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TEORIA DELLA PROBABILITÁ E DELLINFERENZA STATISTICA.

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3 TEORIA DELLA PROBABILITÁ E DELLINFERENZA STATISTICA

4 CALCOLO DELLE PROBABILITA Esperimento casuale: una generica operazione la cui esecuzione, detta prova, è suscettibile di fornire un risultato – compreso in un insieme di risultati necessari ed incompatibili – che non può essere previsto con certezza. Esempio: Lancio di un dado (prova) necessarietà: si presenterà almeno uno dei possibili risultati incompatibilità: si presenterà solo uno dei possibili risultati. Gli esperimenti casuali riguardano quindi tutti i casi in cui bisogna effettuare una previsione in condizioni di incertezza. Nel formulare tali previsioni, si esprime il grado di incertezza relativo al presentarsi di un certo risultato con una valutazione numerica che prende il nome di PROBABILITA.

5 CONCEZIONI ALTERNATIVE DELLA PROBABILITA 1.Impostazione classica 1.Impostazione classica: la probabilità del verificarsi di un certo risultato è data dal rapporto tra numero di casi favorevoli al verificarsi di quel risultato ed il numero totale di casi possibili, ammesso che questi possano essere considerati tutti ugualmente possibili. Critica: Non applicabile agli esperimenti i cui risultati non possono ritenersi tutti ugualmente possibili 2.Impostazione frequentista 2.Impostazione frequentista: allaumentare del numero delle prove (per n ) la probabilità del verificarsi di un certo risultato coincide con la frequenza relativa di tale risultato. a condizione che le prove si svolgano tutte nelle medesime condizioni. Critica: Non sempre tutte le prove si svolgono nelle stesse condizioni.

6 4.Impostazione assiomatica a)Concetti primitivi La prova genera levento con una certa probabilità i.Prova: esperimento il cui risultato non è prevedibile con certezza ii.Evento: possibile risultato di una prova iii.Probabilita: numero associato al presentarsi di un evento b)Assiomi: regole formali a cui deve sottostare una valutazione di probabilità. 3.Impostazione soggettiva 3.Impostazione soggettiva: la probabilità è lespressione del grado di fiducia che un individuo ripone nel verificarsi di un certo evento. Critica: Le valutazioni della probabilità possono variare da individuo ad individuo A partire dagli assiomi è possibile costruire tutta la teoria della probabilità.

7 SPAZIO CAMPIONARIO Insieme dei possibili risultati ottenibili da una prova. Esempi: 1. Lancio di una moneta: 2. Lancio di un dado: 3. Numero di minuti in cui una lampadina resta accesa prima di bruciarsi: N.B. Nei primi due esempi S ha cardinalità finita, nel terzo esempio S ha cardinalità nel continuo.

8 EVENTO Un qualunque sottoinsieme dello spazio campionario S. Si realizza il risultato della prova appartenente ad A. Tipi di Eventi (es: lancio di un dado): Eventi Elementari Eventi Composti Evento Certo Evento Impossibile Esempio: sottoinsiemi dellevento durata di una lampadina

9 OPERAZIONI SUGLI EVENTI a)Unione o Somma Logica fra due eventi A e B è quell'evento C che si verifica quando si verifica A oppure B oppure A e B contemporaneamente: A B S b)Intersezione o Prodotto Logico fra due eventi A e B è quell'evento D che si verifica quando si verificano sia A che B contemporaneamente: A B S

10 c)Complementazione o Negazione di un evento A è quell'evento E che si verifica allorquando A non si verifica: S Esempio: lancio di un dado Eventi Incompatibili: non contengono elementi comuni e quindi la loro intersezione da luogo allevento impossibile.

11 In pratica, il verificarsi delluno implica il non verificarsi dellaltro in una prova. Rappresentazioni Grafiche S A B S A B A B A B S S Eventi Compatibili Unione Intersezione Eventi Incompatibili

12 SPAZIO DEGLI EVENTI (Z) Una classe di eventi ai quali si vuole assegnare una probabilità. Questa classe deve essere un'algebra, ovvero deve contenere lo spazio campionario S e come elementi Quando S è costituito da un numero finito k di elementi, lo spazio degli eventi può essere rappresentato dall'insieme di tutti i possibili sottoinsiemi di S ed ha cardinalità 2 k. Esempio: lancio di un dado k = 6

13 In alcuni casi interessano solo alcuni eventi di un esperimento. Esempio: Costruire lo spazio degli eventi relativo allalternativa tra punteggio pari e punteggio dispari nel lancio di un dado. ASSIOMI P(·): funzione di probabilità Le impostazioni classica e frequentista soddisfano gli assiomi. Solitamente, nel misurare la probabilità si fa sempre riferimento alla definizione classica. Lassioma iii) permette di definire una misura della probabilità per tutti gli eventi (elementari e composti) inclusi nello spazio degli eventi Z.

14 TEOREMI 1) 2) 3) S B A Teorema delle Probabilità Totali S A B C Generalizzazione al caso di 3 eventi

15 PROBABILITA DI EVENTI SUBORDINATI. INDIPENDENZA STOCASTICA Tra 2 eventi A e B può sussistere una relazione per la quale, sapendo che una prova ha generato un risultato che appartiene a B, si è indotti a modificare la valutazione del verificarsi di A. Esempio: probabilità che una certa squadra vince una partita dopo che alla fine del primo tempo è in svantaggio di 3 reti a zero. PROBABILITA SUBORDINATA La probabilità dell'evento B, dato che si è verificato l'evento A, è il rapporto fra la probabilità del contemporaneo verificarsi di A e B e la probabilità di A, se questa è diversa da zero:

16 Teorema delle Probabilità Composte Dati 2 eventi A e B per i quali P(A)>0 e P(B)>0, se i due eventi sono stocasticamente dipendenti risulta: A B S si verifica B B nuovo S la probabilità subordinata è data dallarea dellintersezione rispetto allarea di B Se risulta: allora A e B sono stocasticamente indipendenti. In questo caso:

17 Problema La produzione di pneumatici in una fabbrica avviene in tre turni: il 50% di giorno – il 30% di sera – il 20% di notte. Il controllo della conformità dei pneumatici prodotti si basa su un campione di 200 pezzi, ripartiti secondo le proporzioni dei 3 turni di produzione, che ha rivelato ciò che segue: TURNO DI PRODUZIONE ESITOGiornoSeraNottetotale Conformità Non conformità36716 totale ) Calcolare la probabilità che un pneumatico scelto a caso: a) sia difettoso; b) sia difettoso e prodotto in ciascuno dei 3 turni; c) sia difettoso essendo stato prodotto in ciascuno dei 3 turni; d) essendo difettoso sia stato prodotto in ciascuno dei 3 turni. 2) È lecito sostenere che la qualità del prodotto è influenzata dal turno di produzione?

