La presentazione è in caricamento. Aspetta per favore

La presentazione è in caricamento. Aspetta per favore

La Géométrie, contenuti e obiettivi Sono ben noti, ma è meglio riassumerli. E in appendice al Discorso sul Metodo, di cui costituisce lesempio principe.

Presentazioni simili


Presentazione sul tema: "La Géométrie, contenuti e obiettivi Sono ben noti, ma è meglio riassumerli. E in appendice al Discorso sul Metodo, di cui costituisce lesempio principe."— Transcript della presentazione:

1 La Géométrie, contenuti e obiettivi Sono ben noti, ma è meglio riassumerli. E in appendice al Discorso sul Metodo, di cui costituisce lesempio principe. Libro I: Costruzione piana delle Equazioni Libro II: La rappresentazione delle curve Libro III: Costruzione dei Problemi Solidi

2 Il metodo di Analisi Il primo prescriveva di non accettare mai per vero nessuna cosa che non conoscessi con evidenza esser tale Il secondo consisteva nel dividere ciascuna difficoltà che stessi esaminando in tante piccole parti quante fosse possibile e necessario per giungere alla migliore soluzione di esse (Analisi)

3 … e di Sintesi. Le lunghe catene di ragionamenti Il terzo nel condurre con ordine i miei pensieri, cominciando dagli oggetti più semplici e più facili da conoscere, per salire a poco a poco, come per gradi, fino alla conoscenza dei più complessi. (Sintesi) Erano state quelle lunghe catene di ragionamenti, tutti semplici e facili, di cui di solito si servono i Geometri, che mi avevan dato motivo a pensare che tutte le cose conoscibili dalluomo si susseguissero allo stesso modo

4 Moltiplicare Introduzione Unità di Misura AB = 1; BE = BDxBC; BC = BE/BD

5 Radice Quadrata FG=1; IG=

6 Simbolismo Algebrico Così, per aggiungere la linea BD a GH chiamo luna a e laltra b, e scrivo a + b, a – b, … A questo proposito debbo notare che con a 2 o b 3 o espressioni simili intendo in genere soltanto linee assolutamente semplici, anche se le chiamo, per servirmi dei termini dellalgebra, quadrati, cubi, ecc. Bisogna pure notare che quando per le condizioni del problema lunità non è determinata, tutte le parti di una stessa e singola linea debbono essere ordinatamente espresse da uno stesso numero di dimensioni … non si tratta però della stessa cosa quando lunità è determinata perché essa può essere sottintesa là dove vi sono troppe dimensioni o troppo poche.

7 Analisi In tal modo, volendo risolvere qualche problema, si deve fin da principio considerarlo come già risolto, e assegnare una lettera ad ogni linea che si ritiene necessaria per costruirlo, sia a quelle che non sono note, che alle altre. Poi, senza fare nessuna differenza tra quelle note e le incognite, bisogna svolgere il problema seguendo quellordine che mostra più naturalmente di ogni altro come le rette dipendano mutuamente le une dalle altre, fino a che non si sia riusciti a trovare il procedimento per esprimere la stessa quantità in due modi, cioè non si sia pervenuti a ciò che si chiama equazione.

8 Equazioni di secondo grado z 2 = az+bb ; LM = b, LN = a/2, OM = z. OM*MP = LM 2 ; z*(z-a) = b 2 ; Analisi; Formula:

9 yy = - ay + bb; y = MP Biquadratiche, sol ovvia; z 2 = az – bb; z = MQ, MR

10 La sfida degli antichi, il problema di Pappo Determinare C in modo tale che il rapporto tra CB*CD e CF2 sia dato. Descartes pone A origine AB = x e BC = y

11 La nascita delle coordinate Innanzitutto suppongo il problema come già risolto e per liberarmi dalla confusione di tutte queste linee, considero una delle rette date e una di quelle che bisogna trovare, per esempio AB e CB, come le principali, e a queste cerco così di riferire tutte le altre. Il segmento AB sia chiamato x e BC sia chiamato y. Il luogo cercato è una conica

