La presentazione è in caricamento. Aspetta per favore

La presentazione è in caricamento. Aspetta per favore

La nascita del calcolo Umberto Bottazzini Università di Milano.

Presentazioni simili


Presentazione sul tema: "La nascita del calcolo Umberto Bottazzini Università di Milano."— Transcript della presentazione:

1 La nascita del calcolo Umberto Bottazzini Università di Milano

2 Gli attori

3

4

5 Prologo

6 Una domanda Come si traccia la tangente alla cicloide?

7 Equazione della cicloide x = r(t- sen t) y = r(1-cos t) Oppure (eliminando la t) x = r arcos (r-y)/r - (2ry –y 2 ) 1/2

8 Polemiche sulla roulette Lettres de Amos Dettonville (1659) (triangolo caratteristico)

9 Risposte alla sfida di Pascal La cicloide è una curva tautocrona (un punto pesante che la percorre arriva punto di minimo nel medesimo tempo qualunque sia il punto di partenza) Levoluta di una cicloide è una cicloide

10 Oscillazioni isocrone Horologium oscillatorium (1673) Il giogo ha la forma di una cicloide

11 Studio delle evolventi di una curva Data una curva, la sua evolvente è la traiettoria descritta dallestremità libera di un filo teso OP (con laltra estremità fissata in un punto O della curva) che avvolge la curva. Una caratteristica notevole dellevolvente è che presenta una cuspide quando incontra la curva data nel punto P. Geometricamente ci si rende conto di questo fatto osservando che il raggio del cerchio osculatore in un generico punto X dellevolvente è uguale alla lunghezza del filo XY (dove Y è il punto corrente sulla curva) e, poiché il filo diventa sempre più corto man mano che il punto X si avvicina al punto P, la curvatura in P diventa infinita. Huygens affronta il problema studiando la forma del giogo a cui si avvolge la corda di un pendolo in modo da ottenere oscillazioni (non solo piccole) isocrone (e scopre che la forma deve essere quella di una cicloide, la cui evolvente è ancora una cicloide.)

12 Leibniz a Parigi ( ) La trasmutazione delle figure = Riduzione della quadratura di una curva alla quadratura di unaltra, via luso del triangolo caratteristico integrazione per parti

13 Traité de sinus du quart de cercle Pascal sembra procedere con gli occhi bendati (Leibniz a J. Bernoulli, 1703)

14 Leibniz a Parigi ( ) Serie: π/4 = 1 – 1/3 + 1/5 -… π/8 = 1/ / / …

15 Leibniz a Parigi ( ) Serie: ¼ log2 = 1/ / / … Larea sottesa dalliperbole di diametro2 è ¼ log2 mentre larea del cerchio circoscritto al quadrato di lato ½ è π/8

16 Un nuovo simbolismo Dato l e la sua relazione con x, trovare l. Ciò è da ottenersi dal calcolo inverso cioè dal supporre l= ya. Sia l = ya/d, così come aumenta, d diminuisce le dimensioni. significa una somma, d una differenza. Da y dato possiamo sempre trovare y/d. (manoscritto del 1675) y/d e dy sono la stessa cosa, la differenza di due y prossime tra loro

17 Nuovo formalismo Leibniz elaborò piuttosto rapidamente il formalismo dellanalisi come lo conosciamo oggi. In quella forma cioè, che è particolarmente adatta ad insegnare la materia, senza averla capita, a chi non la capirà mai (Arnold, Hygens & Barrrow, Newton e Hooke, 1996)

18 Regole del calcolo d(xy) = dxdy? Leibniz lo crede prima di trovare d(xy) = xdy +ydx A nessun matematico che ragioni in modo induttivo verrebbe mai in mente, lidea originaria di Leibniz (Arnold) Un semplice figura rivela a cosa è uguale d(xy)

19 Regole del calcolo d(xy) = (x+dx)(y+dy) –xy = xdy + ydx + dxdy = xdy + ydx dx n = (x+dx) n - x n = nx n-1 dx + dx 2 )(…) = = nx n-1 dx

20 Applicazione alla cicloide dy/dx = (2ry –y 2 ) 1/2 /y s = 8r sen 2 t/4 (per t = 2π si ha s = 8r (teorema di Wren) Area sottesa = 3 π r 2

21 Oltre la Manica Tutto ciò accadeva nei due anni della peste, nel 1665 e 1666, perché in quei tempi ero nel fiore delletà creativa e curavo la matematica e la filosofia più di quanto non abbia mai fatto in seguito

22 DallArithmetica infinitorum (1656) (1–x 2 ) 1/2 = 1 – (1/2)x 2 – (1/8)x 4 – … (a+x) m/n = a m/n + (m/n)a m/n-1 x + … (1+x) -1 = 1–x + x 2 – x 3 + … log(1+x) = x - x 2 /2 + x 3 /3 - …

23 De analysi per aequationes numero terminorum infinitas, 1669 (1711) Qualsiasi cosa lanalisi comune esegua permezzo di equazioni con un numero finito di termini questo metodo può sempre eseguire la stessa cosa per mezzi di equazioni infinite. … I ragionamenti usati in questa analisi non sono meno certi di quelli usati nellaltra, e le sue equazioni non sono meno esatte