18 Le probabilità cercate possono essere ottenute dalla tabella delle frequenze relative: TURNO DI PRODUZIONE ESITOGiorno (G)Sera (S)Notte (N)totale Conformità (C) 0,4850,270,1650,92 Non conformità (D) 0,0150,030,0350,08 totale 0,50,30,21 a) P(D) = 0,08 b) b.1 P(D G) = 0,015 b.2 P(D S) = 0,03 b.3 P(D N) = 0,035 c) c.1 P(D|G) = c.2 P(D|S) = c.3 P(D|N) =

19 d) d.1 P(G|D) = d.2 P(S|D) = d.3 P(N|D) = 2) Se la qualità del prodotto non fosse influenzata dal turno di produzione, si dovrebbe avere: P(D|G) = P(D|S) = P(D|N) = P(D) ma evidentemente così non è.

20 1) PRINCIPALI DISTRIBUZIONI DI PROBABILITA Binomiale, Poisson Normale o Gaussiana Chi – quadrato t di Student F di Fisher-Snedecor 2) UNIVERSO E CAMPIONE Campionamento non probabilistico Campionamento probabilistico 3) DISTRIBUZIONI CAMPIONARIE E PROPRIETA DEGLI STIMATORI 4) METODI DI STIMA PUNTUALE ED INTERVALLARE 5) TEST PER LA VERIFICA DI IPOTESI INTRODUZIONE ALLINFERENZA STATISTICA

21 VARIABILE CASUALE Variabile Casualeregola Enumero reale Una Variabile Casuale X è una regola (funzione reale) che associa ad E (evento elementare di S) uno ed un solo numero reale. Notazione: X: variabile casuale x: realizzazione di una variabile casuale N.B.: la precedente corrispondenza è UNIVOCA. E possibile associare una misura di probabilità allo spazio numerico della v.c. utilizzando la misura di probabilità definita sui sottoinsiemi dello spazio campionario S. "Si verifica l'evento E con probabilità P(E) "La v.c. X assume il valore x con probabilità P(x)"

22 Una v.c. X è una variabile che assume valori nello spazio dei numeri reali secondo una funzione di probabilità P(X). Una Variabile Casuale è nota se è nota la sua distribuzione di probabilità E 0 1 X(E) P[X(E)] Rappresentazione grafica dello schema di costruzione di una v.c. discreta S 1 E 6 E 5 E 2 E 4 E 3 E S 1 x 2 x 3 x 0 R 1 p 2 p 3 p 1

23 ESEMPI 1. Consideriamo una famiglia con 3 figli E 1 E 2 E 3 E 4 E 5 E 6 E 7 E 8 S={MMM, MMF, MFM, FMM, MFF, FMF, FFM, FFF} 1/8 1/8 1/8 1/8 X=numero dei figli maschi Variabile casuale X=numero dei figli maschi 1/83 3/82 1 1/80 pipi X P = 1

24 VARIABILI CASUALI DISCRETE Assumono valori discreti (solitamente sono ottenute come risultato di un conteggio). Per ogni realizzazione x i risulta: x1x1 x2x2 x3x3 xixi pipi p i p(x i ) i p i = p(x i ) = probabilità che X assuma il valore x i

25 Esempio: si lanciano simultaneamente 2 monete. Eventi elementari di S: E 1 =TT E 2 =TC E 3 =CT E 4 =CC Variabile casuale X=numero di croci E i TT TC CT CC x i p i 1/4 1/4 1/4 1/4 Ad ogni x i associamo una probabilità pari alla somma delle probabilità degli eventi corrispondenti. Le x i sono le realizzazione della v.c., mentre le p i identificano la distribuzione di probabilità della v.c. in questione xipi 01/4 12/4 21/4

26 VARIABILI CASUALI CONTINUE Ammettono infiniti valori, quindi non è possibile attribuire le singole probabilità ad ogni realizzazione x i. funzione di densità di probabilità Si associa ad ogni intervallo una funzione f(x) detta funzione di densità di probabilità. f(x) x N.B.: f(x) NON è la probabilità che X assuma il valore x! f(x) è la probabilità che X sia compresa in un intervallo infinitesimale intorno dx ad x.

27 La funzione di densità f(x) è nulla per quei valori compresi in intervalli esterni al campo di definizione Condizione necessaria affinché una funzione di densità f(x) individui una v.c. X continua è : N.B.:

28 FUNZIONE DI RIPARTIZIONE Ordinando le realizzazioni della v.c.: v.c. discrete v.c. continue Proprietà: 1) è non decrescente 2) 3)

29 v.c. discrete X: Punteggio ottenuto nel lancio di un dado 1/ P(x)X /6 1 pipi xixi x 2/6 3/6 4/6 5/6 56 F(x)

30 v.c. continue x 1 x 0 x )(xF )( 1 xF )( 0 xF 1 x 0 x Relazione importante: x

31 Variabile Casuale di Bernoulli prova Regola i casi riconducibili ad una prova che si può concludere con 2 possibili risultati: SUCCESSO INSUCCESSO Esempi: lancio di una moneta, Espressione di un voto referendario, Lancio di un dado (pari-dispari) MODELLI PER VARIABILI CASUALI DISCRETE p = probabilità di successo

32 N.B.: la varianza è massima se p = 0,5 Media e varianza Distribuzione di probabilità

33 Problema Una macchina di precisione produce pezzi di ricambio per macchine agricole con una percentuale pari al 10% di pezzi difettosi. Su una produzione oraria di 5 pezzi, si richiede: a) qual e la probabilità di avere meno di 3 pezzi difettosi? b) qual e la probabilità di avere tra 2 e 4 pezzi difettosi? c) qual e la probabilità di avere al più 2 pezzi difettosi? d) qual e la probabilità di avere almeno 4 pezzi difettosi? disegnare la funzione di probabilità e di ripartizione della v.c. che descrive i risultati dellesperimento calcolare la media e la varianza della distribuzione.

