgono le seguenti proprietà: Per l’operatore NOT si provano le seguenti identità: commutativa x1+x2  x2+x x1 x2  x2 x1 associativa x1+x2+x3  x1+(x2+x3) x1 x2 x3  x1(x2 x3) distributiva del prodotto rispetto alla somma x1 x2 + x1 x3  x1(x2+x3) x + x  1 x  x  0 x  x

32 Configurazione delle variabili
Date n variabili binarie indipendenti x1, x2,…, xn, queste possono assumere 2n configurazioni distinte Una configurazione specifica è individuata univocamente da un AND (a valore 1) di tutte le variabili, dove quelle corrispondenti ai valori 0 compaiono negate Ad esempio per n=3 si hanno 8 configurazioni x1x2x3 x1x2x3 010

33 Funzioni logiche y = F(x1,x2,…,xn)
Una variabile y è una funzione delle n variabili indipendenti x1, x2,…, xn, se esiste un criterio che fa corrispondere in modo univoco ad ognuna delle 2n configurazioni delle xi un valore di y Una rappresentazione esplicita di una funzione è la tabella di verità, in cui si elencano tutte le possibili combinazioni di x1, x2, …, xn, con associato il valore di y y = F(x1,x2,…,xn) x1 x y y = x1+x2 33

34 Una tabella di verità Date tre variabili booleane (A,B,C), si scriva la funzione F che vale 1 quando solo due di esse hanno valore 1 A B C F Si può scrivere la funzione come somma logica delle configurazioni corrispondenti agli 1 F(A,B,C)  ABC  ABC  ABC Forma canonica: somma di prodotti (OR di AND) tutte le funzioni logiche si possono scrivere in questa forma

35 Un esempio: lo XOR  1 La funzione XOR verifica la disuguaglianza di due variabili L’espressione come somma di prodotti è quindi... x1 x2 XOR XOR = x1x2 + x1x2

36 Un esempio: lo XOR  2 Porta logica per XOR

37 Esempi (x1x2)  x1x2 (x1x2)  x1x2
Legge dell’assorbimento x1 x1x2  x1 Leggi di De Morgan (x1x2)  x1x2 (x1x2)  x1x2 Dalle leggi di De Morgan si evince che la scelta delle funzioni OR, AND e NOT, come funzioni primitive, è ridondante L’operazione logica AND può essere espressa in funzione delle operazioni OR e NOT; in modo analogo, l’operazione OR può essere espressa tramite AND e NOT Le relazioni stabilite sono generalmente applicate nelle trasformazioni di funzioni booleane in altre equivalenti, ma di più facile realizzazione circuitale

38 Un esempio di circuito logico
y1 = F(B,C,D) = (BC)D

39 Un circuito con due interruttori
I due interruttori corrispondono a due variabili (A,B) a valori booleani  le variabili assumono i due valori 0 e 1 che corrispondono alle due posizioni dell’interruttore L L A B A B A 1 1 1 1 B A B A=0 B=0 A=0 B=1 L L A B A B 1 1 A B A 1 1 B L  ABAB A=1 B=0 A=1 B=1

40 Un esercizio Progettare un circuito per accendere e spegnere una lampada da uno qualsiasi di tre interruttori indipendenti A B C 1 Cambia lo stato di un interruttore qualsiasi L = 0 L = 1 1

41 Analisi delle combinazioni
Si considera cosa accade a partire dalla configurazione di partenza, cambiando lo stato di un interruttore per volta A B C L = 0 L = 1 1

42 Scrittura della funzione logica
Dalle otto combinazioni si ottiene la tabella di verità della funzione logica Si può scrivere la funzione L come somma logica di prodotti logici A B C L L  ABC  ABC  ABC  ABC

43 Come collegare gli interruttori
Si può manipolare l’espressione di L usando la proprietà distributiva dell’AND rispetto all’OR L = ABC  ABC  ABC  ABC L = A (BC  BC)  A (BC  BC) A B C 1 0 0 1 0 1

44 Esercizi Esercizio 1 Esercizio 2
Siano a2, a1, b2, b1 i bit che rappresentano due numeri interi positivi (Aa2a1 e Bb2b1). Sia r una variabile booleana che vale 1 se e solo A è maggioreuguale a B (AB). Ad esempio, quando A11 e B10, allora a21, a11, b21, b10 e r1. Si scriva la forma canonica che definisce r come funzione di a2, a1, b2, b1. Esercizio 2 I signori A, B, C e D fanno parte di un consiglio di amministrazione. Sapendo che hanno a disposizione le seguenti quote di possesso azionario A40%, B25%, C20%, D15%, formalizzare tramite tabella di verità (con successiva estrazione della forma canonica) la funzione booleana che decide quando il consiglio di amministrazione è in grado di approvare una mozione.

45 Esercizi (continua) Esercizio 3 Il direttore di una squadra di calcio vuol comprare 4 giocatori dal costo di 2, 5, 6 e 8 milioni di euro, ma ha a disposizione solo 8 milioni. Siano a2, a5, a6, a8 variabili booleane che valgono 1 se e solo se si acquistano, rispettivamente, i giocatori da 2, 5, 6, 8 milioni. Sia r una variabile che è vera se e solo se l’insieme di giocatori che si decide di comprare non supera la cifra disponibile. Ad esempio, se a21, a51, a60, a80, allora r1. Si scriva la forma canonica che definisce r come funzione delle variabili a2, a5, a6, a8.

