La presentazione è in caricamento. Aspetta per favore

La presentazione è in caricamento. Aspetta per favore

Come vincere la noia della matematica e della politica in un colpo solo Furio Honsell Matematico e sindaco di Udine Politecnico di Torino, Festa del π

Presentazioni simili


Presentazione sul tema: "Come vincere la noia della matematica e della politica in un colpo solo Furio Honsell Matematico e sindaco di Udine Politecnico di Torino, Festa del π"— Transcript della presentazione:

1 Come vincere la noia della matematica e della politica in un colpo solo Furio Honsell Matematico e sindaco di Udine Politecnico di Torino, Festa del π 2010

2 Matematica e politica e umorismo Al cinismo politico di un Machiavelli: Al cinismo politico di un Machiavelli: Il fine giustifica i mezzi. Si deve rispondere: Si deve rispondere: Il rozzo no. Il rozzo, giustifica i terzi. Ride bene chi ride ultimo? Ride bene chi ride ultimo? No. Ride ultimo chi ci arriva dopo. La parodia della cottura delluovo sodo La parodia della cottura delluovo sodo

3 La matematica quotidiana è divertente La matematica spesso sembra astrusa e noiosa. La matematica spesso sembra astrusa e noiosa. E invece quotidiana e divertente E invece quotidiana e divertente Si fa matematica sin da quando ci si sveglia forse senza saperlo Si fa matematica sin da quando ci si sveglia forse senza saperlo Lalgoritmo per lavarsi i denti Lalgoritmo per lavarsi i denti … e per fare il nodo alla cravatta … e per fare il nodo alla cravatta Come sono impilate le arance al mercato? Come sono impilate le arance al mercato? e le infinite soluzioni al problema di Keplero

4 Qualche domanda a bruciapelo In una giornata ventosa, ci si mette meno tempo per andare e tornare in bicicletta fino alledicola, di quanto non tira vento? In una giornata ventosa, ci si mette meno tempo per andare e tornare in bicicletta fino alledicola, di quanto non tira vento? Un pizzaiolo distratto consegnò la margherita ad un cameriere e la quattro stagioni ad un altro. Per rimediare e scambiare le ordinazioni, quale cameriere gli conviene rincorrere per primo? Un pizzaiolo distratto consegnò la margherita ad un cameriere e la quattro stagioni ad un altro. Per rimediare e scambiare le ordinazioni, quale cameriere gli conviene rincorrere per primo? 100 vasi, 10 per volta, Samo dista 10 miglia, 1 vaso in pegno ogni miglio. Quanti vasi riesco a portare a Samo? 100 vasi, 10 per volta, Samo dista 10 miglia, 1 vaso in pegno ogni miglio. Quanti vasi riesco a portare a Samo? Chi è il suocero di mio cognato? Chi è il suocero di mio cognato? La donna disse: questo bimbo che ho in braccio non è mio figlio ma mio nipote e fratello di mio marito. La donna disse: questo bimbo che ho in braccio non è mio figlio ma mio nipote e fratello di mio marito.

5 Qualche domanda sullenergia Per bere il caffelatte più caldo, è meglio versare il latte freddo immediatamente nel caffè bollente appena fatto, oppure dopo, solamente prima di berlo? Per bere il caffelatte più caldo, è meglio versare il latte freddo immediatamente nel caffè bollente appena fatto, oppure dopo, solamente prima di berlo? Se un cubetto di ghiaccio che galleggia in un bicchiere dacqua fonde completamente, il livello nel bicchiere sale, scende, o rimane invariato? Se un cubetto di ghiaccio che galleggia in un bicchiere dacqua fonde completamente, il livello nel bicchiere sale, scende, o rimane invariato? Qual è il limite fisico del salto con lasta? Qual è il limite fisico del salto con lasta?

6 Matematica nella politica ovvero come usare la politica per preparare un programma elettorale Abbiamo abbastanza posti negli asili nido? Abbiamo abbastanza posti negli asili nido? Qual è il nostro coefficiente di dipendenza? Qual è il nostro coefficiente di dipendenza? Quante abitazioni sono collegate al ciclo dellacqua? Quante abitazioni sono collegate al ciclo dellacqua? Qual è il nostro coefficiente di autosufficienza energetica? Qual è il nostro coefficiente di autosufficienza energetica? Cosè il patto dei sindaci ? Cosè il patto dei sindaci ? Meglio Kyoto o Copenhagen? Meglio Kyoto o Copenhagen?