34 Variabile Casuale Binomiale Regola la probabilità in tutti i casi riconducibili ad una estrazione con reimmissione di n palline da unurna. Probabilità che in n prove non si verifichi alcun successo Probabilità che in n prove si verifichi 1 successo In ognuna delle n prove p è la probabilità di successo ed è costante. p(x) = probabilità di x successi in n prove p(0) = p(X = 0) = p(1) = p(X = 1) = Probabilità che in n prove si verifichino n successi p(n) = p(X = n) =

35 Quindi: n = numero di prove x = numero di successi in n prove n – x = numero di insuccessi in n prove La funzione di probabilità deve tener conto di tutte le possibili sequenze di successi ed insuccessi (principio della probabilità totale per eventi incompatibili). Numero di possibili sequenze di successi ed insuccessi (corrispondente al numero di elementi dello spazio degli eventi) n elementi presi x ad x Qual è la probabilità di ognuna delle sequenze? Quanti sono i modi di combinarsi di una specifica sequenza?

36 La funzione di probabilità della v.c. binomiale è quindi: Media Varianza

37 con La variabile casuale numero di pezzi difettosi (successo) su 5 pezzi prodotti (prove) segue la distribuzione Binomiale, con parametri n = 5 e p = 0,1 (10%) = np = 5 0,1 = 0,5 2 = np(1-p) = 5 0,1 0,9 = 0,45 Le probabilità elementari possono essere determinate per mezzo della funzione: quindi:

38 a) P(X < 3) = P(0) + P(1) + P(2) = = 0, , ,0729 = 0,99144 b) P(2 X 4) = P(2) + P(3) + P(4) = = 0, , ,00045 = 0,08145 c) P(X 2) = P(0) + P(1) + P(2) = = 0, , ,0729 = 0,99144 d) P(X 4) = P(4) + P(5) = = 0, ,00001 = 0,00046 Dati n = 5 e p = 0,1, la v.c. X = numero di pezzi difettosi su 5 prodotti è definita come segue: xf(x)F(x) 00, ,328050, ,072900, ,008100, ,000450, , Totale1

39 Variabile Casuale di Poisson

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43 LA VC NORMALE O GAUSSIANA Una vc si dice normale o gaussiana (da Gauss che la propose come modello descrittivo degli errori di misura) se la sua fd è la seguente: dove rispettivamente rappresentano il valor medio e la varianza di X; è una vc continua; (base dei logaritmi neperiani) sono note costanti matematiche.

44 La sua rappresentazione grafica è la seguente: ed ovviamente la probabilità dellevento certo sarà data da Oltre ai due valori caratteristici appena esaminati se ne possono definire altri; tra essi una certa importanza ha la media quadratica:

45 È facile dimostrare che: Per la dimostrazione basta svolgere il quadrato dellaltra formulazione di, semplificare ed ottenere la seconda formulazione che è di maggiore praticità a fini computazionali.

46 Lo studio analitico della funzione evidenzia: 1) la curva è simmetrica rispetto allordinata del punto di massimo; 2) questultimo si trova in corrispondenza del valore ; segue che la mediana (MED, valore che divide una distribuzione di frequenze in due parti esattamente uguali) e la moda (MOD, valore cui corrisponde il massimo valore di una distribuzione di frequenze) coincidono, nella normale, con la media aritmetica; 3) la curva è definita tra meno infinito e più infinito; 4) La curva presenta due punti di flesso (cambiamento di concavità) in corrispondenza con i valori

47 Lassetto grafico della curva è determinato dai parametri µ e σ, il primo determina il posizionamento della curva sullasse delle ascisse; per questo µ si definisce come un parametro di posizione. Il secondo, essendo una misura di variabilità con riferimento alla media, mostra quanto siano più o meno dispersi i valori della distribuzione intorno al valore medio. Allora, bassi valori di σ indicano valori della distribuzione (probabilità) poco dispersi o anche, come si dice, molto concentrati, intorno a µ, al contrario alti valori di σ indicano valori della distribuzione molto dispersi rispetto alla media. Pertanto il parametro σ è detto parametro di forma della distribuzione.

48 Se una vc ha una distribuzione normale la probabilità che x assuma un certo valore in un certo intervallo, poniamo a-b, si ottiene da: che in termini grafici altro non è se non la superficie delimitata a sinistra dallordinata nel punto a, a destra dallordinata del punto b, inferiormente dallasse delle ascisse e superiormente dalla curva normale tra a e b. Ovviamente, la probabilità dellevento certo, cioè

49 da cui si ha anche che: Esempio, se una vc normale ha media pari a 3,6 e varianza pari a 81, la probabilità che x sia compreso tra -4,2 e 7,5 si ha risolvendo lintegrale

50 Per fortuna esiste la possibilità di operare in modo estremamente più semplice, ma a tale fine occorre definire una particolare vc normale, detta vc normale standardizzata, la cui caratteristica è quella di avere media pari a zero e varianza unitaria, cioè: Si può dimostrare che data una normale si può sempre passare ad una semplicemente trasformando le x in z con la relazione

51 Siccome per la normale standardizzata esistono tavole che contengono la determinazione degli integrali coinvolti con il calcolo di allora basta passare da X a Z, risolvere il nostro problema su Z ed averlo risolto per X senza dover calcolare alcun integrale. Tutto questo sarà molto più chiaro con alcuni esempi numerici; prima vediamo più da vicino come sono costruite le tavole per la normale standardizzata.

52 In primo luogo: la tabulazione avviene solo per la parte positiva della distribuzione, dal momento che essendo la media della standardizzata uguale a zero basta avere per avere Poi, le tavole forniscono larea sotto la normale standardizzata secondo il seguente schema:

53 Limmissione rappresenta larea sottostante la distribuzione standardizzata dalla media aritmetica a Z Z

54 Allora se z = 0.22 la superficie al di sotto della standardizzata (tra 0 e z) è pari a , cioè è circa il 9% dellintera distribuzione, se invece è pari a 0.30 la superficie è , cioè circa il 12% della distribuzione, e così via. Le tavole della normale standardizzata sono riportate in appendice ad ogni testo di statistica. Vediamo allora un po di esempi numerici e la soluzione di alcuni problemi. Esempi: Si calcoli usando la tavola della normale standardizzata la probabilità che:

55 Data la simmetria su 0 della distribuzione, basta moltiplicare per 2 il valore che si trova sulla tavola in corrispondenza di 0.96, cioè Questo valore indica la probabilità tra 0 e 1.96, quindi x 2 = 0.95 dice che la probabilità richiesta, in termini percentuali, è il 95%. Si calcoli ora la probabilità che in una normale con media pari a 10 e varianza pari a 4, X assuma un valore compreso tra 8 e 12. Per usare la standardizzata si devono determinare su questultima distribuzione quei valori che corrispondono a 8 e a 12;

56 essi sono: Allora dalle tavole della normale standardizzata: e pertanto la probabilità richiesta per X è approssimativamente del 68%.