46 Sistemi di numerazione

47 Ancora un po’ di preistoria…  1
I primi esempi di utilizzo di sistemi di numerazione risalgono al neolitico, ovvero a circa anni fa In epoca preistorica, le più utilizzate furono le basi 2, 5, 10, 20, 12, e 60 Mentre le basi 2, 5, 10 e 20 sono suggerite dalla fisiologia umana, 12 e 60 sembrano suggerite da scopi utilitaristici: 12 è divisibile per 1, 2, 3, 4, 6 e 12 mentre 60 per 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 e 60 La base 12 è ancora utilizzata in alcune misure di tempo, 60 nella misurazione di angoli e tempo

48 Ancora un po’ di preistoria…  2
Da notare che il 7 non compare mai nelle basi di numerazione e, in effetti, ebbe significati particolari, anche religiosi, presso i popoli antichi Il 7 esprime infatti la globalità, l’universalità, l’equilibrio perfetto Era legato al compiersi del ciclo lunare Presso i Babilonesi erano ritenuti festivi, e consacrati al culto, i giorni di ogni mese multipli di 7

49 E di storia…  1 Tra le prime testimonianze certe dell’utilizzo di concetti aritmetici avanzati vi sono le tavole numeriche babilonesi, elenchi di numeri utilizzati per calcoli astronomici e di agrimensura, risalenti al X secolo a.C. Tuttavia, nelle culture dell’antica Mesopotamia, esistevano tabelle per le addizioni e le sottrazioni già durante il regno di Sargon I, intorno al 2350 a.C.

50 E di storia…  2 Il documento più significativo dell’antico Egitto è il papiro di Ahmes o Ahmose, dal nome dello scriba che lo compose nel 1650 a.C. Lo stesso Ahmes sostiene inoltre che il suo materiale è tratto da un documento anteriore, e fa risalire l’originale ad Imhotep, medico e architetto del faraone Djoser della III dinastia, e quindi al 2650 a.C. circa Imhotep è ritenuto l’architetto della grande piramide a gradoni di Saqqara, la cui enorme base quadrata ha lati perfetti al centimetro!

51 I numeri in Mesopotamia  1
Un antichissimo strumento utilizzato un po’ ovunque per aiutarsi nei conteggi è costituito da semplici sassolini Non a caso la parola “calcolo” deriva dal latino calculus, che significa appunto sassolino Appartengono alla civiltà dei Sumeri varie tavolette che contengono i più antichi segni numerali usati dall’uomo e risalgono al 35003000 a.C. Inizialmente, però, i Sumeri avevano semplicemente perfezionato il metodo dei sassolini, costruendone di particolari, in terracotta, di forme e dimensioni diverse, ciascuno con un proprio valore

52 I numeri in Mesopotamia  2
I simboli fondamentali usati nella numerazione sumera corrispondono ai numeri 1, 10, 60, 600, 3600, 36000 I valori dei sassolini sono crescenti secondo una scala che procede per 10 e per 6 alternativamente 1 10 60 600 3600 36000

53 I numeri in Mesopotamia  3
Il sistema di rappresentazione dei valori attraverso i “calculi” è un sistema additivo Come in ogni sistema di rappresentazione additivo, l’operazione di addizione risulta particolarmente semplice Per addizionare due o più valori basterà infatti mettere insieme i simboli uguali di ciascuno degli addendi: l’addizione è compiuta nel gesto stesso dell’unione dei sassolini L’insieme dei sassolini indicherà complessivamente il valore risultato dell’addizione

54 I numeri in Mesopotamia  4
Successivamente i Sumeri, per motivi di praticità, realizzarono gli stessi simboli su tavolette di argilla, utilizzando bastoncini di diverse dimensioni… …cominciarono cioè a “scrivere” i numeri

55 I numeri in Mesopotamia  5
Tavoletta pittografica con un conto di 33 misure d’olio (Godin Tepe, Iran, 3100 a.C.)

56 I numeri in Mesopotamia  6
Un ruolo speciale nell’aritmetica sumera spetta dunque ai numeri 10 e 60: caratteristica ereditata poi dal sistema babilonese Vari secoli dopo, attorno al XIX secolo a.C., a partire dall’antica numerazione sumera, gli scienziati Babilonesi crearono infatti un sistema di scrittura basato sui soli due simboli: cuneo verticale  1 parentesi uncinata  10

57 I numeri in Mesopotamia  7
Si rappresentavano i numeri da 1 a 59 Per i numeri successivi, si ha la prima testimonianza dell’uso di una notazione posizionale Non si introducevano infatti altri simboli, ma si affiancavano gruppi di cunei per indicare le successive potenze del 60 Si tratta dunque di un sistema di numerazione posizionale (come il nostro, ma) in base 60

58 I numeri in Mesopotamia  8

59 I numeri in Mesopotamia  9
Tavoletta di argilla (19001600 a.C.) contenente un elenco di terne pitagoriche (misure dei lati di un triangolo rettangolo)

60 I numeri in Mesopotamia  10
Ad esempio: Il sistema di spaziatura consentiva di risolvere le ambiguità di interpretazione dei raggruppamenti Ai tempi di Alessandro Magno era però invalso anche l’uso di un simbolo (due cunei obliqui) per indicare un posto vuoto; questo simbolo svolgeva alcune funzioni del nostro zero, ma non tutte: veniva usato fra colonne e mai per indicare colonne vuote alla fine della sequenza  7322

