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Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa0 Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare ŸIntroduzione ŸLezione n. 0106.10.20112Relatività.

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1 Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa0 Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare ŸIntroduzione ŸLezione n Relatività Galileiana. Etere. Michelson-Morley ŸLezione n Relatività Ristretta. Trasf. di Lorentz. Quadrivettori ŸLezione n Tempo proprio. Quadrivelocità. Quadrimomento. Massa e Energia ŸLezione n Sezione d’urto. Rutherford Scattering. Scattering da potenziale ŸEsercitazione ŸLezione n Teoria dello scattering. Funzione di Green ŸLezione n Rutherford. Energia di Legame. Spettrometro di massa. amu ŸEsercitazione ŸLezione n Spettrometro di Massa. Stabilità. Bethe Weiszacker ŸLezione n Stabilità nucleare. Radioattività. Legge decadimento radioattivo ŸEsercitazione ŸLezione n Statistica di Conteggio. Decadimento alfa ŸLezione n Livelli Virtuali. Fissione Spontanea. Fissione indotta ŸEsercitazione ŸLezione n Reazione a catena. Reattore nucleare. Rallentamento di neutroni ŸLezione n Moderatori. Cinetica del reattore. Neutroni ritardati ŸEsercitazione ŸLezione n Bethe-Bloch. Fluttuazioni. RangeLezione n. 13 ŸLezione n Elettroni e fotoni. Acceleratori. Oscillazioni di faseLezione n. 14 ŸLezione n Moti trasversali. Focusing. Collisori. Apparati SperimentaliLezione n. 15 ŸLezioni30 ŸEsercitazioni10

2 Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa1 Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare ŸIntroduzione ŸLezione n Relatività Galileiana. Etere. Michelson-Morley ŸLezione n Relatività Ristretta. Trasf. di Lorentz. Quadrivettori ŸLezione n Tempo proprio. Quadrivelocità. Quadrimomento. Massa e Energia ŸLezione n Sezione d’urto. Rutherford Scattering. Scattering da potenziale ŸEsercitazione ŸLezione n Teoria dello scattering. Funzione di Green ŸLezione n Rutherford. Energia di Legame. Spettrometro di massa. amu ŸEsercitazione ŸLezione n Spettrometro di Massa. Stabilità. Bethe Weiszacker ŸLezione n Stabilità nucleare. Radioattività. Legge decadimento radioattivo ŸEsercitazione ŸLezione n Statistica di Conteggio. Decadimento alfa ŸLezione n Livelli Virtuali. Fissione Spontanea. Fissione indotta ŸEsercitazione ŸLezione n Reazione a catena. Reattore nucleare. Rallentamento di neutroni ŸLezione n Moderatori. Cinetica del reattore. Neutroni ritardati ŸEsercitazione ŸLezione n Bethe-Bloch. Fluttuazioni. Range ŸLezione n Elettroni e fotoni. Acceleratori. Oscillazioni di fase ŸLezione n Moti trasversali. Focusing. Collisori. Apparati Sperimentali ŸLezioni28 ŸEsercitazioni12

3 prof. Francesco Ragusa Università di Milano Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare anno accademico Lezione n

4 Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa3 Energia trasferita in collisioni con elettroni  Una particella carica ( ze ) che attraversa la materia urta con gli atomi ŸPuò cedere energia agli atomi eccitando gli elettroni ŸPuò cedere energia estraendo elettroni: ionizzazione ŸConsideriamo inizialmente un problema più semplice ŸUna particella pesante interagisce con un elettrone ŸIl momento trasferito dalla particella all’elettrone è ŸSolo la componente verticale dà un contributo non nullo ŸLa componente orizzontale riceve contributi di segno opposto dalle due parti simmetriche della traiettoria ŸSupponiamo che l’energia trasferita all’elettrone sia molto più piccola di quella della particella incidente ŸLa velocità può essere considerata costante ŸIl momento trasferito totale si trova integrando b x ze cosq q

5 Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa4 Perdita di energia per ionizzazione ŸPassiamo all’energia trasferita al singolo elettrone ŸIl calcolo fatto è relativo a  Un singolo elettrone ad una distanza b ŸSuddividiamo il materiale in gusci cilindrici ŸLa densità di elettroni è ŸGli elettroni nel guscio sono ŸL’energia trasferita agli elettroni del guscio (e quindi persa dalla particella pesante) è  Integrando sul parametro d’impatto b (e ponendo c  ) ze dx b

6 Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa5 Energia trasferita in collisioni con elettroni  Il calcolo fatto per ricavare  E era basato su due ipotesi ŸGli elettroni sono liberi ŸSi può trasferire all’elettrone una quantità arbitraria di energia ŸCon queste ipotesi l’energia trasferita è ŸUn calcolo esatto senza le ipotesi sopra indicate conduce al risultato della figura ŸOccorre tenere conto del fatto che gli elettroni sono legati all’atomo  Questo determina b max ŸOccorre tenere del fatto che esiste un’energia massima trasferibile  Questo determina b min  E max log  E(b) logb b min b max  In letteratura si trovano formule che differiscono per le scelte fatte su b max e b min