57 Sia X una vc normale con media e scarto quadratico medio pari a Calcolare la probabilità che X sia compreso tra e Allora: allora la probabilità richiesta per X è di circa il 53%.

58 Variabile Casuale Normale MODELLI PER VARIABILI CASUALI CONTINUE E funzione di due parametri Se -+ o f(x) è simmetrica rispetto a Media e varianza

59 V.C. Normale Standardizzata Relazione tra e

60 Dalle tavole: 0 z1z1 z2z2 z

61 Problema Un meteorologo ritiene che la probabilità che a Napoli piova durante un giorno del mese di dicembre è uguale a 0,2. a) Calcolare il numero di giorni di pioggia previsti dal meteorologo durante tutto il mese. b) Determinare inoltre la probabilità che nel mese di dicembre vi siano al massimo 3 giorni di pioggia. n = 30; p = 0,2 B (30, 0,2) a) La previsione può essere fatta in termini di valore atteso, ossia: E(X) = n p = 31 0,2 = 6,2. b) Essendo n sufficientemente elevato, le probabilità cercate possono essere approssimate dalla distribuzione Normale standardizzata: Soluzione

62 DISTRIBUZIONI DI PROBABILITA SPECIALI DERIVATE DALLA NORMALE STANDARDIZZATA Distribuzione CHI-QUADRATO ( 2 La somma dei quadrati di variabili casuali indipendenti Normali standardizzate si distribuisce come una v.c. 2 con gradi di libertà (g.l.). Al crescere di la 2 tende alla distribuzione Normale. Distribuzione t di Student ( t ) Sia X una v.c. Normale standardizzata e sia Z una v.c. 2 indipendente da X Il rapporto: si distribuisce come una v.c. t di Student con gradi di libertà (t ). La t è simile alla Normale ma ha code più alte. Al crescere di la t tende alla Normale

63 Distribuzione F di Fisher ( F 1, 2 ) Siano Z 1 e Z 2 due v.c. indipendenti 2 con 1 e 2 rispettivi g.l.; Il rapporto : Si distribuisce come una v.c. F di Fisher-Snedecor con 1 e 2 g.l.

64 TEOREMA DI BAYES Per introdurre il problema si partirà da un esempio. Si abbiano due urne: la prima, U1, contenente 4 palline bianche e 6 nere, la seconda, U2, contenente 3 palline bianche e 5 nere.. Si estragga a sorte un' urna e si estragga poi dallurna prescelta una pallina. Ammesso che la pallina estratta sia di colore bianco, ci si chiede: qual è la probabilità che essa provenga dall'urna U1 se la probabilità di selezionare ciascuna delle due urne è 0,50?

65 Si noti la particolarità del problema: finora le probabilità degli eventi sono state sempre determinate prima dell'esecuzione dell'esperimento; qui la situazione è, in un certo senso, opposta: si conosce il risulta­to dell'esperimento e si vuole calcolare la probabilità che esso sia dovuto ad una certa "causa", nell'esempio che la pallina provenga dall'urna U1.

66 Simili problemi si presentano ogni volta che un evento A può essere visto come risultato ("effetto") di uno tra k possibili eventi ("cause"), C1, C2,.... Ck, incompatibili e tali che uno di essi si deve verificare, e inte­ressa valutare la probabilità che, avveratosi A, sia Ci la causa che l'ha prodotto. Conviene perciò introdurre una formula generale che consenta il calcolo della probabilità in questione.

67 A questo fine si considerino innanzitutto gli eventi incompatibili C1, C2,.... Ck, e si ammetta che essi costituiscano una partizione dello spazio campionario Ω, ossia che Ω= C1 C2.... Ck Allora levento A può essere espresso nel modo seguente A = A Ω =A ( C1 C2.... Ck) = (A C1 ) (A C2 ).... (A Ck)

68 (1.7) P(B/A) = (1.8) P(A B)=P(A)-P(B/A) Si osservi che l'evento A è espresso come unione degli eventi incompatibili A Ci i = 1,2,., n ; ne segue, per il terzo assioma della probabi ­ lit à, che P(A)=P(A C1)+P(A C2)+...+P(A Ck). Dalla (1.7) si ottiene P(Ci | A)=

69 Applicando la (1.8) ad ogni elemento al secondo membro dell'equazione precedente, si può anche scrivere P(A) = P(C1)P(A|C1)+ P(C2)P(A|C2) P(Ck)F(A| Ck) (1.10) Il problema è ora quello di calcolare la probabilit à condizionata P(C1|A). che, considerando la (1.8) e la (1.10), può essere posta nella forma P(C1|A)= (1.11)

70 La formula (1.11) va sotto il nome di formula di Bayes (dal nome dell'ecclesiastico Thomas Bayes, , che la introdusse). È opportuno ribadire che P(C1|A) è la probabilit à che l'evento A, gi à realizzatosi, sia dovuto alla causa Ci ; tale probabilit à è nota come probabilit à a posterio ­ ri, mentre P(Ci) è chiamata probabilit à a priori della causa C1.

71 Esempio1 Si riprenda l'esempio introduttivo. Dunque, ammesso che la pallina estratta sia bianca, si vuole calcolare la probabilit à che essa provenga dal ­ l urna U1. Se si indica con A l'evento in oggetto, con C1 l'urna U1 e con C2 l'urna U2, la probabilit à cercata è data da P(C1|A) =

72 Esempio2 È noto che in una data popolazione la percentuale dei fumatori è pari al 35%. Si sa anche che il 20% dei fumatori ed il 6% dei non fumatori sono affetti da una malattia respiratoria cronica. Si vuole determinare la probabilit à che un indivi ­ duo affetto dalla malattia sia fumatore. Definiti gli eventi: F: "fumatore",: "non fumatore", M: "malato", le informazioni disponibili consentono di scrivere P(F) =0,35; P ( ) = 0,65; P(M| F) =0,20; P(M | )= 0,06.