61 I numeri nell’antico Egitto  1
La civiltà degli Egizi ci ha lasciato alcune fra le più antiche tracce di matematica scritta I primi numeri scritti si individuano infatti su monu- menti e stele databili all’inizio del III millennio a.C. Si tratta di iscrizioni che impiegano il sistema geroglifico, la scrittura pittografica egizia

62 I numeri nell’antico Egitto  2
Nel sistema geroglifico vengono riservati ai numeri sette simboli diversi per rappresentare le potenze del 10, da 1 a 106 I geroglifici utilizzati erano: Pastoia per bestiame o giogo Rotolo di fune Bastoncino Ninfea o fiore di loto Uomo a braccia levate, simbolo del dio Heh Dito Girino o rana

63 I numeri nell’antico Egitto  3
I numeri venivano formati raggruppando i simboli, generalmente posti in ordine dal più piccolo al più grande, da sinistra a destra (o viceversa) Il sistema di numerazione non è, tuttavia, posizionale L’ordine dei simboli che definiscono le potenze del 10 può venire alterato senza cambiare il valore del numero rappresentato L’ordine è una sorta di convenzione linguistica, senza significato matematico

64 I numeri nell’antico Egitto  4

65 I numeri nell’antico Egitto  5
Esempi di operazioni Addizione: si effettua sommando i simboli uguali e, qualora si superi il valore 10, sostituendo i dieci simboli con il simbolo opportuno (quello subito “superiore” nella gerarchia) Moltiplicazione: utilizza un sistema che sottintende la base 2 si scompone il moltiplicatore in potenze di 2, poi si raddoppia il moltiplicando tante volte quante necessario, e infine si esegue la somma

66 I numeri nell’antico Egitto  6
Esempio: 713 13 91

67 I numeri nell’antica Grecia  1
Nella civiltà greca classica sono noti due principali sistemi di numerazione Il primo, più antico, è noto come attico ed è per molti aspetti simile a quello in uso presso i Romani; utilizzava infatti accanto ai simboli fondamentali per l’1 e le potenze di 10 fino a 10000, un simbolo speciale per il 5, che combinato con i precedenti, dava altri simboli anche per 50, 500, 5000, 50000 Compaiono testimonianze di questo sistema dal V al I secolo a.C. ma, a partire dal III secolo, si diffonde anche il sistema detto ionico o alfabetico

68 I numeri nell’antica Grecia  2
Il sistema ionico si serve di ventisette simboli alfabetici (alcuni dei quali arcaici e non più usati nella Grecia classica) per indicare le unità da 1 a 9, le decine da 10 a 90, le centinaia da 100 a 900 Si usavano poi nuovamente le prime nove lettere precedute da un apice in basso per indicare i multipli di 1000, e per esprimere numeri ancora più grandi si ricorreva al simbolo M (iniziale di miriade) che indicava la moltiplicazione per del numero che seguiva Sistema di numerazione decimale additivo

69 I numeri nell’antica Grecia  3
Ad esempio:

70 I numeri nell’antica Roma  1
Nel sistema di numerazione romano, a base decimale, ci si serviva, come è noto, anche di simboli speciali per indicare 5, 50, 500 Alcune antiche epigrafi inducono a ritenere che i segni usati fossero inizialmente segni speciali, forse di origine etrusca, che solo successivamente furono identificati con le lettere I, V, X, L, C, D, M I V X L C D M 1 5 10 50 100 500 1000

71 I numeri nell’antica Roma  2
La scrittura dei numeri avveniva combinando additivamente i segni Per agevolare scrittura e lettura si diffuse più tardi un sistema sottrattivo già utilizzato, ad esempio, dagli Assiri (che ha traccia anche nelle forme verbali come ad esempio “undeviginti”, stessa cosa di “decem et novem”) Un simbolo posto alla sinistra di un simbolo di quantità maggiore viene sottratto, così IX e VIIII indicano entrambi il numero 9 Ancora in epoca tarda, un segno che prese l’aspetto di una linea orizzontale posta sopra le lettere serviva per indicarne la moltiplicazione per 1000

72 La storia continua… Per molte centinaia di anni ancora (con l’unica ecce- zione dei Babilonesi) gli uomini hanno continuato ad utilizzare sistemi di numerazione additivi Più semplici da usare dato che la somma “si fa da sé” Poco adatti a rappresentare numeri grandi (che presuppongono l’uso di tanti simboli posti gli uni accanto agli altri)

73 Dall’India… il sistema decimale  1
La civiltà indiana, più antica delle civiltà classiche, è già documentata dal 3000 a.C. Sebbene l’uso della matematica dovesse essere ben sviluppato già in epoca arcaica, i primi testi che ci sono giunti risalgono al V secolo d.C. Non è però ancora chiaro dove e quando si sia sviluppato il sistema di notazione decimale posizionale che, in seguito, attraverso gli Arabi, si è diffuso in Europa

74 Dall’India… il sistema decimale  2
Tale sistema viene utilizzato nell’opera del matematico indiano vissuto attorno al 500 d.C. Aryabhata, la più antica che ci è pervenuta (se si eccettuano frammenti sparsi di matematici anteriori), dove però manca ancora l’uso di un simbolo zero Testimonianze di scritture in forma posizionale si registrano anche prima del manuale di Aryabhata, mentre per avere datazioni sicure di forme complete in cui compare anche il simbolo zero occorre arrivare al IX secolo d.C.