7 Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa6 Parametro d’impatto: limite superiore ŸDiscutiamo adesso i limiti di integrazione sul parametro d’impatto ŸIl limite superiore dipende dall’assunzione che abbiamo fatto di considerare gli elettroni liberi  La forza esercitata sull’elettrone è schematizzabile come un impulso di durata t (ordine di grandezza) ŸSe inoltre teniamo conto del fatto che la velocità è relativistica, la durata dell’impulso viene ridotta ŸGli elettroni non sono liberi: sono legati in orbitali atomici  Dalla teoria perturbativa dipendente dal tempo si può verificare che se l’elettrone è in un orbitale caratterizzato da una frequenza n  E  hn  perchè sia possibile una transizione deve essere  Pertanto deve essere b < b max dove b max è dato da  La frequenza è una opportuna frequenza media degli orbitali esterni che caratterizza il materiale b

8 Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa7 Parametro d’impatto: limite inferiore  Consideriamo adesso il limite inferiore b min  Possiamo stimare il limite minimo b min come il parametro d’impatto che corrisponde alla massima energia trasferibile  Si può calcolare che, se una particella pesante (es. protone) di velocità b  1 (e fattore relativistico g  1 ) collide con un elettrone, la massima energia trasferibile all’elettrone è data da ŸAbbiamo visto che la relazione fra parametro d’impatto ed energia trasferita è ŸPertanto il parametro d’impatto minimo è dato da ŸQuesta approssimazione (classica) risulta troppo grossolana  Produce un valore di b min troppo piccolo ŸNon tiene conto della meccanica quantistica

9 Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa8 Perdita di energia per ionizzazione ŸLa formula trovata non tiene conto della natura quantistica della materia ŸTenendo conto della meccanica quantistica il limite inferiore può essere stimato pensando che la posizione di una particella non può essere definita meglio della sua lunghezza d’onda di De Boroglie ŸSia la posizione della particella incidente che l’elettrone bersaglio hanno una incertezza dovuta al principio di indeterminazione ŸConsideriamo sia il momento dell’elettrone che quello del protone  Nel sistema in cui l’elettrone è a riposo p p  m p g b  Nel sistema in cui il protone è a riposo p e  m e g b  Scegliamo il b min più grande (che corrisponde al momento più piccolo)  Ricordando b max

10 Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa9 Perdita di energia per ionizzazione ŸOtteniamo in definitiva  Un calcolo che tiene conto più accuratamente degli effetti quantistici (e dello dello spin) è stato fatto da Bethe, completato da Bloch con l’introduzione di I  I è il potenziale medio di ionizzazione (vedi diapositiva seguente) ŸLe unità di misura saranno discusse in seguito  Notiamo che dE/dx è funzione solo della velocità ŸCi sono due regioni  bassa velocità: gb  dipendenza da  alta velocità: gb  crescita logaritmica  La formula diverge per g b       dE/dx (MeV cm 2 /g) vedi PDG 2008 pag. 217: passage of particle throgh matter

11 Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa10 Perdita di energia per ionizzazione ŸIl potenziale di ionizzazione dipende dalla sostanza ŸUna calcolo teorico non sempre è possibile ŸLa figura mostra risultati sperimentali e calcoli teorici per ŸPer bibliografia v. PDG 2008 (C. Amsler et al. Phys. Lett. B667 p. 267)

12 Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa11 Perdita di energia per ionizzazione ŸIl calcolo di Bethe e Bloch è stato completato da numerosi altri calcoli ŸPer tenere conto di effetti trascurati ŸPer estenderlo ad altre regioni di velocità ŸPer curve e riferimenti vedi PDG 2008 pag. 267: passage of particle throgh matter ŸNelle varie regioni ŸImportanti interazioni atomiche (legami)  Dipendenza da    Risalita relativistica compensa- ta da effetti polarizzatori  ŸRegione dominata da radiazione di fotoni (Bremsstrahlung)

13 Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa12 Perdita di energia per ionizzazione ŸStudiamo altri aspetti della formula ŸDipende solo dalla velocità della particella ŸLa stessa curva può essere utilizzata per particelle di massa diversa  Allo stesso valore di g b corrispondono momenti diversi: p  m  g b  Ha un minimo intorno a g b    al variare di Z da  a   La dipendenza da Z è contenuta in n e, nell’argomento del logaritmo e in d  Introduciamo il valore di n e nella formula  La dipendenza della formula dal materiale può essere resa più debole introducendo la variabile x  xr

14 Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa13 Perdita di energia per ionizzazione  L’unità di misura di x  xr è  x  g cm  2 ŸCon questa unità di misura si ha una debole dipendenza dal materiale ŸUn numero utile da ricordare è      dE/dx (MeV cm 2 /g)

15 Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa14 Perdita di energia per ionizzazione

16 Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa15 Ordini di grandezza per i rivelatori ŸMolti rivelatori di particelle sono basati sulla misura della ionizzazione rilasciata da una particella carica ŸCalcoliamo l’energia rilasciata per alcuni materiali usati normalmente come rivelatori   cm Ar gassoso   cm scintillatore plastico   mm di silicio ŸMoltiplichiamo per la densità ŸMoltiplicando per lo spessore si ottiene   cm Ar gassoso  MeV   cm scintillatore plastico  MeV   mm di silicio  MeV

17 Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa16 Perdita di energia “limitata” ŸIl termine in inglese è “restricted energy loss” ŸIn molte applicazione l’energia rilasciata viene utilizzata per creare ionizzazione che viene poi in qualche modo rivelata e misurata ŸNei casi in cui l’energia rilasciata è molto elevata l’elet- trone può ricevere tanta energia e uscire dal rivelatore ŸIn questi casi l’energia rilasciata e l’energia rivelata sono diverse ŸPer questo motivo si usa anche una funzione che descrive il rilascio di energia escludendo i trasferimenti più energetici ŸLa curva ovviamente dipende dal “taglio” E d -rays