73 PARTIZIONI E TEOREMA DI BAYES Pertanto

74 PARTIZIONI E TEOREMA DI BAYES Supponiamo che gli eventi A1, A2,..., An formino una partizione di uno spazio campionario S; e cio è, che gli eventi Ai siano incompatibili e la loro unione sia S. Ora, sia B un qualsiasi altro evento. Allora B = S B = (A 1 A 2... A n ) B = (A 1 B) (A 2 B)... (A n B) dove gli AiB sono incompatibili.

75 Di conseguenza, P(B) = P(A1 B) + P(A2 B) P(A n B) Quindi, per il teorema di moltiplicazione, P(B)= P(A1)P(B|A1)+ P(A2)P(B|A2)+...+ P(An)P(B|An) (1) D'altra parte, per ogni valore di i, la probabilit à condizionata di A i dato B è definita da P(Ai|B) =

76 Impiegando la (1) per sostituire P(B) e impiegando P(Ai B) = P(Ai)P(B| Ai) per sostituire P(Ai B), otteniamo da questa equazione il seguente teorema. Teorema di Bayes : Supponiamo che A1, A2,..., An, sia una partizione di S e che B sia un evento qualsiasi. Allora per ogni valore di i, P(Ai|B) =

77 Esempio3: Tre macchine A, B e C producono rispettivamente il 50%, il 30% e il 20% del numero to ­ tale dei pezzi prodotti da una fabbrica. Le percentuali di pezzi difettosi di queste macchine sono, rispettivamente, il 3%, il 4% e il 5%. Viene estratto un pezzo a caso: determinare la probabilit à che esso sia difettoso.

78 Sia X l'evento un pezzo è difettoso". Allora per la (1) precedente P(X) = P(A)P(X|A)+P(B)P(X|B)+P(C)P(X|C)=(.50)(.03)+(.30)(.04)+(.20)(.05)=.037 Si noti che si può anche considerare questo problema come un processo stocastico rappresentato dal diagram ­ ma ad albero adiacente.

79 Esempio4 : Si consideri la fabbrica dell'esempio precedente. Supponiamo che si estragga un pezzo a caso e che esso sia difettoso. Si determini la probabilit à che quel pezzo sia stato prodotto dalla macchina A; ossia, si determini P(A| X). Per il teorema di Bayes, P(A|X) = In altri termini, dividiamo la probabilit à del cammino in questione per la probabilit à dello spazio campionario ridotto, ossia di quei cammini che conducono ad un elemento difettoso.

80 ESERCIZI SUL TEOREMA DI BAYES Determinare P(B|A) se (i) A è un sottoinsieme B, (ii) A e B sono incompatibili. (i) Se A è un sottoinsieme di B, allora ogniqualvolta si verifica A deve verificarsi B ; quindi P(B|A)=1 Alternativamente, se A è un sottoinsieme di B, allora AB = A; quindi P(B|A)=

81 (ii) (ii)Se A e B sono incompatibili, e cio è disgiunti, allora ogniqualvolta si verifica A non può verificarsi B; quindi P(B |A) = 0. Alternativamente, se A e B sono incompatibili, allora A B = Ø quindi P(B/A)= P(A B) / P(A) = P( Ø ) / P(A) = 0 / P(A) = 0

82 · Tre macchine, A, B e C, producono rispettivamente il 60%, il 30% e il 10% del numero totale dei pezzi prodotti da una fabbrica. Le percentuali di produzione difettosa di que ­ ste macchine sono rispettivamente del 2%, 3% e 4%. Viene estratto a caso un pezzo che risulta difettoso. Determinare la probabilit à che questo pezzo sia stato prodotto dalla macchina C. Sia X= {pezzi difettosi}. Vogliamo determinare P(C|X), la probabilit à che un pezzo sia stato prodotto dalla macchina C se si sa che quel pezzo è difettoso. Per il teorema di Bayes,

83 ESERCIZIO. Una scatola contiene tre monete, delle quali due non sono truccate mentre l'altra ha due teste. Scegliendo casualmente una delle tre monete e lanciandola, (a) qual è la probabilit à che risulti testa? (b)qual è la probabilit à di aver scelto la moneta truccata sapendo che il risultato del lancio è testa? Soluzione: Indichiamo con T e C, rispettivamente, gli eventi uscita di testa" e "uscita di croce", con M1 e M2 la scelta della prima e seconda moneta; entrambe non truccate, e con M3 la scelta della moneta truccata.

84 Per il quesito (a) si ha P(T) = P[(TM 1 )+(TM 2 )+(TM 3 )] = P(TM 1 )+P(TM 2 )+P(TM 3 )] = P(T|M 1 )P(M 1 )+P(T|M 2 )P(M 2 )+P(T|M 3 )P(M 3 )= = Per il quesito (b) si ha (teorema di Bayes) P(M 3 |T)=

85 Teorema di Tchebycheff Finora si sono considerate media, varianza e deviazione standard di un esperimento in modo separato per ana1izzare alcune caratteristiche di una v.c. e della sua distribuzione di probabilità. Si consideri ora unutilizzazione congiunta di questi indici al fine di fornire informazioni circa il modo in cui le probabilità si addensano in intervalli centrati sulla media e di ampiezza proporzionale alla deviazione standard della variabile. Intuitivamente si può pensare che a valori bassi della deviazione standard corrisponda una massa di probabilità molto concentrata intorno alla media, mentre a valori elevati della deviazione standard la probabilità sia più diffusa attorno alla media. Si cercherà di quantificare tale idea intuitiva.

86

87 Esempio Si consideri la variabile X= numero di teste uscite dal lancio di 5 monete. μ=E[X]=2,5, Σ ( X – μ)2f(x) = 40/32, σ2=Var(X)=1,25, σ=1,12 Nella figura 3.20 è rappresentata la distribuzione di probabilità della v.c X unitamente alla probabilità compresa negli intervalli μ±σ e μ±2σ Teorema:Se la v.c. X ha media finita μ e deviazione standard finita σ, e k è un numero positivo qualunque, allora la massa di probabilità che si trova al di fuori dellintervallo chiuso [( μ- kσ),( μ + kσ)] è inferiore a 1/k2. In simboli: o, equivalentemente, la probabilità sullintervallo complemento è superiore a (1- 1/k2 ),cioè:

88 Infatti, si supponga che la variabile casuale X abbia media μ e deviazione standard σ. Tra tutti i valori possibili di X si scelgano quelli che distano da μ in valore assoluto, più della quantità kσ, dove k è un numero reale positivo. I valori di X vengono cosi di­visi in due sottoinsiemi: i valori compresi nellintervallo [(μ- kσ), ( μ+ kσ)] e quelli invece che si collocano al di fuori di tale inter­vallo. Per comodità si indichino con xi* i valori esterni allintervallo che soddisfano cioè la relazione | xi*- μ| kσ. Dalla definizione di σ si avrà: Poiché i valori xi* un sottoinsieme di tutti i pos­sibili valori di X, e più precisamente :

89 Detta relazione potrà allora scriversi: da cui segue: Questo teorema è molto importante perchè permette di asso­ciare un livello di probabilità a degli intervalli senza conoscere la forma della distribuzione della funzione di probabilità f(x). Ma chiedendo solamente che la v.c. X abbia media e varianze finite. È quindi un teorema che vale sotto condizioni assolutamente ge­nerali.