7

8 Devo preoccuparmi? Il Sole 24 Ore ha pubblicato lennesimo sondaggio sulla popolarità dei sindaci. Il Sole 24 Ore ha pubblicato lennesimo sondaggio sulla popolarità dei sindaci. MAMMAMIA!!! la mia popolarità è scesa del 1,7%. MAMMAMIA!!! la mia popolarità è scesa del 1,7%. Un momento: quanto era il campione? Un momento: quanto era il campione? Solamente 500 persone Solamente 500 persone La distribuzione del gradimento dei campioni è una gaussiana. Così come la distribuzione del numero delle volte che andiamo in bagno, oppure la durata delle lampadine dei semafori. La distribuzione del gradimento dei campioni è una gaussiana. Così come la distribuzione del numero delle volte che andiamo in bagno, oppure la durata delle lampadine dei semafori. La mia popolarità è compresa al 95% in un intervallo la cui ampiezza è: La mia popolarità è compresa al 95% in un intervallo la cui ampiezza è: La variazione è molto più piccola dellerrore statistico La variazione è molto più piccola dellerrore statistico

9 Matematica e Politica Una cittadinanza consapevole Una cittadinanza consapevole Bisogna aumentare lalfabetizzazione matematica tra i politici e lalfabetizzazione politica tra i matematici Bisogna aumentare lalfabetizzazione matematica tra i politici e lalfabetizzazione politica tra i matematici Cè bisogno di più matematici e più politici appassionati, cè soprattutto bisogno di più matematici politici e politici matematici Cè bisogno di più matematici e più politici appassionati, cè soprattutto bisogno di più matematici politici e politici matematici

10 Il gioco Metafora dellinterazione Metafora dellinterazione Per una cittadinanza consapevole Per una cittadinanza consapevole Per superare le barriere Per superare le barriere Per promuovere linclusione sociale Per promuovere linclusione sociale … Giochi di cooperazione Giochi di cooperazione Insegna a perdere: Misère Insegna a perdere: Misère

11 Misère Due cavalieri ad un torneo volevano fare a gara a chi aveva il cavallo più lento. Due cavalieri ad un torneo volevano fare a gara a chi aveva il cavallo più lento. Poiché la tenzone durava troppo, ad un certo punto il sovrano decise di procedere diversamente. Poiché la tenzone durava troppo, ad un certo punto il sovrano decise di procedere diversamente. Come? Come?

12

13

14

15 Il Pi – day

16

17

18 Qualche commento sullo zero Tutte hanno la medesima etimologia: sunya, sifr, cypher, cifra, zero, Tutte hanno la medesima etimologia: sunya, sifr, cypher, cifra, zero, Ma non digit Ma non digit La notazione di Gugù La notazione di Gugù Notazione additiva e posizionale Notazione additiva e posizionale Quante cifre ci vogliono per scrivere un numero? Quante cifre ci vogliono per scrivere un numero? Calcolo veloce Calcolo veloce Indigitatio Indigitatio Le tabelline fino al 5 Le tabelline fino al 5 Il sutra Ūrdhva-Tiryagbhyām Il sutra Ūrdhva-Tiryagbhyām Il sutra Nikhilam Navtaścaramam Daśatah Il sutra Nikhilam Navtaścaramam Daśatah Al Khwarizmi: Kitab al-Jabr wa-l-Muqabala Al Khwarizmi: Kitab al-Jabr wa-l-Muqabala

19

20

21 Il taglio della torta, ovvero dividere le risorse in modo equo

22

23 La divisione equa delle risorse Una torta da dividere tra bambini golosi è una buona metafora di una risorsa per cui competere Una torta da dividere tra bambini golosi è una buona metafora di una risorsa per cui competere Un sacco di farina Un sacco di farina Non è detto che la torta sia omogenea Non è detto che la torta sia omogenea Gli algoritmi funzionano anche se cè chi preferisce di più la parte con la glassa rispetto a quella con più crema oppure pan di Spagna. Gli algoritmi funzionano anche se cè chi preferisce di più la parte con la glassa rispetto a quella con più crema oppure pan di Spagna. Se ci sono due bambini la divisione equa si ottiene con il classico metodo: Se ci sono due bambini la divisione equa si ottiene con il classico metodo: Abelardo taglia ed Eloisa sceglie Abelardo taglia ed Eloisa sceglie