18 Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa17 Fluttuazioni nella ionizzazione ŸLa perdita di energia di una particella è un fenomeno statistico ŸLe collisioni responsabili del trasferimento di energia sono casuali ŸLe collisioni sono indipendenti ŸLa quantità di energia trasferita in ogni collisione è casuale ŸHa una sua distribuzione di probabilità  Se considero l’energia persa da n particelle che attraversano lo stesso spessore di materiale non tutte hanno perso la stessa energia ŸIl fenomeno delle fluttuazioni è stato studiato da Landau † ŸSuccessivamente da Vavilov  La distribuzione dell’energia rilasciata  in uno spessore x di materiale è data dalla funzione ŸLa funzione ha un picco (valore più probabile) dato da Ÿ † L.D. Landau, J. Exp. Phys. (USSR) 8,p. 201 (1944) P.V. Vavilov, Sov. Phys. JETP 5, p 749 (1957)

19 Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa18 Fluttuazioni nella ionizzazione  La funzione che dà  mp è simile alla funzione di Bethe –Bloch ŸCome nel caso della “restricted energy loss” anche nel caso dell’energia più probabile occorre eliminare i rilasci di energia troppo grandi

20 Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa19 Arresto delle particelle: Range ŸAbbiamo detto che la perdita di energia per ionizzazione è funzione solo della velocità della particella ( e del materiale) ŸPossiamo invertire la formula e scrivere ŸInoltre, dal momento che  Possiamo pertanto calcolare la distanza percor- sa da una particella prima di fermarsi (Range) calcolando l’integrale (cambiando la variabile d’integrazione da g a gb ) ŸArriviamo al risultato

21 Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa20 Fluttuazioni nel Range ŸAbbiamo visto che la perdita di energia per ionizzazione è un fenomeno casuale soggetto a fluttuazioni ŸFluttuazioni di Landau ŸPoichè la quantità di energia rilasciata fluttua anche lo spazio percorso prima di arrestarsi fluttua ŸNon tutte le particelle di uguale energia si arrestano dopo aver percorso lo stesso spazio ŸSi può calcolare la distribuzione dello spazio percorso ŸInfine, osserviamo che man mano che la particella rallenta la sua perdita di energia per unità di percorso aumenta ŸMolta energia viene rilasciata alla fine del percorso (picco di Bragg)      dE/dx (MeV cm 2 /g)

22 prof. Francesco Ragusa Università di Milano Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare anno accademico Lezione n

23 Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa22 Perdita di energia per gli elettroni ŸA basse energie gli elettroni perdono energia con meccanismi simili a quelli visti per le particelle pesanti ŸCi sono tuttavia differenze ŸSi deve tenere conto dell’identità delle particelle ŸL’approssimazione che l’energia persa sia trascurabile non è sempre adeguata ŸA bassa energia la traiettoria dell’elettrone può essere non rettilinea ŸOccorre tenere conto della radiazione già ad energie relativamente basse ionizzazione radiazione

24 Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa23 Perdita di energia per radiazione (elettroni)  Quando l’energia dell’elettrone è molto mag- giore della massa a riposo  E  m e  diventa importante il meccanismo di perdita di energia per radiazione  La radiazione dipende da Z  e da E  La ionizzazione dipende da Z e da lnE  Si definisce energia critica il valore E c per il quale la perdita per ionizzazione e quella per radiazione sono uguali  Approssimativamente  I fenomeni della radiazione e della creazione di coppie sono strettamente legati fotoneelettrone - positrone solidigas

25 Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa24 Perdita di energia per radiazione (elettroni)

26 Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa25 Perdita di energia per radiazione (elettroni)  L’energia irraggiata appare sotto forma di raggi X e prende il nome di Bremsstrahlung ŸHa uno spettro continuo  Ė la radiazione emessa dagli elettroni nei tubi a raggi X  La distanza percorsa nel materiale dopo la quale l’energia dell’elettrone è ridotta a 1/e del valore iniziale prende il nome di lunghezza di radiazione ŸLa perdita di energia per radiazione si può scrivere come ŸCiò significa che l’energia dell’elettrone varia (diminuisce) secondo la legge

27 Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa26 Bremsstrahlung ŸLa radiazione emessa ha le seguenti caratteristiche ŸA bassa energia ŸL’intensità della radiazione emessa ha un massimo in una direzione perpendicolare alla direzione del moto dell’elettrone ŸLa radiazione è polarizzata: il vettore elettrico della radiazione (onda) emessa è prevalentemente parallelo alla velocità ŸAd alta energia ŸIl fotone è emesso in avanti ŸL’angolo di emissione non dipende dall’energia del fotone ŸIl vettore elettrico è prevalentemente perpendicolare al piano (elettrone-fotone) E  E

28 Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa27 Passaggio dei fotoni nella materia ŸL’interazione dei fotoni con la materia provoca sostanzialmente 3 tipi di fenomeni ŸEffetto fotoelettrico ŸEstrazione di elettroni legati ŸDiffusione da parte degli elettroni ŸNell’ipotesi che gli elettroni siano considerati liberi ŸProduzione di coppie elettrone-positrone ŸSono 3 processi molto complessi e molto diversi tra di loro ŸL’importanza relativa dei 3 processi dipende sostanzialmente da ŸL’energia del fotone ŸNumero atomico del materiale assorbitore ŸAnche nel caso dei fotoni si ha una legge di assorbimento di tipo esponenziale