90 Togliendo il valore assoluto nell'espressione del teorema., si può scrivere: e quindi: La rappresentazione grafica del teorema di Tchebycheff equi­vale a suddividere linsieme possibile della v.c. X nei seguenti sottoinsiemi:

91 Nota:Per valori di σ>0 la probabilità espressa dal teorema di Tchebycheff è una funzione decrescente di σ, nel senso che a valori via via più elevati di σ vengono associati livelli di probabilità sempre più bassi per un valore di k costan­te. Infatti, quanto più σ è piccolo tanto più piccolo è l'intervallo intorno a μ entro il quale cade una stessa percentuale di valori della v.c X, cioè quanto più σ è piccolo, tanto più la media è rappresentativa dellintera distribuzione dei valori della variabile X

92 Dalle Figure si vede che σ1 >σ2 > σ3 Esercizio sul teorema di Tchebycheff Le confezioni di pasta alimentare di una certa linea di produzione hanno un peso che può essere assimilato ad una variabile aleatoria X avente media μ = 0,5 Kg e deviazione standard σ = kg. Si determini: a)il limite inferiore della probabilità che, estraendo a sorte una confezione, il peso della confezione sia compreso nell'intervallo di estremi 0,5 ± 2 × 0,003 b)il limite superiore della probabilità che X sia esterna all'intervallo (0.491; 0.509) c)il limite inferiore per P(0.495 < X < 0.505) d)l'intervallo intorno alla media in cui è compresa la variabile aleatoria X con probabilità almeno uguale al 95%

93 Soluzione a) Si tratta di una applicazione diretta della formula: dalla quale risulta evidente che k = 2; pertanto l'estremo inferiore cercato è dato da: b) Per utilizzare ancora la precedente formula, dobbiamo prima ricavare k. Dalla relazione k(0.03) = otteniamo k = 3. Pertanto l'estremo superiore cercato è dato da: c) Dalla relazione k(0.03) = si trova k = 1,7. Ne consegue che il limite inferiore cercato é 0,65 d) anche qui si tratta di trovare k; si ha allora Pertanto l'intervallo richiesto è: (μ – 4,47σ ; μ + 4,47σ) ovvero (0,487; 0,513)

94 Semplici teoremi sui valori caratteristici di una variabile casuale. Siano : X una v.c. ; a, b due costanti Valore caratteristico incrociato per una distribuzione congiunta di variabili casuali (covarianza) Siano X, Y due v.c. con funzione di densità congiunta p ij ; il valore caratteristico cov(XY) detto covarianza è fornito dalla relazione: Tale valore è di notevole rilievo perché è una misura del legame lineare tra X e Y.

95 Ancora due semplici teoremi Se X, Y sono due v.c. Indipendenza e covarianza Siano X Y due v.c. Esse sono indipendenti se e solo se Se tale condizione si verifica allora ovviamente cov (XY) = 0 perché lindipendenza esclude la possibilità di legami. ATTENZIONE! Non è vero in genere il contrario, cioè la covarianza nulla non implica indipendenza.

96 Si può dimostrare però che se X, Y sono v.c. Normali la covarianza nulla è condizione necessaria e sufficiente per lindipendenza. Un ultimo teorema: se X, Y sono v.c. indipendenti

97 Le fasi dellindagine statistica Il campionamento

98 Le fasi di unindagine sono: La progettazione dellindagine - come si acquisiscono i dati? - indagine censuaria o campionaria? - quanto tempo? - quali risorse? La rilevazione dei dati L elaborazione dei dati La pubblicazione dei risultati Le fasi dellindagine

99 La precisione e la qualità dei dati influiscono sulla validità dei risultati La precisione e la qualità dei dati dipendono dal tipo di metodo scelto per l acquisizione dei dati I dati statistici possono provenire da: –Data base statistici (dati pubblici) –Dalla propria rilevazione –Da Esperimenti Le fonti dei dati

100 Questo metodo è solitamente preferito per la velocità di acquisizione e bassi costi I dati possono essere su supporto cartaceo, magnetico o possono essere acquisiti in linea (Internet) I dati forniti da Enti riconosciuti sono chiamati dati primari o dati di fonti ufficiali Ad esempio: I dati pubblicati dallISTAT, dalla Banca dItalia Ad esempio: I dati pubblicati dallISTAT, dalla Banca dItalia I dati forniti da Enti non ufficiali sono chiamati dati secondari o dati di fonti non ufficiali Ad esempio: I dati di famose società statistiche private I dati finanziari forniti dagli uffici studi delle banche o assicurazioni Ad esempio: I dati di famose società statistiche private I dati finanziari forniti dagli uffici studi delle banche o assicurazioni Data base statistici

101 Attraverso la rilevazione dei dati le variabili che caratterizzano il fenomeno sono osservate e registrate senza controllare la presenza di fattori che possano influire sul loro valore Attraverso gli esperimenti le variabili che caratterizzano il fenomeno sono osservate e registrate controllando linfluenza di alcuni fattori sul loro valore Quando i dati pubblicati non sono sufficienti a colmare il proprio bisogno di informazioni, vengono effettuati degli studi in proprio per ottenere i dati necessari: La rilevazione propria e la conduzione di esperimenti

102 –Con lindagine statistica le informazioni vengono raccolte dalle persone –Lindagine statistica può essere realizzata attraverso intervista personale (face to face) intervista telefonica intervista auto-amministrata Un buon questionario deve essere costruito: Rendendo il questionario quanto più breve possibile Inserendo domande breve, semplici e chiare Partendo da domande generiche per poi entrare nello specifico (tecnica ad imbuto) Utilizzando domande chiuse a scelta dicotomica o multipla Utilizzando domande aperte solo quando è necessario Inserendo domande di controllo Strutturando il questionario a seconda del tipo di intervista Un buon questionario deve essere costruito: Rendendo il questionario quanto più breve possibile Inserendo domande breve, semplici e chiare Partendo da domande generiche per poi entrare nello specifico (tecnica ad imbuto) Utilizzando domande chiuse a scelta dicotomica o multipla Utilizzando domande aperte solo quando è necessario Inserendo domande di controllo Strutturando il questionario a seconda del tipo di intervista Lindagine statistica