75 Dall’India… il sistema decimale  3
L’idea di usare un numero limitato di simboli a cui dare valore diverso a seconda della posizione occupata può essere stata, secondo alcuni studiosi, sviluppata dagli Indiani per conoscenza diretta  o ereditata dai Greci  del sistema sessagesimale babilonese Gli Indiani avrebbero allora iniziato ad utilizzare solamente i primi 9 simboli del loro sistema decimale in caratteri Brahmi, in uso dal III secolo a.C.

76 Dall’India… il sistema decimale  4
I simboli assumono forme diverse a seconda delle zone e dei periodi, ma sono comunque quelli che gli Arabi più tardi utilizzarono e che, dalla forma araba, sono passati in Europa, fino alla forma definitiva resa uniforme dalla stampa nel XV secolo

77 Sistemi di numerazione posizionali
La base del sistema di numerazione Le cifre del sistema di numerazione Il numero è scritto specificando le cifre in ordine ed il suo valore dipende dalla posizione relativa delle cifre Esempio: Il sistema decimale (Base 10) Cifre : 5641 = 5· · · ·100 Posizione:

78 Sistemi in base B La base definisce il numero di cifre diverse nel sistema di numerazione La cifra di minor valore è sempre lo 0; le altre sono, nell’ordine, 1,2,…,B1; se B>10 occorre introdurre B10 simboli in aggiunta alle cifre decimali Un numero intero N si rappresenta con la scrittura (cncn1…c2c1c0)B N = cnBn+cn1Bn1+...+c2B2+c1B1+c0B0 cn è la cifra più significativa, c0 la meno significativa Un numero frazionario N’ si rappresenta come (0,c1c2…cn)B N’ = c1B1+c2B2+...+cnBn

79 Numeri interi senza segno
Con n cifre in base B si rappresentano tutti i numeri interi positivi da 0 a Bn1 (Bn numeri distinti) Esempio: base 10 00 01 02 …. 98 99 2 cifre: da 0 a 1021 = 99 102 = 100 valori Esempio: base 2 00 01 10 11 22 = 4 valori 2 cifre: da 0 a 221 = 3

80 Il sistema binario (B2)
La base 2 è la più piccola per un sistema di numerazione Cifre: 0 1  bit (binary digit) Forma polinomia Esempi: (101101)2 = 125 + 024 + 123 + 122 + 021 + 120 = = (45)10 (0,0101)2 = 02 2 23 + 124 = , ,0625 = (0,3125)10 (11,101)2 = 121 + 120 + 121 + 022 + 123 = , , = (3,625)10

81 Dal bit al byte Un byte è un insieme di 8 bit (un numero binario ad 8 cifre) Con un byte si rappresentano i numeri interi fra 0 e 281  255 È l’elemento base con cui si rappresentano i dati nei calcolatori Si utilizzano sempre dimensioni multiple (di potenze del 2) del byte: 2 byte (16 bit), 4 byte (32 bit), 8 byte (64 bit)… b7b6b5b4b3b2b1b0 ……………. 28 = 256 valori distinti

82 Dal byte al kilobyte Potenze del 2
Cosa sono KB (Kilobyte), MB (Megabyte), GB (Gigabyte)? 24 = = 256 216 = 210 = (K=Kilo) 220 = (M=Mega) 230 = (G=Giga) 1 KB = 210 byte = 1024 byte 1 MB = 220 byte = byte 1 GB = 230 byte = byte 1 TB = 240 byte = byte (Terabyte) 1 PB = 250 byte = byte (Petabyte)

83 Da decimale a binario Numeri interi
Si divide ripetutamente il numero intero decimale per 2 fino ad ottenere un quoziente nullo; le cifre del numero binario sono i resti delle divisioni; la cifra più significativa è l’ultimo resto Esempio: convertire in binario (43)10 resti 43 : 2 = : 2 = 10 : 2 = 5 : 2 = : 2 = 1 : 2 = bit più significativo (43)10 = (101011)2

84 Da decimale a binario Numeri razionali
Si moltiplica ripetutamente il numero frazionario decimale per 2, fino ad ottenere una parte decimale nulla o, dato che la condizione potrebbe non verificarsi mai, per un numero prefissato di volte; le cifre del numero binario sono le parti intere dei prodotti successivi; la cifra più significativa è il risultato della prima moltiplicazione Esempio: convertire in binario (0,21875)10 e (0,45)10 (0,21875)10 = (0,00111)2 0,45  2 = 0,9 0,90  2 = 1,8 0,80  2 = 1,6 0,60  2 = 1,2 0,20  2 = 0,4 etc. (0,45)10  (0,01110)2 0,21875  2 = 0 ,4375 0,  2 = 0,875 0,  2 = 1,75 0,  2 = 1,5 0,  2 = 1,0

85 Da binario a decimale Esempio: convertire in decimale (101011)2
Oltre all’espansione esplicita in potenze del 2  forma polinomia… …si può operare nel modo seguente: si raddoppia il bit più significativo e si aggiunge al secondo bit; si raddoppia la somma e si aggiunge al terzo bit… si continua fino al bit meno significativo (101011)2 = 125 + 024 + 123 + 022 + 121 + 120 = (43)10 Esempio: convertire in decimale (101011)2 bit più significativo 1 x 2 = x 2 = 5 x 2 = 10 x 2 = x 2 = = 43 (101011)2 = (43)10

86 Esercizi Si verifichino le seguenti corrispondenze: (110010)2(50)10
( )2(102)10 (1111)2(17)10 (11011)2(27)10 (100001)2(39)10