29 Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa28 Effetto fotoelettrico ŸIn questo processo il fotone riesce a trasferire all’elettrone atomico una quantità di energia sufficiente a ionizzarlo ŸOvviamente questo processo ha una soglia ŸL’energia di legame degli elettroni in un atomo complesso ha diversi valori discreti legati alla struttura a shell: ŸCi sono più soglie ŸIl processo è possibile solo se l’energia del fotone è maggiore dell’energia della shell ŸL’elettrone emesso ha un’energia sezione d’urto (barn)                   E  (eV) Piombo IKIK ILIL IMIM ININ E

30 Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa29 Effetto fotoelettrico ŸIl valore delle energie a cui si hanno le discontinuità è dato approssimativamente dalla relazione  Rhc  eV è l’energia di Rydberg  n numero quantico principale  s costante di schermo ŸDipendono dalla shell ŸL’orbitale lasciato vuoto dal processo viene successivamente riempito da un elettrone più esterno con emissione di radiazione ŸRadiazione di fluorescenza ŸĖ anche possibile che nel processo di riempimento di un orbitale interno da un elettrone esterno l’energia in eccesso venga emessa come energia cinetica di un elettrone esterno espulso anch’esso ŸEffetto Auger: elettroni monocromatici ŸAd esempio ŸEffetto fotoelettrico su shell K ŸRiempita da elettrone della shell L ŸEmissione di un elettrone della shell M  L’effetto fotoelettrico è trascurabile per energie maggiori di 1 MeV

31 Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa30 Scattering Compton ŸLo scattering Compton è l’interazione di un fotone con un elettrone debolmente legato che può essere considerato libero ŸPuò essere visto come l’urto di un fotone su un elettrone inizialmente a riposo ŸĖ facile verificare che  L’effetto Compton è il processo dominante nella regione fra 0.1 e 10 Mev ŸAd energie molto basse è importante lo scattering Rayleigh: interazione coerente con tutto l’atomo q sezione d’urto (barn)                 E g (eV) Piombo

32 ŸCome abbiamo detto la produzione di coppie è molto simile alla Bremsstrahlung ŸLa produzione di coppie deve avvenire in presenza di un campo elettrico intenso (ad esempio il campo elettrico di un nucleo) ŸNello spazio vuoto non è cinematicamente possibile ŸLa sezione d’urto cresce rapidamente appena superata la soglia ŸAd alta energia gli elettroni hanno un momento che forma con la direzione del fotone un angolo  L’energia k si suddivide fra i due elettroni Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa31 Produzione di coppie sezione d’urto (barn)                 Eg (eV) Piombo 0.5 GeV 0.1 GeV

33 Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa32 Assorbimento di fotoni

34 Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa33 Dosimetria ŸLa perdita di energia è importante anche per i suoi effetti biologici ŸLa dose è la quantità di energia depositata per unità di massa ŸLa sua unità di misura è il Gray ŸL’effetto della radiazione dipende non solo dalla quantità di energia rilasciata ma anche dalla densità della radiazione depositata ŸSi usa la dose equivalente per avere una stima migliore del danno biologico causato dalla distruzione nelle cellule di legami chimici e molecolari ŸIl rischio più importante costituito dalle mutazioni che possono originare cancro  L’unità di misura della dose equivalen- te è il Sievert (Sv)  Il fattore w r ha una origine empirica ŸTiene conto del rischio causato da lunga esposizione a diversi tipi di radiazione

35 Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa34 Acceleratori di particelle ŸPer accelerare una particella carica occorre un campo elettrico ŸPoco pratico: ŸPer raggiungere elevate energie occorrono tensioni elevatissime  1 milione di volt per 1 MeV  LHC avrà energie di 7 TeV  1 TeV = eV = 10 6 MeV KV100 KV200 KV300 KV400 KV500 KV600 KV

36 Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa35 Acceleratori di particelle ŸSi fa in modo che il potenziale acceleratore viaggi con la particella ŸIl potenziale che viaggia è un’onda elettromagnetica ŸIl campo elettrico deve essere longitudinale ŸLa velocità dell’onda e della particella devono essere uguali  Cavità risonanti: immagazzinano tanta energia ( r ~ | E | 2 ) ŸLimitato dall’emissione di elettroni dalle pareti KV +50 KV KV +50 KV KV +50 KV KV +50 KV KV +50 KV KV +50 KV

37 Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa36 Acceleratori lineari ŸPer costruire un acceleratore si possono disporre tante cavità acceleratrici in serie ( Acceleratore Lineare ) ŸL’Acceleratore Lineare PEP II di SLAC (Stanford, California) ee

38 Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa37 Acceleratori Circolari ŸAnello con alto vuoto ( Beam Pipe) ŸUn campo magnetico perpendicolare al disegno confina le particelle in una orbita circolare ŸLe particelle sono preaccelerate da un acceleratore lineare (LINAC) ŸVengono iniettate nell’anello dell’accelera- tore:  Il campo magnetico viene regolato in modo che p = 0.3 B  R ŸLe particelle seguono un’orbita circolare ŸUna cavità accelera le particelle ad ogni attraversamento ŸIl campo magnetico aumenta in fase con l’aumento di energia: sincrotrone ŸLa cavità compensa l’energia radiata ŸEssenziale per accelerare elettroni ŸPer raggiungere energie molto elevate si utilizzano molte cavità acceleratore lineare cavità acceleratrici dipoli magnetici