24 De analysi per aequationes numero terminorum infinitas, 1669 (1711) Regola I: Se ax m/n = y allora (na/m+n) x (m+n)/n sarà uguale allarea Esempio: sia larea z = (2/3) x 3/2 allora lordinata della curva è y = x 1/2 Applicazione del metodo in maniera diretta e inversa

25 Methodus fluxionum et serierum infinitarum, 1671 (1736) Grandezze geometriche variabili (fluenti) Velocità istantanee di variazione (flussioni) I momenti delle fluenti sono gli incrementi infinitesimi di cui queste quantità aumentano in intervalli infinitesimi di tempo

26 Se per esempio z è una fluente, allora ż è la flussione e se o è un intervallo infinitesimo di tempo, żo è il momento della fluente z Soluzione del problema inverso delle flussioni

27 De quadratura curvarum, 1676 (1704, in appendice allOptiks) Considero le grandezze matematiche non come costituite da parti piccole a piacere ma come generate da un moto continuo Queste cose hanno veramente luogo in natura e si osservano ogni giorno nel movimento dei corpi

28 De quadratura curvarum, 1676 (1704, in appendice allOptiks) Data una curva AC, avanzi lordinata BC dalla sua posizione ad unaltra qualsiasi BC. Si conduca la retta CC prolungata fino a K. Ora ritorni BC nella sua posizione primitiva BC e venendo a coincidere i punti C e C, la retta CK coinciderà con la tangente CH, e il triangolo evanescente CEC nellultima sua forma diventerà simile al triangolo CET

29 De quadratura curvarum, 1676 (1704, in appendice allOptiks) Esempio paradigmatico: La quantità x fluisca uniformemente, e sia da trovare la flussione di x n Newton sviluppa (x+o) n col teorema del binomio. Gli incrementi o e nox n-1 + n(n-1)/2 o 2 x n-2 + …stanno fra loro come 1 sta a nx n-1 + n(n-1)/2 o x n-2 + …

30 De quadratura curvarum, 1676 (1704, in appendice allOptiks) Se quellincremento o svanisce, la loro ultima ragione sarà 1: nx n-1 Il metodo è in armonia con la geometria degli antichi

31 Carteggio (1676) Newton a Leibniz su alcune cose che ho avuto la fortuna di trovare (metodo delle serie in particolare) Già da diverso tempo queste speculazioni hanno cominciato ad infastidirmi, al punto che da cinque anni non mi occupo più di esse

32 Carteggio (1676) Leibniz a Newton: metodo della trasmutazione delle figure, quadratura del cerchio e delliperbole. Un principio molto più esteso, cioè unarte combinatoria generale e vera Soluzione del problema di De Beaune (Trovare la curva per la quale la sottotangente ha lunghezza costante) nellora stessa in cui aveva cominciato a esaminarlo

33 Carteggio (1676) Newton a Leibniz: serie binomiale con un procedimento di interpolazione Anagramma Data unequazione avente quantità fluenti, trovare le flussioni e viceversa

34 Carteggio (1676) Lebniz a Newton: metodo delle differenze mediante esempi Penso che ciò che Newton ha voluto nascondere del suo metodo per tracciare le tangenti non discordi da quanto ho detto sopra

35 Il calcolo in pubblico Leibniz, Nova methodus pro maximis et minimis, itemque tangentibus quae nec fractas nec irrationales quantitates moratur, et singulare pro illis calculi genus, 1684 Newton, Philosophiae naturalis principia mathematica, 1684

36 Strategie di pubblicazione Leibniz: La dimostrazione di tutte le regole esposte sarà facile per chi è versato in questi studi E questi invero sono solo gli inizi di una geometria molto più sublime, che si estende a qualunque dei problemi più difficili e più belli

37 Newton: metodo sintetico delle flussioni ovvero metodo dei primi e ultimi rapporti esempio (lemma 7): Gli ultimi rapporti dellarco, della corda e della tangente sono rapporti di uguaglianza Prop. 1: La legge delle aree

38 Principia Libro II, lemma II, Scolio Newton accenna alla corrispondenza con Leibniz, scioglie lanagramma e aggiunge che il metodo comunicatogli da Leibniz differisce dal mio soltanto nelle parole e nella notazione

39 La nascita di scuole I metodi di Leibniz e Newton erano equivalenti? Il problema dei fondamenti Il calcolo lebniziano come ars inveniendi Il rigore newtoniano degli Antichi

40 La polemica sulla priorità Accuse a Leibniz di plagio Commissione della Royal Society (di cui Leibniz era membro e Newton presidente) Commercium epistolicum (1712) Si deve senza dubbio ammettere che fra Newton e Leibniz sussiste una enorme differenza nel modo di trattare la filosofia

41 La scoperta di un continente sconosciuto La meccanica è il grande affaire della matematica del Settecento Successo della fisica-matematica newtoniana formulata col calcolo leibniziano


Scaricare ppt "La nascita del calcolo Umberto Bottazzini Università di Milano."

Presentazioni simili


Annunci Google