87 Sistema esadecimale La base 16 è molto usata in campo informatico
Cifre: A B C D E F La corrispondenza in decimale delle cifre oltre il 9 è A = (10) D = (13)10 B = (11) E = (14)10 C = (12) F = (15)10 Esempio: (3A2F)16 = 3   160 =    = (14895)10

88 Da binario a esadecimale
Una cifra esadecimale corrisponde a 4 bit Si possono rappresentare numeri binari lunghi con poche cifre (1/4) La conversione da binario ad esadecimale è immediata, raggruppando le cifre binarie in gruppi di 4 (da destra) e sostituendole con le cifre esadecimali secondo la tabella precedente 0 corrisponde a 4 bit a 0 A B C D E F F corrisponde a 4 bit a 1

89 Dal bit all’hex Un numero binario di 4n bit corrisponde a un numero esadecimale di n cifre Esempio: 32 bit corrispondono a 8 cifre esadecimali D B F (D91B437F)16 Esempio: 16 bit corrispondono a 4 cifre esadecimali F F (00FF)16

90 Da esadecimale a binario
La conversione da esadecimale a binario si ottiene espandendo ciascuna cifra con i 4 bit corrispondenti Esempio: convertire in binario il numero esadecimale 0x0c8f Notazione usata in molti linguaggi di programmazione (es. C e Java) per rappresentare numeri esadecimali c f Il numero binario ha 4  4=16 bit

91 Esempi  1 In qualsiasi base, l’essere il sistema di numerazione posizionale impone che combinazioni diverse di cifre uguali rappresentino numeri diversi; ad esempio: (319)10  (193)10 (152)6  (512)6, infatti... (152)6=162+561+260= =(68)10 (512)6=562+161+260= =(188)10 Numeri che hanno identica rappresentazione, in basi diverse, hanno valori diversi: (234)10  (234)8 , infatti... (234)8 = 282 + 381 + 480 = 264 + 38 + 4 = = (156)10 Osservazione: più piccola è la base, minore è il valore del numero rappresentato dalla stessa sequenza di cifre

92 Esempi  2 La notazione posizionale si applica anche per il calcolo del valore dei numeri frazionari, infatti... (0,872)10 = 8101 + 7102 + 2103 = 8/10 + 7/ /1000 = 0,8 + 0,07 + 0,002 Quante cifre occorreranno per rappresentare il numero decimale 36 in base 2? Sappiamo che con n cifre si rappresentano i numeri da 0 a 2n1, quindi... per n=1 (con una cifra) si rappresentano 1  0,1 per n=2: 1  0...3 per n=3: 1  0...7 per n=4: 1  per n=5: 1  per n=6: 1  Effettivamente possiamo verificare che (100100)2=(36)10, infatti... 100100=125+024+023+122+021+020 = = 36 con 6 cifre necessarie per la codifica del numero in base 2

93 Esempi  3 Quesito: Per quale base B risulterà vera l’uguaglianza
= 102 ? Se i numeri sono rappresentati in base B, sappiamo che: (17)B = 1B1+7B0 = B+7 (41)B = 4B1+1B0 = 4B+1 (22)B = 2B1+2B0 = 2B+2 (102)B = 1B2+0B1+2B0 = B2+2 da cui... B+7+4B+1+2B+2 = 7B+10 = B2+2  Si ottiene un’equazione di 2° grado: B2  7B  8 = 0 Risolvendo:  = = 81 B = (7   )/2 = (79)/2 = 1 (7+9)/2 = 8 È la soluzione! Non può essere una base

94 La rappresentazione dei dati e l’aritmetica degli elaboratori

95 Numeri interi positivi
I numeri interi positivi sono rappresentati all’interno dell’elaboratore utilizzando un multiplo del byte (generalmente 8 byte) Se l’intero si rappresenta con un numero di cifre minore, vengono aggiunti zeri nelle cifre più significative Esempio: 12 viene rappresentato in un byte come…

96 Numeri con segno Per rappresentare numeri con segno, occorre utilizzare un bit per definire il segno del numero Si possono usare tre tecniche di codifica Modulo e segno Complemento a 2 Complemento a 1

97 Modulo e segno Il bit più significativo rappresenta il segno: 0 per i numeri positivi, 1 per quelli negativi Esiste uno zero positivo (00…0) e uno zero negativo (10…0) Se si utilizzano n bit si rappresentano tutti i numeri compresi fra (2n11) e 2n11 Esempio: con 4 bit si rappresentano i numeri fra 7 ((231)) e 7 (231) 0000 0 0001 1 0010 2 0011 3 0100 4 0101 5 0110 6 0111 7 1000 0 1001 1 1010 2 1011 3 1100 4 1101 5 1110 6 1111 7 positivi negativi

98 Complemento a 2 Il complemento a 2 di un numero binario (N)2 a n cifre è il numero Il complemento a 2 si calcola… Effettuando il complemento a 1 del numero di partenza (negazione di ogni cifra): si trasforma ogni 0 in 1 e ogni 1 in 0 Aggiungendo 1 al numero ottenuto Oppure: a partire da destra, lasciando invariate tutte le cifre fino al primo 1 compreso, quindi invertendo il valore delle rimanenti 2n(N)2 = 10……0(N)2 { n zeri 28 281 N 281N 281N1 complemento a 1  1