39 Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa38 Moto in campo magnetico ŸL’equazione del moto di una particella ca- rica in un campo magnetico è  In relatività ristretta la quantità di moto si può scrivere come pc = e v/c con  e l’energia della particella  v la sua velocità ŸL’equazione del moto diventa  Moltiplicando per v si ottiene ( v è per- pendicolare a dv e a v  B ) ŸRitroviamo il risultato che il campo ma- gnetico non fa lavoro e l’energia si conserva Ÿ L’equazione del moto diventa pertanto  Cioè la velocità precessa con velocità angolare  v  Se v è perpendicolare a B la traiettoria della particella è una circonferenza per- corsa in un tempo T = 2p/  v Ÿ Per trovare il raggio della circonferenza  Esprimendo il momento pc in GeV, il raggio in metri e il campo magnetico in Tesla

40 Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa39 Acceleratori Circolari

41 Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa40 Cavità acceleratrici ŸConsideriamo un acceleratore con una sola cavità  LEP: C = Km Ÿ Quando una particella entra nella cavità trova un campo elettrico longitudinale Ÿ Il campo elettrico è un’onda elettro- magnetica che viaggia con la stessa velocità della particella Ÿ All’interno di una cavità il campo elettrico varia in funzione del tempo ŸAd esempio, all’ingresso della cavità Ÿ La frequenza di rivoluzione della particel- la è Ÿ La particella deve trovarsi in fase con l’onda elettromagnetica

42 Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa41 Traiettoria sincrona ŸLa condizione che la particella entri nella cavità con la stessa fase rispetto alla RF impone che la frequenza nella cavità sia un multiplo della frequenza di rivoluzione ŸIl campo accelerante visto dalla particella dipende dalla fase all’ingresso ŸL’energia guadagnata dalla particella alla fine del suo percorso all’interno della cavità è pertanto  E o è il campo acceleratore massimo della cavità e viene espresso in MV/m Ÿ La traiettoria sincrona è quella che con- sente alla particella di entrare nella cavi- tà sempre con la stessa fase  Nel LEP gli elettroni sono fortemente relativistici ( E ≈ 45 GeV, g ≈ 10 5 )  Anche in LHC i protoni sono molto relativistici ( E = 7 TeV, g  7.5  10 3 )  La variazione di energia di una particella lungo l’orbita (  E MeV ) non può cambiare la velocità al punto di alterare la fase

43 Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa42 Oscillazioni di Fase ŸLa fase può variare a causa della varia- zione del raggio dell’orbita  Il raggio è determinato dal campo magne- tico e dal momento ( energia, E = p ) dell’elettrone ŸPertanto ŸEsiste una intervallo di fasi che permette il funzionamento stabile della macchina  Ad esempio f s  Una particella in anticipo rispetto f s : ŸÈ soggetta ad un campo maggiore ŸAcquista più energia ŸPercorre una circonferenza maggiore ŸAl giro successivo è in ritardo Ÿ Viceversa, una particella in ritardo: ŸÈ soggetta ad un campo minore ŸAcquista meno energia ŸPercorre una circonferenza minore ŸAl giro successivo è in anticipo  Le particelle pertanto oscillano intorno al punto di stabilità f s  La regione di stabilità è individuata nel piano Dg - f E f -p-pp DgDg f fsfs

44 prof. Francesco Ragusa Università di Milano Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare anno accademico Lezione n

45 Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa44 Moti trasversali ŸPer descrivere il moto di una particella in un acceleratore circolare si utilizzano le seguenti convenzioni ŸOltre al moto circolare le particelle han- no dei moti trasversali ŸIl campo magnetico è fornito da dipoli magnetici Ÿ In un dipolo reale il campo non è perfet- tamente uniforme Ÿ La soluzione è simile a un moto armonico  Considerazioni analoghe per il moto lungo z determinato dalla componente B x  I moti trasversali sono pertanto moti ar- monici determinati dalle disuniformità del campo magnetico tramite le funzioni b x (s) e b y (s)  LEP 45 m < b < 135 m  LHC 40 m < b < 180 m x z x z s dada ds=Rda R l’equazione del moto

46 Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa45 Oscillazioni di betarone ŸNella loro orbita le particelle compiono pertanto un moto oscillatorio, le oscil- lazioni di betatrone  Le oscillazioni sono governate dalle funzioni b ŸL’avanzamento di fase complessivo in una rivoluzione completa è  Q è detto “tune” (orizzontale o verticale) e rappresenta il numero delle oscillazioni nel corso di una rivoluzione completa  Q dipende dalle funzioni b e quindi dai gradienti magnetici ŸPuò essere modificato modificando le correnti dei magneti  Per una macchina sia stabile occorre che Q non sia un numero intero o razionale ŸIn questo caso infatti una particella ripasserebbe con la stessa fase attraverso inevitabili difetti magnetici che farebbero crescere l’ampiezza delle oscillazioni fino alla perdita del fascio Ÿ La seguente condizione di risonanza deve essere evitata

47 Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa46 Risonanze

48 Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa47 The LHC tune diagram

49 Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa48 Focalizzazione ŸÈ importante contenere l’ampiezza dei moti trasversali: quadrupoli ŸLa Forza di Lorentz che un campo di questo tipo esercita su una particella positiva è  defocalizzante in direzione x  focalizzante in direzione z Ÿ Si può ottenere una funzione focalizzante in entrambe le direzioni utilizzando due quadrupoli ( uno F, uno D) posti in serie e separati da una sezione dritta vuota (O) Ÿ La struttura FODO è detta “a Gradiente Alternato” o “Focalizzazione Forte” Ÿ In un quadrupolo il campo magnetico è nullo al centro (e solo al centro) Ÿla traiettoria centrale è definita dai centri dei quadrupoli ŸBeam Orbit Monitors ( BOM ) sono montati sui quadrupoli Ÿ Una particella che non attraversa un qua- drupolo al centro è soggetta ad un ulte- riore campo dipolare  Il campo dei quadrupoli contribuisce alle funzioni b S SN N x z v B F v B F FODO