103 Perché si ricorre ad unindagine campionaria: –Per i costi –Per la numerosità elevata della Popolazione –Per la possibilità di distruggere le unità della popolazione quando si raccolgono i dati Il campione deve essere rappresentativo della popolazione e non distorto Il campionamento

104 Insieme finito o infinito, di UNITA' statistiche definito: nei contenuti nello spazio nel tempo Insieme delle n UNITA' statistiche selezionate tra le N che compongono la popolazione : il fine è rappresentare la popolazione le n unità che costituiscono il campione sono le unità campionarie La Popolazione (universo) Il Campione

105 si attribuisce ad ogni unità statistica della una probabilità positiva di essere estratta si utilizzano in modo appropriato le tecniche per la selezione casuale (Tavole di generazione dei numeri casuali, software) Un campione può essere: Casuale o probabilistico Non probabilistico o a scelta ragionata Le unità campionarie sono scelte sulla base di informazioni a priori in modo da somigliare per alcuni caratteri strutturali alla popolazione da cui sono tratte Differenti tipi di campione

106 Campione probabilistico La struttura del campione è data dall'insieme di LISTE che si adoperano per formarlo. Se la lista della popolazione è unica il campione ha una struttura semplice ; se sono necessarie più liste la struttura è complessa Campione non probabilistico

107 E il campione della teoria statistica Il campionamento casuale semplice si realizza semplicemente scegliendo a caso dalla popolazione n elementi dalluniverso N, in modo tale che ogni unità abbia la stessa probabilità di essere estratta POPOLAZIONEN unità CAMPIONEn unità PROBABILITA' DI INCLUSIONE di i FRAZIONE di CAMPIONAMENTO f= n/N Campione casuale semplice

108 –Si vogliono controllare, in un elenco provinciale di aziende, 50 bilanci –Dallelenco si estraggono casualmente 50 aziende –Usare il generatore di numeri casuali in Excel Soluzione Si generano 50 numeri tra 1 e1000 Esempio

109 50 numeri uniformemente distribuiti tra 0 e 1 X(100) Approssimando 50 Numeri casuali tra 0 e 1000, ognuno ha probabilità 1/1000 di essere estratto 50 numeri casuali interi tra 1 e 1000 uniformemente distribuiti Saranno selezionate le aziende con i numeri identificativi 383, 101,...

110 STRATIFICARE significa ripartire, cioè individuare nella popolazione Sottopopolazioni al massimo omogenee rispetto alla variabile o alle variabili da rilevare da ogni Strato viene estratto un campione casuale semplice – Con questo campione è possibile ottenere informazioni circa: lintera popolazione ogni strato le relazioni tra gli strati Campione stratificato A pari numerosità, le STIME sono più Efficienti di quelle ottenibili con un Campionamento Casuale Semplice

111 Sesso Maschio Femmina Età sotto Professione dipendente autonomo lib.prof.

112 Ci sono più modi per costruire un campione casuale stratificato. Ad esempio, nel campione si può rispettare proporzionalmente la numerosità degli strati della popolazione ( selezione proporzionale ) Un campione di numerosità deve essere estratto Altri modi sono: Selezione uniforme Selezione Ottimale Selezione Ottima di NEYMAN-TCHUPROW Sono legati alla varianza tra gli strati e allinterno degli strati

113 Totale Strato Reddito Proporzione popolaz. 1 sotto E % % % 300 4oltre E % 50 n. Strato

114 ê Il campionamento a grappoli è un campionamento casuale in cui le unità da estrarre sono gruppi di elementi contigui detti Grappoli ( cluster ) ê E' particolarmente utile quando: non è disponibile un elenco dei singoli elementi della popolazione i costi di rilevazione aumentano notevolmente al crescere della distanza tra gli elementi ê Gli elementi che fanno parte di uno stesso grappolo sono fisicamente vicini, comportando che abbiano caratteri simili, ossia che le misure del carattere da rilevare siano più o meno tra loro correlate Campione a grappoli

115 Esempio: indagini su vaste aree territoriali (Regioni, Città ecc.); in tali casi i grappoli vengono solitamente definiti in termini di sub-aree (Comuni, Quartieri, ecc.). ê Il campione deve essere formato da un numero elevato di grappoli di piccole dimensioni ê Pochi grappoli di grande dimensione possono essere giustificati solo se eterogenei nel loro interno, ossia se è molto elevata la varianza NEI gruppi e invece bassa quella TRA i gruppi

116 Svolgendo unindagine statistica possono essere commessi due tipi di errori: Lerrore campionario Tale tipo di errore si riferisce alla differenza tra il campione e la popolazione, ovvero tra la stima ottenuta dal campione ed il parametro della popolazione. Diminuisce allaumentare della numerosità campionaria Lerrore extra campionario

117 Tale tipo di errore si ha se si commettono degli sbagli durante il processo di rilevazione dei dati Non diminuisce allaumentare della numerosità campionaria E di tre tipi: Errore nellacquisizione dei dati (es: codifica sbagliata) Errore di non risposta Errore di selezione

118 Calcolare i parametri di una popolazione è quasi sempre proibitivo per la numerosità della stessa Per questo, per conoscere le caratteristiche della popolazione viene considerato un campione, e facendo inferenza, si calcola una statistica relativamente ai parametri di interesse La distribuzione campionaria della statistica è lo strumento che ci dice come si distribuisce la statistica attorno al parametro La distribuzione campionaria

119 –Un dado è lanciato un numero infinite di volte –Sia X la variabile che rappresenta il numero di punti in ogni faccia del dado –La distribuzione di probabilità di X è: x p(x) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 E(X) = 1(1/6) + 2(1/6) + 3(1/6)+ ………= 3.5 V(X) = (1-3.5) 2 (1/6 + (2-3.5) 2 (1/6 + ……… ………. = 2.92 La distribuzione campionaria della media Esempio