24 Ma se i bambini sono tre : Ada, Gino e Pia Ada taglia la torta in tre parti che ritiene uguali Ada taglia la torta in tre parti che ritiene uguali Gino taglia un pezzo dalla fetta che ritiene più grande, aggiungendolo a quella che ritiene la seconda più grande, fino a farle diventare grandi uguale. Gino taglia un pezzo dalla fetta che ritiene più grande, aggiungendolo a quella che ritiene la seconda più grande, fino a farle diventare grandi uguale. Pia sceglie. Se sceglie una di queste due, Gino riceve laltra. Se sceglie la terza allora Gino riceve quella alla quale ha tagliato un pezzetto. Pia sceglie. Se sceglie una di queste due, Gino riceve laltra. Se sceglie la terza allora Gino riceve quella alla quale ha tagliato un pezzetto. Ada riceve la fetta rimanente Ada riceve la fetta rimanente

25 E se i bambini sono enne Lalgoritmo delle coppie successive. Lalgoritmo delle coppie successive. Il primo bambino divide la torta in due pezzi che ritiene uguali. Il primo bambino divide la torta in due pezzi che ritiene uguali. Il secondo sceglie una metà, lasciando laltra al primo. Il secondo sceglie una metà, lasciando laltra al primo. Ciascuno poi divide la propria parte in terzi. Ciascuno poi divide la propria parte in terzi. Il terzo bambino sceglie due pezzi uno dai tre pezzi del primo e uno dai tre pezzi del secondo. Il terzo bambino sceglie due pezzi uno dai tre pezzi del primo e uno dai tre pezzi del secondo. Se ci fossero quattro bambini ciascuno dei primi tre divide la propria porzione in quarti e così via … Se ci fossero quattro bambini ciascuno dei primi tre divide la propria porzione in quarti e così via …

26 Lalgoritmo dellultimo riduttore Il primo bambino taglia 1/n della torta. Il primo bambino taglia 1/n della torta. Ciascuno degli altri, a turno, esamina la fetta ed eventualmente ne stacca un pezzetto che aggiunge allaltra parte se ritiene che la fetta sia più grande di 1/n. Ciascuno degli altri, a turno, esamina la fetta ed eventualmente ne stacca un pezzetto che aggiunge allaltra parte se ritiene che la fetta sia più grande di 1/n. Lultimo a ritoccare la fetta la riceve. Lultimo a ritoccare la fetta la riceve. Il procedimento continua con n-1, fino alla divisione completa della parte di torta rimasta Il procedimento continua con n-1, fino alla divisione completa della parte di torta rimasta

27 Cosa vuol dire equità ? Una divisione è proporzionalmente equa se garantisce che ogni bambino riceva quello che lui ritiene sia una fetta di almeno 1/n. Una divisione è proporzionalmente equa se garantisce che ogni bambino riceva quello che lui ritiene sia una fetta di almeno 1/n. Una divisione è scevra da invidia se nessun bambino preferisce la fetta di un altro alla sua. Una divisione è scevra da invidia se nessun bambino preferisce la fetta di un altro alla sua. Una divisione è esatta se ogni bambino pensa che tutti abbiano ricevuto la quota della torta che gli spetta. Una divisione è esatta se ogni bambino pensa che tutti abbiano ricevuto la quota della torta che gli spetta. Se una divisione è esatta allora è scevra da invidia e se una divisione è scevra da invidia allora è proporzionalmente equa Se una divisione è esatta allora è scevra da invidia e se una divisione è scevra da invidia allora è proporzionalmente equa

28 Una divisione è efficiente o Pareto ottimale se assicura che nessuna altra divisione migliorerebbe la situazione di qualcuno senza peggiorare quella di qualcun altro. Una divisione è efficiente o Pareto ottimale se assicura che nessuna altra divisione migliorerebbe la situazione di qualcuno senza peggiorare quella di qualcun altro. Una divisione che assegna tutta la torta al prepotente è efficiente. Una divisione che assegna tutta la torta al prepotente è efficiente. Una divisione è equabile se tutti sono convinti di aver ricevuto la stessa proporzione di torta. Una divisione è equabile se tutti sono convinti di aver ricevuto la stessa proporzione di torta. Cè da perdere la testa con tutte queste definizioni! Cè da perdere la testa con tutte queste definizioni!