50 Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa49 “Strong Focusing” ŸLa focalizzazione forte permette di ridurre l’ampiezza delle oscillazioni trasversali di circa un fattore 100, quindi da metri a centimetri ŸLe camere a vuoto e i magneti possono essere ridotti di conseguenza

51 Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa50 Energia e Campo Magnetico  La relazione fra momento e campo magnetico è (per gli elettroni di LEP p = E ) ŸTenendo conto delle variazioni di B lungo l’orbita ŸDefinendo il momento medio ŸIl sistema magnetico di LEP (dipoli, quadrupoli, sestupoli) è conosciuto con elevata precisione (relativa): ŸModelli per la variazione del campo nelle varie posizioni ŸDurante il funzionamento dell’acceleratore vengono registrate continuamente: ŸLa corrente dei magneti ŸLa temperatura dei magneti ŸLe letture delle sonde NMR Ÿ… molto altro …

52 Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa51 Bersaglio Fisso e Collis(ionat)ori ŸGli acceleratori vengono utilizzati con due modalità di funzionamento ŸFascio estratto: esperimenti a bersaglio fisso ŸCollider: collisione di fasci ŸStoricamente la modalità con fascio estratto è stata la prima a essere utilizzata ŸLa differenza principale fra le due modalità è la massima energia disponibile per produrre nuove particelle ŸFondamentale nella scoperta di nuovi fenomeni  Vediamo qual’è l’energia minima che deve avere un protone pre produrre una particella di massa M X ŸIn una collisione di un protone fascio con un nucleone bersaglio si ha ŸTralasciamo la conservazione di numeri quantici (carica, numero barionico,…) ŸDalla cinematica  La soglia per la produzione corrisponde al valore di s per il quale nel centro di massa della particelle 3 e della particella X esse sono a riposo ŸL’energia è stata usata solo per produrre massa (zero energia cinetica)

53 Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa52 Bersaglio Fisso e Collisori  Il valore di s corrispondente è ŸPer un esperimento a bersaglio fisso si ha  L’energia minima per la produzione della massa M X è pertanto ŸPer un esperimento con fasci in collisione si ha  L’energia minima per la produzione della massa M X è pertanto ŸCon i fasci in collisione, a parità di energia del fascio, si producono masse più elevate E beam (GeV) M X (GeV)

54 Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa53 La luminosità ŸAbbiamo visto che in un collisore due fasci di particelle sono fatti circolare in direzione opposta e fatti collidere in opportune regioni (punti di intersezione) dove sono installati i rivelatori ŸI fasci sono raggruppati in pacchetti (bunches):  n 1 e n 2 sono il numero di particelle nei bunches dei due fasci di area (sezione) S  La frequenza delle collisioni dei due bunches è f  Se s è la sezione d’urto di un dato processo, il numero di eventi di quel processo prodotti al secondo è ŸSi definisce Luminosità  Si misura in cm -2 s -1 ŸIn un dato esperimento il numero di eventi prodotti è ŸSi definisce Luminosità Integrata  La luminosità integrata è l’inverso di una sezione d’urto; si misura in nb -1, pb -1 … ŸIn un esperimento, nota la lumino- sità integrata la sezione d’urto è

55 Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa54 Apparati Sperimentali ŸIn una interazione vengono prodotte: ŸParticelle cariche ŸAdroni (interazione forte) ŸLeptoni carichi (interazione elettromagnetica) ŸParticelle neutre ŸFotoni ŸAdroni (neutroni, kaoni) ŸLeptoni neutri: neutrini (invisibili) ŸFunzioni del rivelatore ŸMisura della quantità di moto delle particelle cariche ŸMisura dell’energia delle particelle neutre ŸIdentificazione ŸElettroni,fotoni ŸAdroni ŸMuoni B rivelatore elettroni/fotoni rivelatore adroni rivelatore muoni tracciatore

56 Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa55 Esempio: Interazione e + e - in ALEPH

57 Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa56 The first ATLAS Collision

58 Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa57 ATLAS Beam Halo Event (November 2009)

59 Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa58 Dati dai rivelatori ŸCome funzionano i rivelatori: ŸI rivelatori producono Mbytes di informazioni al secondo ŸLe informazioni vengono raccolte ed elaborate da computers ŸSi possono produrre “immagini virtuali” dell’evento ŸSi analizzano i dati per misurare grandezze fisiche

60 Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa59 Immagini virtuali

61 Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa60 Gli Esperimenti: ATLAS

62 prof. Francesco Ragusa Università di Milano Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare anno accademico Lezione n

63 Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa62 Tracking ŸPer Tracking si intende la ricostruzione della traiettoria di particelle cariche (tracce) negli esperimenti di fisica delle particelle elementari ŸLo scopo è misurare (lista non completa ) momento (campo magnetico) segno della carica Identificazione delle particelle (massa); non necessariamente lo stesso rivelatore p = m o   vertice secondario vertice primario tagging di vita media p = 0.3·B·R parametro d’impatto