99 Interi in complemento a 2
I numeri positivi sono rappresentati (come) in modulo e segno I numeri negativi sono rappresentati in complemento a 2  la cifra più significativa ha sempre valore 1 Lo zero è rappresentato come numero positivo (con una sequenza di n zeri) Il campo dei numeri rappresentabili varia da 2n1 a 2n11 Esempio: numeri a 4 cifre 0000 0 0001 1 0010 2 0011 3 0100 4 0101 5 0110 6 0111 7 1000 8 1001 7 1010 6 1011 5 1100 4 1101 3 1110 2 1111 1 Nota: 7 8

100 Interi a 16 bit Numeri interi rappresentati su 16 bit in complemento a 2: Il numero intero positivo più grande è 2151=(32767)10 0x F F F Il numero intero negativo più piccolo è 215=(32768)10 0x 1 Il numero intero –1 è rappresentato come 0x F F F F 1

101 Addizione binaria Le regole per l’addizione di due bit sono
L’ultima regola è… (1)2(1)2  (10)2 … (112)10 !! 0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 1 + 0 = 1 1 + 1 = 0 con riporto di 1 Esempio 181 91+ 90  riporti

102 Sottrazione binaria  1 Le regole per la sottrazione di due bit sono
La sottrazione può divenire complicata: quando si ha una richiesta sulla cifra precedente a sinistra, che è uno 0, l’operazione si propaga a sinistra fino alla prima cifra ad 1 del sottraendo 0  0 = 0 1  0 = 1 1  1 = 0 10  1 = 1 con prestito di 1 dalla cifra precedente a sinistra Esempio 0 10 1 0 1  20 25  5 

103 { Sottrazione binaria  2
Utilizzando la rappresentazione in complemento a 2, addizione e sottrazione sono trattate come un’unica operazione N1N2 = N1(2nN2)2n complemento a 2 di N2: rappresentazione di (N2) si trascura il bit n 1 { Si calcola il complemento a 2 di N2 Si somma N1 con il complemento a 2 di N2 Si trascura il bit più significativo del risultato Esempio: (010001)2(000101)2 = (17)10(5)10 (12)10

104 Rappresentazioni in complemento
Sono utili perché l’operazione di somma algebrica può essere realizzata non curandosi del bit di segno In complemento a 1 (più semplice da calcolare)… Zero ha due rappresentazioni: e La somma bit a bit funziona “quasi sempre” In complemento a 2… Zero ha una sola rappresentazione La somma bit a bit funziona sempre 11001  (6) 11010 = (5) (12) 00110  (6) 10101 = (10) (4)

105 Overflow L’overflow si ha quando il risultato di un’operazione non è rappresentabile correttamente con n bit Per evitare l’overflow occorre aumentare il numero di bit utilizzati per rappresentare gli operandi C’è overflow se c’è riporto al di fuori del bit di segno e non sul bit di segno, o se c’è riporto sul bit di segno, ma non al di fuori Esempio: 5 bit  [16,15] 01110  01010  11000 14  10  24 11000  10110  101110 8  10  18 8 14

106 Moltiplicazione binaria
Le regole per la moltiplicazione di due bit sono Moltiplicare per 2n corrisponde ad aggiungere n zeri in coda al moltiplicando 0  0 = 0 0  1 = 0 1  0 = 0 1  1 = 1 Esempio  101  =  16 = 24 816 51

107 Divisione binaria La divisione binaria di A per B viene calcolata in modo analogo alla divisione decimale, così da ottenere un quoziente Q ed un resto R, tali che A  BQ  R La divisione binaria si compone di una serie di sottrazioni Dividere per 2n equivale a scorrere il numero a destra di n posizioni; le cifre scartate costituiscono il resto ( ^ ^ ^ 1 1 1 1 0 1 1 0 0 54 = 510 + 4 51:16 = 3 con resto 3  = 11 con resto 11

108 Esempio Quesito: Data una base B, si consideri il numero x(C5C4C3C2C1C0)B, dove le singole cifre valgono: C5  B1, C4  B1, C3  B1, C2  0, C1  0, C0  0 Qual è la rappresentazione in base B del risultato dell’espressione (x/B3)1? Dividere per B3, che per qualsiasi base si rappresenta come 1000, equivale a “shiftare” il numero di tre cifre a sinistra Rimangono quindi le tre cifre più significative, tutte uguali a B1 Sommando 1, a causa dei riporti, si ottiene quindi come risultato dell’espressione 1000B3, qualsiasi sia il valore della base B

109 Esercizi Esercizio 1 Esercizio 2
Assumendo che un elaboratore rappresenti i numeri interi con segno su quattro bit in complemento a 2, si calcolino entrambi i membri della seguente identità: (AC)B  (AB)C, con A7, B5, C7. Si ottiene lo stesso risultato dal calcolo dei due membri? Discutere le motivazioni della risposta. Esercizio 2 Si determini, se esiste, la base b di un sistema di numerazione tale che (842)b  (1202)10 Si determini, se esiste, la base b  16 di un sistema di numerazione tale che (725)b  (626)b  (224)10

110 Numeri in virgola mobile
La rappresentazione dei numeri in virgola mobile è in relazione con la notazione scientifica (es. 1.2102120) La IEEE ha previsto uno standard per la rappresentazione in virgola mobile singola precisione (32 bit = 4 byte) doppia precisione (64 bit = 8 byte) quadrupla precisione (128 bit = 16 byte) Singola precisione 31 22 23 23 bit 8 bit Mantissa (o Caratteristica) Segno Il valore è (1)S 1.M2E127 se E0 (1)S 0.M2 se E=0 Esponente Eccesso: vale 2t11, se t è il numero di cifre riservate alla caratteristica  rappresentazione “interna” dell’esponente sempre positiva