29 Una divisione scevra da invidia tra 3 bambini La procedura discreta di Selfridge–Conway. La procedura discreta di Selfridge–Conway.SelfridgeConwaySelfridgeConway Ada divide la torta in tre parti che reputa uguali. Ada divide la torta in tre parti che reputa uguali. Se Gino pensa che ci sia una fetta più grande ne taglia un pezzetto fino a farla diventare uguale alla seconda più grande. Il pezzetto tagliato chiamiamolo ritaglio. Se Gino pensa che ci sia una fetta più grande ne taglia un pezzetto fino a farla diventare uguale alla seconda più grande. Il pezzetto tagliato chiamiamolo ritaglio. Pia sceglie una fetta. Pia sceglie una fetta. Gino sceglie una fetta, se Pia non ha scelto la fetta ritoccata, deve sceglierla lui. Gino sceglie una fetta, se Pia non ha scelto la fetta ritoccata, deve sceglierla lui. Ada sceglie una fetta. Ada sceglie una fetta. La torta senza il ritaglio è stata adesso divisa in modo scevro da invidia. Sia A chi ha scelto la fetta ritoccata (Gino o Pia), laltro B. La torta senza il ritaglio è stata adesso divisa in modo scevro da invidia. Sia A chi ha scelto la fetta ritoccata (Gino o Pia), laltro B. B taglia il ritaglio in tre pezzi che reputa uguali. B taglia il ritaglio in tre pezzi che reputa uguali. A, che ha scelto la fetta ritoccata, sceglie uno dei ritagli. A, che ha scelto la fetta ritoccata, sceglie uno dei ritagli. Ada sceglie un pezzo dei ritagli. Ada sceglie un pezzo dei ritagli. B sceglie un pezzo dei ritagli. B sceglie un pezzo dei ritagli. Ada non invidierà A nemmeno se potrà prendersi tutto il ritaglio. Ada non invidierà A nemmeno se potrà prendersi tutto il ritaglio.

30 Il paradosso della democrazia Considerate un sindaco democratico che pensa sia giusto realizzare una discarica nel suo comune per non scaricare i propri rifiuti ad altri. Considerate un sindaco democratico che pensa sia giusto realizzare una discarica nel suo comune per non scaricare i propri rifiuti ad altri. Supponete che ci sia un referendum tra i cittadini nel quale vinca chi è contrario alla discarica nel comune. Supponete che ci sia un referendum tra i cittadini nel quale vinca chi è contrario alla discarica nel comune. Il sindaco democratico è a favore ma anche contrario alla discarica. Il sindaco democratico è a favore ma anche contrario alla discarica. Il conflitto morale non è irrazionale. Il conflitto morale non è irrazionale.

31 Il paradosso della deterrenza Il paradosso della deterrenza È possibile far desistere un nemico solamente se lo si minaccia di una rappresaglia convinti di attuarla È possibile far desistere un nemico solamente se lo si minaccia di una rappresaglia convinti di attuarla Si sa che è impossibile attuare la rappresaglia, perché autodistruttiva, Si sa che è impossibile attuare la rappresaglia, perché autodistruttiva, Non sarà possibile maturare la determinazione di attuare la rappresaglia perché si sa già che non si potrà metterla in pratica. Non sarà possibile maturare la determinazione di attuare la rappresaglia perché si sa già che non si potrà metterla in pratica.

32 Il paradosso del libertino È meglio sentirsi in colpa per ciò che si è compiuto piuttosto che agire in modo spregiudicato. È meglio sentirsi in colpa per ciò che si è compiuto piuttosto che agire in modo spregiudicato. Ma se il sentirci in colpa ci fa stare meglio, ciò ci impedisce di sentirci veramente in colpa Ma se il sentirci in colpa ci fa stare meglio, ciò ci impedisce di sentirci veramente in colpa

33 Il paradosso della preferenza Preferisco volare su un aliante accompagnato dallistruttore che guidare una macchina di Formula 1 Preferisco volare su un aliante accompagnato dallistruttore che guidare una macchina di Formula 1 Preferisco guidare una macchina di Formula 1 piuttosto che guidare un aliante da solo Preferisco guidare una macchina di Formula 1 piuttosto che guidare un aliante da solo Ma non voglio sembrare un fifone e se mi chiedono se preferisco volare da solo su un aliante rispetto a volare con listruttore rispondo che preferisco volare da solo Ma non voglio sembrare un fifone e se mi chiedono se preferisco volare da solo su un aliante rispetto a volare con listruttore rispondo che preferisco volare da solo Dovè volata la mia razionalità? Dovè volata la mia razionalità?