120 Supponiamo di voler stimare m dalla media di un campione di numerosità n = 2 Qual è la distribuzione di ?

121 /36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36 E( ) =1.0(1/36)+ 1.5(2/36)+….=3.5 V(X) = ( ) 2 (1/36)+ ( ) 2 (2/36)... = 1.46

122 E da notare che è più piccolo di x. Al più grande campione corrisponde il più piccolo. Inoltre tende a cadere sempre più vicino a, quanto più cresce la numerosità del campione

123 –Da qualsiasi popolazione si estragga un campione, la distribuzione della media campionaria si approssima ad una Normale per campioni sufficientemente grandi –Quanto è più grande il campione tanto più la distribuzione campionaria di si approssima ad una Normale Teorema del Limite Centrale

124 4.3.1 La distribuzione campionaria della media campionaria

125 La quantità di soda pop contenuta ogni bottiglia si distribuisce in modo normale con media 32.2 ml. E deviazione standard di 0.3 ml.. –Trovare la probabilità che una bottiglia, acquistata da un consumatore, contenga più di 32 ml. Soluzione La variabile casuale X è la quantità di soda pop nella bottiglia = x = 32 Esempio

126 = x = 32 –Trovare la probabilità associata alla possibilità di avere in 4 bottiglie una quantità media maggiore di 32 ml. Soluzione La variabile casuale X è lammontare medio di soda pop per bottiglia

127 Lo stipendio medio settimanale dei laureati un anno dopo la laurea è di 600 Euro. Supponiamo che tale variabile si distribuisca in modo normale con una deviazione standard di 100 Euro. –Trovare la probabilità che 25 laureati, estratti casualmente, abbiano uno stipendio settimanale inferiore a 550 Euro. Soluzione Esempio

128 –Se in un campione di 25 laureati, estratto casualmente, lo stipendio medio settimanale è di 550 Euro, cosa si può commentare sulla media della popolazione pari a 600? Soluzione Con = 600 la probabilità di avere un campione con media pari a 550 è molto bassa (0.0062). Laffermazione che i laureati hanno uno stipendio medio settimanale pari a 600 è, molto probabilmente, ingiustificata. E molto più realistico assumere che sia più piccola di 600, perché così, sarebbe molto più probabile una media nel campione pari a 550.

129 Per fare inferenza sui parametri della popolazione è necessario utilizzare la distribuzione campionaria (esempio ) Utilizzando la distribuzione normale standardizzata i valori sono tabulati: - Z.025 Z.025 La distribuzione normale standardizzata

130 La distribuzione normale standardizzata Z Distribuzione normale of

131 Conclusione –Cè il 95% delle possibilità che la medi campionaria sia compresa nellintervallo [560.8, 639.2] se la media della popolazione è 600. –Se la media del campione fosse 550, la media della popolazione probabilmente non sarebbe 600.

132 In generale

133 Riproducendo un data sets di numeri casuali che provengono da una data distribuzione, si possono verificare le caratteristiche della distribuzione. Si simula un esperimento del lancio del dadi (la creazione della distribuzione della media). Sono mostrati di seguito gli effetti dellaumento della numerosità campionaria. Creazione della distribuzione campionaria attraverso una simulazione al computer

134 Simulazione del lancio del dadi n = 2n = 5 n = 10 Media = Stand. Dev. = Media = Stand. Dev. = Media = Stand. Dev. = 0.749

135 Valori della variabile…e probabilità associate Creare un istogramma per la distribuzione della media campionaria Valori Excel Creazione di una distribuzione della media simulata Calcolare la media Campione di taglia 2

136 Il parametro di interesse per i dati qualitativi è il numero di volte che un particolare risultato si verifica (numeri di successi) Per stimare la proporzione (frequenza) p della popolazione si utilizza la frequenza del campione La distribuzione campionaria è una binomiale Si preferisce utilizzare, per fare inferenza, lapprossimazione normale della distribuzione binomiale p ^ p ^ La distribuzione campionaria della proporzione

137 –Lapprossimazione è migliore quando: La dimensione del campione è grande La probabilità di successo p, è prossima a 0.5. –Per ottenere buoni risultati: np > 5; n(1 - p) > 5 Approssimazione della Binomiale ad una Distribuzione Normale

138 – Approssimare la probabilità binomiale P(x=10) quando n = 20 e p =.5 – I parametri per lapprossimazione sono: = np; = np(1 - p) Esempio

139 Costruiamo una distribuzione normale per approssimare la binomiale P(X = 10) = np = 20(.5) = 10; 2 = np(1 - p) = 20(.5)(1 -.5) = 5 La probabilità esatta è P(X = 10) =.176 P(9.5

140 Altri esercizi di approssimazione P(X<=8) = P(Y< 8.5) Per grandi campioni leffetto del fattore di correzione del continuo è veramente molto piccolo e può essere trascurato P(X>= 14) = P(Y > 13.5)

141 –Si può dimostrare che E( ) = p e –V( ) = p(1-p)/n Se sia np > 5 e np(1-p) > 5, allora si distribuisce approssimativamente come una variabile normale standardizzata p ^ Approssimazione della distribuzione campionaria della proporzione p ^

142 Esempio –UnAzienda ha una quota di mercato del 30%. In unindagine campionaria di consumatori è stato chiesto quale marca preferiscono. –Quale è la probabilità che più del 32% di tutti i rispondenti dicano di preferire quella marca? Soluzione La variabile numero di rispondenti che preferiscono la marca X si distribuisce come una binomiale con n = 1000 and p =.30. Inoltre, np = 1000(.3) = 300 > 5 n(1-p) = 1000(1-.3) = 700 > 5.

143 Distribuzione campionaria del confronto tra medie Distribuzione campionaria del confronto tra medie La differenza tra medie è un parametro rilevante quando si confrontano due popolazioni Per fare inferenza tra dobbiamo osservare la distribuzione di

144 Il valore atteso e la varianza saranno: La distribuzione di è normale con media e deviazione standard di se –I due campioni sono indipendenti –Le popolazioni originarie si distribuiscono in modo normale

145 Se le popolazioni originarie non sono normali ma il campione è maggiore di 30 la distribuzione si approssima ad una normale Esempio – I voti medi (in centesimi) di diploma di due differenti Istituti sono 62 (stand.dev. = 14,5), e 60 (stand. dev. = $18,3). –Qual è la probabilità che la media campionaria degli studenti dellIstituto A sia maggiore di quella degli studenti dellIstituto B (n WLU = 50; n UWO = 60)

146 Soluzione = 62 – 60 = 2


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