111 Singola precisione Il numero più grande rappresentabile è 2128(2223)21296.811038 Il più piccolo numero positivo è 212622321491.41045 In totale si rappresentano 232 numeri distinti, metà positivi, metà negativi Circa metà dei numeri sono compresi fra 1 e 1 (E127<0) 2255 0.5 0.25 2 223 valori 223 valori 223 valori 223 valori 0.25 0.5 1 2 4

112 L’aritmetica floatingpoint:
Addizione Metodo per il calcolo dell’addizione Se le caratteristiche dei numeri sono diverse, si considera il numero con caratteristica minore e… 1.1 Si trasla la mantissa di un posto a destra 1.2 Si incrementa la caratteristica di 1, fino a quando le due La mantissa del risultato è ottenuta dalla somma delle due mantisse Se l’addizione comporta un riporto oltre la cifra più significativa, si trasla la mantissa del risultato a destra di un posto, il riporto nel bit più significativo, e si incrementa la caratteristica di 1 caratteristiche sono uguali, e corrispondono alla caratteristica del risultato

113 Un esempio di addizione
Supponiamo che per la rappresentazione floating–point vengano utilizzati otto bit, di cui uno per il segno, tre per la caratteristica e quattro per la mantissa La caratteristica del secondo operando è più piccola di una unità, quindi la mantissa deve scorrere di una posizione a destra La caratteristica del risultato è 110 e la mantissa è = 10001; la caratteristica deve essere aumentata di 1 e portata a 111, e la mantissa del risultato traslata a destra di una posizione: 1.125 3.25 1 N = (1)s0.M2E4 1001  0100 1 Codifica il numero 4 (dato che la caratteristica si rappresenta in eccesso a 4), ma il risultato corretto è 4.375: errore di troncamento

114 L’aritmetica floatingpoint:
Moltiplicazione Metodo per il calcolo della moltiplicazione Si moltiplicano le due mantisse Si addizionano le due caratteristiche Si trasla a sinistra il prodotto delle due mantisse fino ad ottenere un 1 come cifra più significativa; si diminuisce la caratteristica di 1 per ogni traslazione eseguita Si tronca la mantissa al numero di bit utilizzati nella rappresentazione; la mantissa del prodotto è il risultato del troncamento Si sottrae l’eccesso alla somma delle caratteristiche, ottenendo la caratteristica del prodotto

115 Un esempio di moltiplicazione
Supponiamo che per la rappresentazione floating–point vengano utilizzati otto bit, di cui uno per il segno, tre per la caratteristica e quattro per la mantissa Moltiplicando le mantisse e sommando le caratteristiche si ottiene: La mantissa del risultato deve essere traslata di un posto a sinistra, e la somma delle caratteristiche deve essere decrementata di 1; infine la mantissa deve essere troncata alle 4 cifre significative e l’eccesso (100) sottratto alla caratteristica: 1 1.125 N = (1)s0.M2E4 M= E=111 1 Codifica il numero , ma il risultato corretto è : errore di troncamento

116 L’aritmetica degli elaboratori  1
L’aritmetica “interna” degli elaboratori differisce notevolmente dall’aritmetica classica Sebbene le stesse operazioni possano essere realizzate secondo modalità diverse su elaboratori diversi, si riscontrano alcune caratteristiche comuni: Rappresentazione binaria dei numeri Rango finito dei numeri rappresentabili Precisione finita dei numeri Operazioni espresse in termini di operazioni più semplici

117 L’aritmetica degli elaboratori  2
Rango finito dei numeri rappresentabili Qualunque sia la codifica utilizzata, esistono sempre il più grande ed il più piccolo numero rappresentabile I limiti inferiore e superiore del rango di rappresentazione dipendono sia dal tipo di codifica, sia dal numero di bit utilizzati Se il risultato di un’operazione non appartiene al rango dei numeri rappresentabili, si dice che si è verificato un overflow (un underflow, più precisamente, se il risultato è più piccolo del più piccolo numero rappresentabile)

118 L’aritmetica degli elaboratori  3
Precisione finita dei numeri La precisione della rappresentazione di un numero frazionario è una misura di quanto essa corrisponda al numero che deve essere rappresentato Negli elaboratori, i numeri frazionari sono rappresentati in virgola mobile (floating–point), utilizzando un numero finito di bit È plausibile che un numero reale non ammetta una rappresentazione finita, quindi dovrà essere codificato in maniera approssimata Negli elaboratori si rappresentano soltanto numeri razionali (fino ad una data precisione)

119 L’aritmetica degli elaboratori  4
Operazioni espresse in termini di operazioni più semplici La maggior parte degli elaboratori non possiede circuiti in grado di eseguire direttamente tutte le operazioni: La sottrazione si realizza per mezzo di una complementazione e di un’addizione La moltiplicazione si realizza per mezzo di una successione di addizioni e di shift (traslazioni) La divisione si realizza per mezzo di una successione di shift e sottrazioni Le operazioni più semplici sono eseguite direttamente da appositi circuiti (in hardware); le operazioni più complesse sono realizzate mediante l’esecuzione di successioni di operazioni più semplici, sotto il controllo di programmi appositamente realizzati, e generalmente memorizzati permanentemente (in firmware)