34 Come assegnare i seggi in base alle preferenze nelle elezioni Comunali? In Italia si usa il metodo DHondt In Italia si usa il metodo DHondt In atri paesi si usano altri metodi In atri paesi si usano altri metodi Tu quale useresti? Tu quale useresti? Il metodo DHondt favorisce le liste che ricevono più voti rispetto alle altre Il metodo DHondt favorisce le liste che ricevono più voti rispetto alle altre

35 Il metodo DHondt È un metodo basato sui quozienti. È un metodo basato sui quozienti. Dopo aver conteggiato tutti i voti, vengono calcolati quozienti succesivi per ogni lista, secondo la formula Dopo aver conteggiato tutti i voti, vengono calcolati quozienti succesivi per ogni lista, secondo la formulaV/(s+1) V è il numero totale dei voti di lista s il numero dei seggi che sono stati assegnati ai partiti sino a quel momento, inizialmente 0 Alla lista che ha il quoziente più alto in quel momento viene assegnato il seggio, e il suo quoziente viene ricalcolato in base al nuovo numero di seggi. Alla lista che ha il quoziente più alto in quel momento viene assegnato il seggio, e il suo quoziente viene ricalcolato in base al nuovo numero di seggi. Il procedimento si ripete fino allassegnazione di tutti i seggi. Il procedimento si ripete fino allassegnazione di tutti i seggi.

36 Il metodo Sainte-Laguë Webster È un altro metodo basato sui quozienti. È un altro metodo basato sui quozienti. Dopo aver conteggiato tutti i voti, vengono calcolati quozienti successivi per ogni lista, secondo la formula Dopo aver conteggiato tutti i voti, vengono calcolati quozienti successivi per ogni lista, secondo la formulaV/(2s+1) V è il numero totale dei voti di lista s il numero dei seggi che sono stati assegnati ai partiti sino a quel momento, inizialmente 0

37 ABCDE voti %voti39.8%32.7%18.7%7%1,8% 1° ° ° ° ° ° °42, Totale32200 % seggi 42,9%28,6%14,3%14,3%0% Usiamo il metodo DHondt

38 ABCDE voti %voti39.8%32.7%18.7%7%1,8% 1° ° ° ° , ° , ° , °48, , Totale32110 % seggi 42,9%28,6%14,3%14,3%0% Se invece usiamo il metodo Sainte-Laguë ?

39 La transitività Ci sono relazioni transitive e relazioni non transitive Ci sono relazioni transitive e relazioni non transitive Come si è visto, le preferenze stesse possono non essere transitive senza essere irrazionali Come si è visto, le preferenze stesse possono non essere transitive senza essere irrazionali

40 La transitività e il paradosso di Condorcet I°II°III°1/3ABC 1/3BCA 1/3CAB

41 Quale film andiamo a vedere tutti insieme? Romolo1 Remo1 Sara1 Papà1 Mamma1 Zia1 Nonno1 Amica1 Nonna1 Apollo 13 PocahontasInvictus Agatha Christie

42 La maggioranza relativa è il sistema più pericoloso La maggioranza relativa è il sistema più pericoloso Una minoranza ben agguerrita può battere una maggioranza divisa Una minoranza ben agguerrita può battere una maggioranza divisa

43 Apollo 13 vs Pocahontas Romolo1 Remo1 Sara241 Papà14 Mamma14 Zia14 Nonno1 Amica1 Nonna241 Apollo 13 Pocahontasinvictus Agatha Christie

44 Apollo 13 vs Invictus Romolo412 Remo412 Sara241 Papà142 Mamma142 Zia142 Nonno413 Amica413 Nonna2431 Apollo 13 PocahontasInvictus Agatha Christie

45 Pocahontas vs Apollo 13 Romolo4123 Remo4123 Sara2413 Papà1423 Mamma1423 Zia1423 Nonno4132 Amica4132 Nonna21 Apollo 13 PocahontasInvictus Agatha Christie

46 Pocahontas vs Invictus Romolo4123 Remo4123 Sara2413 Papà1423 Mamma1423 Zia1423 Nonno4132 Amica4132 Nonna21 Apollo 13 PocahontasInvictus Agatha Christie

47 Agatha Christie vs Pocahontas Romolo4123 Remo4123 Sara2413 Papà1423 Mamma1423 Zia1423 Nonno4132 Amica4132 Nonna21 Apollo 13 PocahontasInvictus Agatha Christie