64 Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa63 Moto in campo magnetico ŸAbbiamo già visto che in un campo magnetico l’energia di una particella non cambia ŸL’equazione del moto è  Untilizzando come variabile la lunghezza l della traiettoria percorsa invece di t ŸSi ottiene  Nel caso di un campo magnetico non omogeneo B(l) varia lungo la traiettoria  la traiettoria r(l) si trova risolvendo un’equazione differenziale  Nel caso di B omogeneo ŸLa soluzione è un’elica B vzvz vsvs v

65 Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa64 Spettrometri magnetici ŸMolti esperimenti di fisica delle particelle elementari con acceleratori hanno uno spettrometro magnetico per misurare il momento delle particelle cariche ŸSi utilizzano prevalentemente 2 configurazioni Ÿcampo magnetico solenoidale Ÿcampo magnetico dipolare ŸCampo solenoidale z x y B z y x B ŸSimmetria cilindrica  Deflessione nel piano x  y (  ) ŸI rivelatori sono disposti su gusci cilindrici (chiusi da “tappi”)  Misura della traiettoria curva nel piano  a fissati  ŸSimmetria rettangolare  Deflessione nel piano y  z  I rivelatori sono disposti su piani paralleli perpendicolari a z  Misura della traiettoria curva nel piano y  z a fissati z ŸCampo dipolare

66 Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa65 Tracking Systems: ATLAS ŸPixel Detector Ÿ3 barrels, 3+3 disks: 80  10 6 pixels Ÿbarrel radii: 4.7, 10.5, 13.5 cm  pixel size 50  400  m   r  = 6-10  m  z = 66  m ŸSCT Ÿ4 barrels, disks: 6.3  10 6 strips Ÿbarrel radii:30, 37, 44,51 cm  strip pitch 80  m Ÿstereo angle ~40 mr   r  = 16  m  z = 580  m ŸTRT Ÿbarrel: 55 cm < R < 105 cm Ÿ36 layers of straw tubes   r  = 170  m Ÿ channels

67 Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa66 Tracking Systems: CMS 5.4 m Outer Barrel –TOB- Inner Barrel –TIB- End cap – TEC- Pixel 2,4 m volume 24.4 m 3 Inner Disks –TID- 93 cm 30 cm ŸPixel Detector Ÿ2 barrels, 2 disks: 40  10 6 pixels Ÿbarrel radii: 4.1, ~10. cm  pixel size 100  150  m   r  = 10  m  z = 10  m ŸInternal Silicon Strip Tracker Ÿ4 barrels, many disks: 2  10 6 strips Ÿbarrel radii:  strip pitch 80,120  m   r  = 20  m  z = 20  m ŸExternal Silicon Strip Tracker Ÿ6 barrels, many disks: 7  10 6 strips Ÿbarrel radii: max 110 cm  strip pitch 80, 120  m   r  = 30  m  z = 30  m

68 Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa67 Tracking Systems: ATLAS & CMS ATLAS CMS

69 Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa68 Misura del momento ŸIl momento della particella è proiettato lungo 2 direzioni  Nel piano  -  si misura il momento trasverso p   Nel piano  - z si misura l’angolo di dip ŸSagitta e momento  La misura della sagitta e della lun- ghezza della traiettoria permettono la misura di R (e quindi di p  ) 22 R s ŸOrdini di grandezza  Assumiamo una lunghezza di 1 m

70 Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa69 Misura del momento ŸUna volta misurato il momento trasverso e l’angolo di dip il momento totale è ŸL’errore sul momento è ŸĖ necessario studiare  L’errore sul raggio misurato sul piano di curvatura  -   L’errore sull’angolo di dip misurato sul piano  - z ŸCommento: ŸIn un collider adronico l’enfasi è sul momento trasverso ŸI processi elementari fra i partoni non sono a riposo nel sistema di laboratorio ŸLa conservazione dell’impulso per vincolare grandezze non misurate è utilizzabile solo nel piano trasverso

71 Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa70 Misura del momento ŸVediamo come l’errore sul momento è legato alla precisione con cui vengono misurati le coordinate della traiettoria (risoluzione spaziale) ŸRitornando alla sagitta  Assumiamo di avere 3 misure: y 1, y 2, y 3 ŸOtteniamo ŸCombinando i risultati ottenuti ŸAspetti salienti dell’errore sul momento ŸL’errore percentuale è proporzionale al momento stesso  È inversamente proporzionale a B  È inversamente proporzionale a 1  L   È direttamente proporzionale alla risoluzione spaziale  y 22 R s y1y1 y2y2 y3y3

72 Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa71 Equazione dell’elica ŸIn forma parametrica l’elica è descritta dalle equazioni  è l’angolo di “dip”  h =±1 è il senso di rotazione sull’elica  La proiezione sul piano x - y plane è una circonferenza  x o e y o sono le coordinate a s = 0  F o è anche legato alla pendenza della tangente alla circonferenza a s = 0 B

73 Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa72 Equazione dell’elica ŸPer ricostruire la traiettoria si posizionano piani di misura lungo il percorso della particella ŸUsualmente si considerano le proiezioni su due piani  perpendicolare a B ( x,y ): circonferenza  contenente B ( x,z ), ( y,z ) or ( ,z )  Nel piano che contiene B (per esempio il piano y - z ) la traiettoria è una funzione periodica di z  Tuttavia, per momenti elevati, ad esempio R tan >> ( z-z o ), assumendo per semplicità h = 1, F o = 0 linea retta