120 Codifica dei caratteri alfabetici  1
Oltre ai numeri, molte applicazioni informatiche elaborano caratteri (simboli) Gli elaboratori elettronici trattano numeri Si codificano i caratteri e i simboli per mezzo di numeri Per poter scambiare dati (testi) in modo corretto, occorre definire uno standard di codifica A 3 $

121 Codifica dei caratteri alfabetici  2
Ovvero… quando si scambiano dati, deve essere noto il tipo di codifica utilizzato La codifica deve prevedere le lettere dell’alfabeto, le cifre numeriche, i simboli, la punteggiatura, i caratteri speciali per certe lingue (æ, ã, ë, è,…) Lo standard di codifica più diffuso è il codice ASCII, per American Standard Code for Information Interchange

122 Codifica ASCII Definisce una tabella di corrispondenza fra ciascun carattere e un codice a 7 bit (128 caratteri) I caratteri, in genere, sono rappresentati con 1 byte (8 bit); i caratteri con il bit più significativo a 1 (quelli con codice dal 128 al 255) rappresentano un’estensione della codifica La tabella comprende sia caratteri di controllo (codici da 0 a 31) che caratteri stampabili I caratteri alfabetici/numerici hanno codici ordinati secondo l’ordine alfabetico/numerico A 65 B 66 ……. Y 89 Z 90 a 97 b 98 ……. y 121 z 122 0 48 1 49 ……. 8 56 9 57 cifre maiuscole minuscole

123 Caratteri di controllo ASCII
I caratteri di controllo (codice da 0 a 31) hanno funzioni speciali Si ottengono o con tasti specifici o con una sequenza Ctrlcarattere Ctrl Dec Hex Code Nota NULL carattere nullo ^A SOH partenza blocco …… … … …… ………………… ^G BEL beep ^H BS backspace ^I HT tabulazione orizzontale ^J A LF line feed (cambio linea) ^K B VT tabulazione verticale ^L C FF form feed (alim. carta) ^M D CR carriage return (a capo) …… … … …… …………………… ^Z A EOF fine file ^[ B ESC escape …… … … …… ……… ^_ F US separatore di unità

124 Caratteri stampabili Dec Hx Chr Dec Hx Chr Dec Hx Chr Dec Hx Chr Dec Hx Chr Dec Hx Chr 32 20 SPACE P ` p 33 21 ! A Q a q 34 22 ” B R b r 35 23 # C S c s 36 24 $ D T d t 37 25 % E U e u 38 26 & F V f v 39 27 ’ G W g w 40 28 ( H X h x 41 29 ) I Y i y 42 2A * 58 3A : 74 4A J 90 5A Z 106 6A j 122 7A z 43 2B B ; 75 4B K 91 5B [ 107 6B k 123 7B { 44 2C , 60 3C < 76 4C L 92 5C \ 108 6C l 124 7C | 45 2D D = 77 4D M 93 5D ] 109 6D m 125 7D } 46 2E E > 78 4E N 94 5E ^ 110 6E n 126 7E ~ 47 2F / 63 3F ? 79 4F O 95 5F _ 111 6F o F DEL Nota: il valore numerico di una cifra può essere calcolato come differenza del suo codice ASCII rispetto al codice ASCII della cifra 0 (es. ‘5’‘0’ = 53 48 = 5)

125 Tabella ASCII estesa I codici oltre il 127 non sono compresi nello standard originario

126 La codifica delle immagini  1
Le immagini vengono anch’esse codificate come una sequenza di bit: il processo di “traduzione” da un’immagine ad una sequenza binaria prende il nome di digitalizzazione L’immagine è suddivisa in punti o pixel (per picture element ) e ciascun punto viene codificato con un numero, che corrisponde ad un colore o ad un particolare tono di grigio Si utilizzano un numero di colori o di sfumature che sia una potenza del 2, in modo da codificare l’informazione legata a ciascun pixel con un opportuno numero di bit 126

127 La codifica delle immagini  2
Le immagini vengono memorizzate come lunghe sequenze di bit: per interpretarle è necessario conoscere... ...le dimensioni dell’immagine (base ed altezza in numero di pixel), detta anche risoluzione ...il numero di colori (o toni di grigio) disponibili per ogni pixel Se un immagine viene codificata ad una data risoluzione, potrà comunque essere presentata su un dispositivo a più bassa risoluzione, a patto di “ignorare” parte dell’informazione 127

128 La codifica delle immagini  3
Come è avvenuto per i caratteri, anche per le immagini sono stati definiti standard di codifica, che assicurano la compatibilità fra sistemi diversi, per quanto concerne la trasmissione e la visualizzazione delle immagini TIFF  Tagged Image File Format JPEG PNG  Portable Network Graphics Per ridurre lo spazio necessario per memorizzare le immagini si utilizzano tecniche di compressione (utili anche per la trasmissione su rete Internet) 128

129 La codifica delle immagini  4
Le tecniche di compressione si dividono in… Tecniche lossless: non provocano perdita di informazione, sono adatte a codificare immagini in cui sono presenti ampie aree monocromatiche  si codificano in maniera compatta insiemi di pixel aventi le stesse caratteristiche Tecniche lossly: provocano perdita di informazione, facendo decadere la qualità dell’immagine Normalmente ai formati JPEG e PNG, molto diffusi per lo scambio di immagini su Internet, si applicano metodi di compressione lossly 129


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