12 II libro: sulla natura delle linee curve Divisione delle curve in piane (retta e cerchio) solide (coniche) geometriche (con equazioni di grado superiore a due) meccaniche (le altre) Costruzione delle parabole di ogni grado Divisione delle curve in generi

13 Nascita del grado di una curva Tutti i punti di quelle curve che possiamo chiamare geometriche stanno necessariamente con i punti di una retta in una certa relazione che può essere espressa per mezzo di una equazione. Se tale equazione non sale che al rettangolo di due quantità indeterminate o al quadrato di una sola, la curva appartiene al genere primo e più semplice nel quale sono comprese soltanto il cerchio, la parabola, liperbole e lellisse. Quando lequazione sale invece alla terza o quarta dimensione di due quantità indeterminate la curva appartiene al secondo genere.

14 E quando lequazione sale fino alla quinta o sesta dimensione la curva appartiene al terzo genere e così via allinfinito. Soluzione del problema con i nuovi metodi. Determinazione di nuove curve: ovali, folium, …. Metodo delle tangenti

15 Costruzione dei problemi solidi e soprassolidi Benché tutte le curve che possono essere descritte con qualche movimento regolare debbano essere accolte in geometria non è da dirsi che per questo sia consentito di servirsi della prima che si incontra per la costruzione dei problemi; al contrario bisogna sempre aver cura di sciegliere la più semplice che renda possibile la soluzione del problema

16 Viète Duplicavit cubum per parabola Menechmus, per conchoidas Nicomedes, an igitur duplicatus est geometrice cubus? (...) Id vero nemo pronunciabit Geometra. Reclamaret Euclides, et tota Euclideorum schola

17 I tre problemi solidi i tre problemi paradigmatici di tale genere erano: 1) La quadratura del circolo; 2) La trisezione dellangolo; 3) La duplicazione del cubo. Anche se non ci è pervenuta alcuna dimostrazione (e nemmeno alcun tentativo di dimostrazione), si può ben dire che la matematica greca era giunta alla conclusione che nessuno dei tre problemi appartenesse al pimo genere, mentre erano note dimostrazioni della costruibilità del secondo e terzo attraverso le coniche. Il primo problema si sarebbe rivelato più tardi trascendente, cioè non costruibile con luso di curve algebriche

18 Duplicazione Cubo e Trisezione Descartes li risolve trovando lequazione e costruendola con la parabola. z 3 = 2 z 3 = 3z – q NO = 1; NP = q; NQ = z

19 Riconoscere limpossibilità Ora, quando la costruzione di qualche problema ci porta a una equazione in cui la quantità incognita ha tre dimensioni, innanzi tutto, se le quantità note che vi si trovano contengono alcuni numeri fratti, occorre ridurli ad altri interi mediante la moltiplicazione ora spiegata. … Quindi, esaminando ordinatamente tutte le quantità che possono dividere lultimo termine senza trasformarlo in una frazione, bisogna vedere se qualcuna di queste, congiunta con il segno + o - allincognita, possa comporre un binomio che divida tutta lespressione.

20 Se ciò è possibile il problema è piano, cioè può essere costruito con la riga e il compasso. Infatti, o la quantità nota di questo binomio è la radice richiesta, o lequazione, divisa per questo stesso binomio, si riduce a due dimensioni, in modo che se ne può trovare la radice utilizzando il procedimento spiegato nel primo libro.

21 Un esempio Lequazione è: (1) y 6 + (a 2 -c 2 )y 4 – (a 4 -c 4 )y 2 – (a 6 + 2a 4 c 2 + 2a 2 c 4 ) = 0 Come si vede unequazione complessa e apparentemente gratuita Poiché si trova che (a 2 – c 2 ) è un divisore del termine noto che è una radice. Il probleme è quindi costruibile con riga e compasso. N. B Qui la parola divisibile tratta il termine noto ome polinomio in più variabili e non come numero

22 Quali problemi sono solidi, quando lequazione è cubica Quando invece non si trova nessun binomio che possa dividere in questo modo tutta la somma dellequazione proposta, è certo che il problema che ne dipende è solido.

