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I massimi, i minimi e i flessi z I massimi e i minimi relativi z La concavità z I flessi z I massimi, minimi, flessi e la derivata prima z I flessi e la.

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Presentazione sul tema: "I massimi, i minimi e i flessi z I massimi e i minimi relativi z La concavità z I flessi z I massimi, minimi, flessi e la derivata prima z I flessi e la."— Transcript della presentazione:

1 I massimi, i minimi e i flessi z I massimi e i minimi relativi z La concavità z I flessi z I massimi, minimi, flessi e la derivata prima z I flessi e la derivata seconda

2 I massimi e i minimi relativi Sia f (x) una funzione definita nell’intervallo I. Il punto x 0  I si dice: ● massimo relativo se: ● minimo relativo se:

3 La concavità  Concavità verso l’alto È data una funzione y = f (x) definita e derivabile nell’intervallo I con x 0 punto interno a I. Sia y = t (x) l’equazione della retta tangente alla curva nel punto x 0. Si dice che la curva ha in x 0 la concavità verso l’alto se:

4 zConcavità verso il basso È data la funzione y = f (x) definita e derivabile nell’intervallo I con x 0 punto interno a I ; sia y = t (x) l’equazione della retta tangente alla curva nel punto x 0. Si dice che la curva ha in x 0 la concavità verso il basso se:

5 I flessi Data la funzione y = f (x) definita e continua nell’intervallo I, si dice che presenta in x 0, interno a I, un punto di flesso se in tale punto il grafico di f (x) cambia concavità. Flesso ascendente Flesso discendente

6 I massimi, minimi, flessi e la derivata prima Data una funzione y = f (x) derivabile nell’intervallo I = ]a; b[, se f (x) ha un massimo o un minimo relativo in x 0, interno a I, allora z Condizione necessaria per massimi e minimi relativi

7 z Condizione sufficiente per massimi e minimi relativi È data una funzione y = f (x) continua in un intorno del punto x 0 e derivabile in per x ≠ x 0. Se per ogni x ≠ x 0 dell’intorno si ha: ● f ' (x) > 0 per x x 0 allora x 0 è un punto di massimo relativo; ● f ' (x) 0 per x > x 0 allora x 0 è un punto di minimo relativo.

8 zCondizione sufficiente per i flessi orizzontali Data la funzione y = f (x) continua in un intorno del punto x 0 e derivabile nello stesso intorno, se: ● f ' (x 0 ) = 0, ● il segno della derivata prima è lo stesso per ogni x ≠ x 0 dell’intorno allora x 0 è un punto di flesso orizzontale.

9 I flessi e la derivata seconda z Condizione necessaria per i flessi È data una funzione y = f (x), definita nell’intervallo I = [a; b] e in tale intervallo esistono le sue derivate prima e seconda. Se f (x) ha un flesso in x 0, interno a I, allora:

10 zCondizione sufficiente per i flessi Sia data la funzione y = f (x) continua in un intorno del punto x 0 e tale che esistono in le derivate prima e seconda per x ≠ x 0. Se per ogni x ≠ x 0 dell’intorno si ha: ● f ''(x) > 0 per x x 0 allora x 0 è un punto di flesso (discendente); ● f ''(x) 0 per x > x 0 allora x 0 è un punto di flesso (ascendente).


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