74 Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa73 The Helix Equation

75 Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa74 Rivelatori a semiconduttore ŸSi realizzano rivelatori di posizione utilizzando semiconduttori Ÿsi utilizza silicio con tecniche di fabbricazione di circuiti integrati  spessore tipico   m ŸUn tipico esempio:  materiale n  implantazioni p  passo tipico   m  giunzione p  n Ÿinversamente polarizzata Ÿregione senza cariche mobili (depleteted region) ŸUna particella carica che attraversa la regione svuotata Ÿproduce ionizzazione Ÿla ionizzazione si muove sotto l’effetto del campo elettrico e viene raccolta sugli elettrodi ŸLa posizione dell’elettrodo individua la posizione della traiettoria ŸRealizzazione dei contatti silicio di tipo n silicio di tipo n + contatto ohmico implantazione di silicio p + alluminio passivazione di SiO 2 giunzione p-n Vo   implantazione n + passivazioneetching Al deposit

76 Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa75 Microstips detectors, Pixel detectors ŸA seconda delle dimensioni delle implantazioni si hanno due tipi di rivelatori ŸRivelatori a microstrip Ÿdimensioni tipiche  passo 50  m Ÿlunghezza 5 cm ŸRivelatori a pixel Ÿdimensioni tipiche  80  m  80  m Ÿentrambe le direzioni con la stessa precisione  50  m  400  m Ÿuna direzione più con maggiore precisione

77 Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa76 Interconnessione ŸUno dei problemi più complessi con i rivelatori a Pixels è la connessione Ÿcollegare i singoli pixels ai canali di elaborazione elettronica ŸTecnica del Bump bondig sensorielettronica di letturabumps chip flip

78 Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa77 Moduli

79 Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa78 Sistema

80 Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa79 Vecchi rivelatori

81 Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa80 Risoluzione spaziale ŸQualè la risoluzione spaziale di un rivelatore di questo tipo ? ŸUna particella che lo attraversa interessa una strip  la posizione della strip è x i ŸSono misurate con la stessa posizione tutte le particelle che attraversano il rivelatore ad una posizione compresa fra ŸL’errore di misura è uniformemente distribuito  Il valor medio della distribuzione è ovviamente x i ŸLa varianza della distribuzione è

82 Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa81 Migliorare la risoluzione ŸLa risoluzione può essere migliorata utilizzando la suddivisione della carica ŸLa carica rilasciata si suddivide fra due strip adiacenti ŸIl rapporto con cui si suddividono dipende dalla posizione fra le due strip no charge sharing: 1 hits charge sharing: 2 hit

83 Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa82 Alcuni membri del nostro gruppo

84 prof. Francesco Ragusa Università di Milano Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare anno accademico Lezione n

85 prof. Francesco Ragusa Università di Milano Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare anno accademico Lezione n

86 prof. Francesco Ragusa Università di Milano Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare anno accademico Lezione n

87 Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa86 Perdita di energia per ionizzazione ŸVeniamo al trattamento quantistico della perdita di energ

88 Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa87 Interludio: velocità del centro di massa ŸIn relatività ristretta occorre ridefinire la velocità del centro di massa  Consideriamo un gruppo di n particelle caratterizzate da quadrimomenti p k ŸLe possiamo considerare un’unica particella caratterizzata da ŸRicordiamo che. Allora la particella fittizia ha velocità  Il centro di massa si muove solidalmente con la particella fittizia. La sua velocità è . ŸConsideriamo adesso l’urto di due particelle di cui una a riposo (sistema di laboratorio) Ÿla velocità del centro di massa in questo sistema è

89 Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa88 Interludio:massimo momento trasferito ŸConsideriamo adesso l’urto di una particella pesante (un protone) con una leggera (un elettrone) ŸNel loro centro di massa le particelle hanno lo stesso momento e si urtano frontalmente ŸIl massimo momento trasferito si ha quando l’elettrone “rimbalza” indietro ŸIn questo sistema il momento dell’elettrone si trova con la trasformazione di Lorentz dal laboratorio (dove l’elettrone è fermo) al centro di massa  Indichiamo con   e   la velocità del centro di massa ŸOtteniamo (v. PDG, Kinematics p. 275)

90 Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa89 Interludio:massimo momento trasferito  Abbiamo detto che il massimo momento trasferito alla particella 2 (elettrone) si ha quando essa ritorna indietro ŸQuesto nel sistema del centro di massa ŸRitorniamo nel sistema di laboratorio ŸNel sistema di laboratorio la particella 2 ha il momento che si ottiene con la trasformazione inversa

91 Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa90 Interludio:massimo momento trasferito ŸPertanto la massima variazione di momento nel sistema di laboratorio è  Utilizzando i valori trovati per   e   ŸOtteniamo  Nel caso del protone che incide su un elettrone fermo  m p    m e  vediamo che la variazione di momento può essere approssimata come  In particolare se  p   E p  m p    tutto il momento può essere trasferito all’elettrone

92 Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa91 Interludio:massima energia trasferita ŸAnalogamente la variazione di energia del bersaglio è  Dal momento che       si verifica facilmente che ŸOtteniamo pertanto il risultato

93 Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa92 Parametro d’impatto: limite inferiore ŸRitorniamo al parametro d’impatto  possiamo stimare il limite minimo b min come il parametro d’impatto che corrisponde alla massima energia trasferibile appena calcolata  ponendo        e uguagliando Ÿin conclusione ŸVedremo che questa approssimazione (classica) risulta troppo grossolana  produce un valore di b min troppo piccolo Ÿnon tiene conto della meccanica quantistica


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