23 Descartes cerca soltanto i divisori interi del termine noto, occorre quindi che egli abbia ben chiaro il fatto che la loro assenza basta ad escludere la presenza di radici razionali. In altri termini egli fa uso dellimportante teorema: Se un polinomio a coefficienti interi su un dato numero (finito) di lettere non si può fattorizzare con polinomi interi non si può nemmeno fattorizzare con polinomi a coefficienti razionali. Questo teorema è oggi patrimonio della teoria dei campi (Lemma di Gauss), ma nel XVII secolo non esisteva affatto.

24 La trisezione e la duplicazione A questo punto Descartes ha già dimostrato (o crede di aver dimostrato) limpossibilità di risolvere i problemi classici con metodi piani. Infatti, anche tenendo conto delle riserve sopra riportate, non vi è dubbio che lequazione della trisezione dellangolo fosse ben nota a Descartes e verificasse le sue ipotesi

25 Certamente, da un punto di vista contemporaneo, non siamo di fronte ad una dimostrazione, ma ad una geniale intuizione (quella di far dipendere interamente da un fatto puramente algebrico, la irriducibilità dellequazione correlata, la costruibilità di un problema geometrico).

26 Descartes affronta il successivo (e più complesso) problema della determinazione della costruibilità o meno di unequazione di quarto grado. Possiamo ben renderci conto del fatto che Descartes possedesse a pieno la motivazione profonda del teorema da lui enunciato, il fatto cioè che algebricamente costruibilità piana dovesse tradursi in successive estrazioni di radici di polinomi di secondo grado e che pertanto la condizione di possedere un fattore di secondo grado fosse necessaria (oltre che sufficiente) per la costruibilità del problema. Infatti egli ha ben presente che nel caso di polinomi di quarto grado la condizione di irriducibilità non fosse più sufficiente per garantire la natura solida del problema

27 Il quarto grado Poi, se abbiamo unequazione la cui incognita presenti quattro dimensioni, nello stesso modo bisogna vedere se non si possa trovare, componendolo con una delle quantità, che dividono lultimo termine senza che ne risulti una frazione, un qualche binomio che divida tutta la somma. Nel caso se ne trovi uno, allora, o la quantità nota di tale binomio rappresenta la radice cercata o, almeno, dopo la divisione, lequazione non avrà che tre dimensioni e quindi dovrà essere nuovamente trattata nel modo visto sopra. Quando però non è proprio possibile trovare un tale binomio, bisogna, aumentando o diminuendo il valore della radice, eliminare il secondo termine della somma, nel modo sopra spiegato e, dopo, ridurla ad unaltra che contenga soltanto tre dimensioni.

28 Nel caso di quarto grado occorre quindi osservare la risolvente di terzo grado. E la sua irriducibilità, non quella dellequazione di partenza a collegarsi con la costruibilità. Lesempio usato è z 4 + (1/2 a 2 + c 2 )z 2 – (a 3 – ac 2 )z + 5/16a 4 - 1/4a 2 c 2 = 0 La cui risolvente è esattamente quella di poco fa. Questa equazione, pur essendo irriducibile è quindi costruibile.

29 Il problema di Eraclito

30 Qualche frase di Newton Sed et problemata innumera sunt quae per algebram juxta methodum usitatum aegerrime perducantur ad aequationem, innumera quae perduci nequeunt, et quorum tamen solutio siquis recte procedat, satis fecile est.... Et quid faceret analysta cum tantis aequationibus?... Ad solutionem problematis per solam algebram ubi plura sunt latera, nec Herculi patientia nec anni Mathusalem sufficerent Geometria Excogitata fuit ut expedito linearum ductu effugeremus computandi tedium


Scaricare ppt "La Géométrie, contenuti e obiettivi Sono ben noti, ma è meglio riassumerli. E in appendice al Discorso sul Metodo, di cui costituisce lesempio principe."

Presentazioni simili


Annunci Google