48 Quale film andiamo a vedere? Romolo4123 Remo4123 Sara2413 Papà1423 Mamma1423 Zia1423 Nonno4132 Amica4132 Nonna3241 Apollo 13 23Pocahontas22Invictus21 Agatha Christie 23

49 Quale film andiamo a vedere? Romolo3124 Remo3124 Sara2413 Papà1423 Mamma1423 Zia1423 Nonno4132 Amica4123 Nonna???1 Apollo 13 Pocahontasinvictus Agatha Christie

50 Quale film andiamo a vedere? Romolo41532 Remo41532 Sara24513 Luca35124 Papà14523 Mamma14523 Zia14523 Nonno41532 Amica41532 Nonna42531 Apollo 13 PocahontasInvictus Amante Inglese Agatha Christie

51 La democrazia perfetta è una chimera? Il teorema di Arrow Il teorema di Arrow Ogni individuo nella società fornisce un ranking dei candidati (voto). Ogni individuo nella società fornisce un ranking dei candidati (voto). Si cerca un sistema di voto, detto funzione di social welfare SW che trasformi la collezione dei voti individuali in un ranking collettivo Si cerca un sistema di voto, detto funzione di social welfare SW che trasformi la collezione dei voti individuali in un ranking collettivo La funzione deve soddisfare le seguenti proprietà: La funzione deve soddisfare le seguenti proprietà:

52 Non dittatura Non dittatura La funzione SW deve tenere conto dei voti di molteplici individui. Non può solamente riflettere le preferenze di un singolo elettore. Universalità Universalità La funzione SW deve tenere conto di tutte le preferenze tra i votanti restituendo un ranking unico e completo in modo deterministico, ovvero dando lo stesso risultato tutte le volte che i dati sono presentati nello stesso modo.

53 Indipendenza dalle alternative irrilevanti Indipendenza dalle alternative irrilevanti La funzione SW deve dare lo stesso ordine relativo tra un sottoinsieme dei candidati che dà quando i candidati sono considerati tutti insieme. Modifiche nellordinamento di candidati irrilevanti rispetto ad una caratteristica non dovrebbe avere effetto sullordinamento di quelli rilevanti.

54 Monotonia, associazione positiva tra i valori individuali e collettivi Monotonia, associazione positiva tra i valori individuali e collettivi se un individuo modifica il suo ordine di preferenze promuovendo un candidato, allora la funzione SW può rimanere immutata o variare esclusivamente la posizione di quel candidato, ma non può mai farlo indietreggiare. Votare non può avere un effetto negativo Non imposizione, sovranità popolare Non imposizione, sovranità popolare Deve essere possibile ottenere ogni possibile ranking tra i candidati mediante unopportuna scelta di ordini di preferenze individuali.

55 Il teorema di Arrow Il Teorema di Arrow afferma che se un elettorato attivo ha almeno due membri e quello passivo almeno tre, allora è impossibile definire una graduatoria tra i candidati che soddisfi tutte le condizioni Il Teorema di Arrow afferma che se un elettorato attivo ha almeno due membri e quello passivo almeno tre, allora è impossibile definire una graduatoria tra i candidati che soddisfi tutte le condizioni

56 Contro la dittatura della maggioranza La maggioranza relativa incoraggia i candidati ad assumere posizioni estreme La maggioranza relativa incoraggia i candidati ad assumere posizioni estreme A volte occorre che qualcuno polarizzi la gente perché uno dei due poli è quello giusto A volte occorre che qualcuno polarizzi la gente perché uno dei due poli è quello giusto Voto per approvazione Voto per approvazione Voto cumulativo Voto cumulativo

57 Più matematica nella politica!

58 Bibliografia innumerevoli opere innumerevoli opere Tutte le opere di Martin Gardner, il Leonardo da Vinci dei giochi matematici Tutte le opere di Martin Gardner, il Leonardo da Vinci dei giochi matematici e più modestamente Furio Honsell, LAlgoritmo del parcheggio, Mondadori Furio Honsell, LAlgoritmo del parcheggio, Mondadori Giorgio Tomaso Bagni, Furio Honsell, Giorgio Tomaso Bagni, Furio Honsell, Curiosità e divertimenti conn i numeri, Aboca Jagadguru Tirthaji, Jagadguru Tirthaji, Vedic Mathematics, Motilal Barnasidass


Scaricare ppt "Come vincere la noia della matematica e della politica in un colpo solo Furio Honsell Matematico e sindaco di Udine Politecnico di Torino, Festa del π"

Presentazioni simili


Annunci Google